schnittpunkt mathematik für die berufsfachschule begleitmaterial lösungsheft isbn 978-3-12-742743-1 arbeitsheft grundlagen isbn 978-3-12-742716-5 arbeitsheft grundlagen isbn 978-3-12-742726-4 auflage alle drucke dieser auflage sind unverändert und können im unterricht nebeneinander verwendet werden die letzte zahl bezeichnet das jahr des druckes das werk und seine teile sind urheberrechtlich geschützt jede nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen fällen bedarf der vorherigen schriftlichen einwilligung des verlages hinweis urhg weder das werk noch seine teile dürfen ohne eine solche einwilligung eingescannt und in ein netzwerk eingestellt werden dies gilt auch für intranets von schulen und sonstigen bildungseinrichtungen fotomechanische oder andere wiedergabeverfahren nur mit genehmigung des verlages im lehrwerk befinden sich ausschließlich fiktive internetund e-mailadressen sowie fiktive telefonund faxnummern die alle mit versehen sind die mediencodes leiten ausschließlich zu optionalen unterrichtsmaterialien sie unterliegen nicht dem staatlichen zulassungsverfahren ernst klett verlag gmbh stuttgart 2016 alle rechte vorbehalten www.klett.de autoren agathe bachmann langenfeld martina backhaus hohne abderrahim balliti köln benita banach wesel marion becker paderborn ilona bernhard obermoschel christof birkendorf dortmund joachim böttner schmalkalden oliver brudzewski braunschweig heidi cordes wildeshausen angelika delius freiburg friedrich eckebrecht höxter günther fechner meßstetten hauke fölsch mildstedt gertrud geukes ennigerloh marina gress freiburg berthold grimm billerbeck karin hantschel koblenz-rauental petra hillebrand dortmund winfried jahn bad tennstedt petra kassel braunschweig nicole kersten oldenburg wolfgang malzacher kraichtal rainer maroska geislingen renate marquardt hameln mouloud moussaoui duisburg andreas müller norath volker müller bonn andrea neumann karlsruhe achim olpp täferrot manfred palte garbsen rainer pongs hürtgenwald peter rausche goslar christel schienagel-delb kerzenheim emilie scholl-molter sippersfeld colette simon eisenberg claus stöckle bietigheim-bissingen thomas straub sigmaringen armin voß hagen ingrid wald-schillings mendig hartmut wellstein würzburg heiko wontroba herrenhof paul zahn emden redaktion pia becker herstellung elena rumold gestaltung know idea freiburg titelbild istockphoto shapecharge calgary alberta illustrationen uwe alfer waldbreitbach arnold domnick leipzig stefan dinter stuttgart petra götz augsburg helmut holtermann dannenberg rudolf hungreder leinfelden-echterdingen imprint zusmarshausen media office gmbh kornwestheim tom menzel scharbeutz tilman traub leonberg sabine wiemers düsseldorf satz arnold domnick leipzig reproduktion meyle müller medien-management pforzheim druck dbm druckhaus berlin-mitte gmbh berlin printed in germany isbn 978-3-12-742741-7

ernst klett verlag stuttgart leipzig bearbeitet von angelika delius andrea neumann mathematik für die berufsfachschule schnittpunkt

so arbeiten sie mit schnittpunkt anwenden auftakt hier bekommen sie einen überblick über die lernziele des kapitels und ein beispiel aus dem berufsalltag anwenden im beruf die anwendungsaufgaben stehen im beruflichen kontext sie lassen sich mithilfe der berufsfeldbezogenen informationen lösen so lernen sie ihre mathematischen kenntnisse in die praxis umzusetzen nachschlagen zusammenfassung hier können sie die wichtigsten formeln und begriffe des kapitels nachschlagen diese sammlung können sie sich als karteikarten downloaden um eine lernkartei anzulegen basiswissen wenn ihnen grundlagen nicht mehr vertraut sind können sie diese hier nachlesen und anhand von aufgaben wiederholen lösungen die lösungen zu standpunkt rückspiegel und basiswissen finden sie im anhang dort finden sie auch die lösungen für die prüfungsvorbereitung testen standpunkt am kapitelanfang können sie testen wie fit sie für das neue thema sind die lerntipps ver weisen auf das basiswissen oder vorherige kapitel rückspiegel am kapitelende können sie testen wie gut sie alles beherrschen in beiden fällen können sie sich zunächst selbst einschätzen dann überprüfen sie ihre einschätzung anhand von aufgaben prüfungsvorbereitung mit den aufgaben im prüfungsstil können sie sich optimal vorbereiten

symbole die aufgaben werden den prozessbezogenen kompetenzen zugeordnet tipps und hinweise geben hilfestellung die symbole vor den aufgabenziffern zeigen die schwierigkeit der aufgabe an methodenoder informations kästen erklären weitere mathematische techniken oder anwendungen terme und variablen online-material ev243m einfache aufgabe mittlere aufgabe schwierige aufgabe tipps und hinweise hier finden sie zusatzangebote im internet an vielen stellen finden sie schnittpunkt-codes diese führen sie zu weiteren informationen materialien oder übungen im internet geben sie einfach den code auf www.klett.de ein diese symbole zeigen ihnen um welche fähigkeiten es hier geht k1 mathematisch argumentieren k2 probleme mathematisch lösen k3 mathematisch modellieren k4 mathematische darstellungen verwenden k5 mit symbolischen formalen und technischen elementen der mathematik umgehen k6 kommunizieren lernen und üben die lerneinheiten sind wie folgt aufgebaut die offene und entdeckende einstiegsaufgabe gibt ihnen erste impulse lehrtext und merkkasten erklären die mathematischen inhalte die anhand eines beispiels gefestigt werden die differenzierenden aufgaben bieten ihnen zahlreiche möglichkeiten zum üben und sind klar den erforderlichen kompetenzen zugeordnet

inhaltsverzeichnis terme und gleichungen standpunkt auftakt rationale zahlen terme und variablen addition und subtraktion von termen multiplikation von termen ausmultiplizieren und ausklammern multiplikation von summen gleichungen gleichungen mit klammern lesen und lösen bruchterme und bruchgleichungen potenzen potenzen mit gleicher basis potenzen mit gleichen exponenten potenzen mit negativen exponenten zehnerpotenzschreibweise quadratwurzeln bestimmen von quadratwurzeln rechnen mit quadratwurzeln erweiterung des wurzelbegriffs formeln binomische formeln dreisatz umgekehrter dreisatz prozente prozentuale veränderung zinsrechnung monatszinsen und tageszinsen zinseszins zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel zusatzinhalte für die berufsaufbauschule bas in baden-württemberg

geometrie standpunkt auftakt strecke gerade abstand und kreis koordinatensystem länge fläche und winkel achsenund punktsymmetrie achsenund punktspiegelung vergrößern und verkleinern strahlensätze strahlensätze anwenden quadrat und rechteck parallelogramm und raute drachen und trapez dreieck satz des thales satz des pythagoras sinus kosinus tangens rechtwinklige dreiecke berechnen allgemeine dreiecke berechnen trigonometrie in ebene und raum kreisumfang kreisflächen und kreisteile zusammengesetzte flächen quader und würfel prisma schrägbild zylinder pyramide kegel kugel zusammengesetzte körper zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel

geraden standpunkt auftakt funktionen proportionale funktionen lineare funktionen lösen durch modellieren lineare gleichungen mit zwei variablen lineare gleichungssysteme lösen durch gleichsetzen lösen durch addieren lösen durch modellieren ii zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel

parabeln standpunkt auftakt die quadratische funktion die quadratische funktion die scheitelform quadratische gleichungen quatratische ergänzungen nullstellen quadratischer funktionen schnittpunkte lösen durch modellieren zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel basiswissen lösungen register symbole/größen/maßeinheiten

standpunkt geraden standpunkt wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut die lösungen zum standpunkt finden sie auf seite testen 2bn3x6 ich kann lerntipp koordinaten aus einem koordinatensystem ablesen seite punkte in ein koordinatensystem eintragen seite proportionale zusammenhänge erkennen seite den dreisatz anwenden seite terme vereinfachen seite gleichungen lösen seite sachverhalte mithilfe von gleichungen darstellen und lösen seite überprüfen sie ihre einschätzung geben sie die koordinaten der punkte an zeichnen sie die folgenden punkte in ein koordinatensystem ein verbinden sie die punkte welche figur entsteht welche größen sind proportional zueinander a)​ lohn​―​arbeitszeit b)​anzahl​arbeiter​―​dauer​des​auftrags c)​ flaschen​―​gewicht​getränkekiste d)​alter​―​lohn paul kauft schulhefte für 2,70 wie viel euro muss er für schulhefte bezahlen vereinfachen sie den term lösen sie die gleichung paul hat 2,40 in seiner geldbörse er hat nur 50-cent-stücke und 10-cent-stücke dabei hat er 3-mal so viele 10-cent-stücke wie 50-cent-stücke welche geldstücke hat paul wie häufig

geraden auftakt wie man geraden im koordinatensystem darstellt wie man schaubilder von geraden interpretiert wie man geradengleichungen aufstellt wie man zusammenhänge aus alltag und beruf mithilfe von geraden veranschaulichen kann wie man lineare gleichungssysteme löst ich lerne wenn firmen etwas produzieren unterscheidet man zwei arten von kosten fixkosten entstehen immer auch wenn nichts produziert wird das sind die miete für die produktionshalle lohnkosten für mitarbeiter kosten für lizenzen usw variable kosten hängen von der produktionsmenge ab hierzu gehören materialkosten rohstoffkosten akkordlöhne usw mit dem verkaufspreis kann man bestimmen ab wie vielen verkauften einheiten es sich lohnt zu produzieren der erlös sind die verkauften einheiten multipliziert mit dem verkaufspreis exemplarisch sind die daten eines herstellers aufgeführt der ein elektrofahrrad für 1450 verkauft die produktion verursacht fixkosten von und die variablen kosten liegen bei pro fahrrad finden sie die daten in der tabelle wieder und schätzen sie die menge ab der sich die produktion lohnt verkaufte einheiten erlös fixkosten variable kosten gesamtkosten gewinn lohnt es sich überhaupt unternehmen wissen wie teuer ein produkt ist das sie herstellen die kunden wissen wie viel euro sie für ein produkt ausgeben möchten wie teuer muss ein produkt sein damit der hersteller gewinn macht geraden

geraden funktionen geraden funktionen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k5 k4 k3 k2 k6 k1 funktionen das diagramm zeigt die pulsfrequenz von svenja beim geländelauf lesen sie die pulsfrequenz nach minuten möglichst genau ab nennen sie mögliche gründe weshalb die pulsfrequenz nicht konstant gleich bleibt min oft gibt es situationen in denen eine erste größe eine zweite bestimmt beispielsweise werden bei temperaturmessungen zuordnungen zwischen uhrzeit und temperatur verwendet dadurch entstehen wertepaare die in einer werte tabelle dargestellt werden uhrzeit 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 temp in °c 12,1 17,3 21,5 17,3 10,0 zu jeder uhrzeit gehört genau ein temperaturwert deshalb ist die folgende zuordnung uhrzeit temperatur eine eindeutige zuordnung oder funktion zum temperaturwert 17,3 gehören zwei uhrzeiten deshalb ist die zuordnung temperatur uhrzeit nicht eindeutig es liegt keine funktion vor unter einer funktion versteht man eine eindeutige zuordnung bei der zu jeder größe aus einem ersten bereich eingabegröße genau eine größe aus einem zweiten bereich ausgabegröße gehört eine funktion wird durch eine funktionsvorschrift oder eine gleichung beschrieben und lässt sich in einer wertetabelle oder als graph darstellen einer zahl wird ihre hälfte zugeordnet funktionsvorschrift gleichung für einzelne x-werte werden die zugehörigen y-werte berechnet mithilfe der wertepaare wird der graph in ein koordinatensystem gezeichnet merke schaubild graph bemerkung beispiel

geraden funktionen k5 k6 k4 k3 k2 2–4 k1 nicht jede zuordnung ist eine funktion welche zuordnungen sind funktionen begründen sie ihre antwort eingabegröße ausgabegröße gefahrene kilometer benzinverbrauch verkaufte eintrittskarten erzielte einnahmen heizölmenge rechnungsbetrag ice-bahnkilometer fahrpreis fahrpreis ice-bahnkilometer porto briefgewicht nennen sie situationen im alltag die sich durch eine funktion darstellen lassen gegeben sind folgende funktionen eingabegröße ausgabegröße das doppelte von die summe aus und der dritte teil von die differenz von und notieren sie funktionsvorschrift und die zugehörige gleichung legen sie eine wertetabelle an wählen sie für ganze zahlen von bis und berechnen sie die y-werte tragen sie die wertepaare in ein koordinatensystem ein und zeichnen sie den graphen der funktion stellen sie die wertetabelle für ganzzahlige x-werte von bis auf zeichnen sie den graphen die unvollständigen wertepaare gehören zur gleichung sarah und kim trainieren ihre ausdauer ordnen sie die texte den zwei schaubildern zu und ergänzen sie jeweils den text für kim sarah beginnt mit langsamem tempo sprintet dann bleibt kurz stehen und läuft anschließend gleichmäßig bis zum gemeinsamen treffpunkt sarah beginnt sehr langsam sprintet dann läuft danach etwas langsamer steigert das tempo wird dann wieder langsamer und lässt es am ende ganz langsam auslaufen was können sie aus den graphen noch ablesen eindeutige zuordnung um an einem graphen zu kontrollieren ob es sich um den graphen einer funktion handelt kann man ein geodreieck zur hilfe nehmen schneidet das geodreieck für einen x-wert mehrmals den graphen sind diesem x-wert zwei y-werte zugeordnet dann liegt keine funktion vor da die zuordnung nicht eindeutig ist methode –1 –2 –3 –4 –5 742711_k6_leo1_1

geraden proportionaleoportionale funktionen geraden pr funktionen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 proportionale funktionen auf ihrer klassenfahrt mieteten sich die schülerinnen und schüler der berufsfachschulklasse kanus um eine wasserwanderung zu machen die jugendlichen rechnen damit dass sie kilometer in einer stunde schaffen erstellen sie eine wertetabelle und zeichnen sie den graphen in ein koordinatensystem notieren sie die funktionsvorschrift lesen sie ab wie weit die jugendlichen in stunden und minuten kommen eine funktion mit der funktionsvorschrift der form heißt proportionale funktion weil ihr eine proportionale zuordnung zugrunde liegt die zugehörige gleichung ist wertetabelle vergrößert man um so vergrößert sich der y-wert um dieser änderungswert wird steigung genannt es entsteht ein steigungsdreieck der graph einer solchen funktion ist eine gerade durch den ursprung des koordinatensystems graph eine proportionale funktion hat als schaubild eine gerade durch den ursprung des koordinatensystems die gerade hat die gleichung der faktor gibt die steigung der geraden an steigung und steigungsdreieck die gerade mit der gleichung zeigt erhöht sich der x-wert um so vergrößert sich der y-wert um der graph der funktion zeigt erhöht sich der x-wert um so vergrößert sich der y-wert um ebenso kann man auch einheiten nach rechts nenner und einheiten nach oben zähler gehen ist die steigung positiv steigt die gerade merke beispiel

geraden proportionale funktionen k5 k1 5–7 k2 4–7 k3 k4 k6 zeichnen sie das steigungsdreieck samt gerade gehen sie dazu vom ursprung um nach rechts und nach oben um nach rechts und nach unten um nach rechts und nach unten um nach links und nach unten um nach links und nach oben zeichnen sie die gerade mithilfe des steigungsdreiecks die steigung legt den verlauf der geraden fest beschreiben sie die lage der geraden mit worten vergleichen sie die gerade mit bzw beispiel die gerade verläuft durch den und iii quadran ten des koordinatensystems sie ist steiler als die gerade mit der gleichung der graph einer proportionalen funktion verläuft durch den punkt zeichnen sie ein steigungsdreieck und die gerade notieren sie den wert der steigung und die gleichung welche gleichung gehört zu welcher geraden geben sie die gleichungen an erklären sie welche fehler ulf machte steigungsdreieck bei negativer steigung geht man vom ursprung um einheiten nach rechts nenner muss man einheit nach unten zähler gehen daraus ergibt sich die steigung und die gleichung ist die steigung negativ fällt die gerade beispiel

geraden linearee funktionen geraden linear funktionen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 a4-hochformat cm 29,7cm formate preise http://www.fo .de bestellen a4-querformat 29,7cm 21cm standard a4-fotobuch seiten zu 15,00¤ jede weitere doppelseite kostet 2,00¤ anzahl seiten bestellen irina möchte ein fotobuch von der klassenfahrt zusammenstellen berechnen sie die kosten für ein fotobuch mit und seiten stellen sie die ergebnisse in einer werte tabelle dar zeichnen sie mithilfe der wertetabelle einen graphen in ein koordinatensystem lineare funktionen eine funktion mit einer funktionsvorschrift der form heißt lineare funktion das schaubild dieser funktion ist eine gerade mit der gleichung die gerade entsteht durch verschieben der geraden um einheiten in y-richtung das zeigen die werte tabellen der beiden gleichungen für erhält man für erhält man jeder punkt des graphen mit der gleichung wurde um einheiten in y-richtung verschoben die steigung beider geraden ist also verlaufen beide geraden parallel zueinander der graph zu geht nicht durch den ursprung sondern durch den punkt der auf der y-achse liegt das schaubild einer linearen funktion ist eine gerade eine gerade wird eindeutig durch die steigung und den y-achsenabschnitt bestimmt die hauptform der geradengleichung ist eine proportionale funktion ist eine besondere lineare funktion der y-achsenabschnitt ihres schaubilds ist die gerade kann mithilfe des y-achsenabschnitts und der steigung gezeichnet werden merke bemerkung beispiel

geraden lineare funktionen k6 k5 k4 2–4 k3 k2 k1 entscheiden sie ob der zusammenhang durch eine lineare funktion oder sogar durch eine proportionale funktion beschrieben werden könnte begründen sie eingabegröße ausgabegröße kraftstoffmenge kraftstoffpreis wärmezufuhr wassertemperatur bahnkilometer fahrpreis länge einer kerze brenndauer arbeitsstunden handwerkerrechnung welcher graph gehört zu welcher gleichung zeichnen sie den graphen verwenden sie den y-achsenabschnitt und ein steigungsdreieck zu aufgabe bestimmen sie die geradengleichungen was fällt ihnen an diesen auf vergleichen sie alle y-werte für und die für alle graphen gehen durch den punkt wie heißen die gleichungen was fällt ihnen an den geradengleichungen auf aus dem schaubild lassen sich die werte für die steigung und den y-achsenabschnitt ablesen zur gerade gehört damit die gleichung beispiel

geraden lineare funktionen k6 k5 k4 k3 k2 8–13 k1 lineare funktionen mit der dynamischen geometriesoftware dsg erstellen sie mithilfe von schiebereglern für und eine gerade im koordinatensystem verändern sie am schieberegler die werte für was fällt ihnen auf formulieren sie je größer der wert für ist desto wie ist die lage der geraden bei was beobachten sie wenn negativ wird verschieben sie auch die werte für und notieren sie ihre beobachtungen methode zeichnen sie die graphen der angegebenen gleichungen in ein koordinatensystem was stellen sie fest zeichnen sie die geraden mit den gleichungen und 0,25 1,75 zeichnen sie eine vierte gerade sodass sie ein quadrat erhalten welche steigung hat diese gerade machen sie eine punktprobe überprüfen sie wie im beispiel ob der punkt auf der geraden mit der angegebenen gleichung liegt beispiel linker term rechter term die beiden terme sind gleich also liegt auf der geraden mit der gleichung liegen die punkte und auf der geraden mit der gleichung prüfen sie durch einsetzen ob die punkte zum graphen der funktion gehören welcher der punkte liegt auf welcher geraden wie heißen die gleichungen der geraden übertragen sie die wertetabelle ins heft berechnen sie die y-werte für die gleichung wie im beispiel beispiel für

geraden lineare funktionen k6 k5 14–19 k4 k3 k2 k1 parallelen zu den koordinatenachsen wie heißt die gleichung einer geraden mit der steigung und dem y-achsenabschnitt jeder punkt auf dieser geraden hat den y-wert usw die gerade verläuft parallel zur x-achse also gilt vereinfacht entsprechend lautet die gleichung für die gerade die parallel zur y-achse verläuft und die x-achse bei schneidet jeder punkt auf dieser geraden hat den x-wert usw information geradengleichungen und wertetabellen ordnen sie die tabellen den gleichungen zu zeichnen sie die geraden geraden und ihre lagen bestimmen sie die gleichung der geraden zeichnen sie und zwei weitere zu parallele geraden geben sie deren gleichungen an zeichnen sie zwei weitere geraden ein die die y-achse im selben punkt schneiden wie die gerade bestimmen sie deren gleichung ergänzen sie die wertetabelle für die gleichung 4x welche gerade ist steiler zeichnen sie und begründen sie oder oder alex behauptet wenn eine gerade senkrecht im rechten winkel zu einer anderen geraden steht kann man die steigungen der beiden geraden multiplizieren und erhält hat alex recht überprüfen sie an beispielen bestimmen sie die geradengleichung mit oder ohne zeichnung die steigung ist der y-achsenabschnitt ist gegeben sind und die gerade verläuft parallel zu der geraden mit der gleichung und geht durch den punkt die steigung ist und die gerade geht durch den punkt die steigung ist und die gerade geht durch den punkt

geraden lineare funktionen k6 k5 23–25 k4 k3 k2 20–23 k1 ein punkt und die steigung sind genug eine gerade ist eindeutig festgelegt wenn ein punkt der auf der geraden liegt sowie die steigung der geraden angegeben sind beispiel eine gerade ist durch den punkt und die steigung festgelegt rechnerische lösung man setzt die koordinaten des punkts sowie den wert für in die hauptform der geradengleichung ein und berechnet dann setzt man nur die werte für und für in die hauptform ein und erhält die gesuchte geradengleichung zeichnerische lösung man zeichnet den punkt und von dort aus das steigungsdreieck die gezeichnete gerade liefert den y-achsenabschnitt und die geradengleichung kann angegeben werden die rechnerische lösung und die zeichnerische lösung müssen übereinstimmen methode gegeben ist die gerade mit der gleichung zu welcher achse des koordinatensystems verläuft diese gerade parallel geben sie die koordinaten von fünf verschiedenen punkten an die auf der geraden liegen zeichnen sie die geraden mit den gleichungen und zeichnen sie eine vierte gerade sodass sie ein quadrat erhalten wie lautet die gleichung dieser geraden tim und kiara können sich nicht einigen wie die gleichungen der geraden lauten die genau auf der x-achse und auf der y-achse liegen können sie helfen lesen sie die gleichungen der geraden ab die gerade geht durch den punkt und hat die steigung zeichnen sie die gerade ins koordinatensystem wie heißt ihre gleichung bestimmen sie die geradengleichung durch rechnung überprüfen sie zeichnerisch

geraden lineare funktionen k6 k5 k4 k3 k2 26–31 k1 32–34 die gerade geht durch den punkt und hat den y-achsenabschnitt bestimmen sie ihre gleichung bestimmen sie die geradengleichung rechnerisch überprüfen sie mithilfe einer zeichnung ob sie richtig gerechnet haben die gerade verläuft parallel zu und geht durch und geht durch und geht durch liegen die punkte und auf einer geraden die gerade geht durch die beiden punkte bestimmen sie die steigung wenn bestimmte punkte einer gera den bekannt sind kann man die zu ge hörige gleichung sogar im kopf bestimmen beide punkte gehören zum schaubild einer linearen funktion bestimmen sie die gleichung der geraden zwei punkte sind genug zwei vorgebene punkte einer geraden genügen um die steigung und damit auch die zugehörige gleichung zu bestimmen die gerade geht durch die punkte und für die steigung gilt damit jetzt setzt man den wert für sowie die koordinaten von oder in die hauptform ein berechnet wie oben beschrieben und erhält die gesuchte gleichung hier ​·​2​+​b​ |​‒​1 methode die gerade geht durch die punkte und die gerade geht durch und bestimmen sie die steigungen was fällt ihnen auf die gerade verläuft durch und die gerade geht durch und sind die beiden geraden und parallel löst man die aufgabe zeichnerisch so macht das viel mühe berechnen sie und geben sie dann die geradengleichung an die durch die beiden punkte festgelegt ist wie heißt die gleichung der geraden die zur geraden aus teilaufgabe parallel verläuft und durch den punkt geht geben sie die gleichung einer geraden an die zur geraden aus teilaufgabe senkrecht ist und durch den punkt geht

geraden lösen durchch modellierenen geraden lösen dur modellier k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 reale welt mathematik realsituation familie müller interessiert sich für ein ferienhaus es liegen zwei angebote vor die realsituation zeigt zwei inserate es stellt sich die frage welches angebot ist das günstigere mathematisches modell die kosten für die hausmiete lassen sich mit einer geraden darstellen die variable wird für die anzahl der miettage verwendet sonne haus reale ergebnisse bei einer mietdauer von wochen übersteigen die kosten für das angebot sonne haus das pauschalangebot traumhaus um sonne haus 1450 traumhaus pauschalangebot 1400 mathematische ergebnisse im schaubild kann man erkennen dass die kosten für das angebot sonne haus höher als das pauschal an gebot traumhaus sind übersetzen bewerten lösen interpretieren lara möchte sich einen gebrauchten roller im wert von etwa 1500 anschaffen dazu hat sie bereits gespart in den sommerferien kann sie einen ferienjob annehmen für jede arbeitsstunde bekommt lara ausbezahlt die tägliche arbeitszeit beträgt acht stunden reichen drei arbeitswochen aus lara überlegt ob sie am tag sieben stunden arbeiten soll lösen durch modellieren mithilfe von linearen funktionen lassen sich bestimmte fragestellungen und probleme des alltags bearbeiten und lösen eine exakte beantwortung der fragen ist jedoch häufig schwierig und auch nicht notwendig vereinfachungen helfen die reale situation in einen mathematischen zusammenhang zu über setzen die gefundene mathematische lösung muss dann jedoch in der alltagssituation auf ein sinn volles ergebnis überprüft werden diesen kreislauf nennt man mathematisches modellieren es liegen folgende angebote für ferienhäuser vor familie müller muss sich für ein angebot entscheiden mathematische modellierung pro tag zusätzlich pro tag für wasser und strom plus endreinigung sonne haus zwei wochen pauschal holiday 1400,– euro traumhaus eine bewertung kann etwa so aussehen sollte familie müller das angebot sonne haus mehr zusagen ist sie vielleicht bereit die mehrkosten von zu tragen

geraden lösen durch modellieren k6 k5 k4 k3 1–3 k2 k1 die besucherzahlen des freizeitparks dreamworld haben in den letzten jahren pro jahr um etwa die gleiche anzahl zugenommen jahr 2009 besucher/innen jahr 2014 besucher/innen wie sehen demnach die besucherzahlen für die jahre 2015 bis 2017 aus für das jahr 2017 ist eine erweiterung des freizeitparks geplant der jährliche zuwachs soll sich dadurch verdoppeln tobias misst die länge einer brennenden zylinderförmigen kerze um 9:00 uhr misst sie cm um 12:00 uhr hat sie noch eine länge von cm wie lang war die kerze um 8:00 uhr wie lang wird sie um 17:00 uhr sein die kerze wurde um 7:00 uhr angezündet welche länge hatte sie ursprünglich wann ist die kerze abgebrannt beachten sie dabei das brennverhalten kurz bevor die kerze abgebrannt ist das fahren mit der bahncard ist in vielen fällen preislich interessant die bahncard kostet einmal jährlich und ermäßigt jeden fahrpreis im fern verkehr um die bahncard kostet einmalig und halbiert jeden preis die bahncard kostet pro jahr 4090 strecke normalpreis stuttgart münchen köln hamburg frankfurt berlin tina fährt alle drei monate die strecke stuttgart münchen und zurück was können sie empfehlen noah fährt ebenso oft die strecke köln hamburg was raten sie ihm herr schmid fährt dreimal im monat die strecke frankfurt berlin suchen sie sich eigene strecken und recherchieren sie die preise dazu wann lohnt sich welche bahncard das mathematische modellieren läuft in stufen ab übersetzen der realsituation in ein mathematisches modell lösen ermitteln der mathematischen ergebnisse interpretieren der lösung in der realsituation bewerten des realen ergebnisses eine computerfirma erstellt ein angebot für einen wartungsvertrag der firmeninhaber hofft für 3000 den zuschlag zu bekommen die stundensätze betragen für einen techniker und für eine hilfskraft für materialkosten werden kalkuliert die fahrtkostenpauschale beträgt realsituation wie viel stunden dürfen techniker und hilfskraft höchstens arbeiten mathematisches modell materialkosten fahrtkosten techniker pro stunde hilfskraft pro stunde lösungsansatz über eine gleichung die variable bezeichnet die arbeitsstunden mathematische ergebnisse 3000 20,5 gerundet reale ergebnisse techniker und hilfskraft dürfen jeweils höchstens stunden arbeiten merke beispiel

geraden lösen durch modellieren k6 k5 k4 k3 k2 k1 familie schwan hat im urlaub digitale fotos aufgenommen und möchte diese nun auf papier ausdrucken lassen welchen rat würden sie geben eine telefongesellschaft bietet folgenden tarif monatliche grundgebühr 19,95 gespräche innerhalb deutschlands incl eine tarifänderung schlägt vor die grundgebühr entfallen zu lassen und stattdessen gebühren für gesprächsminuten zu berechnen machen sie einen vorschlag der für die telefongesellschaft keine finanziellen nachteile bringt gehen sie von einer durchschnittlichen täglichen gesprächs dauer von minuten aus wie muss sich der tarif pro minute ändern wenn die tägliche telefonnutzung höher liegt taxitarife taxifahren ist nicht billig außerdem gibt es unterschiedliche tagund nachttarife die tabelle ermöglicht eine übersicht über die tarife der stadt stuttgart stand 2015 für eine 15-km-fahrt nach uhr ergibt sich folgende berechnung grundtarif 2,40 arbeitstarif 1,70 25,50 zeittarif minuten wartezeit 6,00 summe 33,90 frau berg fährt am nachmittag zu ihrer freundin die km entfernt wohnt gegen mitternacht fährt sie wieder zurück auf der hinfahrt entstehen zehn minuten wartezeit auf der rückfahrt nur zwei minuten was zahlt frau berg insgesamt um wie viel prozent unterscheidet sich der preis der nachtfahrt von der fahrt am tage für die fahrt tagsüber vom flughafen zur hanns-martin-schleyer-halle bezahlt betty 36,90 für wartezeiten waren zu entrichten was kostet die fahrt nach uhr wenn nur die hälfte der wartezeit anfällt erstellen sie eine gleichung für eine fahrt zwischen uhr und uhr die kürzer als km ist vergessen sie die wartezeit nicht welches problem entsteht information

geraden linearee gleichungen mit zwei variablenariablen geraden linear gleichungen mit zwei k1 k2 k3 k4 k5 k6 k6 k5 k3 k4 k2 k1 aus einem cm langen draht lassen sich ohne rest gleichschenklige dreiecke biegen die maßzahlen der drei seitenlängen sollen natürliche zahlen sein nennen sie verschiedene möglichkeiten lineare gleichungen mit zwei variablen die gleichung enthält zwei vari ablen ihre lösungen sind zahlenpaare durch probieren erhält man die zahlenpaare lassen sich auch in einer wertetabelle darstellen die beiden werte hängen voneinander ab legt man für eine der variablen einen wert fest kann man daraus den zugehörigen wert der anderen variablen bestimmen dazu formt man die gleichung nach um und erhält alle lösungen können als punkte im koordinatensystem dargestellt werden zum zahlenpaar gehört der punkt alle punkte liegen auf einer geraden eine gleichung der form heißt lineare gleichung mit den zwei variablen und hierbei stehen und für gegebene zahlen lösungen dieser gleichung sind zahlenpaare welche die gleichung erfüllen die zugehörigen punkte im koordinatensystem liegen auf einer geraden wenn eine lineare gleichung die form hat sagt man dass sie in der hauptform vorliegt die differenz zweier zahlen beträgt gleichung lösungen wertetabelle merke bemerkung beispiel

geraden lineare gleichungen mit zwei variablen k6 k5 k4 k3 k2 1–6 k1 7–9 stellen sie eine gleichung auf und geben sie mindestens zwei mögliche lösun gen an der umfang eines parallelogramms beträgt cm ein gleichschenkliges dreieck wird mit seiner grundseite an eine gleichlange quadratseite angelegt der umfang der gesamten fläche beträgt cm der umfang zweier quadrate beträgt zusammen cm stellen sie eine gleichung mit zwei variablen auf und lösen sie das rätsel die summe zweier zahlen beträgt die summe aus einer zahl und dem dreifachen einer zweiten zahl beträgt die differenz aus dem dreifachen einer zahl und dem doppelten einer anderen zahl beträgt das 5-fache einer zahl vermehrt um die hälfte einer zweiten zahl ergibt geben sie drei lösungen für die gleichung an rechnen sie im kopf stellen sie die gleichung um in die form und zeichnen sie das schaubild ergänzen sie die zahlenpaare so dass sie lösung der gleichung sind zur zeichnerischen darstellung benötigen sie mindestens zwei zahlenpaare prüfen sie mit einem dritten zahlenpaar es gibt mehrere lösungen schüler werden in zweierund dreiergruppen eingeteilt dora muss im kino be zahlen sie bezahlt mit 10-€-scheinen und 2-€-stücken auf einer waage sollen mit 3-kgund 5-kggewichten kg zusammen gestellt werden stellen sie eine gleichung für die summe der kantenlängen auf und geben sie drei verschiedene lösungen an die kantensumme eines prismas mit einem gleich seitigen dreieck als grund fläche beträgt cm die summe aller kantenlängen einer quadratischen pyramide soll cm be tragen aus einem draht von länge soll das kantenmodell eines quaders mit quadratischer grundfläche hergestellt werden ordnen sie die texte den schaubildern zu die summe zweier positiver zahlen beträgt addiert man zwei zahlen erhält man werden zwei natürliche zahlen addiert so erhält man werden zwei ganze zahlen addiert so erhält man 1010 246246 810810 1010 246246 810810 1010 246246 810810 1010 1010 1010

geraden linearee gleichungssystemeeme geraden linear gleichungssyst k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 welche rechtecke mit ganzzahligen seitenlängen lassen sich aus einem cm langen draht biegen stellen sie die jeweils zusammengehörigen seitenlängen als punkte im schaubild dar überlegen sie sich nun andere rechtecke die doppelt so lang wie breit sind es entstehen wieder punkte gibt es ein rechteck welches beide bedingungen erfüllt lineare gleichungssysteme zwei lineare gleichungen mit zwei variablen bilden ein lineares gleichungssystem beim lösen eines gleichungssystems muss man zahlenpaare finden die beide gleichungen erfüllen das zahlenpaar ist lösung des line aren gleichungssystems im schaubild findet man die lösung als koordinaten des schnittpunkts der beiden zugehörigen ge raden ein lineares gleichungssystem besteht aus zwei gleichungen mit jeweils zwei variablen die koordinaten des schnittpunkts der geraden im schaubild erfüllen beide gleichungen und sind somit lösung dieses gleichungssystems in einem stall leben hasen und hühner es sind insgesamt tiere mit füßen wie viele hasen füße und hühner füße sind es jeweils anzahl der hasen anzahl der hühner gleichung für die anzahl der tiere gleichung für die anzahl der füße die beiden geraden schneiden sich im punkt im stall leben drei hasen und sechs hühner merke beispiel

geraden lineare gleichungssysteme k1 k2 k3 k4 k5 k6 die anzahl der lösungen eines linearen gleichungssystems kann man an der lage der zugehörigen geraden im koordinatensystem ablesen es gibt drei fälle fall fall fall das gleichungssystem hat genau eine lösung das gleichungssystem hat keine lösung das gleichungssystem hat unendlich viele lösungen durch umformen erhält man die gleichung der form 1’ 2’ 1’ 2’ 1’ 2’ die geraden schneiden sich in einem punkt die geraden verlaufen parallel zueinander sie haben keinen gemeinsamen punkt zu den zwei gleichungen gehört dieselbe gerade die lösung lautet es gibt keine lösung die koordinaten aller punkte der geraden erfüllen beide gleichungen ein lineares gleichungssystem mit zwei variablen hat entweder genau eine lösung keine lösung oder unendlich viele lösungen wenn man für und verschiedene zahlen einsetzt kann das gleichungssystem unterschiedlich viele lösungen besitzen fall für und ergibt sich die geraden schneiden sich im punkt es gibt genau eine lösung da die geraden verschiedene steigungen haben fall für und ergibt sich die geraden verlaufen parallel zueinander da sie die gleiche steigung besitzen es gibt keine lösung fall für und erhält man zu den gleichungen gehört dieselbe gerade es gibt unendlich viele lösungen merke beispiel

geraden lineare gleichungssysteme k6 k5 k4 k3 7–10 k2 k1 8–10 stellen sie das gleichungssystem zeichnerisch dar und geben sie die koordinaten des schnittpunkts der beiden geraden an setzen sie zur kontrolle die koordinaten der schnittpunkte in beide gleichungen ein und prüfen sie ob diese die gleichungen erfüllen stellen sie beide gleichungen in die form um und lösen sie das gleichungs system zeichnerisch lösen sie die aufgabe zeichnerisch die koordinaten des schnittpunkts haben jeweils eine nachkommaziffer zeichnen sie besonders sorgfältig überlegen sie gut wie sie die koordinatenachsen einteilen lösen sie zeichnerisch 0,02 0,02 in welchem quadranten liegt der schnittpunkt gelingt ihnen die antwort im kopf ohne zeichnung iv quadrant quadrant ii quadrant iii quadrant die drei geraden schneiden sich in drei punkten und bilden so ein dreieck abc lesen sie aus der zeichnung die koordinaten der drei eckpunkte des dreiecks ab luise fotografiert mit einer kleinbildkamera max mit der digitalkamera seines handys sie vergleichen die kosten für die abzüge kleinbildkamera digitalkamera film und entwicklung 3,00 cd bearbeitung 2,00 preis pro bild 0,05 preis pro bild 0,15 ermitteln sie die jeweiligen kosten bei einer anzahl von bzw abzügen stellen sie die beiden zusammenhänge in einem gemeinsamen koordinatensystem dar und bestimmen sie die anzahl der bilder bei der die kosten genau gleich sind markus ist mit seinen eltern im urlaub sie möchten fahrräder ausleihen und finden zwei angebote grundgebühr und pro tag pro tag was würden sie raten zur reparatur eines daches liegen zwei angebote vor gerüstbau je arbeitsstunde gerüstbau kostenlos je arbeitsstunde beide firmen veranschlagen arbeitstage bei einer grundgebühr von kann eine hebebühne für pro stunde ausgeliehen werden vergleichen sie die kosten mit einem zweiten verleiher der grund gebühr und je stunde verlangt

geraden lineare gleichungssysteme k6 k5 k4 k3 k2 11–14 k1 zeigen sie zeichnerisch wie viele lösungen das gleichungssystem hat bilden sie aus den vorgegebenen gleichungen jeweils zwei gleichungssysteme mit einer lösung mit keiner lösung und mit unendlich vielen lösungen zeichnen sie was muss man für einsetzen damit die beiden gleichungen ein gleichungssystem ohne lösung bilden eine lineare gleichung lautet bestimmen sie jeweils eine zweite gleichung damit für das entstehende gleichungs system die folgende aussage wahr ist es gibt keine lösung es gibt unendlich viele lösungen die lösung lautet formulieren sie und lösen sie mit einem partner weitere derartige aufgaben treffpunkte bewegungen lassen sich zeichnerisch in einem koordinatensystem darstellen im allgemeinen wird auf der x-achse die benötigte zeit und auf der y-achse der zurückgelegte weg abgetragen wenn man die bewegungen von zwei autos fahrrädern oder schiffen in ein koordinatensystem einträgt kann man ablesen wann und nach welchem weg sich beide treffen auto fährt mit km/h auto fährt minuten später los aber mit einer geschwindigkeit von km/h auto holt auto nach km und min ein vom rastplatz dürre buche startet um 5:30 uhr ein schwertransporter ein lkw folgt ihm von dort um 6:00 uhr der schwertransporter fährt mit km/h der lkw ist doppelt so schnell wo und nach welcher fahrzeit überholt der lkw den schwertransporter zeichnen sie ein koordinatensystem in ihr heft und bestimmen sie den treffpunkt der lkws zeichnerisch zeit in weg in km a-stadt c-hausen b-dorf km km auto auto min methode

geraden lösen durchch gleichsetzen geraden lösen dur gleichsetzen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 lösen sie das gleichungssystem zeichnerisch wie genau können sie die lösung ab lesen welche probleme bekommen sie bei der zeichnerischen lösung des gleichungssystems aus und lösen durch gleichsetzen die lösungen von gleichungssystemen lassen sich zeichnerisch nicht immer exakt bestimmen mit rechnerischen lösungsverfahren ist dies aber möglich ziel ist es aus zwei gleichungen mit zwei variablen eine gleichung mit einer variablen zu erzeugen 1’ gleichsetzen 2’ beide gleichungen werden nach auf gelöst die beiden terme der rechten seite werden gleichgesetzt man erhält eine gleichung mit einer variablen die sich lösen lässt durch einsetzen des wertes für kann man den wert für berechnen das gleichungssystem hat als lösung das zahlenpaar kurz gleichsetzungsverfahren man löst beide gleichungen des gleichungssystems nach derselben variablen auf durch gleichsetzen der terme erhält man eine gleichung mit einer variablen häufig bietet es sich an die beiden gleichungen nach demselben vielfachen einer variablen aufzulösen hier ist eine gleichung bereits nach aufgelöst 1’ 2’ gleichsetzen von und 2’ man kann in beide gleichungen einsetzen einsetzen von in liefert 4·7 die lösung lautet hier ist das auflösen beider gleichungen nach besonders vorteilhaft 1’ 2’ gleichsetzen von 1’ und 2’ einsetzen von in 1’ 4·5 die lösung lautet weil beim lösen dieses gleichungssystems terme gleichgesetzt werden spricht man vom gleichsetzungs verfahren merke bemerkung beispiel für die probe müssen beide gleichungen erfüllt sein

geraden lösen durch gleichsetzen k6 k5 k4 k3 k2 1–4 k1 lösen sie das gleichungssystem rechnerisch lösen sie nach einer variablen auf und rechnen sie wenn sie die gleichungen geschickt umformen gelingt ihnen eine schnelle lösung gleichungssysteme lassen sich auch mit balkenwaagen veranschaulichen wie viel kilogramm wiegt ein würfel lösen sie die gleichungssysteme im kopf erklären sie ihr vorgehen können sie sich auch das schaubild vor stellen beschreiben sie zunächst wie sie beim umformen vorgehen wollen um schnell zur lösung zu kommen die variablen in gleichungen müssen nicht immer und heißen hier müssen sie die gleichungen zuerst umformen erstellen sie gleichungssysteme finden sie zu den gleichungen jeweils eine zweite gleichung sodass das gleichungssystem mit dem gleichsetzungsverfahren vorteilhaft gelöst werden kann geben sie die gleichungssysteme ihrer nachbarin oder ihrem nachbarn zum lösen ergänzen sie durch eine weitere gleichung zu einem gleichungssystem mit der lösung und vergleichen sie ihre gleichungen das schaubild hilft ihnen auch beim finden verschiedener lösungen bestimmen sie die koordinaten des schnittpunkts der beiden geraden auf dem rand durch rechnung exakt zeichnen sie und vergleichen sie ihre rechnerische lösung mit dem schaubild zu aufgabe

geraden lösen durch gleichsetzen k6 k5 k4 k3 k2 11–14 k1 wie viele lösungen hat das gleichungssystem erklären sie die anzahl der lösungen mithilfe eines schaubildes was fällt ihnen bei der rechnung auf ergänzen sie durch eine zweite gleichung zu einem gleichungs system das keine lösung hat das unendlich viele lösungen hat warum gibt es keine gleichung sodass das gleichungssytem genau zwei lösungen hat lösen sie das gleichungssystem wenn sie bei einem gleichungssystem beide gleichungen nach auflösen können sie die gleichungen als geradengleichungen auffassen erklären sie den zusammenhang zwischen grafischer und rechnerischer lösung von linearen gleichungssystemen lösen durch einsetzen bei manchen gleichungssystemen ist ein weiteres verfahren noch vorteilhafter überlegen sie zunächst selbst wie sie vorgehen würden um aus zwei gleichungen mit zwei variablen eine gleichung mit einer variablen zu erhalten kann man auch in oder in also die eine gleichung in die andere gleichung einsetzen einsetzen von in einsetzen von in die lösung ist weil man das gleichungssystem dadurch löst dass man in eine gleichung einsetzt nennt man das verfahren einsetzungsverfahren lösen sie mit dem einsetzungsverfahren lösen sie mit dem einsetzungsverfahren und mit dem gleichsetzungsverfahren und vergleichen sie beschreiben sie die unterschiede und die gemeinsamkeiten methode

geraden lösen durchch addierenen geraden lösen dur addier k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 addieren sie die beiden rechten terme und die beiden linken terme der gleichungen können sie das gleichungssystem jetzt lösen benutzen sie äquivalenzumformungen stellen sie sich vor dass sie die beiden linken waagschalen und die beiden rechten waagschalen jeweils auf einer waagschale zusammen legen die grünen kugeln können sie auf beiden seiten entfernen ohne dass die waage sich bewegt vergleichen sie ihren rechnerischen lösungsvorgang mit diesem vorgehen lösen durch addieren wenn in einem gleichungssystem in einer gleichung eine variable den koeffizienten und in der zweiten gleichung den koeffizienten hat kann man das gleichungssystem lösen nachdem man die beiden gleichungen addiert hat durch addieren wird aus zwei gleichungen mit zwei variablen eine gleichung mit einer variablen diese gleichung hat die lösung durch einsetzen in eine der beiden ausgangsgleichungen erhält man das gleichungssystem hat als lösung das zahlenpaar kurz in additionsverfahren man formt beide gleichungen so um dass beim addieren beider gleichungen eine variable wegfällt so entsteht eine gleichung mit einer variablen durch umformen soll beim addieren die variable wegfallen beim vervielfachen beider gleichungen sucht man daher ein gemeinsames vielfaches der koeffizienten von 1’ gleichungen 2’ addieren einsetzen in die lösung ist bei manchen gleichungssystemen ist es einfacher zu subtrahieren dieses vor gehen wird auch als subtraktionsverfahren bezeichnet hier fällt die variable weg und man bekommt eine gleichung für gleichungen subtrahieren einsetzen in die lösung ist merke beispiel

geraden lösen durch addieren k6 k5 k4 k3 k2 1–4 6–9 k1 lösen sie das gleichungssystem bei diesen gleichungssystemen genügt es eine der beiden gleichungen geschickt zu multiplizieren vervielfachen sie beide gleichungen geschickt und lösen sie das gleichungs system wie schwer ist ein würfel an der kasse im zoo zahlen zwei erwachsene und zwei kinder zusammen ein erwachsener und drei kinder müssen bezahlen nun kommen drei erwachsene mit vier kindern berechnen sie die kosten wie viel eintritt müsste ihre gesamte fami lie bezahlen ordnen sie vor dem addieren |· überprüfen sie ob sich die beiden geraden schneiden indem sie das gleichungssystem mit dem additionsverfahren lösen geben sie gegebenenfalls auch den schnittpunkt an der umfang eines gleichschenkligen dreiecks beträgt cm die länge eines schenkels ist viermal so groß wie die grundseite wie lang sind die seiten stellen sie dazu ein gleichungssystem auf und lösen sie es ein gleichschenkliges dreieck hat den umfang dabei ist das verhältnis eines schenkels zur grundseite berechnen sie die länge der seiten stellen sie dazu ein gleichungssystem auf und lösen sie es cm cm cm 3,25 cm cm 0,25 der umfang einer rechteckigen fläche ist verkürzt man zwei gegenüberliegende seiten um je und verlängert die beiden anderen seiten um je so verkleinert sich der flächeninhalt um gesucht sind die seiten der ursprünglichen fläche fertigen sie eine skizze an und beschriften sie sie gemäß der aufgabenstellung stellen sie ein gleichungssystem auf und lösen sie es

geraden lösen durch addieren k6 k5 k4 k3 k2 10–15 k1 11–15 effektivität der lösungsverfahren zum lösen von gleichungssystemen gibt es neben dem additionsverfahren das gleichsetzungsverfahren und das einsetzungsverfahren man wählt jeweils das verfahren bei dem es die wenigsten rechenschritte gibt das gleichsetzungsverfahren ist häufig schneller wenn die gleichungen nach derselben variablen aufgelöst sind ist nur eine gleichung nach einer variablen aufgelöst und enthält die zweite gleichung diese variable oder ein vielfaches der variablen dann ist das lösen mithilfe des einsetzungsverfahrens effektiver vergleich von gleichsetzungsverfahren und einsetzungsverfahren gleichsetzungsverfahren ist nach aufgelöst lässt sich ebenfalls nach umstellen 2' gleichsetzen von und 2' einsetzungsverfahren einsetzen von in 2' einsetzen von in liefert also die lösung ist mit dem einsetzungsverfahren löst man das gleichungssystem in diesem fall viel schneller information lösen sie das gleichungssystem welches verfahren löst am schnellsten lösen sie das gleichungssystem welches verfahren wählen sie begründen sie lösen sie das gleichungssystem begründen sie warum sie ein bestimmtes verfahren bevorzugen lösen sie das gleichungssystem begründen sie die wahl ihres verfahrens lösen sie die linearen gleichungssysteme was fällt ihnen auf überprüfen sie ihre ergebnisse durch eine zeichnerische lösung kann man diese besonderheit schon am gleichungssystem erkennen das additionsverfahren beschreiben sie die vorteile des addi tionsverfahrens geben sie drei verschiedene lineare gleichungs systeme an die man vorteilhaft mit dem additionsverfahren lösen kann finden sie gleichungssysteme mit der lösung und die geschickt mit dem additionsverfahren gelöst werden können

geraden lösen durchch modellierenen ii geraden lösen dur modellier ii k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 beim kauf eines druckers muss man verschiedene dinge beachten neben dem kaufpreis spielt vor allem der preis für die ausdrucke eine rolle vergleichen sie die preise von dem tintenstrahldrucker mit dem laserdrucker von welchen überlegungen würden sie ihre kaufentscheidung abhängig machen gerät laserdrucker g35 tintenstrahldrucker jetx gerätepreis druckerkatusche -patrone reicht für ca 3500 ausdrucke reicht für ca ausdrucke lösen durch modellieren ii mithilfe von linearen gleichungssystemen lassen sich preise oder angebote vergleichen und entscheidungen vorbereiten bevor man die mathematik zu hilfe nehmen kann muss man die situation verstehen strukturieren und häufig auch vereinfachen die mathematische lösung muss dann noch in der alltagssituation auf ein sinnvolles ergeb nis überprüft werden diesen kreislauf nennt man mathematisches modellieren zur bewertung des ergebnisses muss martinas vater nur noch überschlagen wie viel kilometer er wohl fahren wird reale welt mathematik realsituation martinas vater braucht einen leihwagen für einen tag er muss sich zwischen angebot und angebot entscheiden angebot angebot leihgebühr leihgebühr kosten pro gefahrenem kilometer cent cent vollkaskoversicherung inklusive mathematisches modell die kosten lassen sich jeweils mit einer geradengleichung darstellen die variable wird für die anzahl der kilo meter und die variable wird für die kosten in euro verwendet angebot 0,35 angebot 0,45 man erhält ein lineares gleichungssystem mit zwei variablen reale ergebnisse bei einer fahrtstrecke von km sind die kosten gleich aus einem schaubild lässt sich auch ablesen dass es ab km billiger ist das angebot zu nehmen bei weniger als km dagegen ist das angebot günstiger mathematische ergebnisse als rechnerische lösung des linearen gleichungssystems erhält man und ein schaubild eignet sich gut für die entscheidung die beiden geraden schneiden sich im punkt übersetzen bewerten lösen interpretieren

geraden lösen durch modellieren ii k6 1–3 k5 k4 k3 1–3 k2 k1 1–3 das mathematische modellieren läuft in stufen ab übersetzen der realsituation in ein mathematisches modell lösen ermitteln der mathematischen ergebnisse interpretieren der lösung in der realsituation bewerten des realen ergebnisses familie baumann hat zwei angebote für die warmwasseraufbereitung in ihrem haus die elektroanlage kostet in der anschaffung 2000 und jahresenergiekosten die solaranlage kostet in der anschaffung 4000 und energiekosten jährlich übersetzen als mathematisches modell zur darstellung der gesamtkosten beider anlagen können die angebote mit geraden veranschaulicht und verglichen werden sei die anzahl der jahre die gesamtkosten in euro elektroanlage 2000 solaranlage 4000 lösen die beiden geraden schneiden sich nach jahren die gesamtkosten betragen dann 6500 interpretieren das schaubild zeigt dass in den ersten neun jahren die gesamtkosten bei der elektroanlage geringer sind ab dem elften jahr sind die gesamtkosten bei der solaranlage günstiger bewerten zur entscheidung muss die familie nun überlegen ob sich die investition lohnt dazu müssen noch weitere aspekte wie die kosten der wartung die gesamtnutzungs dauer oder die beschaffung von öffentlichen fördermitteln berücksichtigt werden merke beispiel simone will sich einen neuen drucker anschaffen sie prüft zwei angebote der erste drucker kostet nur die druckerpatrone kostet der zweite drucker kostet die druckerpatrone jedoch nur bei beiden modellen reicht eine patrone für etwa 1000 ausdrucke was muss simone beim kauf berücksichtigen wie soll sie sich entscheiden wie müsste der druckerpatronenpreis beim ersten drucker gesenkt werden um auch bei ausdrucken noch günstiger zu sein ein sportverein plant ein konzert der eintritt kostet um das kostenrisiko gering zu halten macht die band zwei angebote entweder und zusätzlich pro konzertbesucher oder und 0,40 pro besucher welches angebot würden sie wählen was müssen sie überlegen der verein macht ein drittes angebot und ab dem besucher zusätzlich pro besucher für die band das schaubild zeigt die kosten für unterschiedlichen transportformen zum transport von gütern welche geraden gehören zu schiff zug und lkw beschreiben sie die unterschiede wie würden sie güter befördern geben sie empfehlungen für einige beispiele stellen sie für die geraden die geradengleichungen auf geben sie die unterschiede der kosten für eine entfernung von 1200 km an entfernung in km kosten pro tonne in 1000 1500 schiff

geraden zusammenfassung zusammenfassung proportionale funktion eine proportionale funktion hat als schaubild eine gerade durch den ursprung des koordinatensystems die gerade hat die gleichung der faktor gibt die steigung der geraden an funktion eine funktion ist eine zuordnung bei der zu jeder größe eines ersten bereichs ein gabegröße genau eine größe eines zweiten bereichs ausgabegröße gehört funktionsvorschrift das schaubild einer funktion lässt sich über eine werte tabelle die aus wertepaaren besteht oder einer gleichung beschreiben wertetabelle gleichung graph lineare funktion das schaubild einer linearen funktion ist eine gerade die gerade wird eindeutig durch die steigung und den y-achsenabschnitt bestimmt die hauptform der geradengleichung ist karteikarten 2bn3x6 ein punkt und die steigung sind genug eine gerade ist eindeutig festgelegt wenn die steigung der geraden sowie ein punkt der auf der geraden liegt angegeben sind beispiel eine gerade ist festgelegt durch den punkt und die steigung rechnerische lösung wir setzen die koordinaten des punkts sowie den wert für in die hauptform der geradengleichung ein und berechnen dann setzen wir nur die werte für und für in die hauptform ein und erhalten die gesuchte geradengleichung zeichnerische lösung wir zeichnen den punkt und von dort aus das steigungsdreieck die gezeichnete gerade liefert den y-achsenabschnitt und die geradengleichung kann angegeben werden

geraden zusammenfassung zusammenfassung modellieren beim modellieren wird eine problem situation aus der realen welt in ein mathematisches modell übersetzt mithilfe der lösung werden mathematische ergebnisse formuliert die wiederum interpretiert werden können und zu realen ergebnissen führen abschließend erfolgt eine bewertung des ergebnisses in der realen situation reale situation mathematisches modell interpretieren mathematische ergebnisse reale ergebnisse bewerten lösen übersetzen lineares gleichungssystem zwei lineare gleichungen mit jeweils zwei variablen bilden zusammen ein lineares gleichungssystem jedes zahlenpaar das beide gleichungen erfüllt ist eine lösung des linearen gleichungs systems die lösung besteht aus dem zahlenpaar lineare gleichungen mit variablen eine gleichung der form heißt lineare gleichung mit den zwei variablen und hierbei stehen und für gegebene zahlen die lösungen sind zahlenpaare welche die gleichung erfüllen die zugehörigen punkte im koordinatensystem liegen auf einer geraden beispiel zwei punkte sind genug zwei vorgebene punkte einer geraden genügen um die steigung und damit auch die zugehörige gleichung zu bestimmen die gerade geht durch die punkte und für die steigung gilt damit jetzt setzt man den wert für sowie die koordinaten eines punkts in die hauptform ein berechnt wie oben beschrieben und erhält die gesuchte gleichung

geraden zusammenfassung zusammenfassung grafisches lösungsverfahren lineare gleichungen lassen sich als geraden in einem koordinatensystem darstellen die koordinaten des schnittpunkts der beiden geraden erfüllen beide gleichungen und sind somit die lösung des gleichungssystems ein gleichungssystem hat genau eine lösung wenn sich die zugehörigen geraden in einem punkt schneiden keine lösung wenn die geraden parallel verlaufen unendlich viele lösungen wenn zu den zwei gleichungen identische geraden gehören additionsverfahren man formt beide gleichungen so um dass beim addieren oder subtrahieren beider gleichungen eine variable wegfällt so entsteht eine gleichung mit nur einer variablen einsetzen in oder ergibt die lösung lautet einsetzungs verfahren um aus zwei gleichungen mit zwei variablen eine gleichung mit einer variablen zu erhalten kann man auch die eine in die andere gleichung einsetzen die lösung die man so für die eine variable erhält setzt man in eine der ursprungsgleichungen ein um die lösung für die zweite variable zu erhalten in einsetzen in oder ergibt die lösung lautet gleichsetzungs verfahren man löst beide gleichungen nach der selben variablen auf durch gleichsetzen der terme erhält man eine gleichung mit einer variablen man löst diese gleichung und setzt die lösung in eine der gleichungen ein um die lösung für die zweite variable zu bekommen einsetzen in ergibt die lösung lautet

geraden prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite erstellen sie eine wertetabelle mit den angegebenen x-werten für die gleichung und zeichnen sie die gerade ali hat die wertetabelle berechnet leider ist die gleichung verloren gegangen können sie ihm helfen hat ali alle werte richtig berechnet ergänzen sie die fehlenden werte wie heißt die passende gleichung welche der gleichungen passt zu der wertetabelle ergänzen sie anschließend 11,5 in die beiden quaderförmigen behälter fließt in gleicher zeit gleich viel wasser die höhe beider behälter ist gleich welche gerade gehört zu welchem gefäß bestimmen sie die jeweilige geradengleichung machen sie eine aussage über die grundflächen der beiden quader prüfungsvorbereitung jeder der abgebildeten behälter wird gleichmäßig mit wasser gefüllt die diagramme geben die höhe des wasserstands in dm in abhängigkeit von der öffnungszeit der wasserleitungen in min an bestimmen sie welches diagramm zu welchem der behälter gehört zeichnen sie ein diagramm das die füllhöhe des behälters in abhängigkeit von der füllzeit beschreibt gegeben sind die drei geraden und mit den folgenden gleichungen zeichnen sie die drei geraden in ein rechtwinkliges koordinatensystem ein platzbedarf:​–​7​≤​x​≤​7;​ –​5​≤​y​≤​5 zeichnen sie die gerade so ein dass die vier geraden ein parallelogramm einschließen wie heißt die gleichung der geraden wie könnte die geradengleichung lauten wenn sie ein trapez erzeugen wollten gegeben sind die drei geraden zeichnen sie die drei geraden in ein koordinatensystem und schneiden sich im punkt und schneiden sich im punkt berechnen sie die länge der strecke bc

geraden prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite begründen sie warum die abgebildeten geraden nicht die gerade und auch nicht die gerade darstellen berechnen sie die geradengleichung mit überprüfen sie anschließend ihre rechnung durch eine zeichnung vier geraden begrenzen ein parallelogramm abcd zeichnen sie das parallelogramm und be rechnen sie die gleichungen der vier geraden verändern sie die punkte und so dass sie ein quadrat erhalten wie lauten dann die neuen gleichungen a’ b’ und c’ die gerade verläuft durch die punkte und zeichnen sie in ein rechtwinkliges koordinatensystem ein berechnen sie die gleichung von wie groß ist der winkel zwischen der geraden und der x-achse berechnen sie die gerade steht senkrecht auf und geht durch den punkt zeichnen sie in das koordinatensystem ein wie lautet die gleichung von welche behauptung stimmt begründen sie eine gerade mit und hat die gleichung und bilden die gerade mit der gleichung die gerade die durch die punkte und bestimmt ist hat die steigung für eine parallele zur y-achse durch den punkt kann man keine geradengleichung bestimmen die beiden abgebildeten geraden und schneiden sich im punkt übertragen sie die geraden und in ihr heft zeichnen sie die x-achse und die y-achse so ein dass der schnittpunkt ist bestimmen sie die steigungen der beiden geraden und geben sie die gleichungen der beiden geraden an zeichnen sie eine weitere gerade ein die nicht durch den ii quadranten im koordinatensystem geht geben sie die gleichung der geraden an

geraden prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite im gitternetz sind zwei geraden und dargestellt zeichnen sie ein koordinatensystem mit xachse und y-achse so ein dass die gerade die gleichung hat ermitteln sie die gleichung der geraden eine gerade mit der gleichung bildet im rechtwinkligen koordinatensystem zusammen mit den koordinatenachsen ein dreieck zeichnen sie die gerade berechnen sie den umfang und die innenwinkel des dreiecks die geraden und begrenzen das dreieck abc mit und bestimmen sie die gleichungen der drei geraden berechnen sie den flächeninhalt des dreiecks abc gegeben ist eine gerade durch die gleichung zeichnen sie die gerade in ein rechtwinkliges koordinatensystem zeichnen sie eine auf senkrecht stehende gerade ein die denselben y-achsenabschnitt hat wie und geben sie die gleichung von an zeichnen sie die gerade ein die parallel zur x-achse ist und durch den punkt geht welche gleichung hat die beiden geraden und sind gegeben zeichnen sie die geraden in ein koordinatensystem und beschriften sie richtig geben sie die gleichung einer geraden an die zu parallel verläuft die gerade verläuft senkrecht zu und außerdem durch den punkt berechnen sie die gleichung von überprüfen sie rechnerisch ob der punkt auf der geraden liegt die gerade hat die steigung und geht durch den punkt die gerade geht durch den punkt sowie den punkt zeichnen sie die beiden geraden in ein rechtwinkliges koordinatensystem bestimmen sie die gleichungen von und durch rechnung wie heißt die gleichung der geraden die parallel zur y-achse verläuft und durch den punkt geht die geraden und schneiden sich im punkt der punkt liegt auf der geraden die gerade verläuft parallel zur y-achse die gerade verläuft parallel zur x-achse zeichnen sie die geraden und in ein rechtwinkliges koordinatensystem berechnen sie die gleichung der geraden bestimmen sie die gleichungen der geraden und berechnen sie den winkel den die gerade mit einschließt

geraden prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite die punkte und und ihre verbindungsgeraden begrenzen ein viereck geben sie die gleichungen der vier geraden an wie nennt man dieses viereck geben sie die gleichung der symmetrieachse an ein ausschnitt aus dem koordinatensystem zeigt folgendes bild bestimmen sie die steigungen von und wie heißen die geradengleichungen von und wenn der abgebildete schnittpunkt der beiden geraden die koordinaten hat gegeben sind die geraden und berechnen sie die koordinaten des schnittpunkts der geraden und wo schneidet die gerade die x-achse gibt es eine mehrere oder keine gleichung die zu der abgebildeten geraden passt begründen sie gegeben sind die geraden und 3,25 zeichnen sie die drei geraden in ein koordinatensystem ein berechnen sie die koordinaten der schnittpunkte der drei geraden lösen sie das lineare gleichungssystem 19,5 nadine behauptet die lösung des linearen gleichungssystems sei und machen sie die probe berechnen sie das gleichungssystem lösen sie das folgende gleichungssystem zeichnerisch und rechnerisch

geraden prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite ein verein plant eine veranstaltung mit livemusik die ausgaben für die hallenmiete werbung und dekoration betragen die musiker verlangen und zusätzlich für jeden besucher der verein kalkuliert mit einem eintrittspreis von stellen sie die ausgaben und die einnahmen des vereins in einem koordinatensystem zeichnerisch dar wie viele personen sollten mindestens eintritt zahlen damit der verein keinen verlust macht wie viel prozent der einnahmen erhalten die musiker insgesamt wenn personen zu der veranstaltung kommen zwei zahlen sind gesucht addiert man die beiden zahlen erhält man multipliziert man die erste zahl mit und subtrahiert dann erhält man das zweifache der zweiten zahl frau blum bestellt hosen und pullis insgesamt sind es teile eine hose kostet 39,90 und ein pulli kostet 29,90 die gesamtkosten sind 299,10 wie viele hosen und pullis hat frau blum bestellt emma hat im drogeriemarkt eine duschcreme und einen mascara für 4,60 eingekauft beim letzten einkauf hatte sie für duschcremes und mascaras der gleichen sorten 10,35 bezahlt wie viel kosten eine duschcreme und ein mascara herr mayer hebt ab in 10-euro-scheinen und in 20-euro-scheinen zusammen sind es scheine wie viele scheine hat herr mayer dann von jeder art für ein rechteckiges grundstück müssen zaun gekauft werden eine seite des grundstücks ist kürzer als die andere seite wie lang sind die grundstücksseiten stellen sie zu der abbildung ein lineares gleichungssystem auf –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 gegeben ist das lineare gleichungssystem mit den gleichungen berechnen sie das gleichungssystem überprüfen sie ihre lösung zeichnerisch verändern sie die gleichung so dass es keine lösung gibt

geraden anwenden im beruf k6 k5 k4 k3 k2 1–3 k1 anwenden im beruf die feuerwehr nutzt verschiedene rohranschlüsse um brände zu löschen bezeichnung wasserdurchflussmenge bm-strahlrohr ø/min cm-strahlrohr ø/min dm-strahlrohr ø/min beim anschluss eines cm-rohrs reicht der tankinhalt für minuten wie lange reicht der tankinhalt bei einem dm-rohr der schall breitet sich in verschiedenen stoffen unterschiedlich schnell aus beschreiben sie die abhängigkeit von zeit und weg jeweils in einer gleichung in luft pro sekunde in wasser å450 pro sekunde in stahl 5050 pro sekunde eine museumsführung kostet 3,50 pro person als gruppe zahlt man ab wie vielen personen lohnt sich die gruppenkarte stellen sie die kosten in einem geeigneten koordinatensystem dar als hannes krank war maß er alle drei stunden seine temperatur und notierte die werte zeichnen sie die fieberkurve geben sie die daten der abgebildeten werte tabelle in das tabellenkalkulationsprogramm ein uhrzeit 6:00 9:00 12:00 15:00 temp in 37,8 38,2 38,6 39,2 uhrzeit 18:00 21:00 24:00 temp in 39,6 39,0 38,5 markieren sie die daten und wählen sie eine diagrammart aus liniendiagramm und punktdiagramm sind gut geeignet ein leeres becken ist breit lang und hoch es wird mit wasser gefüllt in jeder minute fließen liter in das becken zeichnen sie den graphen und geben sie die geradengleichung an wie hoch steht das wasser nach einer stunde wann ist das becken bis cm unter dem rand gefüllt abschreibung von gegenständen maschinen verlieren durch abnutzung jedes jahr an wert eine maschine kann auch wirtschaftlich altern wenn effektivere und modernere maschinen entwickelt werden diesen wertverlust innerhalb eines bestimmten zeitraums nennt man abschreibung es gibt verschiedene abschreibungsmodelle darunter die lineare abschreibung bei der linearen abschreibung ist der abschreibungsbetrag konstant jedes jahr wird der gleiche betrag an wertverlust eingerechnet zum beispiel schreibt man einen gegenstand von 1800 über jahre mit einem abschreibungsbetrag von jährlich ab information

geraden anwenden im beruf k6 k5 k4 k3 k2 k1 eine maschine wurde für angeschafft der wert dieser maschine sinkt jedes jahr um des anschaffungswerts alter der maschine wert der maschine jahre jahr jahre vervollständigen sie die tabelle stellen sie den zusammenhang zwischen dem alter der maschine und ihrem wert in einem koordinatensystem dar x-achse jahre y-achse euro eine herz-lungen-maschine wird für 000,00 gekauft sie soll linear über jahre vollständig abgeschrieben werden der erste abschreibungsbetrag fällt im jahr des kaufs an stellen sie die gleichung der linearen abschreibung auf berechnen sie den wert den die herz-lungen-maschine im vierten jahr hat wie viel euro ist die maschine im fünften jahr noch wert versorgungstarife strom gas und wasser werden von energieversorgungsunternehmen zu unterschiedlichsten tarifen angeboten der rechnungsbetrag setzt sich aus der grundgebühr und den kosten für den verbrauch zusammen rechnungsbetrag grundgebühr verbrauch in kwh preis pro kwh mit einem tabellenkalkulationsprogramm können sie sich einen tarifrechner erstellen f3 =b3+b6*b4 strom-tarifrechner grundgebühr 65,00 rechnungsbetrag 830,00 preis pro kwh 0,17 verbrauch in kwh 4500 andererseits wird auch strom von privaten solaranlagen in das öffentliche stromnetz eingespeist und entsprechend pro kwh vergütet information der stromtarif eines energieversorgungsunternehmens hat einen monatlichen grundpreis von 9,50 und einen arbeitspreis von 0,26 €/kwh bestimmen sie die gleichung für die jährlichen gesamtkosten berechnen sie den rechnungsbetrag bei einem jährlichen energieverbrauch von 2000 kwh ein anderer stromanbieter verzichtet auf den grundpreis dafür beträgt der arbeitspreis 0,30 pro kwh unter welchen umständen lohnt es sich den anbieter zu wechseln wann lohnt es sich nicht die anschaffungskosten einer solarstromanlage belaufen sich auf pro monat werden ungefähr kwh ins öffentliche stromnetz eingespeist und mit 57,4 ct pro kwh vergütet nach welcher zeit hat sich die anschaffung der solarstromanlage bezahlt gemacht

geraden anwenden im beruf k6 k5 k4 k3 k2 k1 das schaubild zeigt den wasserverbrauch und die zugehörigen kosten von familie schneider innerhalb eines jahrs was beschreiben die punkte und wovon hängt der y-achsenabschnitt wovon die steigung der geraden ab was kostet wasser abwasser wird gesondert berechnet pro kubikmeter wasser fallen 1,60 an berechnen sie die gesamtkosten von familie schneider rechnen sie auch mit den gebührensätzen in ihrem wohnort einem einfamilienhaushalt stehen angebote der energieversorgungsunternehmen stromland und energiekauf zur auswahl jährlicher verbrauch preisbeispiele stromland energiekauf kwh kwh 1000 kwh 1500 kwh 2000 kwh 2500 kwh 3000 kwh 3500 kwh 1060 4000 kwh 1030 1200 4500 kwh 1140 1340 5000 kwh 1250 1480 tragen sie die wertepaare der beiden anbieter in ein geeignetes koordinatensystem ein wie hoch ist die grundgebühr für jahr wie hoch ist der monatlich zu zahlende betrag stellen sie die geradengleichungen beider anbieter für die jährlichen gesamtkosten auf die familie bekommt den strom von energiekauf ab welchem jährlichen verbrauch lohnt sich der wechsel zu stromland break-even-point bep vergleicht man die kosten ausgaben und die erlöse einnahmen einer produktion so kann man festellen ob die produktion gewinnbringend ist der break-even-point ist der punkt an dem die erlöse die kosten übersteigen man nennt ihn auch gewinnschwelle übersteigen die kosten auf dauer die erlöse führt dies zur insolvenz des unternehmens tausend stückzahl kosten erlöse break-even-point verlustzone gewinnzone eine kostenfunktion setzt sich aus zwei teilen zusammen den fixkosten die immer entstehen egal wie viel produziert wird und den variablen kosten die von der produktionsmenge abhängen eine typische geradengleichung für die kostenfunktion hat daher die form mit​ a​>​0​ variable​kosten​pro​stück​und​ b​≥​0​ fixkosten information

geraden anwenden im beruf k6 k5 12–16 k4 k3 12–16 k2 k1 zur herstellung von maschinenteilen werden fixkosten von berechnet pro teil kommen 1,50 variable kosten dazu beim verkauf bringt jedes teil 3,50 stellen sie den sachverhalt in einem schaubild dar lesen sie aus ihrem schaubild ab bei welcher stückzahl liegt die gewinnschwelle wie groß ist der verlust bei verkauften teilen wie groß ist der gewinn bei verkauften teilen um wie viel euro müsste man die fixkosten senken um bei verkauften teilen die gewinnschwelle zu erreichen wie ändert sich der break-even-point wenn die fixkosten betragen lösen sie die aufgaben rechnerisch ein unternehmen holt zwei angebote von verschiedenen herstellern für mikrochips ein hersteller versandkostenanteil pro lieferung für jeweils chips hersteller mindestbestellmenge chips keine versandkosten chips kosten je weitere mehr stellen sie den sachverhalt grafisch in einem koordinatensystem dar bei welchem hersteller sollte das unternehmen chips bestellen für welche bestellmenge ist welcher hersteller am günstigsten ergänzen sie die tabelle es kann mehrere lösungen geben bep kosten erlöse steigt gleich fällt gleich fallen steigen steigen fallen gleich gleich steigt steigen fällt fallen diskutieren sie ihre lösungen manchmal können die vergleiche wie steigt weniger als steigt mehr als fällt weniger als fällt mehr als usw helfen das zusammenspiel von bep kosten und erlösen zu erklären eine eisdiele hat zwei möglichkeiten eis zu produzieren zum einen kann das eis in handarbeit hergestellt werden dabei betragen die fixkosten und die variablen kosten pro kilogramm eis zum anderen ist die maschinelle herstellung möglich hier liegen die fixkosten bei und die variablen kosten bei 1,20 pro kilogramm eis zeichnen sie die schaubilder der beiden kostenfunktionen in ein koordinatensystem x-achse eis in kilogramm y-achse kosten in euro geben sie die produktionsmengen für jedes herstellungsverfahren an für das das jeweilige verfahren günstiger als das andere verfahren ist eine kundenumfrage hat ergeben dass für das maschinell produzierte eis ein preis von cent pro kugel zu für das handgefertigte ein preis von pro kugel erzielt werden kann für welche produktionsmengen würden sie nun welches verfahren empfehlen das unternehmen radfix baut fahrräder es entstehen fixkosten in höhe von 4000 die variablen kosten pro fahrrad betragen jedes fahrrad wird für verkauft stellen sie die kostenund erlös situation des unternehmens radfix grafisch dar bestimmen sie die verkaufsmenge ab der der hersteller gewinn macht zu welchem preis muss der hersteller die fahrräder verkaufen damit der break-evenpoint bei fahrrädern liegt

geraden anwenden im beruf k6 k5 k4 k3 k2 17–19 k1 spannung strom und widerstand ohm’sches gesetz mit einem strom-spannungs-diagramm eines ohmschen widerstands stellt man in der elektrotechnik den zusammenhang zwischen der stromstärke und der anliegenden spannung grafisch dar der ohmsche widerstand lässt sich auch mit dem ohm’schen gesetz berechnen größe einheit stromstärke ampère spannung volt widerstand ohm in in steigungsdreieck steigung widerstand sicherheitshinweis die arbeit an elektrischen schaltkreisen kann gefährlich sein lassen sie aufgebaute schalt ungen von einer fachkraft überprüfen bevor sie die versorgungsspannung anschließen information der schaltplan zeigt einen stromkreis mit einem widerstand zu dem folgendes messprotokoll aufgenommen wurde in in 0,02 0,04 0,06 0,08 übertragen sie die messwerte in ein koordinatensystem entscheiden sie ob eine lineare oder eine proportionale funktion vorliegt in drei stromkreisen wurden die stromstärke und die spannung gemessen stromkreis stromkreis in stromkreis in bestimmen sie die steigung der geraden was bedeutet die steigung der geraden physikalisch wie hoch ist jeweils der widerstand im stromkreis an einem elektrischen widerstand wurden messungen durchgeführt danach wurde folgendes strom-spannungs-diagramm gezeichnet in in bestimmen sie den wert des widerstands für drei punkte auf der geraden was fällt ihnen auf bestimmen sie die gleichung für die stromstärke berechnen sie jeweils die stromstärke bei einer spannung von bzw zeichnen sie eine gerade für den widerstand in ein koordinatensystem in ihr heft liegen die punkte 0,175 0,225 0,25 0,275 auf der geraden von teilaufgabe

geraden anwenden im beruf k6 k5 k4 k3 k2 k1 körpergewicht des menschen ein großer teil der bevölkerung leidet an übergewicht nicht zuletzt deshalb wurden verschiedene berechnungs modelle entwickelt mithilfe derer eine aussage über das körpergewicht im zusammenhang mit der körpergröße gemacht werden kann der broca-index gibt an wie das normalgewicht berechnet wird man benutzt die faustformel normalgewicht in kg körpergröße in cm das idealgewicht errechnet sich so normalgewicht minus prozent die lineare funktion mit also ermöglicht genauere bestimmungen der body-mass-index bmi ist ein maß für die körperform man bestimmt dazu das verhältnis von körpergewicht in kg zum quadrat der körpergröße in beispiel der bmi bei einem körpergewicht von kg und einer körpergröße von 1,70 berechnet sich so bmi kg 1,70 1,70 22,49 kg information einteilung von überunterund normalgewicht bei erwachsenen gewicht bmi in kg untergewicht 18,5 normalgewicht 18,5 24,9 übergewicht broca-index normalgewicht in kg körpergröße in cm erstellen sie für die zugehörige gleichung ein geeignetes schaubild körpergröße und gewicht bei der berechnung des idealgewichts wie schwer sollte ein 1,90 großer mann mit idealgewicht sein wie groß sollte ein kg schwerer mann mit idealgewicht sein wie groß müsste ein kg schwerer mensch sein hier lässt sie das schaubild im informationskasten im stich warum ergibt diese berechnungsmethode für kinder keinen sinn body-mass-index bmi wie groß ist eine kg schwere frau mit untergewicht ein mann ist 1,80 groß und hat übergewicht insbesondere für sportler ist der bmi von bedeutung für skispringer ist ein bmi von mindestens festgesetzt stand 2016 dabei werden die skispringer mit schuhen und anzug gewogen wer diesen wert unterschreitet dem wird die länge der ski gekürzt er hat also weniger tragfläche beim sprung berechnen sie den bmi der folgenden sportler und vergleichen sie den wert mit dem broca-index sportler größe gewicht severin freund cm kg taro akebono 2,04 kg dirk nowitzki 2,13 kg peter prevc cm kg matthias steiner cm kg ermitteln sie welche sportart die sportler ausüb(t)en

geraden rückspiegel wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite ich kann lerntipp mithilfe einer erstellten wertetabelle eine gerade zeichnen seite die steigung sowie den y-achsenabschnitt aus einer geradenglei chung ablesen und damit die gerade ohne wertetabelle zeichnen seite geradengleichungen bestimmen seite ein gleichungssystem zeichnerisch lösen seite ein gleichungssystem rechnerisch lösen seite lösungsmöglichkeiten bei gleichungssystemen erkennen und die lösung bestimmen seite probleme mithilfe linearer funktionen modellieren seite rückspiegel online-material 2bn3x6 überprüfen sie ihre einschätzung erstellen sie eine wertetabelle und zeichnen sie die gerade bestimmen sie den y-achsenabschnitt und die steigung zeichnen sie das steigungsdreieck sowie die gerade die durch die gleichung angegeben ist bestimmen sie die gleichung jeder geraden lösen sie das lineare gleichungssystem überprüfen sie ihre lösung durch zeichnen lösen sie das gleichungssystem rechnerisch wählen sie ein geeignetes verfahren stellen sie das gleichungssystem grafisch dar und geben sie an ob es eine oder keine lösung hat familie munz liegen zwei angebote für die stromversorgung vor tarif grundgebühr 45,50 kosten pro kwh 16,5 ct tarif grundgebühr 75,25 kosten pro kwh 15,5 ct für welchen tarif soll sich familie munz entscheiden welche bedingungen sollen bei der entscheidung berücksichtigt werden

maßeinheiten und umrechnungen zeiteinheiten jahr tag stunde minute sekunde min min ausnahme in einem schaltjahr gilt raumeinheiten kubikmeter kubikdezimeter kubikzentimeter kubikmillimeter 1000 dm dm 1000 cm 1000 mø cm 1000 mm längeneinheiten kilometer meter dezimeter zentimeter millimeter km 1000 dm dm cm cm mm gewichtseinheiten tonne kilogramm gramm milligramm 1000 kg kg 1000 1000 mg flächeneinheiten quadratkilometer hektar ar quadratmeter quadratdezimeter quadratzentimeter quadratmillimeter km ha ha dm dm cm cm mm

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schnittpunkt mathematik für die berufsfachschule klarer aufbau gezielte prüfungsvorbereitung praxisnah und differenzierend durchgehend gekennzeichnete kompetenzorientierung berufsbezogene anwendungsaufgaben isbn 978-3-12000000 -2