auf den auftaktseiten findest du alle inhalte aufgelistet die du als voraussetzung für das neue kapitel benötigst und die du neu lernen wirst start in ein neues kapitel so lernst du mit dem lambacher schweizer verstehen und üben im merkkasten ist das wichtigste zusammengefasst runden die einstiegsaufgabe führt dich auf das wesentliche des lehrtextes löse die aufgabe am besten in partnerarbeit oder mit der methode ich­du­wir hier findest du beispielaufgaben und ­lösungen exkursionen bieten anregungen neu gelerntes in deine lebenswelt zu übertragen symbole fakultativer inhalt strategisch vorgehen partnerarbeit gruppenarbeit internetrecherche oder einsatz von programmen erkunden und anwenden check-in überprüfe das wissen das du für den einstieg in das neue kapitel benötigst

wiederholen und überprüfen differenzierung die aufgaben sind in drei blöcke geteilt im ersten sind aufgaben welche die grund legende basis sichern im zweiten block findest du aufgaben im mittleren und höheren anforderungsniveau im dritten block sind die aufgaben zum erforschen und knobeln dieser hinweis zeigt dir dass diese aufgabe mithilfe einer bestimmten strategie gelöst werden kann teste dich in jeder lerneinheit kannst du an zwei stellen deinen wissensstand selbstständig überprüfen lösungen findest du am ende des buches prüfe mit teste dein grundwissen ob du den stoff aus früheren kapiteln oder klassen noch kannst lösungen findest du am ende des buches größen länge markus behauptet dass 1,40 schreibe in der nächstkleineren einheit 1000m teste dich 0,002 km dm 20,5 dm 0,21 20,30 teste dich systematisches probieren teste dein grundwissen größen länge überschlage zuerst und berechne dann 307· 3025 teste dich 0,002 km dm 20,5 dm 0,21 20,30 teste dich systematisches probieren teste dein grundwissen größen länge 0,002 km dm 20,5 dm 0,21 20,30 strategie|seite systematisches probieren teste dich am ende des kapitels kannst du deinen wissens stand selbstständig überprüfen lösungen findest du am ende des buches rückblick zum schnellen nachschlagen wird hier der inhalt des kapitels zusammengefasst wiederholen vertiefen vernetzen du kannst alle inhalte des kapitels wieder holen vertiefen und mit anderen inhalten vernetzen auf den seiten strategisch vorgehen findest du tipps wie man aufgaben deren lösungsweg nicht unmittelbar ersichtlich ist lösen kann strategien und hilfsmittel werden dir anhand von beispielen erläutert strategisch vorgehen

auflage 2020 alle drucke dieser auflage sind unverändert und können im unterricht nebeneinander verwendet werden die letzte zahl bezeichnet das jahr des druckes das werk und seine teile sind urheberrechtlich geschützt. jede nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen fällen bedarf der vorherigen schriftlichen einwilligung des verlages. hinweis § 52 a urhg: weder das werk noch seine teile dürfen ohne eine solche einwilligung eingescannt und in ein netzwerk eingestellt werden. dies gilt auch für intranets von schulen und sonstigen bildungseinrichtungen. fotomechanische oder andere wiedergabeverfahren nur mit genehmigung des verlages © ernst klett verlag gmbh, stuttgart 2016. alle rechte vorbehalten. www.klett.de autorinnen und autoren manfred baum, martin bellstedt, heidi buck (†), gunnar demuth, christina drüke-noe, prof rolf dürr, harald eisfeld, prof. hans freudigmann, birgit frohmader, inga giersemehl, herbert götz, dieter greulich dr. frieder haug, manfred herbst, edmund herd, prof. dr. stephan hußmann, thomas jörgens, klaus-peter jungmann thorsten jürgensen-engl, karen kaps, christine kestler, andreas könig, prof. dr. timo leuders, prof. dr. hinrich lorenzen dr. johannes novotný, hekyung reichhart, kathrin richter, dr. wolfgang riemer, rüdiger sandmann, dr. torsten schatz hartmut schermuly (†), reinhard schmitt-hartmann, ulrich schönbach, raphaela sonntag, heike spielmans, andrea stühler, barbara sy, thomas thiessen, rainer topp, dr. peter zimmermann redaktion dr. gudrun pofahl, patricia renner herstellung heike freese gestaltung petra michel, essen umschlaggestaltung petra michel, essen illustrationen uwe alfer, waldbreitbach; rudolf hungreder, leinfelden anja malz, taunusstein; tiff.any gmbh, berlin satz tiff.any gmbh, berlin druck passavia druckservice gmbh & co. kg, passau printed in germany isbn 978-3-12-733051-9

bayern lambacher schweizer mathematik für gymnasien ernst klett verlag stuttgart leipzig erarbeitet von birgit frohmader herbert götz manfred herbst christine kestler johannes novotný hekyung reichhart barbara sy thomas thiessen

inhalt natürliche und ganze zahlen veranschaulichung von zahlen das dezimalsystem zahlenmengen teilbarkeit runden negative zahlen anordnung und betrag der ganzen zahlen wiederholen vertiefen vernetzen exkursion römische zahlzeichen rückblick teste dich ii addition und subtraktion ganzer zahlen addieren und subtrahieren natürlicher zahlen terme addieren ganzer zahlen subtrahieren ganzer zahlen rechengesetze wiederholen vertiefen vernetzen exkursion zauberquadrate rückblick teste dich iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte abstand kreis winkel vierecke wiederholen vertiefen vernetzen exkursion kreise auf der kugel der globus rückblick teste dich iii geometrische figuren und lagebeziehungen natürliche und ganze zahlen veranschaulichung von zahlen das dezimalsystem zahlenmengen teilbarkeit runden negative zahlen anordnung und betrag der ganzen zahlen wiederholen vertiefen vernetzen exkursion römische zahlzeichen rückblick teste dich ii addition und subtraktion ganzer zahlen addieren und subtrahieren natürlicher zahlen terme addieren ganzer zahlen subtrahieren ganzer zahlen rechengesetze wiederholen vertiefen vernetzen exkursion zauberquadrate rückblick teste dich

iv multiplikation und division ganzer zahlen multiplizierenmultiplizieren und dividieren 104104 schriftliches multiplizieren und dividieren punkt-vor-strich-regel anwendungen rechengesetze und rechenvorteile potenzieren und faktorisieren baumdiagramm und zählprinzip multiplizieren ganzer zahlen dividieren ganzer zahlen verbindung der grundrechenarten wiederholen vertiefen vernetzen exkursion multiplizieren mit den fingern rückblick teste dich größen messen länge rechnen mit größen rechnen mit dreisatz maßstab masse zeit wiederholen vertiefen vernetzen exkursion planetenweg rückblick teste dich vi flächen flächeninhalteflächeninhalte vergleichengleichen und messen 186186 flächeneinheiten flächeninhalt und umfang des rechtecks flächeninhalt verschiedener figuren netz und schrägbild oberflächeninhalt des quaders wiederholen vertiefen vernetzen exkursion tangram rückblick teste dich strategisch vorgehen check-in lösungen zu den kapiteln lösungen zu den check-in-aufgaben register mathematische begriffe und bezeichnungen iv multiplikation und division ganzer zahlen und dividieren schriftliches multiplizieren und dividieren punkt-vor-strich-regel anwendungen rechengesetze und rechenvorteile potenzieren und faktorisieren baumdiagramm und zählprinzip multiplizieren ganzer zahlen dividieren ganzer zahlen verbindung der grundrechenarten wiederholen vertiefen vernetzen exkursion multiplizieren mit den fingern rückblick teste dich größen messen länge rechnen mit größen rechnen mit dreisatz maßstab masse zeit wiederholen vertiefen vernetzen exkursion planetenweg rückblick teste dich vi flächen ver und messen flächeneinheiten flächeninhalt und umfang des rechtecks flächeninhalt verschiedener figuren netz und schrägbild oberflächeninhalt des quaders wiederholen vertiefen vernetzen exkursion tangram rückblick teste dich

iii geometrische figuren und lagebeziehungen das kannst du schon punkte in ein koordinatensystem eintragen und verbinden achsensymmetrische figuren erkennen und zeichnen radius und durchmesser eines kreises bestimmen rechte winkel erkennen check-in zu kapitel iii seite teste dich die zwei parallelen es gingen zwei parallelen ins endlose hinaus zwei kerzengerade seelen und aus solidem haus sie wollten sich nicht schneiden bis an ihr seliges grab das war nun einmal der beiden geheimer stolz und stab christian morgenstern

das kannst du bald senkrechte parallele und kreise zeichnen winkel messen und zeichnen unterschiedliche vierecke erkennen und beschreiben

parallele und senkrechte falte ein blatt papier mehrmals so dass die faltlinien wie im bild ein rechteck bilden beschreibe wie du dabei vorgegangen bist bei geraden linien unterscheidet man strecken halbgeraden und geraden strecke halbgerade oder strahl gerade eine strecke ist von zwei punkten begrenzt eine halbgerade strahl hat einen anfangspunkt aber keinen endpunkt eine gerade hat keinen anfangspunkt und keinen endpunkt punkte werden in der mathematik meist mit großen buchstaben wie bezeichnet strecken halbgeraden und geraden werden in der regel mit kleinen buchstaben wie bezeichnet eine strecke mit den endpunkten und wird auch mit ab und ihre länge mit ab bezeichnet hier gilt ab cd aber ab cd die halbgerade durch die punkte und mit dem anfangspunkt wird mit fg bezeichnet die halbgerade mit dem anfangspunkt wird mit gf bezeichnet die gerade durch die punkte und wird auch mit pq bezeichnet pq liegt ein punkt auf der geraden so schreibt man kurz sprich ist element von bedeutet dass der punkt nicht auf der geraden liegt die entsprechende schreibweise gilt auch für punkte auf strecken und halbgeraden zwei verschiedene geraden können höchstens einen gemeinsamen punkt haben man nennt ihn den schnittpunkt der beiden geraden 6wuhfnh +doejhudgh rghu 6wudko *hudgh häufig wird sowohl eine strecke als auch deren länge mit demselben kleinen buchstaben bezeichnet da geraden und halbgeraden keine endpunkte haben besitzen sie auch keine länge

iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte schließen zwei geraden und einen rechten winkel ein so sagt man ist senkrecht zu oder ist orthogonal zu ist eine senkrechte oder ein lot zu schreibweise rechter winkel so zeichnet man zu einer geraden eine dazu senkrechte gerade fall soll durch einen punkt gehen der auf liegt fall soll durch einen punkt gehen der nicht auf liegt sind zwei geraden und senkrecht zu einer dritten geraden so sagt man und sind zueinander parallel ist eine parallele zu schreibweise parallelen haben keinen schnittpunkt so zeichnet man eine zur geraden parallele gerade die durch den vorgegebenen punkt gehen soll fall zeichne zu eine gerade mit lege das geodreieck wie abgebildet auf die gerade sodass du die gerade durch den punkt zeichnen kannst fall zeichne die parallele zu durch benutze dabei die parallelen auf dem geo dreieck waagerechte und lotrechte linien sind zueinander senkrecht bei einem gleis sind die schienen parallel

zwei strecken ab und cd sind parallel wenn die durch die strecken festgelegten geraden ab und cd zueinander parallel sind entsprechend können auch halbgeraden zueinander parallel sein beispiel die gerade wird durch die punkte und festgelegt die gerade soll senkrecht auf und durch den koordinatenursprung verlaufen bestimme die koordinaten des schnittpunkts von und lösung zunächst wird die gerade eingezeichnet anschließend wird mithilfe des geodreiecks die gerade eingezeichnet die koordinaten des schnittpunkts können jetzt abgelesen werden beispiel und sind punkte drücke die mit symbolen dargestellten zusammenhänge durch einen satz aus ab ab ad lösung die gerade wird durch die punkte und festgelegt der punkt liegt auf der geraden die gerade steht senkrecht auf der geraden die durch und festgelegt ist mit wird die strecke bezeichnet deren endpunkte und sind aufgaben gegeben sind die punkte und zeichne die gerade die durch die punkte und festgelegt wird zeichne die senkrechte zur geraden die durch den punkt geht zeichne die parallele zur geraden die durch den punkt geht die parallele schneidet die y­achse im punkt gib die koordinaten von an gegeben sind die punkte und sowie der punkt die gerade wird durch die punkte und festgelegt zeichne die senkrechte zur geraden ein die durch den punkt geht trage die schnittpunkte der senkrechten mit den koordinatenachsen ein bezeichne den schnittpunkt mit der x­achse mit und den mit der y­achse mit gib die koordinaten von und an beschreibe deinem nachbarn wo im klassenzimmer zueinander senkrechte strecken sind dein nachbar soll dir beschreiben wo im klassenzimmer zueinander parallele strecken sind sind punkte und geraden drücke die mit symbolen dargestellten zusammenhänge durch einen satz aus cd cd ac –1 |3 |0 zur erinnerung lotrecht

iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte dgs geometrie mit dem computer um veränderungen in geometrischen figuren leicht vornehmen zu können benötigt man ein geometrieprogramm solche programme findet man unter dem begriff dynamische geometriesoftware kurz dgs im internet zeichnen in der werkzeugleiste befinden sich verschiedene icons kleine bildchen die zum ausführen der arbeitsschritte dienen diese schaltflächen werden oft erklärt sobald man den mauszeiger über das entsprechende icon zieht manchmal befindet sich am unteren rand eines icons ein symbol wie ein dreieck klickt man darauf so erhält man eine auswahl von ähnlichen arbeitsschritten zum zeichnen steht eine zeichenfläche zur verfügung in der menüleiste kann man unter ansicht oder ähnlichen begriffen meist achsen und ein koordinatengitter einoder ausblenden durch das anklicken eines icons wählt man die gewünschte zeichenfunktion aus die blau gekennzeichneten elemente sind auf der zeichenfläche mit dem mauszeiger festzulegen die rot gekennzeichneten elemente erzeugt der computer möchte man einen punkt auf dem zeichenfeld verschieben so kann er mit dem icon pfeil bewegt werden geraden die mit dem punkt erzeugt wurden werden dann ebenfalls passend verschoben in einem bereich neben den schaltflächen wird häufig zusätzlich darauf hinge wiesen welche elemente der benutzer beim erstellen eines objektes angeben muss bei einigen elementen muss man auch die gewünschten maße die länge einer strecke angeben zeichne eine figur person auto haus baum nach deiner wahl probiere dabei die verschiedenen funktionen und werkzeuge aus info einen punkt zeichnen strecke verbinden eine gerade durch zwei punkte zeichnen eine parallele gerade zeichnen pfeil zum bewegen von objekten einen kreis zeichnen ein vieleck zeichnen

gegeben sind die punkte und die gerade mit cd zeichne die gerade mit cd und in ein koordinatensystem ein zeichne die gerade mit und in ein koordinatensystem ein gegeben ist die nebenstehende zeichnung entscheide jeweils ob die aussage wahr oder falsch ist be ab be fb cd ac ac ad die punkte und sind gegeben zeichne die gerade mn in dein heft zeichne durch und jeweils eine zu senkrechte gerade gib an welche gegenseitige lage die in teilaufgabe entstandenen geraden haben von vier vorgegebenen punkten werden je zwei durch eine strecke verbunden ermittle mithilfe einer skizze wie viele strecken dabei entstehen ein fünfter punkt wird nun hinzugefügt wie viele strecken sind es jetzt wenn wieder je zwei punkte durch eine strecke verbunden werden durch die punkte und werden die geraden kl lm mn und kn festgelegt untersuche welche dieser geraden aufeinander senkrecht stehen und welche zueinander parallel sind gegeben sind die punkte –4 und zeichne die senkrechte und die parallele zu ab durch den punkt und bezeichne jeweils die eingezeichneten geraden gib die koordinaten des schnittpunktes der eingezeichneten senkrechten mit der geraden ab an sowie die schnittpunkte der parallelen mit den koordinatenachsen entscheide ob die aussage wahr oder falsch ist as sa as as ab ab ac bc in der abbildung sind strecken durch ihre endpunkte gegeben gib diejenigen strecken an die zueinander parallel sind gib alle paare von strecken an die zueinander senkrecht stehen mithilfe der punkte können neue strecken festgelegt werden die noch nicht eingezeichnet sind af untersuche ob es neue strecken gibt die zueinander parallel sind wenn ja dann gib diese strecken an gegeben ist der punkt gib die koordinaten von drei verschiedenen punkten an die auf der parallelen zur y­achse durch liegen sind die geraden zueinander parallel lösungen seite teste dich tipp die fragestellung in aufgabe bezieht sich auf die ebene abbildung

iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte für diese aufgabe brauchst du ein unliniertes blatt papier zeichne jeweils freihand ohne ein geodreieck oder ein lineal zu verwenden zeichne eine strecke und dazu zwei verschiedene parallelen zeichne freihand zu den parallelen drei verschiedene senkrechten überprüfe deine versuche mit dem geodreieck hg das bild zeigt den ausschnitt aus einem fachwerk sucht drei paare von balken die jeweils parallel zueinander sind beschreibt die balken jeweils durch zwei punkte auf dem balken deren koordinaten ihr angebt sucht zwei paare von balken die jeweils senkrecht zueinander liegen beschreibt die balken jeweils durch zwei punkte auf dem balken deren koordinaten ihr angebt ein geodreieck wird längs eines lineals verschoben siehe rand begründe warum die geraden und parallel zueinander sind gegeben sind zunächst drei verschiedene geraden bearbeite anschließend die aufgabe mit vier bzw fünf verschiedenen geraden bestimme jeweils die maximale beziehungsweise minimale anzahl von schnittpunkten der geraden die möglich ist beschreibe mit worten wie man auf die maximale anzahl von schnittpunkten bei fünf geraden schließen kann wenn man die maximale anzahl von schnittpunkten bei vier geraden bereits kennt zeichne eine gerade und eine dazu senkrechte gerade so in ein koordinatensystem dass keine der beiden geraden durch den dritten quadranten läuft wie oft stehen die zeiger einer uhr von bis uhr aufeinander senkrecht wie oft stehen die zeiger einer uhr von bis uhr aufeinander senkrecht wie oft stehen die zeiger einer uhr von bis uhr aufeinander senkrecht zum knobeln zerlege mit zwei geraden das zifferblatt einer uhr so dass die summe der zahlen der entstandenen teile gleich groß ist übertrage die neun punkte in der gleichen anordnung in dein heft versuche in einem zug vier strecken so zu zeichnen dass auf ihnen alle punkte liegen berechne den wert des terms 3201 strategie seite veranschaulichen durch eine skizze lösungen seite teste dich teste dein grundwissen lösungen seite

abstand der abstand eines punktes von einer geraden wird wie folgt festgelegt man sucht auf der geraden den punkt dessen entfernung zum gegebenen punkt am kleinsten ist abstand zweier punkte und die länge pq der strecke pq abstand eines punktes von einer geraden die länge der zu senkrechten verbindungsstrecke von bis lotstrecke abstand zweier parallelen und die länge einer zu und senkrechten verbindungsstrecke abstand mit dem geodreieck bestimmen zwischen und zwischen und zwischen und beispiel bestimme den abstand des punktes von ab und den des punktes von ac lösung länge der lotstrecke von auf ab mm zunächst die strecke ac verlängern länge der lotstrecke auf ac mm beispiel beschreibe mit worten wie man mithilfe des geodreiecks den abstand eines punktes von einer geraden bestimmen kann lösung man legt das geodreieck mit seiner symmetrieachse so auf die gerade dass der punkt auf der längsten seite des geodreiecks liegt dann liest man den abstand ab cm cm cm die freunde evi slava und lukas möchten mithilfe der karte den abstand des bauernhofs von der autobahn bestimmen jeder schlägt einen anderen weg zur bestimmung des abstands vor evi und slava orientieren sich an straßen und lukas an der direkten verbindung zur autobahnauffahrt wie würdest du bei der bestimmung des abstands vorgehen

iii geometrische figuren und lagebeziehungen abstand aufgaben bestimme den abstand der schnittpunkte und bestimme den abstand des punktes von und von bestimme jeweils den abstand des punktes von den geraden und bestimme den abstand der parallelen und schätze zunächst welche der beiden strecken ab oder bc länger ist prüfe anschließend durch nachmessen deine vermutung gegeben sind die punkte und sowie der punkt die gerade wird durch die punkte und festgelegt bestimme den abstand der punkte und sowie den der punkte und zeichne die parallele zur geraden ein die durch den punkt geht bestimme den abstand der geraden und zeichne eine von verschiedene parallele zu die den gleichen abstand zu hat wie die parallele der punkt ist gegeben ermittle den abstand des punktes vom koordinatenursprung gib den abstand des punktes von der x­achse an gib den abstand des punktes von der y­achse an die punkte –6 und –3 –3 sind eckpunkte des rechtecks abcd bestimme jeweils den abstand der einander gegenüberliegenden seiten wahr oder falsch begründe deine entscheidung gegeben ist eine gerade der punkt hat von den abstand cm der punkt hat von den abstand cm und liegen auf verschiedenen seiten von folglich ist die strecke pq cm lang gegeben sind die punkte und –2 sowie der punkt bestimme den abstand des punktes von der geraden ef bestimme den abstand des punktes von der geraden de gegeben sind die punkte und sowie der punkt gib den abstand der punkte und an bestimme den abstand des punktes von der geraden kl zeichne eine parallele zu kl im abstand cm ein wahr oder falsch begründe deine entscheidung gegeben ist die gerade die punkte und haben von der geraden jeweils den abstand cm also liegen und auf einer geraden die zu parallel ist die punkte und legen die gerade fest begründe warum die gerade parallel zur x­achse ist der abstand der schienen spurweite der deutschen bahn beträgt 1435 mm die spur weite beträgt in spanien 1676 mm in russland 1524 mm beachte alle koordinatensysteme haben ab jetzt die längeneinheit cm wenn nicht ausdrücklich eine andere längeneinheit festgelegt wird mit diesem icon kann man abstände und längen bestimmen strategie seite veranschaulichen durch eine skizze lösungen seite teste dich

die gerade wird durch die punkte und die gerade durch und festgelegt beschreibe mit worten wo alle punkte liegen die von den beiden gegebenen geraden den gleichen abstand haben beschreibe wo alle punkte liegen die von der geraden den abstand cm haben die spitzen zweier strommasten sollen durch ein kabel verbunden werden der eine mast steht am elektrizitätswerk und ist hoch der andere steht außerhalb und ist hoch beide masten sind voneinander entfernt fertige eine geeignete skizze an und bestimme wie viel meter kabel dafür mindestens benötigt werden auf der landkarte sind die schifffahrtslinien warnemünde gedser und travemünde helsinki zu sehen bestimme die entfernung von warnemünde und gedser in welchem abstand fahren die schiffe an dem im roten kreis erkennbaren feuer schiff vorbei markiere auf einem unlinierten blatt papier einen punkt zeichne freihand also ohne geodreieck oder lineal drei verschiedene geraden so dass von jeder dieser geraden den abstand cm hat überprüfe die ergebnisse deiner nachbarn mit dem geodreieck wahr oder falsch begründe deine entscheidung gegeben sind die parallelen geraden und der punkt hat von der geraden den abstand cm und von der geraden den abstand cm also haben die geraden und den abstand cm die gerade wird durch die punkte –1 und festgelegt bestimme den abstand des punktes von der geraden die geraden und sind parallel der punkt liegt auf und der punkt auf der abstand der punkte und beträgt cm begründe ob die aussage wahr oder falsch ist der abstand der geraden und beträgt cm der abstand des punktes von der geraden beträgt cm der abstand der geraden und beträgt weniger als cm zeichne zwei sich schneidende geraden und zeichne die punkte ein die von den abstand cm und von den abstand cm haben beschreibe wie du vorgegangen bist um die punkte zu finden berechne den termwert lösungen seite teste dich teste dein grundwissen lösungen seite

iii geometrische figuren und lagebeziehungen kreis kreis markiere in einer zeichnung in deinem heft die punkte mit ganzzahligen koordinaten deren abstand von gleich mp ist markiere mit einer anderen farbe die punkte mit ganzzahligen koordinaten deren abstand von kleiner als mp ist überlege dazu vorher wie lang die xund y­achse gewählt werden müssen beschreibe wie du dabei vorgehen kannst ohne jeden abstand einzeln zu bestimmen räder und rollen müssen gleichmäßig rund sein sie müssen kreisrund sein die kreisform erkennt man daran dass jeder punkt auf dem rand des rads vom mittelpunkt den gleichen abstand hat alle punkte eines kreises haben von seinem mittelpunkt den gleichen abstand dieser abstand heißt radius des kreises schreibweise für den kreis um mit radius kreisfläche kreis mittelpunkt radius durchmesser liegt der punkt auf dem kreis um mit radius so schreibt man gegenseitige lage von kreis und gerade die gerade schneidet den kreis in genau zwei punkten und die gerade und der kreis haben keinen punkt gemeinsam die gerade berührt den kreis im punkt sie hat also mit dem kreis nur genau einen punkt gemeinsam man sagt die gerade ist eine tangente an den kreis die strecke ms steht dabei auf der tangente senkrecht eine gerade ist tangente an einen kreis wenn sie diesen berührt genau einen punkt mit dem kreis gemeinsam hat eine tangente steht auf der verbindungsstrecke von berührpunkt und kreismittelpunkt senkrecht 0lwwhosxqnw 5dglxv 7dqjhqwh kreise können mit dem zirkel gezeichnet werden vergiss nicht den mittelpunkt zu markieren zwei unterschiedliche kreise können keinen einen oder zwei schnittpunkte besitzen

beispiel gegeben sind die punkte –1 und bestimme in einer zeichnung die punkte die von den abstand cm und von den abstand cm haben lösung zeichne den kreis cm und einen kreis cm dort wo sich beide kreise schneiden liegen die gesuchten punkte und beispiel der punkt liegt auf dem kreis um mit radius cm zeichne eine tangente an den kreis die durch den punkt geht zeichne noch zwei weitere kreise mit als berührpunkt der tangente lösung zeichne eine gerade durch und die senkrechte zu bm durch ist die gesuchte tangente kreise deren mittelpunkte auf bm liegen und deren radius der abstand des mittelpunkts zu ist wie die eingezeichneten kreise um und aufgaben zeichne um einen kreis mit dem angegebenen radius cm cm cm cm gegeben sind die punkte und bestimme die punkte und die von den abstand cm und von den abstand cm haben gib jeweils den qua dran ten an in dem bzw liegt gegeben sind die punkte –1 und zeichne cm gib an welche der punkte und innerhalb außerhalb oder auf dem kreis liegen gib jeweils die koordinaten eines punktes aus dem vierten quadranten an der innerhalb außerhalb bzw auf dem kreis liegt zeichne das kreismuster am rand in dein heft verwende als radius jeweils cm erfinde selbst ein weiteres kreis muster gegeben sind die punkte –1 und kennzeichne alle punkte die von genau cm und von mehr als cm entfernt sind rot von weniger als cm und von mehr als cm entfernt sind grün von mehr als cm und von mehr als cm entfernt sind blau erstelle eine ähnliche aufgabe und lasse sie von deinem nachbarn lösen erläutere den unterschied der figuren die man erhält wenn man alle punkte kennzeichnet die von einem gegebenen punkt höchstens cm bzw weniger als cm entfernt sind kreise mit demselben mittelpunkt nennt man konzentrisch

iii geometrische figuren und lagebeziehungen kreis wähle auf dem kreis um mit radius cm drei punkte und zeichne in jedem der drei punkte die tangente an den kreis bestimme in einer zeichnung die punkte und die von und jeweils den abstand cm haben gegeben sind die punkte und zeichne eine tangente an den kreis cm die senkrecht auf ab steht beschreibe wie du eine weitere tangente an den kreis um mit radius cm finden kannst die auf ab senkrecht steht gib an wie viele zentimeter sich der schieber hin und her bewegt wenn sich das rad dreht begründe deine antwort bei bauarbeiten wurde im norden von nürnberg eine fliegerbombe aus dem zweiten weltkrieg gefunden auf der karte ist der fundort der bombe eingetragen zur entschärfung der bombe mussten die bewohner im umkreis von 1000 um den bombenfund ihre wohnungen verlassen gib an welche ortschaften von der evakuierung betroffen waren erläutere ob auch der flughafen in nürnberg betroffen war gegeben sind die punkte und schraffiere den bereich in dem alle punkte liegen die von höchstens den abstand cm und von höchstens den abstand cm haben gib an um wie viele zentimeter der punkt in positive x­richtung verschoben werden muss damit es genau einen punkt gibt der von höchstens den abstand cm und von höchstens den abstand cm hat begründe deine antwort die gerade wird durch die punkte und festgelegt die gerade berührt einen kreis cm im punkt ermittle in einer zeichnung eine mögliche lage des punktes zeichne den zugehörigen kreis ein zeichne einen kreis mit radius cm ermittle vier punkte auf dem kreis so dass sie zu einem rechteck das kein quadrat ist verbunden werden können beschreibe in worten wie du vorgegangen bist zeichne an den kreis vier tangenten so dass die vier schnittpunkte der tangenten ein quadrat bilden beschreibe in worten wie du vorgegangen bist bestimme die lösung der gleichung lösungen seite teste dich fp lösungen seite teste dich teste dein grundwissen lösungen seite

winkel scheren lassen sich verschieden weit öffnen.fnen welcheelche der beiden scheren ist weiter geöffnet?fnet um die öffnung einer schere oder die drehung eines zeigers zu beschreiben und zu messen führt man winkel ein dreht man eine halbgerade um ihren anfangs punkt so entsteht ein winkel heißt scheitel des winkels und heißen schenkel des winkels bezeichnung lies winkel oder asb lies winkel asb 6fkhqnho 6fkhqnho beachte bei winkeln ist die drehrichtung entgegen dem uhrzeigersinn gerichtet wird bei der bezeichnung der schenkel zuerst genannt so bedeutet dies dass die drehung bei beginnt und bei endet zur beschreibung eines winkels können auch drei punkte verwendet werden asb dabei liegt auf dem schenkel also dem schenkel bei dem die drehung beginnt anschließend wird der scheitel genannt und schließlich ein punkt der auf dem zweiten schenkel liegt ein pfeil am winkel hilft den bzw schenkel zu unterscheiden die größe eines winkels misst man mit einer kreisskala in grad kurz die größe eines winkels gibt an wie weit man den ersten schenkel drehen muss um ihn in den zweiten überzuführen bei einer vierteldrehung beträgt die winkelgröße grad kurz 90° ein rechter winkel hat somit die größe 90° bei einer halbdrehung beträgt die winkelgröße 180° und bei einer volldrehung 360° auf dem geodreieck findet man eine kreisskala mit gradangabe die meisten geodreiecke haben zwei skalen zur winkelmessung man muss die skala benutzen die beim ersten schenkel mit 0° beginnt winkel werden oft mit griechischen buchstaben bezeichnet asb 30° mit den griechischen buchstaben bezeichnet man sowohl den winkel als auch seine größe ýþ doskd ehwd +doeguhkxqj 9lhuwhoguhkxqj 9rooguhkxqj jdppd āā ghowd hsvlorq skl 6fkhqnho 6fkhqnho scheren lassen sich verschieden weit öf der beiden scheren ist weiter geöf

iii geometrische figuren und lagebeziehungen winkel messen von winkelgrößen bis 180° zeichnen eines winkels bei gegebener größe 55° zuerst wird der schenkel gezeichnet anschließend wird das geodreieck wie in der figur angelegt bei 55° wird eine markierung angebracht durch den scheitel und die markierung wird der schenkel gezeichnet die winkel von 0° bis 360° werden auf die folgende art unterteilt die winkelskala eines geodreiecks reicht nur bis 180° zum messen und zeichnen eines überstumpfen winkels bieten sich jeweils zwei möglichkeiten an messen eines überstumpfen winkels möglichkeit man zerlegt gedanklich den überstumpfen winkel in einen gestreckten winkel und einen winkel der kleiner als 180° ist mit dem geodreieck liest man 55° ab die sen wert addiert man zu 180° somit ist 180° 55° 235° möglichkeit man misst den winkel der dem überstumpfen winkel zum vollwinkel fehlt mit dem geodreieck liest man 125° ab diesen wert subtrahiert man von 360° also ist 360° 125° 235° deohvhq ehl deohvhq ehl dqohjhq dqohjhq 0dunlhuxqj dqohjhq vslw]hu :lqnho nohlqhu dov uhfkwhu :lqnho vwxpsihu :lqnho ]zlvfkhq xqg jhvwuhfnwhu :lqnho þehuvwxpsihu :lqnho ]zlvfkhq xqg 9roozlqnho tipp zur genauen messung eines winkels ist es oft zweckmäßig seine schenkel zu verlängern dqohjhq deohvhq ehl deohvhq ehlp lqqhuhq .uhlv ehl dqohjhq

zeichnen eines überstumpfen winkels 305° möglichkeit da 180° 125° fügt man zum gestreck ten winkel 180° einen winkel von 125° hinzu möglichkeit weil 305° 360° 55° genügt es den win kel von 55° zu zeichnen der winkel ist der winkel dem 55° zum vollwinkel fehlt beispiel die punkte –3 –3 –1 und sind eckpunkte des vierecks abcd zeichne das viereck abcd bezeichne die winkel im viereck und bestimme ihre größe lösung aus der zeichnung liest man ab 45° 27° 198° 90° beispiel zeichne eine halbgerade und trage an den winkel 330° an lösung möglichkeit da 180° 150° fügt man zum gestreckten winkel von 180° einen winkel von 150° hinzu siehe zeichnung möglichkeit da 360° 30° zieht man vom vollwinkel 30° ab aufgaben bestimme die größe der winkel und mit dem geodreieck die punkte und sind eckpunkte des vierecks abcd zeichne das viereck abcd bezeichne die winkel im viereck mit griechischen buchstaben und bestimme ihre größe zeichne winkel mit den folgenden größen und bezeichne die winkel mit griechischen buchstaben 24° 30° 45° 50° 60° 90° 100° 120° 133° 173° beachte und asb und bsa dqohjhq meist bezeichnet man bei einem viereck abcd den winkel bei mit bei mit usw

iii geometrische figuren und lagebeziehungen winkel bestimme wie groß der winkel an der spitze eines tortenstücks ist wenn die torte in in in in gleich große stücke geteilt wurde zeichne den winkel mit der angegebenen größe schreibe dazu von welcher art der winkel ist spitzer winkel 75° 90° 125° 160° 180° 237° 270° 315° welche dachneigung haben die gebäude versuche freihand also ohne geodreieck den winkel zu zeichnen dein nachbar soll dein ergebnis mit dem geodreieck überprüfen 60° 90° 150° 315° winkel messen und zeichnen mit einer dgs mit einer dgs kann man einen winkel messen wenn der winkel durch drei punkte oder durch zwei sich schneidende geraden beschrieben wird in der werkzeugleiste verwendet man dazu das icon winkel zu beachten ist dass man zuerst den ersten schenkel und dann den zweiten schenkel anklickt mit einer dgs kann man einen winkel fester größe an den durch zwei punkte gegebenen ersten schenkel antragen in der werkzeugleiste verwendet man dazu das icon winkel mit fester größe die punkte und sind eckpunkte eines fünfecks bestimme die größe der winkel im inneren des fünfecks dachneigung beachte innenwinkel haben ihre scheitel in den eckpunkten und liegen im inneren der figur info :lqnho :lqnho plw ihvwhu *uøáh $evwdqg rghu /æqjh )oæfkh 6whljxqj :lqnho :lqnho plw ihvwhu *uøáh $evwdqg rghu /æqjh )oæfkh 6whljxqj

zeichne den winkel mit der angegebenen größe 33° 70° 85° 145° 160° 210° 280° 305° übertrage die figur in ein koordinatensystem in dein heft die koordinaten der punkte und sind gegeben und gib jeweils die koordinaten der eckpunkte der figur an gib die größe der winkel im inneren der figur an gib bei jedem winkel auch die art des winkels an bao spitz zeichne ein dreieck mit einem rechten innenwinkel bestimme die größe der beiden anderen innenwinkel durch messen welchen treffwinkel hat der elfmeterschütze wenn ein fußballtor 7,32 breit ist ein fahrradrahmen setzt sich aus einem viereck und einem dreieck zusammen bestimme die größe der winkel die im dreieck auftreten und bezeichne sie sinnvoll beispiel sitzstrebe sitzrohr bestimme die größe der winkel die im viereck auftreten und bezeichne sie sinnvoll gegeben sind die punkte und trage die punkte und in ein koordinatensystem ein und zeichne den kreis um der durch die punkte und geht die strecke ab teilt den kreis in zwei teile die oberhalb beziehungsweise unterhalb der strecke ab liegen wähle drei punkte und auf dem oberen teil des kreises und verbinde und jeweils mit und miss die dabei entstandenen winkel bei und beschreibe was du dabei feststellst strategie seite veranschaulichen durch eine skizze

iii geometrische figuren und lagebeziehungen winkel zeichne ein viereck mit einem überstumpfen innenwinkel und gib seine größe sowie die größe aller innenwinkel des vierecks an ferit soll den winkel messen er verwendet dabei das geodreieck wie in der abbildung und behauptet ist 153° groß erkläre was er beim messen des winkels falsch gemacht hat gib die größe des winkels an zeichne winkel mit der angegebenen größe 36° 108° 217° 306° zeichne ein dreieck mit einem stumpfen innenwinkel und gib seine größe an bestimme auch die größe der beiden anderen innenwinkel durch messen beschreibe mit worten wie man mit einem geodreieck auch winkel mit einer größe von über 180° messen kann gegeben sind die punkte und sowie der punkt kennzeichne den winkel in einer zeichnung und bestimme seine größe bac acb bca abc die beiden zeiger einer uhr schließen zu jedem zeitpunkt einen winkel ein gib jeweils eine uhrzeit an zu der ein spitzer rechter stumpfer gestreckter oder überstumpfer winkel eingeschlossen wird damit dieser eindeutig ist soll der kleine zeiger jeweils den schenkel darstellen wer hat das maul weiter aufgerissen der vogel oder das krokodil begründe deine antwort gegeben sind die punkte und zeichne die geraden ab und ac und miss bac zeichne die gerade die die gerade in schneidet mit beschreibe wie die geraden und zueinander liegen zeichne durch eine zu senkrechte gerade bestimme die winkel und susanne behauptet es gibt kein viereck mit drei stumpfen innenwinkeln hat susanne recht begründe deine antwort die erde dreht sich täglich einmal um ihre achse um welchen winkel dreht sie sich in einer stunde um wie viel grad dreht sich die erde vom sonnen aufgang um 5:00 uhr bis zum sonnen untergang um 21:00 uhr um wie viel grad dreht sie sich von 7:00 uhr bis 17:00 uhr lösungen seite teste dich

zeichne ein viereck in dem drei der vier innenwinkel folgende größen haben 90° 105° 135° bestimme die größe des vierten innenwinkels durch messen der punkt liegt auf der geraden und ist anfangspunkt der halbgeraden ömer sagt hat man den winkel gemessen so kann man bestimmen ohne eine weitere messung durchzuführen beschreibe wie ömer vorgeht fahrer von lastwagen können nicht alles beobachten was um sie herum geschieht die bordwände der ladefläche nehmen ihnen teilweise die sicht also sieht ein lkw­fahrer auf der rechten seite nur den bereich direkt neben dem führerhaus durch das rechte fenster den bereich ii der sich direkt neben dem fahrzeug nach hinten erstreckt durch den rechten außenspiegel bestimme die größe des toten winkels erläutere ob der tote winkel auf der linken seite des lkw größer oder kleiner als der auf der rechten seite ist gegeben ist das dreieck abc mit und bestimme die innenwinkel des dreiecks abc beschreibe wo der punkt liegen müsste damit das dreieck abd bei einen rechten winkel hat ist der punkt eindeutig festgelegt zeichne eine figur mit der form eines deltaflügels der innenwinkel an der spitze soll 112° und der gegenüberliegende innen winkel 210° betragen 6slw]h gegeben sind die punkte und sowie die strecke cd mit und der punkt bewegt sich auf der strecke cd von nach beschreibe wie sich im dreieck abp der winkel bei bei dieser bewegung ändert gib an wie oft bei dieser bewegung bei ein rechter winkel auftritt und begründe deine angabe wie groß ist bei einer uhr der winkel zwischen den zeigern zur angegebenen uhrzeit 6:00 uhr 8:00 uhr 11:00 uhr 13:30 uhr 17:30 uhr 17:20 uhr berechne den termwert bestimme die lösung der gleichung lösungen seite teste dich teste dein grundwissen lösungen seite

iii geometrische figuren und lagebeziehungen vierecke haben vierecke bestimmte eigenschaften gemeinsam so gehören sie zu einer bestimmten vierecksart ein viereck mit zwei parallelen seiten nennt man trapez den abstand der parallelen seiten nennt man höhe des trapezes die beiden anderen seiten nennt man schenkel des trapezes ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind nennt man parallelogramm ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind und alle seiten gleich lang sind nennt man raute ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind und alle innenwinkel rechte winkel sind nennt man rechteck ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind alle innenwinkel rechte winkel sind und alle seiten gleich lang sind nennt man quadrat ein viereck das symmetrisch zu einer seiner diagonalen ist nennt man drachenviereck 6fkhqnho 6fkhqnho +økh 6\pphwulh dfkvh vierecke je zwei seiten der blauen vierecke liegen auf parallelen geraden beschreibe gemeinsamkeiten und unterschiede der blauen vierecke suche bei den grünen vierecken jeweils gemeinsamkeiten mit den blauen vierecken ordne jedem grünen viereck ein blaues viereck so zu dass die beiden vierecke möglichst viele eigenschaften gemeinsam haben eine diagonale verbindet im viereck zwei gegenüberliegende eckpunkte

besitzt ein trapez oder ein dreieck eine symmetrieachse so sind die schenkel gleich lang daher spricht man vom gleichschenkligen trapez bzw vom gleichschenkligen dreieck beispiel gib jeweils die art des vierecks an lösung und quadrat somit auch raute parallelogramm rechteck trapez trapez parallelogramm somit auch trapez rechteck somit auch parallelogramm trapez raute somit auch parallelogramm trapez drachenviereck parallelogramm somit auch trapez beispiel entscheide ob eine der beiden aussagen richtig ist und begründe deine entscheidung jede raute ist ein parallelogramm ii jedes parallelogramm ist eine raute lösung aussage ist richtig begründung bei einer raute sind jeweils gegenüberliegende seiten parallel also ist eine raute ein spezielles parallelogramm aussage ii ist falsch begründung im parallelogramm müssen nicht alle vier seiten gleich lang sein was voraussetzung für eine raute ist aufgaben zeichne ein viereck das trapez aber kein rechteck ist kein trapez ist parallelogramm aber keine raute ist rechteck und gleichzeitig raute ist zeichne ein drachenviereck bei dem eine diagonale cm lang ist alle seiten gleich lang sind gegeben sind die vierecke bis vi welche der eingezeichneten vierecke sind trapeze welche der eingezeichneten vierecke sind parallelogramme welche der eingezeichneten vierecke sind drachenvierecke ein viereck gehört meist zu mehreren vierecksarten beispielsweise ist die raute auch ein parallelogramm und ein trapez 6fkhqnho 6fkhqnho 6fkhqnho 6fkhqnho

iii geometrische figuren und lagebeziehungen vierecke gib an um welche art von viereck es sich handelt es gibt mehrere lösungen bei einem trapez sind alle winkel rechte winkel bei einem parallelogramm sind alle vier seiten gleich lang bei einem drachenviereck sind alle vier seiten gleich lang welche aussage ist wahr welche falsch gib bei einer falschen aussage ein gegenbeispiel an jedes viereck ist ein trapez jedes parallelogramm mit vier rechten winkeln ist ein quadrat jedes rechteck mit vier gleich langen seiten ist eine raute jedes viereck mit vier rechten winkeln ist ein quadrat die vierecke bis sind gegeben welche der eingezeichneten vierecke sind keine parallelogramme welche der eingezeichneten vierecke sind drachenvierecke unter den gegebenen vierecken gibt es solche denen man mehrere vierecksarten zuordnen kann gib diese vierecke an und ordne ihnen alle zutreffenden vierecksarten zu welche aussage ist wahr welche falsch begründe deine entscheidung jedes parallelogramm mit vier gleich langen seiten ist ein quadrat jedes trapez besitzt eine symmetrieachse jede raute mit vier rechten winkeln ist ein quadrat auf der auftaktseite zu kapitel iii ist das dürerhaus in nürnberg abgebildet beschreibe welche art von vierecken man an welchen stellen des hauses erkennen kann hg die nebenstehende zeichnung ist nach einem bild von piet mondrian entstanden sucht die angegebenen vierecke und notiert sie mithilfe der eckpunkte siehe rand drei verschieden große trapeze die keine parallelogramme sind drei verschieden große parallelogramme zwei rauten noah behauptet da jedes rechteck ein parallelogramm ist ist auch jedes parallelogramm ein rechteck entscheide ob die aussage richtig ist und begründe deine entscheidung strategie seite veranschaulichen durch eine skizze lösungen seite teste dich ein viereck kann durch die angabe seiner eckpunkte bezeichnet werden dabei durchläuft man das viereck gegen den uhrzeigersinn viereck abcd

gegeben sind die punkte und zeichne drei unterschiedliche parallelogramme die die eckpunkte und gemeinsam haben und deren innenwinkel beim eckpunkt jeweils 60° beträgt beschreibe in worten wie sich die parallelogramme unterscheiden können in der abgebildeten gleiskreuzung sind unterschiedliche vierecke zu sehen das viereck abcd wird in neun kleinere vierecke zerlegt gib die vierecksart an zu der die neun vierecke gehören das viereck abcd enthält noch weitere vierecke ermittle wie viele vierecke man insgesamt bilden kann zeichne ein drachenviereck abcd mit einem überstumpfen innenwinkel bei bea behauptet da in jedem parallelogramm die gegenüberliegenden seiten gleich lang sind ist jedes parallelogramm ein rechteck schreibe bea in einer e­mail warum ihre überlegung nicht richtig ist gibt es das beschriebene viereck zeichne es falls möglich gib andernfalls eine begründung an warum es das viereck nicht geben kann ein quadrat das keine raute ist ein rechteck das kein quadrat ist ein viereck das kein trapez ist ein rechteck das kein trapez ist gegeben sind die punkte und ergänze die punkte und so dass ein viereck abcd mit folgenden eigenschaften entsteht bad 45° cba 135° dcb 90° und bc cm auf dem kreis um liegen die punkte und zeichne den kreis um in dein heft und trage die punkte und ein trage und auf dem kreis so ein dass die vier punkte ein trapez bilden trage und auf dem kreis so ein dass die vier punkte ein rechteck bilden trage und auf dem kreis so ein dass die vier punkte eine raute bilden trage und auf dem kreis so ein dass die vier punkte ein drachenviereck bilden zeichne in ein neues koordinatensystem den kreis um und trage auf dem kreis und so ein dass die vier punkte ein viereck mit diagonale rt bilden bestimme die innenwinkel bei und zeichne ein weiteres viereck mit diagonale rt und den punkten und auf dem kreis miss die innenwinkel des vierecks bei und und vergleiche die winkelgrößen mit denen von teilaufgabe berechne den termwert –19 bestimme die lösung der gleichung zur erinnerung lösungen seite teste dich zur erinnerung acb bca teste dein grundwissen lösungen seite

iii geometrische figuren und lagebeziehungen üben und vertiefenertiefen wiederholen vertiefen vernetzen wiederholen vernetzen zeichne drei geraden und für die gilt und und und und gegeben sind die punkte und zeichne alle möglichen verbindungsstrecken der fünf punkte ein wie viele verbindungsstrecken gibt es gib paare von verbindungsstrecken an die aufeinander senkrecht stehen wie viele solcher paare gibt es gib paare von verbindungsstrecken an die parallel zueinander sind wie viele solcher paare gibt es gegeben sind die punkte und bestimme den abstand des punktes von lm von km von kl gegeben sind die punkte und schraffiere in einer zeichnung den bereich in dem alle punkte liegen die von höchstens cm und von höchstens cm entfernt sind beschreibe mit worten welche eigenschaften alle punkte haben die in der grün gefärbten fläche liegen beachte das beispiel eine ziege und ein schaf sind an den stellen und angepflockt fertige im heft eine zeichnung an in der du cm für wählst schraffiere die gesamte fläche die die tiere abgrasen können schraffiere die fläche die die tiere gemeinsam abgrasen können verwende dafür eine andere farbe wie weit müssten und mindestens auseinanderliegen damit es zwischen den tieren keinen streit gibt gesucht ist die fläche in der alle punkte liegen die von einem gegebenen punkt höchstens den abstand cm und von einem gegebenen punkt höchstens den abstand cm haben wie müssen und zueinander liegen damit es diese fläche überhaupt gibt begründe deine antwort wie müssen und zueinander liegen damit diese fläche den größtmöglichen inhalt hat begründe deine antwort %hlvslho gefärbt ist der bereich in dem alle punkte liegen die von mindestens cm und weniger als cm entfernt sind

in welchem winkel stehen jeweils zwei benachbarte flügel bei den abgebildeten windmühlen bzw dem windrad zueinander zeichne den winkel so ein dass der scheitel ist und auf dem ersten schenkel liegt welcher punkt liegt auf dem schenkel 63° 90° 198° 211° gegeben sind die geraden und bestimme die größe der eingetragenen winkel addiere die größen der winkel und addiere die größen der winkel und bestimme die größe der eingezeichneten winkel der treffwinkel vom elfmeterpunkt beträgt bei einem 7,32 breiten fußballtor zirka 37° bestimme denjenigen abstand von der torlinie bei dem sich der treffwinkel verdoppelt wenn man mittig vor dem tor steht zeichne den angegebenen winkel ohne geodreieck oder lineal zu verwenden also freihand und überprüfe anschließend dein ergebnis mit dem geodreieck 90° 45° 120° 330° tipp um das ausmessen zu erleichtern kannst du die figur abpausen

iii geometrische figuren und lagebeziehungen wiederholen vertiefen vernetzen das orange zahnrad wird um zähne gegen den uhrzeigersinn gedreht um wie viel grad wurde es gedreht in welcher drehrichtung und um wie viel grad dreht sich das blaue zahnrad der winkel hat den scheitelpunkt der punkt liegt auf dem ersten schenkel von für welche größen von liegt der zweite schenkel auf der y­achse für welche größen von schneidet der zweite schenkel die x­achse ist die aussage wahr oder falsch gib bei einer falschen aussage ein gegenbeispiel an jedes parallelogramm mit vier gleich langen seiten ist eine raute jedes parallelogramm ist eine raute ein quadrat ist ein rechteck mit vier gleich langen seiten jedes drachenviereck besitzt mindestens einen spitzen winkel gegeben sind die punkte und ergänze in einer zeichnung die punkte und so dass das viereck abcd ein quadrat ist kein trapez ist ein drachenviereck aber keine raute ist ist die aussage wahr oder falsch gib bei einer falschen aussage ein gegenbeispiel an jedes parallelogramm mit einem rechten winkeln ist ein rechteck eine raute ist ein parallelogramm mit vier gleich langen seiten in jedem drachenviereck ist die längere diagonale die symmetrieachse jede raute besitzt mindestens einen stumpfen winkel an der giebelseite des fachwerkhauses werden vierecke durch balken begrenzt kennzeichne das gesuchte kleine viereck durch die koordinaten eines punktes im inneren kennzeichne das gesuchte große viereck durch angabe der koordinaten seiner eckpunkte vergleicht anschließend eure ergebnisse gib ein möglichst kleines und ein möglichst großes rechteck an gib ein möglichst kleines und ein möglichst großes quadrat an gib ein möglichst kleines und ein möglichst großes trapez an das kein rechteck ist gibt es auch rauten unter den vierecken an der giebelseite was für ein tier wurde hier gezeichnet drehe die zeichnung auch einmal um 90°

exkursion kreise auf der kugel der globus ein ball hat annähernd die form einer kugel jeder punkt auf der kugel hat vom kugelmittelpunkt den gleichen abstand dieser abstand heißt kugelradius beispielsweise beträgt der radius eines tischtennisballs mm der eines fußballs cm der erdradius beträgt rund 6370 km der mondradius rund 1740 km und der sonnenradius rund km teilt man eine kugel durch einen ebenen schnitt so erhält man als schnittfigur einen kreis trifft man die kugelmitte beim schneiden so erhält man einen kreis der den gleichen radius wie die kugel hat bei jedem anderen schnitt erhält man einen kreis mit kleinerem radius der globus ist um die nord­süd­achse drehbar jeder ebene schnitt durch den globus der die nord­süd­achse enthält ergibt auf der erdoberfläche einen längenkreis meridian jeder ebene schnitt durch den globus der die nord­süd­achse senkrecht schneidet ergibt auf der erdoberfläche einen breitenkreis der größte breitenkreis hat den kugelmittelpunkt als mittelpunkt und wird äquator genannt jeder ort auf der erdkugel liegt auf einem bestimmten längenund breitenkreis die jeweils durch winkel beschrieben werden die winkel werden als geographische länge und breite eines orts auf der erde bezeichnet für den ort sieht man welche winkel gemessen werden bei der längen messung legt man einen längenkreis den sogenannten nullmeridian fest dieser geht durch greenwich einen vorort londons die geographische länge ist der winkel den der nullmeridian und der längenkreis einschließen auf dem liegt die geographische breite misst man bezüglich des äquators hat somit die geographische länge 50° und die geographische breite 52° jeder ebene schnitt durch eine kugel ergibt einen kreis den größten kreis erhält man bei einem ebenen schnitt durch den kugelmittelpunkt

iii geometrische figuren und lagebeziehungen exkursion da man den winkel 50° vom nullmeridian aus sowohl in östlicher als auch in westlicher richtung messen kann muss bei der geographischen länge zusätzlich die himmelsrichtung osten oder westen angegeben werden in der der ort vom nullmeridian aus gesehen wird entsprechend muss bei der geographischen breite die himmelsrichtung bezüglich des äquators norden oder süden angegeben werden der punkt hat somit die geographischen koordinaten 50° östlicher länge und 52° nördlicher breite statt winkelgrößen mit einer himmelsrichtung zu versehen kann man diesen auch ein vorzeichen geben recherchiere die geographische länge und breite der folgenden orte deines wohnorts hamburg london neapel kapstadt singapur new york san francisco quito buenos aires moskau tokio gib an ob es von deinem wohnort näher zum äquator oder zum nordpol ist begründe deine angabe die stadt frankfurt liegt auf 50° nördlicher breite auf einem globus mit durchmesser cm ist frankfurt eingezeichnet bestimme den radius des durch frankfurt gehenden breitenkreises bestimme von dem land die geographischen koordinaten der städte die am weitesten im norden süden westen beziehungsweise osten liegen deutschland italien vatikan welche geographische länge beziehungsweise breite hat der nordpol tine behauptet der radius des breitenkreises ist halb so groß wie der des äquators da man auf dem weg vom äquator zum nordpol am breitenkreis die hälfte der strecke zurückgelegt hat entscheide ob tines behauptung wahr oder falsch ist und begründe deine entscheidung bestimme mithilfe einer zeichnung die breitenkreise deren radien halb so groß sind wie der des äquators gib falls möglich auf jedem erdteil einen ort an der auf einem dieser breitenkreise liegt für diese aufgabe brauchst du einen globus die städte helsinki und anchorage alaska liegen beide auf dem breitengrad nördlich suche die beiden städte auf dem globus ein flugzeug soll auf dem kürzesten weg von helsinki nach anchorage fliegen zur bestimmung der kürzesten flugroute kann man wie folgt vorgehen nimm einen faden und drücke ein ende des fadens auf helsinki spanne den faden nun straff sodass er auf dem globus durch anchorage geht der gespannte faden gibt dann die kürzeste flugroute an beschreibe die flugroute gib dabei die koordinaten mindestens eines ortes an der von helsinki und anchorage verschieden ist und auf der flugroute liegt strategie seite veranschaulichen durch eine skizze nullmeridian in greenwich es gilt folgende vereinbarung geographische länge osten entspricht westen entspricht geographische breite norden entspricht süden entspricht breitenkreise werden immer breiter

rückblick strecken und geraden eine strecke ist von zwei punkten begrenzt eine halbgerade strahl hat einen anfangspunkt aber keinen endpunkt eine gerade hat keinen anfangspunkt und keinen endpunkt die länge der strecke ab wird mit ab angegeben liegen die geraden und zueinander senkrecht so schreibt man liegen die geraden und zueinander parallel so schreibt man abstand der abstand zweier punkte und ist die länge pq der strecke pq der abstand eines punktes von einer geraden ist die länge der zu senkrechten verbindungsstrecke von bis lotstrecke der abstand zweier parallelen und ist die länge einer zu und senkrechten verbindungsstrecke kreis alle punkte eines kreises haben von seinem mittelpunkt den gleichen abstand dieser abstand heißt radius des kreises ist der mittelpunkt eines kreises und sein radius so schreibt man eine gerade ist tangente an einen kreis wenn sie diesen berührt genau einen punkt mit dem kreis gemeinsam hat winkel ein winkel wird durch seinen scheitel seine schenkel und die drehrichtung festgelegt winkel werden oft mit kleinen griechischen buchstaben bezeichnet oder asb oder bsa die größe eines winkels misst man in grad man unterscheidet verschiedene winkelarten vierecke ein viereck mit zwei parallelen seiten nennt man trapez ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind nennt man parallelogramm ein parallelogramm mit rechten winkeln nennt man rechteck ein viereck bei dem die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind und alle seiten gleich lang sind nennt man raute eine raute mit rechten winkeln nennt man quadrat ein viereck das symmetrisch zu einer seiner diagonalen ist nennt man drachenviereck þehuvwxpsihu :lqnho jhvwuhfnwhu :lqnho vwxpsihu :lqnho uhfkwhu :lqnho vslw]hu :lqnho 9roozlqnho $% _$%_ fp >&' 0lwwhosxqnw .uhlv 5dglxv 7dqjhqwh schenkel 6fkhqnho 6fkhqnho 6fkhqnho 7udsh 3dudoohorjudpp 5dxwh 5hfkwhfn 'udfkhqylhuhfn 4xdgudw

teste dich iii geometrische figuren und lagebeziehungen gegeben sind die punkte und bestimme den abstand des punktes von der geraden ab bestimme die koordinaten des schnittpunkts der parallelen zu ab durch mit der parallelen zu bc durch bestimme die winkel und zeichne den winkel so ein dass der scheitel ist und auf dem ersten schenkel liegt welcher punkt liegt auf dem schenkel 82° 108° 153° 225° gegeben sind die punkte –2 –1 und schraffiere die fläche in der alle punkte mit folgenden beiden eigenschaften liegen ihr abstand von der geraden xy ist kleiner als cm ihr abstand von ist kleiner als cm die orte und liegen am rand eines gebiets ohne wohnhäuser das gebiet soll daraufhin untersucht werden ob eine insgesamt hohe windkraftanlage gebaut werden kann das windrad muss vom nächstgelegenen ort mindestens den zehnfachen abstand der windradhöhe haben eine längeneinheit im koordinatensystem entspricht bestimme und schraffiere den bereich in dem das windrad gebaut werden könnte in der abbildung ist 48° und berechne die größe von die punkte –2 und –1 sind gegeben fertige zu jeder teilaufgabe eine neue zeichnung an bestimme die fläche die alle punkte enthält die von mindestens cm und von weniger als cm entfernt sind färbe die fläche blau bestimme die fläche die alle punkte enthält die von ef höchstens cm entfernt sind von höchstens cm und von höchstens cm entfernt sind färbe die fläche blau beschreibe mit worten wie man ein drachenviereck abcd zeichnen kann wenn die endpunkte der diagonalen ac vorgegeben sind welche aussage ist wahr welche falsch gib bei einer falschen aussage ein gegenbeispiel an jedes trapez besitzt mindestens einen stumpfen winkel ein viereck mit vier gleich langen seiten ist ein quadrat jede raute ist auch ein drachenviereck jedes drachenviereck ist ein parallelogramm gegeben sind drei punkte und ergänze einen punkt so dass das viereck abcd ein parallelogramm trapez aber kein parallelogramm drachenviereck ist lösungen seite

veranschaulichen durch eine informative figur bzw skizze aufgabe ein krötenzaun verläuft auf einer strecke von parallel zu einer straße benachbarte befestigungsstäbe haben jeweils einen abstand von bestimme wie viele befestigungsstäbe man für den zaun benötigt lösung anhand der figur erkennt man sofort dass die anzahl der befestigungsstäbe um größer ist als die anzahl der abstände also gilt für die anzahl der befestigungsstäbe es gibt aufgaben bei denen man einen lösungsweg nicht unmittelbar erkennt in solchen fällen können hilfsmittel und strategien helfen ein problem anzupacken strategisch vorgehen zerlegen und ergänzen von figuren aufgabe bestimme den flächeninhalt der gefärbten figur lösung man zerlegt die figur mit der gestrichelten linie in zwei teilfiguren dann ergänzt man das dabei entstandene dreieck zu einem rechteck so kann der flächeninhalt der gesamtfigur unmittelbar bestimmt werden cm cm cm cm systematisches probieren aufgabe ein vater ist heute dreimal so alt wie seine tochter in jahren sind beide zusammen jahre alt ermittle das alter von tochter und vater heute lösung man nimmt ein bestimmtes alter der tochter an und berechnet daraus die summe des alters von vater und tochter in jahren wenn der wert der summe kleiner als ist muss das alter der tochter höher angesetzt werden wenn der wert der summe größer als ist muss das alter der tochter niedriger angesetzt werden man probiert so lange bis der wert der summe ist dann hat man das alter der tochter gefunden die ergebnisse der versuche kann man der übersichtlichkeit wegen in eine tabelle eintragen versuch versuch erfolgreicher versuch alter der tochter alter des vaters summe des alters von beiden in jahren alter der tochter zu niedrig alter der tochter zu hoch die tochter ist heute jahre und der vater ist heute jahre alt fp

rückwärtsarbeiten vorwärtsarbeiten aufgabe max sammelt vom baum heruntergefallene äpfel und legt sie in seinen fahrradkorb auf dem heimweg verliert er in jeder der fünf durchfahrenen kurven jeweils die hälfte der äpfel im fahrradkorb zu hause angekommen ist noch ein apfel im korb bestimme wie viele äpfel max eingesammelt hatte anwenden verschiedener strategien aufgabe in einem sack sind rote blaue und grüne murmeln der vierte teil der murmeln ist rot es sind blaue murmeln mehr als rote im sack murmeln sind grün bestimme die anzahl der murmeln im sack lösung mithilfe einer informativen figur im ersten schritt kann man die informationen über das gegebene in einer informativen figur zusammenstellen die das weitere vorgehen nahelegt die gesamtzahl der murmeln wird durch eine strecke veranschaulicht die in gleichlange teilstrecken zerlegt wird 9lhuwho 9lhuwho 9lhuwho 9lhuwho urwh 0xuphoq eodxh 0xuphoq juþqh 0xuphoq $q]dko urwh 0xuphoq im zweiten schritt liest man aus der figur unmittelbar ab dass die summe der murmeln im und viertel zusammen ergibt im dritten schritt schließt man von der hälfte der anzahl der murmeln also von auf die gesamtzahl von murmeln lösung mithilfe systematischen probierens man nimmt eine durch teilbare gesamtzahl von murmeln an ausgehend von der angenommenen gesamtzahl berechnet man wie viele grüne murmeln es sein müssten und vergleicht mit der angegebenen anzahl anzahl versuch versuch versuch versuch insgesamt rote murmeln blaue murmeln grüne murmeln zu viele murmeln zu viele murmeln zu wenige murmeln im sack sind somit insgesamt murmeln tipp bei einer komplexeren aufgabe muss man die gegebenen informationen sammeln und verwerten um die lösung schrittweise zu erhalten dabei können verschiedene strate gien angewendet werden lösung man beginnt mit der anzahl der äpfel am ende der fahrt nun überlegt man wie viele äpfel vor der letzten also fünften kurve im korb waren da sich die anzahl jeweils halbiert müssen es vor der kurve doppelt so viele äpfel gewesen sein also zwei diese überlegung wiederholt man und kann die ergebnisse in eine tabelle eintragen ende der fahrt vor der kurve vor der kurve vor der kurve vor der kurve vor der kurve anzahl äpfel max hatte also äpfel eingesammelt diese aufgabe wurde durch rückwärtsarbeiten gelöst da von dem vorgang der endzustand bekannt ist und man schrittweise auf den anfangszustand zurückgeht wäre stattdessen in der aufgabe der anfangszustand von äpfeln gegeben und nach der anzahl der äpfel gefragt die max nach hause bringt so würde man die aufgabe durch vorwärtsarbeiten lösen

check­in zu kapitel lösungen seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann in verschiedenen schrittweiten zählen ich kann zahlen am zahlenstrahl ablesen ich kann zahlen in stufenschrift notieren ich kann grundrechenaufgaben im kopf lösen ich kann divisionen mit und ohne rest durchführen ich kann lösungen durch überschlagen finden überprüfe deine einschätzungen zählen zähle fünf schritte vorwärts und fünf schritte rückwärts in einerschritten von aus in zehnerschritten von aus in hunderterschritten von 5750 aus in tausenderschritten von aus zahlen am zahlenstrahl ablesen benenne die zahlen an den pfeilen zahlen in stufenschrift notieren schreibe in stufenschrift wie im beispiel beispiel 1404 1t 4h 4e schreibe die zahlen 4t 3h 8h 4z 6e 2t 6z 8e 5t 6e grundrechenaufgaben im kopf lösen berechne im kopf 9000 1340 divisionen mit und ohne rest durchführen berechne lösungen durch überschlagen finden ordne die lösungen zu ohne zu rechnen 7642 6713 4030 1321 6825

anhang check-in zu den kapiteln check­in zu kapitel ii lösungen seite lerntipps zu merkkästen seite und seite zu merkkästen seite und seite zu merkkasten seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann natürliche zahlen im kopf addieren und subtrahieren ich kann natürliche zahlen im bereich bis zu schriftlich addieren und subtrahieren ich kann ganze zahlen im dezimalsystem bestimmen ich kann ganze zahlen auf der zahlengeraden anordnen ich kann mit beträgen ganzer zahlen umgehen überprüfe deine einschätzungen natürliche zahlen addieren und subtrahieren berechne im kopf 3950 1840 2001 2076 4099 natürliche zahlen bis schriftlich addieren und subtrahieren berechne 5491 8732 9869 7823 6542 8959 ganze zahlen im dezimalsystem bestimmen gib die größte vierstellige ganze zahl mit als hunderterziffer an gib die anzahl der dreistelligen ganzen zahlen an die zwischen und liegen ganze zahlen auf der zahlengeraden anordnen bilde die gegenzahlen der zahlen und ordne sie der größe nach gib jeweils den vorgänger und nachfolger der zahlen und an übertrage in dein heft und setze das richtige zeichen oder ein 1356 7607 mit beträgen ganzer zahlen umgehen bilde die beträge der zahlen und ordne sie der größe nach gib alle zahlen an die zwischen und liegen übertrage in dein heft und setze das richtige zeichen oder ein

check­in zu kapitel iii lösungen seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann punkte in ein koordinatensystem eintragen ich kann einfache achsensymmetrische figuren erkennen ich kann einfache achsensymmetrische figuren erzeugen ich kann radius und durchmesser eines kreises bestimmen ich kann rechte winkel erkennen überprüfe deine einschätzungen punkte in ein koordinatensystem eintragen gegeben sind die punkte und zeichne ein koordinatensystem und trage die gegebenen punkte ein verbinde die punkte in der reihenfolge abcdefghf durch jeweils eine gerade linie achsensymmetrie erkennen übertrage jede figur in dein heft gib bei jeder figur an ob sie achsensymmetrisch ist oder nicht zeichne gegebenenfalls eine symmetrieachse ein achsensymmetrische figuren erzeugen zeichne jeweils die figur und die dazugehörige rote linie in dein heft ergänze jede figur so dass eine achsensymmetrische figur entsteht die rote linie ist die symmetrieachse radius und durchmesser eines kreises bestimmen in dem ornament sind verschiedenfarbige kreise enthalten gleichfarbige kreise haben auch den gleichen radius gib zu jedem kreis den zugehörigen radius und durchmesser an rechte winkel erkennen ermittle welche figur einen oder mehrere rechte winkel besitzt lerntipps zu merkkasten seite

anhang check-in zu den kapiteln check­in zu kapitel iv lösungen seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann ganze zahlen addieren und subtrahieren ich kann die struktur von termen in textform und als gliederungsbaum verstehen und darstellen ich kann den wert eines terms überschlägig berechnen und ihn fortlaufend genau berechnen ich kann mithilfe des kommutativund des assoziativgesetzes rechenvorteile nutzen ich kann die lösung von gleichungen bestimmen überprüfe deine einschätzungen ganze zahlen addieren und subtrahieren berechne terme in textform und als gliederungsbaum verstehen und darstellen wandle die terme in gliederungsbäume und textform und die gliederungsbäume in terme um terme überschlagen und berechnen berechne zunächst überschlägig und dann genau in fortlaufender form 3489 1683 3483 1266 1258 1157 1204 rechenvorteile nutzen berechne geschickt verwende dabei das kommutativgesetz und das assoziativgesetz gleichungen lösen bestimme die lösung der gleichung differenz minuend subtrahend summe summand summand summe summand minuend subtrahend summand differenz subtrahend differenz minuend lerntipps zu merkkästen seite und seite zu merkkasten seite und beispiel seite zu text seite und beispiel seite zu merkkästen seite zu text seite

check­in zu kapitel lösungen seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann längen massen und zeitspannen abschätzen ich kann größenangaben in eine andere einheit umwandeln ich kann geldbeträge mit und ohne komma schreiben ich kann einfache alltagsbrüche bei größenangaben in einer kleineren einheit angeben ich kann mit größen in sachsituationen umgehen und pläne zur räumlichen orientierung nutzen überprüfe deine einschätzungen länge masse und zeitspanne schätzen gib einen schätzwert an masse dieses mathematikbuches fahrzeit für eine fahrradtour von km dicke eines bleistifts höhe deines klassenzimmers längengewichtsund zeitangaben in eine andere einheit umwandeln wandle in die angegebene einheit um kg cm mm 5000 km min km min 11,5 kg min geldbeträge mit und ohne komma übertrage in dein heft und ergänze 7,28 ct ct 36,01 ct ct ct ct ct ct alltagsbrüche in kleinerer einheit angeben gib an wie viele minuten eine dreiviertelstunde hat wie viele zentimeter ein viertel meter hat wie viele milliliter ein halber liter hat sachaufgaben mit größen umgehen pläne zur räumlichen orientierung nutzen familie lenz startet ihre wandertour um uhr in holzen nach minuten erreicht sie grassau und wandert dann weiter nach kirchen wo sie um uhr ankommt nach einer halbstündigen pause wandert sie auf direktem weg nach holzen zurück dafür braucht die familie minuten insgesamt hat sie km zurückgelegt rechne aus wann familie lenz wieder in holzen ist ermittle um wie viele kilometer der hinweg über grassau nach kirchen länger war

anhang check-in zu den kapiteln check­in zu kapitel vi lösungen seite lerntipps zu merkkästen und beispiele seite und seite zu rückblick seite zu rückblick seite und seite schätze dich mithilfe der checkliste ein ich kann geometrische figuren erkennen beschreiben und zeichnen ich kann mit dem koordinatensystem umgehen ich kann längen von strecken messen in verschiedenen einheiten angeben und die einheiten ineinander umrechnen ich kann geometrische körper erkennen und beschreiben und netze einfacher körper zuordnen und zeichnen überprüfe deine einschätzungen geometrische figuren erkennen übertrage die zeichnung von der randspalte in dein heft färbe alle dreiecke die du erkennst orange und alle vierecke blau nummeriere die dreiecke und vierecke und beschreibe ihre eigenschaften benenne die besonderen vierecke koordinatensystem verwenden zeichne das dreieck mit den eckpunkten und in ein koordinatensystem ergänze eine parallele zu bc die durch den punkt verläuft in welchen punkten schneidet die parallele die koordinatenachsen gib die koordinaten der schnittpunkte an strecken messen einheiten verwenden zeichne das viereck abcd ins heft bezeichne den mittelpunkt der seite cd mit und zeichne das dreieck abm miss die länge der seite mb des dreiecks abm und gib die länge jeweils in mm cm dm und an geometrische körper erkennen und beschreiben netze zuordnen benenne die abgebildeten körper begründe aus welchen netzen der abgebildete quader gebaut werden kann die farbigen flächen sind innen und außen jeweils gleich

lösungen iii geometrische figuren und lagebeziehungen seite kl mn kl kn mn kn –3 ab as falsch sa falsch as wahr as wahr ab wahr ab falsch ac bc falsch seite individuelle lösung zum beispiel die geraden müssen parallel zu den koordinatenachsen verlaufen eine oberhalb der x­achse die andere rechts von der y­achse mal ca 1216 uhr ca 1249 uhr ca 1322 uhr ca 1355 uhr mal ca 227 uhr genau 300 uhr ca 333 uhr mal 2301

lösungen seite 5|– cm mk cm abstand des punktes von kl mp cm es sind geraden möglich die aussage ist falsch gegenbeispiel in der zeichnung können die punkte und nicht durch eine gerade verbunden werden seite die aussage ist falsch gegenbeispiel die parallelen geraden können auch den abstand cm haben wenn nicht zwischen den geraden liegt die gerade ist eine parallele zur y­achse und hat von dieser den abstand der punkt hat von der y­achse den abstand und liegt auf der anderen seite der y­achse somit hat von der geraden den abstand cm cm cm cm cm seite es gibt zwei punkte und die von und jeweils den abstand cm haben die gerade ab schneidet den kreis in zwei punkten und im punkt wird eine senkrechte zu ab errichtet die eine weitere tangente an den kreis darstellt

lösungen verschiebt man punkt um cm in positive x­richtung dann haben die punkte und genau den abstand cm die kreise um mit radius cm und um mit radius cm berühren sich dann in genau einem punkt 3– 2– m’ cm wenn die gerade den kreis berührt muss tangente an den kreis sein es gibt zwei mögliche kreise deren mittelpunkte auf der senkrechten zu ab im punkt liegen mb m’b cm seite 36° 108° 217° 306° individuelle lösung individuelle lösung man teilt den winkel in zwei winkel auf von denen einer ein gestreckter winkel ist und der andere zwischen 0° und 180° liegt diesen misst man und addiert ihn zu 180° seite die figur ist symmetrisch man zeichnet zwei dreiecke mit den in der zeichnung angegebenen winkeln 3– 2– 90° in beginnend wird der winkel bei zunächst immer größer erreicht seinen größten wert wenn auf der y­achse liegt und wird wieder kleiner bis bei angekommen ist 110° 56° 105°

lösungen zweimal wenn und bzw und zusammenfallen ist der winkel bei zunächst kleiner 90° da bei ein stumpfer winkel ist der winkel wird dann größer und erreicht seine maximale größe von mehr als 90° wenn auf der y­achse liegt also muss er einmal links der y­achse und einmal rechts davon die größe von 90° annehmen seite kein parallelogramm drachenviereck parallelogramm trapez quadrat rechteck raute parallelogramm drachenviereck trapez rechteck parallelogramm trapez raute parallelogramm trapez falsch bei einer raute müssen nicht alle innenwinkel rechte winkel sein falsch siehe gegenbeispiel wahr da ein viereck mit vier gleich langen seiten raute und rechten innenwinkeln ein quadrat ist seite nein jedes quadrat hat vier gleich lange seiten und ist somit eine raute nein in jedem rechteck sind die gegenüberliegenden seiten parallel und somit ist es ein trapez 45° 135° rest seite 3– 2– cm cd cm 18° 135° 333°

lösungen 225° 153° 82° 108° die werte der y­koordinate sind gerundet cm 180° 48° also 180° 48° 132° also 66°

lösungen individuelle lösung zum beispiel man errichtet im mittelpunkt der strecke ac eine senkrechte und wählt auf dieser senkrechten zwei punkte und dann ist das viereck abcd ein drachenviereck falsch da ein quadrat ein trapez ist und dieses keinen stumpfen winkel besitzt gegenbeispiel quadrat falsch da eine raute im allgemeinen keinen rechten winkel besitzt gegenbeispiel raute wahr da in jeder raute beide diagonalen symmetrieachsen sind und somit jede raute ein drachenviereck ist falsch da gegenüberliegende seiten eines drachenvierecks nicht parallel sein müssen gegenbeispiel individuelle lösung zum beispiel iv multiplikation und division ganzer zahlen seite ein produkt besteht aus zwei oder mehr faktoren ein quotient besteht aus dividend und divisor sie müssen zusammen bezahlen seite und oder und

lösungen check­in seite check­in zu kapitel vorwärts rückwärts vorwärts rückwärts vorwärts 5850 5950 6050 6150 6250 rückwärts 5650 5550 5450 5350 5250 vorwärts rückwärts zahlen an den pfeilen von links nach rechts 1321 4030 5006 4300 2068 1900 rest rest rest rest rest 6825 seite check­in zu kapitel ii 2110 1987 9499 vorgänger von ist 1000 und der nachfolger von ist der vorgänger von ist und der nachfolger von ist 1356 7607 seite check­in zu kapitel iii und und die figur iii ist nicht achsensymmetrisch alle anderen figuren sind achsensymmetrisch

lösungen und der schwarze kreis hat den radius cm und den durchmesser cm die blauen kreise haben den radius cm und den durchmesser cm die roten kreise haben den radius cm und den durchmesser cm nur die figuren und haben rechte winkel in der figur in gibt es sogar zwei rechte winkel seite check­in zu kapitel iv individuelle lösung zum beispiel der term ist eine summe der erste summand ist ­40 der zweite summand ist eine differenz deren minuend ­15 und deren subtrahend ist individuelle lösung zum beispiel der term ist eine differenz der minuend ist eine summe deren erster summand und deren zweiter summand summe summand summand differenz subtrahend minuend differenz minuend summe subtrahend summe summand summand summand summand ist der subtrahend ist auch eine summe mit als erstem summanden und als zweitem summanden überschlag 3500 1700 3500 1500 3500 1500 5000 genaue rechnung 3489 1466 3489 1466 4955 überschlag genaue rechnung überschlag 3500 1300 1300 2200 genaue rechnung 2217 überschlag 1200 1200 2180 1110 2180 1230 3410 genaue rechnung 2141 1117 2141 1236 3377 kg ag kg ag kg ag kg ag ag seite check­in zu kapitel individuelle lösung zum beispiel die masse dieses mathematikbuches beträgt ungefähr die fahrzeit für eine fahrradtour von km beträgt ungefähr minuten die dicke eines bleistifts beträgt ungefähr mm die höhe eines klassenzimmers beträgt ungefähr 2,50 mm km min min ct ct ct 3601 ct 23,06 2306 ct ct 4,80

lösungen eine dreiviertelstunde hat minuten ein viertel meter hat zentimeter ein halber liter hat milliliter um 1115 uhr ist die familie in kirchen dort macht sie eine halbe stunde pause bis 1145 uhr der direkte weg nach holzen dauert minuten 1145 uhr minuten familie lenz ist um 1230 uhr wieder in holzen der gesamtweg beträgt km von holzen nach kirchen sind es km der weg von holzen über grassau nach kirchen ist dann km km km lang vergleicht man nun die beiden wege dann ist der weg von holzen über grassau nach kirchen km km km länger als der direkte weg von holzen nach kirchen seite check­in zu kapitel vi figur ist ein dreieck figur ist ein rechteck die beiden seiten die einander gegenüberliegen sind jeweils parallel zueinander und alle innenwinkel sind rechte winkel figur ist ein parallelogramm es sieht zwar aus wie eine raute aber wenn man genau nachmisst erkennt man dass nicht alle seiten gleich lang sind die gegenüberliegenden seiten des parallelogramms sind jeweils parallel zueinander figur ist ein dreieck das dreieck besitzt einen rechten winkel figur ist ein trapez da die zwei gegenüberliegenden seiten oben und unten parallel zueinander sind die schenkel des trapezes jedoch nicht die parallele schneidet die koordinatenachsen in den punkten und mb mm cm 0,25 dm 0,025 von links nach rechts prisma würfel kugel pyramide der quader kann aus den netzen und gebaut werden das netz ergibt zwar auch den quader in der form aber würde man ihn so aufstellen wie den abgebildeten quader dann wären die farben orange und blau vertauscht daher funktioniert netz nicht wenn man netz zusammenbauen würde bliebe ein lila farbenes kästchen übrig hier passt das netz nicht zum quader die netze und passen sowohl von der form als auch von der farbgebung des quaders

register abrunden abstand abziehverfahren addieren addition äquator ar assoziativgesetz der addition ag assoziativgesetz der multiplikation ag aufrunden balkendiagramm basis baumdiagramm baumdiagramm und zählprinzip berührpunkt betrag billiarde billion breitenkreis dezimalsystem dezimeter diagonale diagramm differenz distributivgesetz dg distributivgesetz der division dg distributivgesetz der multiplikation dg dividend dividieren dividieren ganzer zahlen division divisor drachenviereck drehrichtung dreieck gleichschenkliges dreisatz dreisatzrechnung durchmesser einheit einheitentabelle element element der menge euro exponent faktor faktorisieren fibonacci­folge flächeneinheit flächeninhalt flächeninhalt eines rechtecks ganze zahlen gegenbeispiel gegenzahl geld geldwert geographische länge geographische breite gerade gewicht gleichschenkliges dreieck gleichung grad gramm größe grundzahl halbdrehung halbgerade hektar hochzahl höhe innenwinkel kästchengröße kilogramm kilometer klammerregel kommaschreibweise kommutativgesetz der addition kg kommutativgesetz der multiplikation kg kommutativgesetz konzentrisch koordinatensystem koordinatenursprung kreis kreisfläche kugel kugelmittelpunkt kugelradius länge längeneinheit längenkreis liter lot lotrecht magisches quadrat masse maßeinheit maßstab maßzahl menge der vielfachen meridian meter milliarde milligramm millimeter million minuend minusglieder minute mittelpunkt multiplikation multiplizieren multiplizieren ganzer zahlen nachfolger natürliche zahlen negative zahlen netz normal­null nullmeridian

register oberfläche oberflächeninhalt ohne rest teilbar orthogonal parallel parallele parallelogramm planetenweg platzhalter plusglieder positive zahlen potenz potenzieren potenzschreibweise primfaktorzerlegung primzahl primzahlzwillinge produkt punktrechnung punkt­vor­strich­regel pyramide quader quadrant quadrat quadratdezimeter quadratische säule quadratkilometer quadratmeter quadratmillimeter quadratzahl quadratzentimeter quadrilliarde quadrillion quersumme quotient radius raute rechenzeichen rechnen mit dreisatz rechteck regelmäßiges baumdiagramm römische zahlzeichen rückwärtsarbeiten runden rundungsstelle scheitel schenkel schlussrechnung schrägbild schriftliche division schriftliche division mit rest schriftliche multiplikation sekunde senkrecht senkrechte sieb des eratosthenes strahl strategie strecke strichrechnung stufenzahl stunde subtrahend subtrahieren subtraktion summand summe symmetrieachse systematisches probieren tag tangente tangram tausender teilbar teilbarkeit teilbarkeitsregeln teilermenge term terme tonne trapez trilliarde trillion überschlagsrechnung umfang umfang eines rechtecks umkehraufgabe unregelmäßiges baumdiagramm veranschaulichen durch eine informative figur skizze vergrößerung verkleinerung vielfache vierteldrehung volldrehung vollwinkel vorgänger vorwärtsarbeiten vorzeichen waagerecht widerlegen durch ein gegenbeispiel winkel gestreckter rechter spitzer stumpfer überstumpfer würfeloberfläche x­koordinate y­koordinate zahlen ganze zahlen natürliche zahlen negative zahlen positive zahlenfolge zahlengerade zahlenmauer zahlenmenge zahlenstrahl zählprinzip zauberquadrat zehnerpotenz zehnersystem zeitdauer zeitpunkt zentimeter zerlegen und ergänzen von figuren zweiersystem

textund bildquellen textquellen und jetzt sagen wir alle das …“ aus: asterix und maestria, band 29, seite 13, autoren: rené goscinny und albert uderzo, egmont verlagsgesellschaften mbh, ehapa comic collection, köln, nachdruck 2006, übersetzung: gudrun penndorf bildquellennachweis u1.1 corbis (peter durant/arcaid), berlin u1.2 getty images (goodshoot), münchen corbis (68/ocean), berlin masterfile deutschland gmbh (aflo relax), düsseldorf shutterstock.com (prill), new york, ny masterfile deutschland gmbh (rm/rf düsseldorf getty images (e+/fotografiabasica), münchen dreamstime.com (yorgy67), brentwood, tn corbis (68/ocean berlin masterfile deutschland gmbh (mike dobel), düsseldorf corbis (w. geiersperger), berlin corbis (68/ocean), berlin ezb, frankfurt ezb, frankfurt ezb, frankfurt ezb, frankfurt ezb, frankfurt klett-archiv (dieter gebhardt), stuttgart fotolia.com (sylvie bouchard), new york fotolia.com (davis), new york 34.1 klett-archiv (petra michel), stuttgart 34.2 asterix®obelix®/© 2015 les editions albert rene/goscinny - uderzo 34.3 les éditions albert rené, vanves cedex 34.4 shutterstock.com joão seabra), new york, ny 35.1 ddp images gmbh, hamburg 35.2 corbis (radius images), berlin 38.1 corbis (randy faris), berlin masterfile deutschland gmbh (aflo relax), düsseldorf akg-images, berlin shutterstock.com (bill perry), new york, ny fotolia com (magann), new york fotolia.com (christian lebon), new york reichhart, hekyung, münchen thinkstock (brianajackson münchen fotolia.com (nickolae), new york corbis (image source), berlin 70.1 fotolia.com (thaut images), new york 70.2 laif pierre jacques/hemis.fr), köln shutterstock.com (prill), new york, ny fotolia.com (tom bayer), new york istockphoto, calgary alberta 77.1 herbst, manfred, herzogenaurach 77.2 shutterstock.com (kitch bain), new york, ny getty images rf (eyewire), münchen istockphoto (rudigobbo), calgary, alberta reis, axel, oberderdingen 87.1 herbst, manfred, herzogenaurach 87.2 herbst, manfred herzogenaurach 96.1 fotolia.com (alfonso de tomás), new york 96.2 laif (miquel gonzalez), köln 96.3 shutterstock.com (visdia), new york, ny herbst, manfred, herzogenaurach corbis (michael haegele), berlin istockphoto (majaiva), calgary, alberta 102.1 thinkstock (istock/smitt), münchen 102.2 elke behrends, berlin masterfile deutschland gmbh (rm/rf), düsseldorf fotolia.com picture-factory), new york thinkstock (istockphoto), münchen fotolia.com (eyewave), new york dreamstime.com (weknow brentwood, tn fotolia.com (picture-factory), new york fotolia.com (jfl photography), new york thinkstock (istock/j2r münchen fotolia.com (jérôme fovis), new york corbis (monsoon/photolibrary), berlin mauritius images (age), mittenwald 150.1 getty images (e+/fotografiabasica), münchen 150.2 thinkstock (fuse), münchen 151.1 corbis (sygma), berlin 151.2 fotolia.com jarma), new york 151.3 fotolia.com (gstudio group), new york kestler, christine, holzkirchen 153.1 thinkstock (istock/philinnz4 münchen 153.2 kestler, christine, holzkirchen shutterstock.com (dreamframer), new york, ny fotolia.com (b. wylezich), new york kestler, christine, holzkirchen fotolia.com (otto durst), new york kestler, christine, holzkirchen 166.1 mev verlag gmbh (aradan), augsburg 166.2 mev verlag gmbh (aradan), augsburg 166.3 mev verlag gmbh, augsburg der haack weltatlas ausgabe bayern, ernst klett verlag gmbh, stuttgart 2015, s. 23, isbn 978-3-12-828620-4 168.1 imago (imagebroker/stella), berlin 168.2 panthermedia.net (herbert_r), münchen gemeinfrei (ortelius 171.1 okapia (richard ellis), frankfurt 171.2 corel corporation deutschland, unterschleissheim 171.3 klett-archiv, stuttgart 171.4 istockphoto (neilbradfield), calgary, alberta 171.5 corel corporation deutschland, unterschleissheim 171.6 corbis (antoine gyori/agp), berlin istockphoto (sumikophoto), calgary, alberta thinkstock joggie botma), münchen 123rf ( maxim mironov), nidderau 184.1 corbis (klaus tiedge), berlin 184.2 dreamstime.com (yorgy67 brentwood, tn fotolia.com (philippe devanne), new york mev verlag gmbh, augsburg fotolia.com (wolfilser), new york klett-archiv (cira moro), stuttgart 213.1 klett-archiv (simianer&blühdorn), stuttgart 213.2 klett-archiv (simianer&blühdorn), stuttgart 213.3 klett-archiv (simianer&blühdorn), stuttgart sollte es in einem einzelfall nicht gelungen sein den korrekten rechteinhaber ausfindig zu machen so werden berechtigte ansprüche selbstverständlich im rahmen der üblichen regelungen abgegolten

mathematische begriffe und bezeichnungen zahlen menge der natürlichen zahlen menge der natürlichen zahlen mit null menge der ganzen zahlen ist element von ist nicht element von menge aller teiler von menge aller vielfachen von beziehungen zwischen zahlen und größen gleich cm ungefähr gleich kleiner kleiner oder gleich größer größer oder gleich liegt zwischen und geometrie punkte punkt mit der ersten koordinate und der zweiten koordinate pq gerade durch die punkte und pq strecke mit den endpunkten und pq länge der strecke pq pq halbgerade durch und mit anfangspunkt geraden halbgeraden strecken auch länge der strecken cm ist senkrecht orthogonal zu ist parallel zu kreis mit mittelpunkt und radius winkel mit den schenkeln und ist schenkel ist schenkel asb winkel mit scheitelpunkt liegt auf schenkel auf schenkel winkel auch dessen größe

lambacher schweizer ein klares konzept für differenziertes lernen viele aufgaben zum üben vertiefen vernetzen zahlreiche aufgaben für unterschiedliche lernniveaus helfen beim üben und sichern des lernstoffes klare struktur die kapitel und lerneinheiten sind immer nach demselben prinzip ge gliedert das hilft bei der orientierung testelemente zum selbstständigen üben elemente wie teste dich in den lerneinheiten und am ende des kapitels helfen den lernstoff zu festigen das teste dein grundwissen hilft früheren lernstoff zu wiederholen die dazugehörigen lösungen am ende des buches bieten die möglichkeit sich selbst zu überprüfen w700643