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arbeitsheft grundlagen schnittpunkt mathematik für die berufsfachschule herausgegeben von matthias janssen erarbeitet von ilona bernhard petra hillebrand matthias janssen,wiebke janzen klaus-peter jungmann karen kaps joachim krick michaela ruckh tanja sawatzki emilie scholl-molter uwe schumacher colette simon ernst klett verlag stuttgart leipzig so arbeiten sie mit ihrem arbeitsheft grundlagen das arbeitsheft bietet ihnen viele verschiedene aufgaben damit sie zentrale themen üben und sichern können abgeschlossen wird das heft mit den seiten üben und wiederholen die alle themenbereiche umfassen tipps bei schwierigen aufgaben helfen ihnen einen lösungsansatz zu finden lösungen und selbstkontrolle zu allen aufgaben finden sie rechenwege und tipps zum bearbeiten der aufgabe im lösungsteil mit diesen lösungen ist eine selbstkontrolle einfach und schnell möglich wir wünschen ihnen viel erfolg beim lösen der aufgaben ihr autorenteam und die mathematik-redaktion daten absolute und relative häufigkeit daten darstellen kenngrößen boxplot wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten bestimmen einstufige zufallsversuche zweistufige zufallsversuche lineare funktionen funktionen proportionale funktionen lineare funktionen lösen durch modellieren lineare gleichungssysteme lineare gleichungen mit zwei variablen lineare gleichungssysteme lösen durch gleichsetzen lösen durch addieren lösen mit verschiedenen verfahren lösen durch modellieren ii quadratische funktionen die quadratische funktion die quadratische funktion die scheitelpunktform quadratische gleichungen und quadratische ergänzungen nullstellen quadratischer funktionen schnittpunkte lösen durch modellieren iii trigonometrie strahlensätze strahlensätze anwenden sinus kosinus tangens rechtwinklige dreiecke berechnen allgemeine dreiecke berechnen sinussatz und kosinussatz trigonometrie in ebene und raum sinus und kosinus am einheitskreis weitere funktionen sinusfunktion und kosinusfunktion wachstumsfaktor und wachstumsrate exponentielles wachstum exponentielle abnahme exponentialfunktion üben und wiederholen üben und wiederholen register

daten daten absolute und relative häufigkeit bei der umfrage in einer schule wurden die schüler und schülerinnen nach ihrer zufriedenheit mit der cafeteria befragt sehr zufrieden zufrieden überwiegend zufrieden nicht zufrieden enttäuscht summe absolute häufigkeit relative häufigkeit 0000 =​0,12 relative häufigkeit in 12​% schreiben sie die relativen häufigkeiten als bruch und dezimalzahl auf tragen sie sie in die tabelle ein nicht zufrieden oder sogar enttäuscht waren der befragten dieser unzufriedenen und enttäuschten befragten waren schülerinnen nämlich frauen in einer befragung mit kindern wurden diese nach ihrem lieblingsessen befragt es war jeweils nur eine nennung pro person möglich erstellen sie das passende kreisdiagramm zu der tabelle berechnen sie die relativen häufigkeiten tragen sie sie in die entsprechenden kreisfelder ein benutzen sie mehrere farben pommes frites spaghetti eis schokopudding pizza andere insgesamt ein autohersteller hat an tagen im april die folgenden stückzahlen an autos produziert bestimmen sie die relativen häufigkeiten und die absoluten häufigkeiten es wurden mindestens und höchstens autos pro tag gefertigt die spannweite beträgt der zentralwert autos hat das werk die vorgegebene norm von durchschnittlich autos pro tag erreicht anzahl der autos absolute häufigkeit relative häufigkeit

daten daten daten darstellen bei einem turnier wird eine übersicht über die gewichte der kinder bis jahre alt angelegt gewichtsklasse körpergewicht in kg anzahl prozentsatz winkel bis bis bis bis bis bis bis über ​=​2,5​% 3,6°​·​2,5​=​9° stellen sie die anzahl der kinder in den gewichtsklassen bis in einem säulendiagramm dar die verteilung der kinder auf gewichtsklassen lässt sich in einem kreisdiagramm darstellen beim zeichnen von kreisdiagrammen muss man vieles berücksichtigen ergänzen sie die aussagen die summe der prozentsätze im kreisdiagramm muss betragen zu gleichen prozentsätzen zeichnet man immer winkel für zeichnet man einen winkel von für einen winkel von und für einen winkel von berechnen sie in der tabelle die winkel zu den anzahlen schreiben sie die passenden buchstaben in die sektoren des kreisdiagramms anzahl kinder gewichtsklasse ab cd ef gh in der agrarwirtschaftsklasse wurde eine umfrage zu den lieblingsfarben durchgeführt in der liste können sie sehen welche farbe die meisten stimmen erhalten hat lesen sie die in dem balkendiagramm unten eingetragenen werte ab tragen sie sie in die tabelle ein vervollständigen sie das balkendiagramm anhand der in der tabelle eingetragenen werte orange blau rot schwarz gelb grün sonstige anzahl aller stimmen anzahl stellen sie die lieblingsfarben der schülerinnen und schüler in einem kreisdiagramm dar blau sonstige grün gelb schwarz rot blau orange anzahl stimmen anzahl der stimmen

daten daten kenngrößen in einem hotel sollen die gäste in einem fragebogen eine rückmeldung über ihre zufriedenheit geben die anzahl der antworten in den einzelnen bereichen können sie der grafik entnehmen tragen sie die abgelesenen werte in die tabelle ein umkreisen sie jeweils den zentralwert zufriedenheit der gäste mit dem service ++ größe der zimmer zimmerservice qualität des essens service im restaurant rezeptionsservice in der technikerklasse haben die schülerinnen und schüler die anzahl der stunden ermittelt die sie in der woche im internet verbringen im folgenden sehen sie die rangliste minimum spannweite maximum zentralwert arithmetisches mittel peter hat seine eigene methode gefunden damit er nicht alle werte in den taschenrechner eingeben muss vervollständigen sie seinen term zum berechnen des arithmetischen mittels 4​·​1​+​8​·​2​+​ )​:​21 wie viel hat der vater für sein hobby ausgegeben wie lautet der zentralwert welchen wert würden sie betrachten um die aussage des vaters zu entkräften die sieben freunde theo ayse britta sibylle sarah anna und mohammed erhalten zusammen taschengeld im monat siehe diagramm allerdings fehlt der balken für ayse zeichnen sie ayses balken in das diagramm ein wie viel taschengeld bekommen die freunde im durchschnitt wie groß ist der abstand zwischen dem zentralwert und dem durchschnitt theo ayse britta sibylle sarah anna mohammed ich habe in meinem sportverein bezahlt ich habe für cds ausgegeben ich habe mir für süßigkeiten gekauft ich habe ein buch für gekauft in der letzten woche hat jeder von uns im mittel für seine hobbys ausª gegeben das müssen wir ändern rezeptionsservice ++ service im restaurant qualität des essens zimmerservice größe der zimmer

daten daten boxplot bei einer untersuchung wurden frauen und männer befragt wie viele stunden pro woche treiben sie sport unten sehen sie die ermittelten ranglisten frauen männer insgesamt wurden frauen und männer befragt teilen sie die beiden ranglisten farbig in quartile ein ergänzen sie dann die folgende tabelle minimum unteres quartil zentralwert oberes quartil maximum frauen männer stellen sie jeweils den boxplot für die frauen und die männer dar peter hat sich notiert wie viele kilometer er im monat mit dem rad unterwegs war monat summe kilometer berechnen sie die summe umkreisen sie minimum und maximum die kilometerangaben belegen in der rangliste die plätze bis zur berechnung des unteren quartils multipliziert man mit und erhält deshalb muss man das arithmetische mittel aus rangplatz und bilden bei der bestimmung des zentralwerts multipliziert man mit und erhält das zu bildende arithmetische mittel ist das obere quartil erhält man indem man mit multipliziert hier lautet der gesuchte wert zeichnen sie den boxplot und markieren sie die spannweite der daten für die automatische verpackung von druckerpapier testet eine firma zwei maschinen beide maschinen sollen blatt pro paket verpacken stellen sie das testergebnis in zwei boxplots dar welche maschine sollte gekauft werden begründen sie blätter pro paket anzahl pakete maschine anzahl pakete maschine frauen männer

daten daten boxplot schülerinnen und schüler wurden gefragt wie viele stunden pro monat sie am computer spielen erstellen sie die sortierte liste rangliste bestimmen sie die kenngrößen der liste minimum maximum spannweite unteres quartil oberes quartil zentralwert zeichnen sie den boxplot kreuzen sie die aussagen an die auf die daten zutreffen von den befragten spielen mindestens nicht mehr als vier stunden im monat am computer mindestens der befragten spielen höchstens stunden pro monat computerspiele die daten im unteren bereich liegen weiter auseinander als im oberen bereich aller befragten spielen mehr als stunden computerspiele im monat aller befragten spielen mehr als stunden im monat am computer ergänzen sie die tabelle beim zeichnen der boxplots sind einige fehler passiert zeichnen sie den richtigen boxplot über den fehlerhaften zentralwert oberes quartil maximum minimum unteres quartil quartilabstand spannweite

wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten bestimmen geben sie jeweils die wahrscheinlichkeiten mithilfe eines bruches an wie groß ist die wahrscheinlichkeit von drei birnen die birne mit dem wurm zu erwischen mit einem 6-seitigen würfel eine drei zu würfeln bei einer münze die zahl oben zu sehen eine als letzte ziffer der telefonnummer zu haben in einem gefäß befinden sich zwölf kugeln die hälfte der kugeln ist gelb außerdem sind noch weiße und rote kugeln enthalten es sind zwei rote kugeln mehr als weiße kugeln färben sie die kugeln entsprechend ein die wahrscheinlichkeit eine rote kugel zu ziehen nachdem bereits eine rote kugel gezogen worden ist beträgt es wurden bereits alle weißen und eine rote kugeln gezogen wie groß ist die wahrscheinlichkeit beim nächsten zug eine andere rote kugel zu ziehen füllen sie die tabelle aus bestimmen sie die wahrscheinlichkeit bruch dezimalzahl prozent mit einem würfel eine eins zu würfeln mit einem 20-seitigen würfel eine drei zu würfeln aus sieben überraschungseiern die spielfigur zu ziehen dass ihre mathematiklehrerin an einem dienstag geboren wurde die wahrscheinlichkeit einen hauptgewinn zu erzielen beträgt die wahrscheinlichkeit einen trostpreis zu erzielen ist die wahrscheinlichkeit für eine niete ist wenn silvia das rad 500-mal dreht kann sie etwa -mal einen hauptgewinn erwarten etwa -mal einen trostpreis und etwa -mal eine niete freddy zieht 50-mal blind eine der kugeln aus dem behälter dabei legt er jede gezogene kugel vor dem nächsten zug in den behälter zurück die wahrscheinlichkeit dafür bei einem zug eine orange kugel zu erwischen beträgt bei ziehungen wird er etwa -mal eine orange kugel -mal eine graue und -mal eine weiße kugel ziehen das glücksrad hauptpreis bei orange trostpreis bei grau sonst leider verloren

wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten einstufige zufallsversuche welche der folgenden geräte sind zufallsgeräte kreuzen sie sie an würfel spielstein münze kilometerzähler wecker bei und sind die ergebnisse alle gleich wahrscheinlich hier sehen sie ein glücksrad hanno gewinnt wenn eine kleinere zahl als kommt jörg gewinnt bei den anderen zahlen ergänzen sie das baumdiagramm färben sie hannos gewinnfelder und gewinnpfade rot hat die besseren gewinnchancen die wahrscheinlichkeit beträgt für ihn die wahrscheinlichkeit für einen gewinn von beträgt die hälfte der kugeln in dem gefäß ist grün außerdem sind noch weiße und rote kugeln enthalten es sind zwei rote kugeln mehr als weiße kugeln färben sie die kugeln in den entsprechenden farben ergänzen sie das baumdiagramm geben sie die wahrscheinlichkeit für jeden pfad an als bruch und in prozent grün zeichnen sie in das gefäß drei schwarze fünf weiße und zwölf orange kugeln geben sie jeweils die wahrscheinlichkeit als bruch und in prozent an wahrscheinlichkeit mögliche ergebnisse günstige ergebnisse wahrscheinlichkeit eine weiße kugel zu ziehen eine schwarze oder orange kugel zu ziehen eine schwarze kugel zu ziehen nachdem schon zwei schwarze kugeln gezogen worden sind eine weiße kugel zu ziehen nachdem schon alle anderen weißen kugeln gezogen worden sind geben sie die wahrscheinlichkeit des ereignisses in prozent an orange gerade zahl zahl kleiner grau oder weiß buchstabe zahl teilbar durch nicht grün

wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten zweistufige zufallsversuche das glücksrad wird zweimal gedreht füllen sie die lücken im baumdiagramm berechnen sie die wahrscheinlichkeiten für alle pfade bestimme weiß weiß grau grau und orange orange der würfel mit dem abgebildeten netz wird zweimal geworfen zeichnen sie das baumdiagramm weiter wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür zweimal orange zu würfeln zweimal weiß zu würfeln grau beim zweiten mal zu würfeln bei welcher lostrommel ist die wahrscheinlichkeit zu gewinnen am größten vor dem ziehen eines loses werden alle lose zusammengeschüttet die gewinnwahrscheinlichkeit bei diesem einstufigen zufallsversuch beträgt ein losverkäufer verteilt seine lose auf drei lostrommeln und vgl abbildung steffi wählt zunächst eine lostrommel aus und zieht dann ein los ergänzen sie das baumdiagramm

wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten zweistufige zufallsversuche aus den abgebildeten karten zieht carola eine karte die karte wird zu den anderen zurückgelegt und neu gemischt dann zieht carola eine zweite karte berechnen sie die wahrscheinlichkeit als erste karte die herz zu ziehen herz eine bildkarte zu ziehen bildkarte geben sie für beide züge die wahrscheinlichkeit als bruch und in prozent an herz herz bildkarte herz ass bildkarte bildkarte berechnen sie die wahrscheinlichkeit zwei gleiche karten zu ziehen in einem gefäß befinden sich einundzwanzig kugeln ein drittel der kugeln ist gelb außerdem sind noch weiße und rote kugeln enthalten es sind zwei rote kugeln mehr als weiße kugeln färben sie die kugeln entsprechend ein es wurde eine weiße kugel gezogen und nicht wieder in das gefäß zurückgelegt beim nächsten zug sind dann noch kugeln im gefäß die wahrscheinlichkeit dann eine weitere weiße kugel zu ziehen beträgt es wurden nacheinander drei gelbe vier rote und zwei weiße kugeln gezogen und zur seite gelegt im gefäß sind nun noch insgesamt kugeln nämlich gelbe rote und weiße kugeln die wahrscheinlichkeit für den nächsten zug eine bestimmte farbe zu ziehen ist für alle farben sie beträgt in einer urne befinden sich drei orange und sieben weiße kugeln sie ziehen zweimal hintereinander vervollständigen sie den baum berechnen sie die einzelnen wahrscheinlichkeiten ziehen mit zurücklegen ziehen ohne zurücklegen

lineare funktionen lineare funktionen funktionen welcher graph stellt eine funktion dar kreisen sie die buchstaben der funktionsgraphen ein die buchstaben der funktionsgraphen ergeben umsortiert und mit zwei vokalen ergänzt eine deutsche großstadt ist die zuordnung eine funktion eingabegröße ausgabegröße ja nein klassenlehrer schuhgröße schuhgröße lehrer auto autokennzeichen autokennzeichen auto körpergewicht körpergröße rechenvorschrift jeder zahl wird ihr dreifaches vermindert um zugeordnet geben sie einen term für die berechnung von an vervollständigen sie die wertetabelle eingabegröße ausgabegröße –​10 erstellen sie im koordinatensystem das schaubild jan lässt in der küche °c heißes wasser abkühlen und misst alle zehn minuten die temperatur zeit in min temp in °c zeichnen sie die temperaturkurve temperatur in °c zeit in min liegt eine funktion vor begründen sie beschreiben sie wie sich die temperatur des wassers in der nächsten stunde weiterentwickeln wird

lineare funktionen lineare funktionen proportionale funktionen zeichnen sie folgende proportionale funktionen mithilfe des steigungsdreiecks in das koordinatensystem ein der graph der funktion ist am steilsten der graph der funktion ist am flachsten notieren sie die den graphen bis entsprechenden funktionen zeichnen sie ein mögliches steigungsdreieck an jede gerade die steigung der funktion ist am größten die steigung der funktion ist am kleinsten der graph geht durch den ursprung beide punkte liegen auf einer geraden zeichnen sie den graphen und ergänzen sie die lücken stellen sie sofern es sich um eine funktion handelt zuerst die gleichung auf und berechnen sie anschließend die lösung ein liter dieselkraftstoff kostet 1,479 47,25 kosten ein geschäft bietet butter für 1,09 pro an kg butter kosten thore ist ein jahr alt und wiegt kg mit sechs jahren wiegt er kg ein kilogramm bananen kostet 1,89 eine banane kostet auf dem markt werden zehn bio-eier für 2,10 angeboten für sechs eier muss man bezahlen wie viel koste ich

lineare funktionen lineare funktionen lineare funktionen aus welchem graphen lassen sich linus’ ersparnisse in abhängigkeit der spardauer ablesen aus graph er kann den mp3-player für nach wochen oder das modell zu nach wochen kaufen die funktionsgleichung die den graphen der linearen funktion beschreibt lautet zeichnen sie den graphen der linearen funktion in das koordinatensystem ein welcher graph gehört zu welcher linearen funktionsgleichung beispiel setzt man in die funktionsgleichung für den wert ein so erhält man als zugehörigen funktionswert also liegt der punkt auf dem graphen der linearen funktionsgleichung der einzige graph der durch diesen punkt läuft ist notieren sie jeweils den zugehörigen graphen –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 –8 geben sie die funktionsgleichung zu den graphen an –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 linus möchte sich einen neuen mp3-player kaufen in seinem sparstrumpf hat er bereits damit er nicht mehr so lange warten muss spart er nun jede woche sein ganzes taschengeld in höhe von graph notieren sie die funktionsgleichungen der anderen drei graphen graph graph wochen

lineare funktionen lineare funktionen lösen durch modellieren aufgabe zwei freunde machen mit dem roller einen ausflug im augenblick sind sie an einem aussichtsturm km von zu hause entfernt noch sind sie sechs stunden von ihrem ziel einem bergsee entfernt der roller fährt in drei stunden km wie viele stunden müssen sie noch fahren um gleich weit vom see und von ihrem zuhause entfernt zu sein die aufgabe wurde in vier schritten gelöst finden sie in den vier kästen jeweils die für die lösung wichtigen informationen markieren sie sie wenn sie alle zahlen neben relevanten aussagen addieren erhalten sie ordnen sie die karten bis in richtiger reihenfolge den aufgaben und zu karten bleiben übrig realsituation welche aussagen bzw fragestellungen brauchen sie zum lösen der aufgabe der roller ist nicht verkehrssicher wie lang ist die gesamtstrecke stunde minuten der roller hat zwei räder pro stunde legt der roller rund km zurück wie viele stunden brauchen sie insgesamt der see liegt in einem tal reale ergebnisse welches resultat bzw welche aussage stellt die lösung der aufgabe dar sie müssen noch vier stunden fahren nach weiteren km sind sie am bergsee nach weiteren vier std ist der roller am see sie sind noch km vom ziel entfernt sie müssen noch km fahren sie müssen noch zwei stunden fahren die mitte der gesamtstrecke liegt bei km mathematisches modell die gesamtstrecke beträgt km man wählt für die fahrzeit ab dem aussichtsturm die hälfte der gesamtstrecke beträgt km man wählt für die entfernung von zu hause die gesamtstrecke beträgt km funktion funktion mathematische ergebnisse entfernung in km zeitdauer in entfernung in km zeitdauer in volumen in zeit in min 9600 6400 3200 volumen in zeit in min 7500 5000 2500 ein zum drittel gefüllter haustank fassungsvermögen 7500 einer heizungsanlage wird mit öl befüllt die pumpe des tankwagens schafft in einer minute nach welcher zeit ist der tank voll reihenfolge wegen einer reparatur muss der zu befüllte feuerwehrtankwagen ladevolumen entleert werden in einer viertelstunde laufen 6000 ab nach welcher zeit ist der tank leer reihenfolge wie viel liter sind schon im tank lumen in zeit in min volumen in im tank 2500 nach 12,5 minuten ist der tank voll nach minuten ist der tank voll wie viel liter sind noch im tank zeit in min volumen in im tank 9600 nach minuten ist der tank leer steht für die zeit in minuten und für das volumen in liter im tank 2500 übersetzen interpretieren bewerten lösen mathematik reale welt

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lineare gleichungen mit zwei variablen von welchen gleichungen ist das zahlenpaar eine lösung kreuzen sie an 16,2 1,25 0,75 drei gleichungen werden nicht von gelöst ersetzen sie in diesen die zahl ohne variable so dass nun eine lösung ist zeichnen sie zur kontrolle die graphen der drei von ihnen gefundenen gleichungen linearer zuordnungen aus teilaufgabe in das koordinatensystem bestimmen sie die fehlende zahl so dass sich eine lösung von ergibt wenn sie die gefundenen zahlen auf das alphabet übertragen und richtig sortieren ergibt sich ein lösungswort 12,8 geben sie die gleichung zu jedem graphen an –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 –8 –10 –12 –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 ein bauer besitzt hasen und hühner zusammen haben sie beine wie viele hasen und wie viele hühner könnten dem bauer gehören stellen sie eine gleichung mit zwei variablen auf und geben sie alle möglichen ganzzahligen lösungen an gleichung gegeben ist folgende gleichung eine mögliche textaufgabe zu dieser gleichung könnte die anzahl der beine von und betreffen notieren sie ganzzahlige lösungen der gleichung anzahl hasen anzahl hühner anzahl anzahl y​=​–​​​​​x​+​3 ​​

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme suchen sie unter den gleichungen alle heraus die zusammen mit den punkt als lösung haben richtig sortiert ergeben die buchstaben der gesuchten gleichungen ein englisches lösungswort je zwei verbundene gleichungen bilden ein gleichungssystem notieren sie an den verbindungslinien ob das gleichungssystem keine eine oder unendlich viele gemeinsame lösungen hat ordnen sie die zahlenpaare den linearen gleichungssystemen als lösung zu ein zahlenpaar bleibt übrig bestimmen sie mit verschiedenen farben die lösung lesen sie die koordinaten für die probe ab 5​=​–3​+​8​ 5​=​–2•​(–​3)​–​1​ probe probe –​3 –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 –8 probe in der nähe einer polarstation leben tiere eistaucher und eisbären zusammen haben sie beine wie viele eistaucher und wie viele eisbären leben bei der polarstation steht für die anzahl der eistaucher und für die der somit ergeben sich folgende zwei gleichungen eines linearen gleichungssystems und 1’ 2’ es leben dort eistaucher und eisbären probe

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme veränderen sie jeweils eine der zwei gleichungen des linearen gleichungssystems an einer stelle so dass es unendlich viele lösungen gibt keine lösung gibt genau eine lösung gibt die leihgebühr für ein tretboot beträgt 8,00 pro halbe stunde muss man zusätzlich noch 6,00 zahlen bei einem anderen anbieter muss man pro boot eine grundgebühr von 2,00 und pro stunde 15,00 zahlen notieren sie die gleichung mit der sie den endpreis berechnen zeichnen sie alle zahlenpaare leihdauer preis in das koordinatensystem ein bei einer leihdauer von stunden beträgt der gesamtpreis bei beiden angeboten zeigen sie durch einzeichnen der funktionsgraphen in das koordinatensystem welche der vier linearen gleichungen gemeinsam genau eine keine bzw unendlich viele lösungen haben 3,75 mit mit mit mit mit mit timo hat lego-steine sechser und achter hinter einandergelegt bilden sie eine noppen lange reihe wie viele sechser– und achter-steine hat timo steht für die der sechser und für die anzahl der achter somit ergeben sich folgende gleichungen eines linearen gleichungssystems und 1’ 2’ lösen sie das lineare gleichungssystem durch das einzeichnen der graphen in das koordinatensystem in timos kiste liegen sechser und achter

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lösen durch gleichsetzen finden sie die fehler und korrigieren sie sie mit anschließender probe hier sind die lösungsschritte und die proben der beiden linearen gleichungssysteme durcheinander markieren sie zusammengehörende kärtchen in einer farbe nummerieren sie die abfolge der lösungsschritte +2 1,52 1,52 probe mit 3·0,76 0,76 probe mit 2' 2,88 2,88 2,88 stellen sie die linearen gleichungen von und auf berechnen sie den schnittpunkt der beiden graphen machen sie die probe gleichsetzen einsetzen von probe mit 1' –2 –2 –4 –4 2' 1' 0,76 gleichsetzen 9x einsetzen von in probe gleichsetzen einsetzen von in probe korrektur korrektur

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lösen durch addieren 1+2 setzen sie in ein probe mit gleichung lösen sie das lineare gleichungssystem mit dem additionsverfahren 1+2 setzen sie in ein probe mit gleichung bestimmen sie die fehlende gleichung 1+2 1+2 1+2 wilhelm soll am kiosk für seine familie und die verwandten die schon seit drei tagen zu besuch sind eis holen ein milchfinger kostet 1,20 und eine erdbeerhand 1,50 das geld hat er abgezählt mitbekommen genau 18,00 auf dem weg zum kiosk sagt sich wilhelm ständig vor wie viel von welchem eis er holen soll dabei vertauscht er leider irgendwann die eissorten beim bezahlen bekommt er 0,90 zurück stellen sie das lineare gleichungssystem auf und lösen sie mit dem additionsverfahren die variable steht für die anzahl der und die variable für die anzahl der umgeformt 1’ 2’ 1’+2’ zweite variable probe eigentlich soll wilhelm milchfinger und erdbeerhände holen das abgebildete parallelogramm und das große dreieck sind aus gleich großen gleichschenkligen dreiecken zusammengefügt worden parallelogramm großes dreieck markieren sie in den figuren gleich lange seiten mit gleichen farben stellen sie für beide figuren die gleichungen auf um ein gleichungssystem zu erhalten umfang parallelogramm cm umfang dreieck cm berechnen sie im heft die seitenlängen des gleichschenkligen dreiecks schenkellänge cm basislänge cm

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lösen mit verschiedenen verfahren lösen sie das lineare gleichungssystem mit dem additions verfahren lösen sie das lineare gleichungssystem mit dem einsetzungs verfahren lösen sie das lineare gleichungssystem mit dem gleichsetzungs verfahren 26,5 å8,5 setzen sie in ein 26,5 26,5 probe mit gleichung 18,5 18,5 18,5 in mit in mit in veränderen sie jeweils eine der beiden gleichungen des linearen gleichungssystems an einer stelle so dass es unendlich viele lösungen gibt keine lösung gibt genau eine lösung gibt 12,5 kreuzen sie an ob mit dem einsetzungsverfahren ev oder dem gleichsetzungsverfahren gv gearbeitet wurde und rekonstruieren sie die fehlende gleichung des linearen gleichungssystems ev gv ev gv ev gv ev gv die linearen gleichungssysteme wurden mit dem additionsverfahren gelöst ordnen sie jedem linearen gleichungssystem eine gleichung und eine lösung zu tragen sie den buchstaben passend in die zugehörigen kärtchen ein

lineare gleichungssysteme lineare gleichungssysteme lösen durch modellieren ii reale ergebnisse welches resultat bzw aussage stellt die lösung der aufgabe dar nach stunden sind die kosten gleich die sparlampen lohnen sich ab stunden kwh sind min die lebensdauer einer lampe beträgt bis zu stunden lohnen sich glühlampen nach stunden sind die kosten gleich bei einer täglichen betriebszeit von std lohnt sich die sparlampe nach dem tag aufgabe eine glühlampe kostet 1,00 und benötigt pro stunden kwh energie eine energiesparlampe kostet 12,00 und benötigt pro stunden kwh die lebensdauer der energiesparlampe ist 8-mal so hoch wie die der normalen glühlampe ab welcher betriebszeit lohnt sich finanziell der einsatz der energiesparlampe wenn man pro kwh ct bezahlen muss die aufgabe wurde in vier schritten gelöst finden sie in den vier kästen jeweils die für die lösung wichtigen informationen heraus markieren sie sie wenn sie die zahlen neben diesen aussagen addieren erhalten sie die stadtwerke norden bietet zwei gast-tarife an zum ersten einen tarif mit einem arbeitspreis von ct je kwh und einem grundpreis von 71,00 sowie einen zweiten tarif mit einem grundpreis von 157,00 und einem arbeitspreis von ct je kwh reihenfolge die stadtwerke norden bietet zwei stromtarife an zum ersten einen tarif mit einem arbeitspreis von ct je kwh und einem grundpreis von 36,00 sowie einen zweiten tarif mit einem grundpreis von 54,00 und einem arbeitspreis von ct je kwh reihenfolge realsituation für die rechnung wichtige aussagen lebensdauer sparlampe glühlampen die gesamtkosten beinhalten die betriebskosten und die anschaffungskosten kilowattstunde kwh minuten die anschaffungskosten sind irrelevant nach welcher betriebszeit sind die gesamtkosten bei beiden lampen gleich wie lang ist die lebensdauer einer lampe mathematisches modell man wählt für die anschaffungskosten in man wählt für die betriebszeit pro std man wählt für die gesamtkosten in eine gleichung lautet eine gleichung lautet je länger die betriebszeit desto geringer die proportionalen gesamtkosten also lautet eine gleichung eine gleichung lautet mathematische ergebnisse bewerten übersetzen lösen interpretieren bei welchem verbrauch verursachen die tarife genau die gleichen gesamtkosten 0,08 0,07 0,08 0,07 8600 bei einem verbrauch von 8600 kwh verursachen beide tarife gesamtkosten in höhe von 0,07 0,08 8600 ab welchem jährlichen verbrauch lohnt sich für den verbraucher der zweite tarif 0,36 0,36 112,5 76,5 verbraucher der zweite tarif ab einem verbrauch von 112,5 kwh lohnt sich wirtschaftlich der zweite tarif ab einem verbrauch von 76,5 kwh lohnt sich wirtschaftlich der zweite tarif kosten in zeitdauer pro 12,8 kosten in zeitdauer pro 12,8 ordnen sie die karten von bis in richtiger reihenfolge den aufgaben und zu karten bleiben übrig mathematik reale welt

quadratische funktionen quadratische funktionen die quadratische funktion geben sie die koordinaten des scheitelpunkts an und zeichnen sie den graphen der funktion in das koordinaten system vergleichen sie die graphen wenn man den graphen aus normalparabel um nach verschiebt erhält man die parabel aus wenn man die normalparabel um bzw nach verschiebt erhält man die parabeln aus bzw alle graphen haben dieselbe form wie die normalparabel füllen sie die lücken mit den zahlen der kärtchen sodass die punkte auf der normalparabel liegen 1,21 die parabel einer quadratischen funktion mit der gleichung verläuft durch den angegebenen punkt geben sie die zugehörige funktionsgleichung an –2 –5 ​+​c ​+​c =​c also ​x​​ geben sie die zugehörige funktionsgleichung an kreisen sie die punkte ein die auf der normalparabel liegen 0,25 die anderen drei punkte liegen auf einer verschobenen normalparabel wie heißt die funktionsgleichung 2,25 2,25 0,64 10,24

quadratische funktionen quadratische funktionen die quadratische funktion die wertetabelle gehört zu einer quadratischen funktion zeichnen sie ihr schaubild ordnen sie die passende funktionsgleichung zu verbinden sie jeden punkt mit dem graphen auf dem er liegt tipp auf einem der graphen liegen zwei punkte vergleichen sie lage und form des graphen der vorliegenden funktion mit der normalparabel kreuzen sie die eigenschaften in der tabelle an und tragen sie den entsprechenden wert ein funktionsgleichung verschoben um nach geöffnet nach oben unten oben unten breiter schmaler 1​längeneinheit ordnen sie jeder funktionsgleichung den passenden graphen zu funktion zeichnen sie ihr schaubild ordnen sie die liegt auf dem graphen der funktion bestimmen sie die funktionsgleichung ​–​3

quadratische funktionen quadratische funktionen die scheitelpunktform das schaubild zeigt verschobene normalparabeln lesen sie die koordinaten des scheitelpunkts am graphen ab und geben sie die funktionsgleichung in scheitelpunktform an welche punkte liegen auf dem graphen 3,75 die punkte liegen auf der parabel die punkte liegen auf der parabel geben sie die koordinaten des scheitelpunkts an stellen sie dann die funktionsgleichung in scheitelpunktform auf wandlen sie sie in die form um die normalparabel wurde um le nach rechts und um nach unten verschoben die normalparabel wurde um le nach links und nach oben verschoben zu jeder funktionsgleichung mit gehört eine gleichung in scheitelpunktform verbinden sie die paare –​3 +​1 quadratische ergänzung binomische formel scheitelpunktform wandlen sie in die scheitelpunktform um und bestimmen sie den scheitelpunkt –​10 –​10 ​+​(​​ ​)​​

quadratische funktionen quadratische funktionen quadratische gleichungen und quadratische ergänzungen lösen sie die gleichung ohne taschenrechner 0,04 ​x​​​= geben sie die lösungsmenge an runden sie gegebenenfalls auf zwei nachkommaziffern |​+​19 3​​x​​​= lösen sie die gleichung |​​ 40,5 x​+​3​=​±​1 |​–​3 x​=​±​1​–​3 füllen sie die lücken 1.​binomische​formel a​+​b)​​​​​=​​a​​​+​2​a​​b​+​b​​ 2.​binomische​formel a​–​b)​​​​​=​​a​​​–​2​a​b​+​​b​​ lösen sie die gleichung mithilfe der quadratischen ergänzung |​–​5 –​5 +​​​​​​​​​​ ​​ +​​​​​​​​​​ ​​ +​9 +​9 x​+​3)​​​​​= quadr ergänzung

quadratische funktionen quadratische funktionen nullstellen quadratischer funktionen zeichnen sie den graphen der funktion und lesen sie dann die nullstellen der funktion ab nullstellen sind 2,25 keine nullstelle hat die funktion nullstelle hat die funktion die funktionen und haben nullstellen wie viele nullstellen hat die funktion funktionsgleichung scheitelpunkt anzahl der nullstellen keine eine zwei geben sie zu den nullstellen die koordinaten des scheitelpunkts der verschobenen normalparabel an stellen sie dann die funktionsgleichung auf tipp machen sie sich eine skizze berechnen sie die nullstellen der funktion 1,21 ​0​=​​x​​ –​16 0​=​ ​​0​=​​(x​+​3)​​​–​1 1​= ±​1​= bringen sie die funktionsgleichung zuerst auf die scheitelpunktform geben sie dann die nullstellen an

quadratische funktionen quadratische funktionen nullstellen quadratischer funktionen bestimmen sie die lösungen rechnerisch mithilfe der p-q-formel und und und multiplizieren sie die gleichung so dass vor der faktor steht und lösen sie sie dann verbinden sie zusammengehörige kärtchen tipp es gehören jeweils vier kärtchen zusammen ergänzen sie die tabelle quadratische gleichung einsetzen in p-q-formel wert der diskriminante anzahl der lösungen lösungen falls vorhanden 1,​2 ​=​–​2​±​​ ​+​21​​ ​+​21​=​25​>​0 2,25 {– 1} {– {1 {1}

quadratische funktionen quadratische funktionen schnittpunkte bestimmen sie die gemeinsamen schnittpunkte der parabeln rechnerisch berechnen sie die schnittpunkte zwischen parabel und gerade bestimmen sie die schnittpunkte der graphen der funktionen zeichnerisch und rechnerisch 0,75 lösen sie im kopf wie viele gemeinsame punkte haben die graphen der funktionen –2 punkt(e punkt(e punkt(e punkt(e die punkte und liegen auf der parabel mit der funktionsgleichung die geradengleichung des graphen welcher die gegebene parabel in den punkten und schneidet lautet fertigen sie eine skizze an

quadratische funktionen quadratische funktionen lösen durch modellieren iii eine zwischen zwei masten durchhängende hoch spannungsleitung hat die form einer parabel geben sie die funktionsgleichung unter berücksichtung des ursprungs des koordinatensystems und der umweltbedingungen an die leitung hängt unterschiedlich weit durch der ursprung liegt im scheitelpunkt der ursprung liegt in der spitze des linken mastes der ursprung liegt im fußpunkt des linken mastes das kabel hängt durch im hochsommer hängt es durch im vereisten zustand hängt es durch die flugbahn einer kugel beim stoßen lässt sich beschreiben mit 0,04 dabei ist die weite und die höhe in nach zwei metern horizontalen fluges hat die kugel eine höhe von metern über der abwurfhöhe wenn die kugel eine höhe von einem meter über der abwurfhöhe hat ist sie horizontal bereits meter weit geflogen ihre maximale höhe von metern über der abwurfhöhe erreicht die kugel nach metern horizontalen fluges ein basketballspieler wirft in einer hohen halle den ball entsprechend der funktionsgleichung 0,16 genau in richtung korb und trifft der korb hängt höher als der abwurfpunkt skizzieren sie die wurfparabel die x-achse stellt die abwurfhöhe dar also die höhe null der abwurfpunkt war genau meter vom korb entfernt die höhendifferenz zwischen ball und korb betrug im maximum meter ein werfer der gegenmannschaft hat aus dem stand heraus einen genialen wurf der der funktionsgleichung folgt welche tatsache hat den korbtreffer aus über entfernung verhindert berechnen sie zunächst die funktionsgleichung in der form und bestimmen sie hier und für den fall dass der ursprung gleichzeitig scheitelpunkt ist verschieben sie dann den ursprung und überlegen sie welcher scheitelpunkt daraus folgt beachten sie den eingangstext für diese aufgabe

trigonometrie trigonometrie strahlensätze berechnen sie die fehlenden längen kennzeichnen sie zunächst die gegebenen stücke in der skizze farbig skizze sa cm mm dm sp cm dm sb cm cm sq mm dm ab cm mm dm pq mm 10,5 cm cm ergänzen sie die gleichungen zu der strahlensatzfigur sa sp sb ab bq sb in den orangen lösungen stecken insgesamt sechs fehler finden und korrigieren sie sie 0° 0° 0° 3,75 0° 0° 0° 0° 0° 0° 2,25 2,75 0° 0° 0° berechnen sie alle fehlenden stücke ergänzen sie dabei zunächst die strahlensatz gleichungen in teilaufgabe sind drei stücke gleich lang cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm

trigonometrie trigonometrie strahlensätze anwenden bei einer lochkamera wird das bild eines gegenstands mithilfe einer kleinen öffnung auf einem schirm rückwand der box erzeugt im physikunterricht wird meist das bild einer kerzenflamme untersucht wenn der abstand vom loch zum schirm größer wird so wird das bild größer/ kleiner/ gleich groß wird der abstand vom gegenstand zum loch größer so wird das bild größer/ kleiner/ gleich groß ein lippenstift ist cm hoch und der abstand vom loch zum schirm beträgt cm damit das bild des lippenstifts cm groß wird muss er cm vor dem loch platziert werden johanna ist bei der schulaufführung eines schattentheaters beteiligt sie wird von einem scheinwerfer angestrahlt und ihr schatten fällt auf eine leinwand die sich zwischen ihr und dem publikum befindet wenn sich johanna der leinwand nähert so wird ihr schatten größer/kleiner johanna stellt sich genau in die mitte zwischen scheinwerfer und leinwand ihr schatten ist dann wie sie nun stellt sie sich so dass es bis zum scheinwerfer und bis zur leinwand sind johanna ist 1,59 groß johannas schatten ist dann groß rechnen und zeichnen sie rechts kim sieht aus dem fenster des klassenzimmers einen kirchturm bei ausgestrecktem arm verdeckt ihre waagerechte daumenbreite den turm gerade vollständig sie überlegt ob sie mithilfe der strahlensätze berechnen kann wie hoch der kirchturm ist sie misst ihre daumenbreite mm und die länge ihres ausgestreckten arms cm welche angabe fehlt ihr damit sie die höhe des kirchturms berechnen kann scheinwerfer johanna leinwand eine mauer wirft zu einer bestimmten uhrzeit einen schattenstreifen der breit ist luc stellt sich so in diesen schattenraum dass er gerade keinen sichtbaren schatten mehr erzeugt luc ist 1,75 groß und steht von der mauer entfernt ergänzen sie die zeichnung stellen sie eine strahlensatz gleichung auf und berechnen sie die höhe der mauer

trigonometrie trigonometrie sinus kosinus tangens markieren sie im rechtwinkligen dreieck jeweils ankathete gegenkathete und hypotenuse von geben sie dann zu jedem dreieck sin cos und tan als bruch an sin sin cos cos tan tan richtig oder falsch kreuzen sie an und korrigieren sie die fehler in den seitenverhältnissen seitenverhältnis richtig falsch korrektur sin sin​ ​=​​​ sin cos tan cos es ist tan skizzieren sie zwei dreiecke mit diesem seitenverhältnis b’ kreuzen sie richtige aussagen an sin cos tan 0,75 cos sin tan sin cos cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm a’ cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm schreiben sie alle unterschiedlichen möglichkeiten auf sin sin cos cos sin sin cos cos

trigonometrie trigonometrie rechtwinklige dreiecke berechnen ordnen sie die kärtchen bis den dreiecken passend zu achten sie darauf dass die unbekannten winkel und seiten nur mit den vorgegebenen werten berechnet werden 56° cm cm cm 34° cm cm cm sin cos tan tan 90° sin cos 90° sin tan ein turm ist von einem geradlinig verlaufenden fluss entfernt von der aussichts plattform in höhe erscheint das jenseitige flussufer unter einem winkel von 50° wie breit ist der fluss welche skizze passt zur aufgabe kreuzen sie sie an bestimmen sie mit 40° 50° es geht abwärts höhenunterschied zurückgelegte wegstrecke distanz auf die horizontale grundebene bezogener abstand ergänzen sie die tabelle t1 t2 segelflieger 3,4° autofahrer 11,5 wanderer 35,2 welche bewegung ist am steilsten tan auch bei gefälle wird auf straßenschildern die steigung in positiven prozentzahlen angegeben beispiel 0,05 entspricht gefälle segelflieger autofahrer wanderer wer überwindet den größten höhenunterschied 40° 40° 40°

trigonometrie trigonometrie allgemeine dreiecke berechnen von dem allgemeinen dreieck sind bekannt cm cm 65° tragen sie alle bezeichnungen und die bekannten werte in die skizze ein nummerieren sie die gleichungen in der reihenfolge die sie zur berechnung der fehlenden winkel und strecken nutzen führen sie die berechnungen durch sin sin 180° cos cos die tabelle zeigt welche teile eines dreiecks bekannt sind wie müssen sie das dreieck zerlegen um alle anderen teile nacheinander berechnen zu können beschriften sie die dreiecke ergänzen sie die tabelle einzeichnen ​h​​ tragen sie die geeignete höhe zum zerlegen des dreiecks ein berechnen sie alle winkel und alle seiten berechnen sie den flächeninhalt der dreiecke es sind manchmal mehr angaben notiert als nötig achtung in jeder formel finden sie einen fehler korrigieren sie ihn bevor sie rechnen cm cm 50° sin cm cm 40° sin 45° cm cm cm cm 33° sin der radius des kreises ist cm berechnen sie die fläche des fünfecks die fünf teildreiecke sind dreiecke der mittelpunktswinkel eines teildreiecks beträgt die dreieckshöhe ist sin cm die grundseite cos cm die fläche eines teildreiecks ist die gesamtfläche ist 38° cm cm 80° cm cm

trigonometrie trigonometrie sinussatz und kosinussatz tragen sie die winkelund seitenbenennungen und in die dreiecke ein untersuchen sie jedes dreieck darauf ob die angegebenen winkelgrößen und seitenlängen ausreichen um den sinussatz oder den kosinussatz anzuwenden kreuzen sie in der tabelle entsprechend an dreieck kosinussatz sinussatz unbestimmt 57° 40° 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm setzen sie bei den passenden dreiecken ein und berechnen sie dreiec cos cos dreiec cos cos ein sportverein startet beim familienfest einen besonderen wettlauf eltern und kinder starten gleichzeitig bei während die großen rund um das dreieck acb zurück zum start laufen nehmen die kleinen die abkürzung entlang der höhenlinie berechnen sie die länge der kürzeren laufstrecke kosinussatz dreieck pbc bestimmen sie wie viel mal schneller die großen laufen müssen um das ziel genauso schnell wie die kleinen zu erreichen die großen müssen -mal oder schneller laufen start und ziel an einem langen berghang mit dem neigungswinkel 25° sollen terrassen für die bepflanzung angelegt werden die stützmauern werden 1,50 hoch der boden hat dann nur noch 10° neigung 10° 25° berechnen sie die länge der strecke die ein terrassenstück am hang bedeckt wie viele terrassen müssen mindestens angelegt werden 180°​–​ berechnen sie den flächenquerschnitt einer terrasse berechnen sie das volumen des erdbodens der auf einem breiten stück auf geschüttet wird acht schritte führen von den ablesbaren daten zur größe des winkels nummerieren sie die schritte mit bis berechnen sie dann 37,4° 7,6° berechnen sie wie viel prozent der weg länger ist sinussatz kosinussatz kosinussatz winkelsumme sinussatz sinussatz sinussatz winkelsumme ergänzungswinkel ergänzungswinkel

trigonometrie trigonometrie trigonometrie in ebene und raum laura und sören berechnen den flächeninhalt eines vierecks auf zwei verschiedene arten führen sie beide berechnungen durch und tragen sie dabei die zwischenergebnisse in die skizzen ein laura rechnet das dreieck abc ist und flächeninhalt 69° cm cm cm abc c​–​45°​= ​a​​​+​​b​​​​​ acd gesamtfläche abcd sören rechnet im dreieck hcd ist cm cm hcd cm cm flächeninhalt des vierecks abhe cm flächeninhalt des dreiecks ade gesamtfläche abcd beschreiben sie worin sich die beiden ansätze unterscheiden sie stehen an einer rechtwinkligen weggabelung in km entfernung luftlinie liegt der ort ellstadt den sie erreichen möchten entscheiden sie sich für den rechten weg kommen sie nach km zur urg und biegen sie dort im rechten winkel nach links ab der zweite weg führt von nach links nach km kommen sie zum orf und biegen schräg rechts ab nach ellstadt bestimmen sie den kürzeren weg erstellen sie eine planskizze und berechnen sie die weglängen bc mit pythagoras bac mit cos cad mit 90°-ergänzung ac im dreieck acd mit sin strecke von zum fußpunkt von ac mit pythagoras obere teilstrecke von ac dc nun mit pythagoras die differenz zwischen linkem und rechtem weg beträgt km mit km ist der weg der kürzere eine schülergruppe erstellt einen längsschnitt einer abraumhalde den steigungswinkel des ersten anstiegs messen sie mit 33,7° der weg ad ist lang weitere sind es bis zum gipfel in höhe nach abstieg ist punkt erreicht bestimmen sie die größe der schnittfläche tragen sie daten und hilfslinien in die skizze ein welches volumen hat die halde bei einer seitenlänge von 69° cm cm cm

trigonometrie trigonometrie trigonometrie in ebene und raum kreuzen sie die eigenschaften der dreiecke an liegt in der mitte der strecke fg benennen sie rechte winkel und gleich lange seiten der dreiecke rechtwinklig gleichschenklig gleichseitig afh a​f​=​ f​h​=​a​h bhd bcf acg bck ebh die quadratische pyramide hat eine grundkantenlänge von cm und eine höhe von cm zeichnen sie den winkel zwischen der grundfläche und einer seitenfläche sowie den winkel zwischen der grundfläche und einer seitenkante ein beschriften sie eine skizze der stützbzw hilfsdreiecke berechnen sie die größe der winkel und ein quader hat die kantenlängen cm cm und cm schneidet man den quader wie abgebildet durch erhält man ein viereck bche in dem liegt färben sie das rechtwinklige dreieck in dem liegt berechnen sie nun im gleichen quader soll nun der winkel berechnet werden zeichnen sie zuerst eine geeignete schnittfläche ein nutzen sie dazu geeignete hilfslinien berechnen sie zunächst eb als flächen diagonale mithilfe des satzes von pythagoras betrachten sie das rechteck acge der schnittpunkt der diagonalen liegt auf halber höhe

trigonometrie trigonometrie sinus und kosinus am einheitskreis bestimmen sie zeichnerisch näherungswerte sin 70° 0,94 cos 120° sin 250° cos 320° füllen sie die lücken mit den passenden werten der kärtchen sin 140° sin cos cos sin 10° sin cos cos sin sin cos 120° cos 50° 40° 240° 130° 80° 70° 170° 250° 280° 3å0° 330° 2å0° 70° bestimmen sie zeichnerisch alle winkel zwischen 0° und 360° für die gilt sin 44° sin cos

weitere funktionen weitere funktionen sinusfunktion und kosinusfunktion kreuzen sie an welche aussagen auf die sinusfunktion zutreffen und welche auf die kosinusfunktion aussage sinusfunktion kosinusfunktion der funktionswert ist bei 270° die funktion nimmt keine werte kleiner als an im intervall 0° 180° sind die funktionswerte positiv im intervall 0° 360° liegen alle funktionswerte zwischen und der funktionswert an der stelle 180° ist der funktionswert ist bei 180° die funktion hat an der stelle 90° denselben wert wie an der stelle 270° der graph der funktion verläuft für 0° 180° oberhalb der x-achse zu jeder karte in der ersten zeile passt jeweils eine karte in der zweiten und der dritten zeile verbinden sie sie sin sin cos cos sin 0,84 cos 0,96 57,3° 30° 343,8° cos cos 0,54 270° sin 0,28 45° sin füllen sie mithilfe der symmetrieeigenschaften der sinusund kosinusfunktion die lücken so aus dass auf beiden seiten der gleichung verschiedene terme stehen für alle 0° 90° gilt sin sin 180°​-​ cos cos( -​ sin 90° sin cos 90° cos sin 180° cos 180° füllen sie die tabelle mit exakten werten aus 0° 30° 45° 60° 90° 135° 180° 270° 360° sin cos 90˚ 180˚ 270˚ 360˚ cos sin

weitere funktionen weitere funktionen wachstumsfaktor und wachstumsrate in der tabelle findet man die anzahl der touristen in millionen für verschiedene regionen berechnen sie die fehlenden werte in der tabelle tragen sie die wachstumsrate in und als dezimalzahl in die karte ein europa asien/ pazifik amerika afrika mittlerer osten 2014 588,4 263,0 180,6 56,0 50,3 2010 484,4 205,1 150,6 49,9 58,2 absolute zu-/ abnahme +​104,0 wachstumsfaktor 1,2147 färben sie die vier zusammengehörenden kärtchen in einer farbe und füllen sie die lücken der umsatz von millionen hat um zugenommen die produktion hat sich um auf millionen stück verringert der wert ist um das 1,02­fache auf 12,24 millionen gestiegen der wachstumsfaktor beträgt 1,02 der wachstumsfaktor beträgt der wachstumsfaktor beträgt die neue größe erhält man indem man mit 1,02 multipliziert die alte größe erhält man indem man durch 0,98 dividiert die alte größe erhält man wenn man durch der neue umsatz beträgt die produktion lag vorher bei stück der alte wert betrug klaus hat anhand von alten und neuen größen die wachstumsraten und -faktoren berechnet an einigen stellen hat er sich verrechnet streichen sie falsche rechnungen durch und berichtigen sie sie alte größe neue größe zu-/abnahme wachstumsrate wachstumsfaktor 1200 1500 0,03 0,03 0,97 13,5 40% 0,40 0,60 in zeitungsartikeln findet man oft auch angaben über wachstum die dort angegebenen prozentzahlen sind nicht immer die wachstumsraten beantworten sie die fragen zu den meldungen wie viele tonnen butter wurden mehr produziert wie viele computer wurden im zweiten quartal 2008 ausgeliefert wie groß war die see fläche vor vier jahr zehnten im jahr 2007 wurden rund butter in deutschland produziert 2008 waren es rund ein großer computerhersteller hat 2009 im zweiten quartal computer ausgeliefert das sind weniger als im entsprechenden vorjahresquartal der tschadsee das größte süßwasserreservoir afrikas ist in den vergangenen jahren auf 2500 im jahr 2009 seiner fläche geschrumpft

weitere funktionen weitere funktionen exponentielles wachstum im jahr 1990 hatte china 1,149 milliarden einwohner 1991 waren es rund 1,164 milliarden bestimmen sie die wachstumsrate und den wachstumsfaktor vier nachkommastellen prognostizieren sie die anzahl der einwohner vier nachkommastellen 1995 1,149​milliarden​·​1,013​1​​ 2000 2005 tatsächlich betrugen die einwohnerzahlen alle in milliarden 1,213 1995 1,269 2000 und 1,312 2005 bestimmen sie die wachstumsraten und -faktoren für ein fünfjähriges wachstum mit den realen daten 1990 bis 1995 1995 bis 2000 2000 bis 2005 was fällt ihnen an den jetzt berechneten wachstumsraten auf in einer essensprobe befinden sich bakterien deren anzahl sich alle minuten verdoppelt ein kapital von 5000 wird zu 4,25 für jahre fest angelegt bestimmen sie wachstumsrate wachstumsfaktor und endkapital zeichnen sie den graphen der kapitalentwicklung für die anlage nach wie vielen jahren hat sich das kapital verdoppelt zeit in jahren kapital in 8000 4000 tragen sie die berechnete anzahl der bakterien in die spalte bakterienzahl ein sowie in die spalte die anzahl der will man die gleichung der exponentialfunktion aufstellen so muss man beachten dass für das verdoppeln jeweils minuten benötigt werden tragen sie ihre rechnungen ausgehend von dem grundwert in die tabelle ein nach minuten sind bakterien vorhanden berechnen sie die anzahl der bakterien vor der probenentnahme mithilfe der gleichung minuten bakterien zahl rechnung 400​·​​2​​ min vorher min vorher min vorher å20 min vorher

weitere funktionen weitere funktionen exponentielle abnahme ein fußball fällt aus höhe auf den boden nach dem ersten aufprall erreicht er eine höhe von cm nehmen sie exponentielle abnahme an berechnen sie die erreichten höhen des n-ten aufpralls aufprall höhe in 1,45 bestimmen sie den funktionsterm ab dem aufprall erreicht der ball die höhe von nicht mehr koffein ist in einigen getränken enthalten bei jugendlichen setzt die wirkung von koffein nach ungefähr einer stunde ein danach nimmt der koffein gehalt im blut mit einer halbwertszeit von drei stunden ab das heißt nach stunden ist nur noch halb so viel koffein im blut gehen sie von dem genuss von je getränk aus berechnen sie zunächst wie viel koffein aufgenommen wird und füllen sie dann die tabelle aus wann wird der wert von mg koffein im blut erreicht oder unterschritten cola cola light energy koffeingehalt im blut in mg zeit cola cola light energy koffeingehalt,​z.​b.​von cola:​ 10​mg​pro​100​ml cola​light:​20​%​mehr​als​cola energy:​ 32​mg​pro​100​ml​ zwei unterschiedliche flüssigkeiten werden abgekühlt die erste flüssigkeit hat eine ausgangstemperatur von °c die zweite flüssigkeit ist anfangs °c heiß nach fünf minuten ist die erste flüssig keit noch °c die zweite °c warm die temperaturabnahme erfolgt exponentiell welche temperatur haben beide flüssigkeiten nach zehn und nach minuten tragen sie in die tabelle ein nach minuten hat die erste eine temperatur unter °c nach minuten die zweite flüssigkeit zeit in min flüssigkeit flüssigkeit wissenschaftler beobachten den bestand einer seltenen pflanze im urwald im jahr 2008 gab es noch 1500 exemplare der pflanze ein jahr später hat sich die anzahl um verringert jahr pflanzenbestand stück 2008 2010 2012 1600 1400 1200 1000 2009 2011 2013 nehmen sie lineares wachstum an wie viele pflanzen werden dann 2010 2011 gezählt zeichnen sie die punkte ein geben sie die gleichung an gehen sie nun von einer exponentiellen abnahme aus dann werden 2010 2011 nur noch pflanzen gezählt gleichung zeichnen sie auch diese funktion in die grafik bei linearem wachstum wird sich der bestand nach jahren bei exponentieller abnahme nach jahren halbiert haben

weitere funktionen weitere funktionen exponentialfunktion zeichnen sie die graphen und durch zwischenwerte können sie noch genauer zeichnen was stellen sie fest die exponentialfunktion soll durch den angegebenen punkt gehen ordnen sie richtig zu und geben sie den buchstaben des passenden graphen bei der funktionsgleichung an 0,25 0,25 graph term 3​· ​​ 0,375 12,5 5000 kreuzen sie die aussagen an die für zutreffen die lösungssilben ergeben ein lösungswort betrachten sie die schnittstellen mit der y-achse und beachten sie dass ist die exponentialfunktion hat die form bestimmen sie den funktionsterm und berechnen sie die fehlenden werte runden sie auf drei nachkommastellen notieren sie dann den buchstaben des entsprechenden graphen term aussage lösungssilben der graph steigt da ist un der graph steigt da ist klet der schnittpunkt mit der y-achse ist ter der schnittpunkt mit der y-achse ist gar der graph steigt da ist ten der graph fällt da ist tas der schnittpunkt mit der y-achse ist teras der graph geht durch die punkte und 0,004 sen der graph schneidet im punkt die x-achse weg

üben und wiederholen üben und wiederholen üben und wiederholen in den urnen befinden sich weiße kugeln zeichnen sie zusätzlich schwarze und rote kugeln in passender anzahl in die urnen sodass die wahrscheinlichkeit eine weiße kugel zu ziehen beträgt urne eine weiße oder schwarze kugel mit einer wahrscheinlichkeit von gezogen wird urne die wahrscheinlichkeit eine weiße kugel zu ziehen beträgt und die wahrscheinlichkeit keine schwarze kugel zu ziehen beträgt urne aus einem aquarium wird ein zufällig gefangener fisch verkauft bestimmen sie für jedes aquarium die wahrscheinlichkeit der ereig nisse tragen sie sie in bruchschreibweise in die tabelle ein notieren sie steigung y-achsenabschnitt und funktionsgleichung der dargestellten schaubilder wie lautet die gleichung der linearen funktion die durch und geht berechnen und kontrollieren sie mithilfe einer zeichnung das dreieck das die geraden und mit der y-achse bilden hat einen flächeninhalt von fe zeichnen sie die schaubilder der parabeln in unterschiedlichen farben in das koordinatensystem füllen sie die tabelle aus parabel scheitel öffnung form 0​|​3 nach​unten wie​np einen grauen fisch erhalten einen schwarzen oder weißen fisch erhalten einen orangen oder grauen fisch erhalten keinen schwarzen fisch erhalten

üben und wiederholen üben und wiederholen üben und wiederholen zeichnen sie die schaubilder der funktionen in verschiedenen farben in das kordinatensystem ein eine weitere gerade mit der steigung verläuft durch den punkt zeichnen sie ihr schaubild bestimmen sie ihre funktionsgleichung wie lauten die funktionsgleichungen der abgebildeten parabeln sind nur zwei punkte angegeben durch die die normalparabel geht bestimmen sie die scheitelpunktform überprüfen sie anhand einer skizze die parabel ist nach oben geöffnet die parabel ist nach oben geöffnet die parabel ist nach unten geöffnet von einem dreieck sind gegeben cm 39,0° und 81,0° zur berechnung sind drei zerlegungsvorschläge abgebildet kann man so die fehlenden winkel und seiten berechnen wenn nein begründen sie wenn ja berechnen sie sie wenn nur seite eines dreiecks gegeben ist sollte diese nicht werden da sonst für die berechnung nötige informationen gehen bei einem dreieck sind 25,4° und cm bekannt der flächeninhalt des teildreiecks aec ist dreimal so groß wie der des teildreiecks ebc berechnen sie umfang und flächeninhalt des dreiecks abc benennen sie alle größen des dreiecks nummerieren sie die kärtchen in der reihenfolge in der sie die formeln und sätze verwenden und schreiben sie die teilergebnisse auf die kärtchen trigonometrische funktion flächeninhalt berechnen satz des pythagoras satz des pythagoras flächeninhalt berechnen sätze verwenden und schreiben sie die teilergebnisse auf die kärtchen umfang berechnen flächeninhalte addieren zusammenhang nutzen

üben und wiederholen üben und wiederholen üben und wiederholen füllen sie die lücken lösen sie die quadratische gleichung mit beiden verfahren quadratische ergänzung p­q­formel probe für und gleichung links eine umformung mitte und ein oder zwei lösungskärtchen rechts gehören zusammen färben sie die kärtchen in der gleichen farbe notieren sie die zwischenschritte auf einem extrablatt 8,75 2,25 8,75 2,25 lösen sie die klammern auf stellen sie eine quadratische gleichung auf und lösen sie sie notieren sie auf den kärtchen den buchstaben der teilaufgabe zu der sie gehören binomische formel binomische formel quadratische ergänzung lösungsformel

üben und wiederholen üben und wiederholen üben und wiederholen beim abgebildeten glücksrad sind alle felder gleich wahrscheinlich bestimmen sie die wahrscheinlichkeit wenn man das glücksrad einmal dreht nun wird das glücksrad zweimal gedreht die wahrscheinlichkeit als summe die zahl zu erhalten beträgt in einer box befinden sich nebenstehende kärtchen bestimmen sie die wahrscheinlichkeit ein graues kärtchen zu ziehen markieren sie die zum ereignis gehörenden kärtchen mit einem kreuz graues kärtchen ein kärtchen mit einer ungeraden zahl zu ziehen markieren sie die zum ereignis gehörenden kärtchen mit einem kreis ungerade zahl ein graues kärtchen oder ein kärtchen mit einer ungeraden zahl zu ziehen graues kärtchen oder ungerade zahl man muss von der summe der beiden einzelwahrscheinlichkeiten noch abziehen da man kärtchen doppelt gezählt hat ordnen sie jeder aufgabe einen lösungshinweis zu ein hinweis wird mehrfach verwendet a1 schnittpunkt(e zweier parabeln berechnen a6 schnittpunkt einer funktion mit der y­achse bestimmen a7 abstand zweier punkte berechnen a8 normalform einer parabel in die scheitelpunktform umwandeln a9 funktion aus einem punkt und unvollständiger funktionsgleichung bestimmen a10 funktionsgleichung aus zwei punkten bestimmen a2 schnittpunkt zwischen parabel und gerade berechnen a3 schnittpunkt zweier geraden berechnen a4 zwei geraden sind parallel zueinander a5 nullstellen einer funktion bestimmen l1 funktionsgleichungen gleichsetzen l6 in die funktionsgleichung einsetzen l5 satz des pythagoras im koordinatensystem anwenden l8 quadratische ergänzung l2 koordinaten des punkts in funktionsgleichung ein setzen l3 punkte in funk tion einsetzen lineares gleichungssystem lösen l7 gleiche steigung l4 funktionsterm gleich null setzen jeweils vier kärtchen gehören zusammen bezeichnen sie zueinander gehörende kärtchen mit dem gleichen buchstaben zwei kärtchen bleiben übrig nach unten geöffnet und schmaler als eine normalparabel um le nach links und le nach unten verschobene normalparabel nach unten geöffnet und als einzige nullstelle nach oben geöffnet und nur ein achsenschnittpunkt 4,75 4,75 wertetabelle zu wertetabelle zu 12,5 21,5 32,5 wertetabelle zu 20,25 12,25 6,25 2,25 0,25 wertetabelle zu 14,75 8,75 4,75 2,75 2,75

register register bsolute häufigkeit allgemeines dreieck ankathete arithmetisches mittel alkendiagramm baumdiagramm bewerten boxplot aten diagramm balkendiagramm kreisdiagramm säulendiagramm dreieck allgemeines dreieck rechtwinkliges dreieck inheitskreis einstufiger zufallsversuch ergebnisse mögliche ergebnisse günstige ergebnisse exponentialfunktion exponentielle abnahme exponentielles wachstum unktion exponentialfunktion kosinusfunktion lineare funktion proportionale funktion quadratische funktion sinusfunktion funktionsgleichung egenkathete gerade gleichung lineare gleichung quadratische gleichung günstige ergebnisse albwertszeit häufigkeit hypotenuse nterpretieren enngröße kosinus kosinusfunktion kosinussatz kreisdiagramm ineare funktion lineare gleichung lineares gleichungssystem lösen genau eine lösung keine lösungen lösen durch addieren lösen durch gleichsetzen lösen durch modellieren lösen mit verschiedenen verfahren unendlich viele lösungen lösungsverfahren additionsverfahren einsetzungsverfahren gleichsetzungsverfahren verschiedene verfahren athematische ergebnisse mathematisches modell maximum minimum mögliche ergebnisse ormalparabel nullstellen beres quartil arabel normalparabel pfad p-q-formel probe proportionale funktion uadratische ergänzung quadratische funktion quadratische gleichung quartil angliste reale ergebnisse realsituation rechtwinkliges dreieck relative häufigkeit äulendiagramm scheitelpunkt scheitelpunktform schnittpunkt sinus sinusfunktion sinussatz spannweite steigung steigungsdreieck strahlensatz stützdreieck angens trigonometrie bersetzen unteres quartil achstum wachstumsfaktor wachstumsrate wahrscheinlichkeit winkelfunktion entralwert zufallsversuch einstufiger zufallsversuch zweistufiger zufallsversuch die seitenangaben verweisen auf die lerneinheit

bildquellennachweis daimler ag stuttgart klett-archiv ingeborg hoke stuttgart istockphoto mariemlulu calgary alberta fotolia.com jim parkin new york istockphoto macijel noskowski calgary alberta cover istockphoto logoff calgary alberta sollte es in einem einzelfall nicht gelungen sein den korrekten rechteinhaber ausfindig zu machen so werden berechtigte ansprüche selbstverständlich im rahmen der üblichen regelungen abgegolten

schnittpunkt mathematik arbeitsheft grundlagen schnittpunkt mathematik für die berufsfachschule arbeitsheft grundlagen grundlagen und rechenfertigkeiten wiederholen umfangreiche aufgabensammlung zum üben und vertiefen geeignet für alle fachrichtungen themen daten wahrscheinlichkeiten lineare funktionen lineare gleichungssysteme quadratische funktionen trigonometrie weitere funktionen