lösungen die summe der prozentsätze im kreisdiagramm muss betragen zu gleichen prozentsätzen zeichnet man immer gleich große winkel entsprechen 90° entsprechen 36° und entspricht 3,6° gewichtsklasse 18° gewichtsklasse 54° gewichtsklasse 90° anzahl kinder gewichtsklasse ab cd ef gh gewichtsklasse 72° gewichtsklasse 17,5 63° gewichtsklasse 36° gewichtsklasse 18° kenngrößen seite und ++ größe der zimmer zimmerservice qualität des essens service im restaurant rezeptionsservice minimum spannweite maximum zentralwert arithmetisches mittel 17,52 17,52 es wurden in der letzten woche insgesamt ausgegeben da der mittelwert der einzelnen ausgaben der vier familienmitglieder bei liegt wurden insgesamt ausgegeben damit hat der vater für sein hobby ausgegeben das taschengeld von ayse beträgt theo ayse britta sibylle sarah anna mohammed im durchschnitt bekommt jede/r der freunde der zentralwert der zahlen ist der abstand zwischen dem zentralwert und dem durchschnitt beträgt da der vater beträchtlich mehr als die anderen familienmitglieder für sein hobby ausgegeben hat ist der mittelwert bei der beschreibung oder überlegungen zu einer möglichen senkung der ausgaben nicht sonderlich aussagekräftig die betrachtung des maximums entkräftet die aussage des vaters boxplot seite insgesamt wurden frauen und männer befragt minimum unteres quartil zentralwert oberes quartil maximum frauen männer summe minimum km monat maximum km monat rangliste plätze bis berechnung unteres quartil mittelwert zentralwert mittelwert berechnung oberes quartil mittelwert frauen männer

lösungen maschine sie hat viel mehr verpackungen die genau blatt oder ein bis zwei blätter abweichung haben und der zentralwert liegt näher bei zentralwert oberes quartil maximum minimun unteres quartil quartilabstand spannweite mini mum maximum spannweite unteres quartil oberes quartil zentralwert 21,5 die erste zweite und fünfte aussage sind richtig boxplot seite wahrscheinlichkeiten wahrscheinlichkeiten bestimmen seite im gefäß befinden sich sechs gelbe kugeln zwei weiße und vier rote kugeln 0,05 0,14286 14,3 0,14286 14,3 mit einer münze zahl zu werfen 13-mal eine orange kugel 10-mal eine graue und 28-mal eine weiße kugel gerundete werte deshalb summe etwa 31-mal hauptgewinn 125-mal trostpreis 344-mal niete einstufige zufallsversuche seite und sind zufallsgeräte und sind keine bei und sind die ergebnisse gleich wahrscheinlich kugeln werden grün gefärbt kugeln werden rot gefärbt und kugeln bleiben weiß und grün rot weiß 33,3 16,7 baumdiagramm die zwei oberen äste zeigen die gewinnpfade von hanno und werden rot gefärbt glücksrad die felder welche oder anzeigen sind die gewinnfelder von hanno diese werden rot gefärbt davon gibt es fünf stück jörg hat die besseren gewinnchancen å2 hanno å2

lösungen wahrscheinlichkeit mögliche ergebnisse günstige ergebnisse wahrscheinlichkeit 6,25 orange gerade zahl å0 zahl kleiner å0 grau oder weiß å5 buchstabe zahl teilbar durch nicht å9 grün zweistufige zufallsversuche seite und siehe figur unten weiß weiß grau grau 14,06 orange orange 1,56 siehe figur unten wahrscheinlichkeit zweimal weiß zu würfeln zweimal orange zu würfeln beim zweiten mal grau zu würfeln 33,3 siehe figur unten bei trommel }} figur figur figur 13,3

lösungen anzahl der gelben kugeln anzahl der weißen kugeln anzahl der roten kugeln es sind gelbe weiße und rote kugeln im gefäß beim nächsten zug befinden sich insgesamt kugeln im gefäß darunter sind weiße kugeln die wahrscheinlichkeit nun eine weiße kugel zu ziehen beträgt im gefäß sind nun noch insgesamt kugeln nämlich gelbe rote und weiße kugeln die wahrscheinlichkeit für den nächsten zug eine bestimmte farbe zu ziehen ist für alle farben gleich sie beträgt zweistufige zufallsversuche seite herz å2,5 bildkarte 37,5 herz herz 1,56 bildkarte herz ass 4,69 bildkarte bildkarte 14,06 zwei gleiche karten 12,5 lineare funktionen funktionen seite lösungswort hamburg es liegt eine funktion vor weil zu jedem zeitpunkt genau ein temperaturwert gehört die wassertemperatur wird noch um wenige grad fallen und sich der umgebungstemperatur annähern ja nein ja ja nein für wird eingetragen temperatur in °c zeit in min

lösungen die steigung der funktion ist am größten die steigung der funktion ist am kleinsten 1,479 47,25 kosten 69,88 4,36 kg butter kosten 8,72 keine proportionale funktion das gewicht steigt nicht proportional mit der anzahl der jahre 1,89 eine banane kostet 0,86 0,21 für sechs eier muss man 1,26 bezahlen funktionswert der punkt liegt auf dem graphen von lineare funktionen seite die zugehörigen graphen sind der graph der funktion ist am steilsten der graph der funktion ist am flachsten aus graph er kann das modell für nach wochen das modell für nach wochen kaufen graph graph graph folgende aussagen müssen markiert werden realsituation mathematisches modell mathematische ergebnisse reale ergebnisse reihenfolge reihenfolge übrig bleiben die karten und lösen durch modellieren seite lineare gleichungssysteme lineare gleichungen mit zwei variablen seite bis das zahlenpaar ist lösung der gleichungen und die gleichungen und werden von nicht gelöst neue gleichungen nach änderung der zahl ohne variable 16,2 36,6 1,25 0,25 die gleichungen werden zunächst nach aufgelöst 12,2 1,25 0,25 proportionale funktionen seite

lösungen lösungswort linear –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 –8 –10 –12 12,2 1,25 0,25 gleichung steht für hasen für hühner fliegen insekten mit beinen und spinnen mit beinen anzahl hasen anzahl hühner anzahl insekten anzahl spinnen gehört zum ersten gleichungssystem gehört zum zweiten gleichungssystem gehört zum dritten gleichungssystem gehört zum vierten gleichungssystem bleibt übrig probe probe probe lösungswort point den punkt als lösung haben und –2 –2 –4 –6 –8 –4 –6 –8 lineare gleichungssysteme seite steht für die anzahl der eistaucher und für die anzahl der eisbären es leben dort eistaucher und eisbären

lösungen steht für die anzahl der sechser und 6x 8y 1’ und 2’ in timos kiste liegen sechser und achter damit die gleichungen vergleichbar sind muss die variable in beiden für das gleiche stehen man wählt für die anzahl der vollen stunden mögliche veränderungen oder oder beliebige änderung der steigung einer der beiden gleichungen so dass sie nicht mehr identisch sind bisher sind beide gleichungen zum beispiel lineare gleichungssysteme seite umgeformte gleichungen mit mit mit mit mit mit und lösen durch gleichsetzen seite korrektur probe korrektur probe 2,88 2,88 1,52 1,52 probe mit 0,76 1‘ 0,76 probe mit 2‘ 2,88 0,76 1‘ 2‘

lösungen einsetzen von in probe mit 1+2 probe mit gleichung 1+2 probe mit gleichung setze in ein setze in ein lösen durch addieren seite die variable steht für die anzahl der milchfinger und für die anzahl der erdbeerhände 1,20 1,50 1,50 1,20 17,1 umgeformt 1’ 2’ 68,4 1’+2’ 21,6 lösung und eigentlich soll wilhelm milchfinger und erdbeerhände holen schenkellänge cm basislänge cm zweite variable 1,20 1,50 1,20 1,20 lösen mit verschiedenen verfahren seite 26,5 å8,5 setze in ein 26,5 31,5 26,5 probe mit gleichung 18,5 13,5 18,5 18,5 18,5 in mit probe in +6 mit –14 probe in

lösungen es gibt zwei veränderungen an einer stelle die möglich sind oder damit es keine lösung gibt müssen beide gleichungsgeraden parallel zueinander sein also und dafür müssen auch die vielfachen einer gleichung in betracht gezogen werden oder da bei den gegebenen gleichungen die eine ein vielfaches der anderen ist genügt es wenn man eine der beiden beliebig an einer stelle ändert es gibt somit unendlich viele mögliche veränderungen einsetzungsverfahren gleichsetzungsverfahren einsetzungsverfahren einsetzungsverfahren anschließend die entstehende klammer ausmultipliziert zu gehört und die lösung zu gehört und die lösung zu gehört und die lösung zu gehört und die lösung folgende aussagen müssen markiert werden realsituation in aussage sind folgende werte einzusetzen 12,00 glühlampen 8,00 mathematisches modell mathematische ergebnisse reale ergebnisse reihenfolge reihenfolge lösen durch modellieren ii seite es werden der reihe nach eingesetzt oben unten quadratische funktionen die quadratische funktion seite 0,75 2,25 auf der normalparabel liegen die punkte und die anderen drei punkte liegen auf der parabel mit der gleichung 0,64 1,21 2,25 10,24 also also also die quadratische funktion seite funktionsgleichung verschoben um nach geöffnet nach oben unten oben unten breiter schmaler längeneinheit längeneinheiten längeneinheiten längeneinheiten tabelle

lösungen siehe tabelle seite und a· die scheitelpunktform seite die punkte liegen auf der parabel die punkte liegen auf der parabel zu gehört zu gehört zu gehört zu gehört zu gehört 1,21 22,5 12,21 12,25 quadratische gleichungen und quadratische ergänzungen seite 2,83 2,83 4,47 4,47 2,25 einzige nullstelle keine nullstelle es werden nacheinander eingesetzt eine zwei 1,21 1,21 keine nullstelle ist die einzige nullstelle zwei nullstellen keine nullstellen keine nullstellen eine nullstelle zwei nullstellen nullstellen quadratischer funktionen seite

lösungen tabelle quadratische gleichung einsetzen in p-q-formel wert der diskriminante anzahl der lösungen lösungen falls vorhanden 5,75 2,25 2,25 2,25 und und nullstellen quadratischer funktionen seite siehe tabelle seite 0,25 es gehören zusammen schnittpunkte seite klammer auflösen und zusammenfassen p-q-formel p-q-formel es gibt nur eine doppelte lösung p-q-formel klammer auflösen und zusammenfassen p-q-formel es gibt nur eine lösung p-q-formel 0,å5 0,å5 å,25 p-q-formel die parabel zu öffnet sich nach oben die parabel zu nach unten und ihr scheitelpunkt liegt auf der y-achse oberhalb des scheitelpunkts von die graphen der funktionen haben zwei gemeinsame punkte

lösungen gleichsetzen der beiden funktionsgleichungen liefert eine funktion ersten grades da sie als solche nur eine lösung hat haben die graphen von und nur einen gemeinsamen punkt die parabel öffnet sich nach oben und hat den scheitelpunkt die gerade schneidet die y-achse in damit haben sie zwei gemeinsame punkte die parabel zu öffnet sich nach oben die parabel zu nach unten und der scheitelpunkt von liegt auf der y-achse unterhalb des scheitelpunkts von die graphen der funktionen haben keine gemeinsamen punkte und lösen durch modellieren iii seite berechnung der drei varianten für den fall dass das kabel durchhängt ursprung liegt im scheitelpunkt funktionsgleichung einsetzen von und ergibt ursprung liegt in der spitze des linken mastes funktionsgleichung der scheitelpunkt liegt bei einsetzen ergibt einsetzen des punkts in die gleichung ergibt nun somit ist die x-achse liegt auf abwurfhöhe und nicht auf bodenhöhe die y-achse geht durch den scheitelpunkt dies folgt aus der gleichungsform damit man weiß welchem zwei meter horizontalen fluges entsprechen müssen zuerst die nullstellen berechnet werden 0,04 å,8 0,04 6,708 6,708 nach horizontalen fluges ist also 4,708 0,04 4,708 0,913 nach horizontalen fluges hat die kugel also eine höhe von etwa 0,913 erreicht höhe der kugel 0,04 0,04 4,47 4,47 die kugel erreicht zum ersten mal eine höhe von nachdem sie 6,708 4,47 2,24 geflogen ist die maximalhöhe der kugel beträgt scheitelpunkt bei diese höhe wird nach etwa 6,71 horizontalen fluges erreicht ursprung liegt im fußpunkt des linken mastes funktionsgleichung der scheitelpunkt liegt bei einsetzen ergibt einsetzen des punkts in die gleichung ergibt nun somit ist siehe tabelle seite der ursprung liegt im scheitelpunkt der ursprung liegt in der spitze des linken mastes der ursprung liegt im fußpunkt des linken mastes tabelle das kabel hängt durch 8å00 8å00 8å00 im hochsommer hängt es durch å6 8å00 8å00 8å00 im vereisten zustand hängt es durch 8å00 8å00 8å00 å6 9,54

lösungen die x-achse wird auf höhe des abwurfpunkts gelegt die y-achse geht durch den scheitelpunkt der abwurfpunkt befindet sich somit an der stelle der negativen nullstelle bezeichnet die stelle an der sich der korb befindet berechnung der nullstellen 0,16 0,16 berechnung der x-koordinate von 0,16 0,å6 20,625 4,54 4,54 der abwurfpunkt war also etwa 4,54 9,54 vom korb entfernt der scheitelpunkt liegt bei die maximale höhendifferenz zwischen ball und korb beträgt berechnung der nullstellen 0,å 7,874 7,874 siehe graph im schaubild der scheitelpunkt dieser wurfparabel liegt bei da der abwurfpunkt aber ca über dem boden angenommen werden muss würde die maximale höhe der wurfbahn bei liegen da die hallenhöhe aber nur beträgt fliegt der ball gegen die decke und kann den korb nicht erreichen sa sp sb sq ab pq bq sb ap sa 3,75 1,25 3,75 3,75 cm cm cm cm cm cm cm 3,33 cm cm cm cm cm cm cm cm sq cm pq cm sp mm sb mm sa dm sq 22,5 cm sp dm ab cm trigonometrie strahlensätze seite }} 1,75 11,75 1,75 bild wird größer bild wird kleiner cm schatten wird kleiner der schatten ist dann doppelt so groß wie sie 5,30 cm cm cm strahlensätze anwenden seite es fehlt die entfernung des kirchturms sinus kosinus tangens seite sin 2,å cos tan 2,å sin cos tan sin sin sin sin cos cos cos cos richtig sind und korrektur tan b’ a’ c’

lösungen sin cos tan 0,75 cos sin tan sin cos rechtwinklige dreiecke berechnen seite aus der jeweils oberen formel in den kärtchen entnimmt man dass bei allen dreiecken der rechte winkel bei ist damit und gegen den uhrzeigersinn gehend kann man dann die spitzen aller dreiecke benennen damit hat man auch die benennung aller seiten und winkel skizze bestimmen sie mit tan 40° tan 40° tan 40° 8,78 8,78 segelflieger tan tan tan 3,4° 35,9 cos cos }} cos 3,4° 606,1 tan autofahrer tan 0,115 11,5 6,56° sin sin sin 6,56° 68,5 cos cos cos 6,56° 596,1 wanderer sin 35,2 }} 6,74° tan 0,118 11,8 tan tan 35,2 }} tan 6,74° 297,9 segelflieger 3,4° 35,9 606,1 autofahrer 6,56° 11,5 68,5 596,1 wanderer 6,74° 11,8 35,2 297,9 die bewegung des wanderers ist am steilsten da bei ihm der neigungswinkel am größten ist 6,74° der größte höhenunterschied wird vom autofahrer überwunden 68,5 beim dreieck sind die zwei katheten gegeben damit wird es dem kärtchen zugeordnet obere formel beim dreieck sind eine kathete und die hypotenuse gegeben damit wird es dem kärtchen zugeordnet obere formel bei den zwei anderen dreiecken ist theoretisch mehr spielraum möglich da man den fehlenden winkel mithilfe der formel 90° als erstes berechnet ist man bei der wahl der trigonometrischen funktion die als nächstes berechnet werden kann freier somit gilt dreieck kärtchen alternativ ist auch kärtchen möglich dreieck kärtchen alternativ ist auch kärtchen möglich allgemeine dreiecke berechnen seite cm cm 65° es sind unterschiedliche reihenfolgen möglich eine der möglichen reihenfolgen zusammen mit den berechnungen lautet sin sin 65° cm 2,27 cm cos cos 65° cm 1,06 cm sin sin 2,27 0,566 34,5° cos cos 34,5° cm cm 180° 180° 65° 34,5° 80,5° bei den teilaufgaben und sind unterschiedliche reihenfolgen für die lösung möglich einzeichnen sin 38° 3,02 cm sin 0,862 59,5° 180° 59,5° 38° 82,5° 1,77 cm 3,86 cm cm sin 80° 6,40 cm sin 0,941 70,3° 180° 80° 70,3° 29,7° 1,13 cm 2,29 cm cm 38° cm cm 80° cm cm

lösungen die richtige formel lautet sin 4,14 die richtige formel lautet die richtige formel lautet die formel ist möglich da es um ein rechtwinkliges dreieck abc mit den katheten und geht aus folgt 45° somit ist 90° die richtige formel lautet diese formel hilft hier allerdings nicht denn die gegebenen größen passen nicht dazu die geeignete formel lautet sin berechnung von sin sin 0,817 54,8° 180° 33° 54,8° 92,2° 6,74 die fünf dreiecke sind gleichschenklige dreiecke der mittelpunktswinkel eines teildreiecks beträgt 360° 72° die basiswinkel betragen somit je 54° die dreieckshöhe ist sin 54° 1,29 cm die grundseite ist cos 54° 1,88 cm die fläche eines teildreiecks ist 1,22 somit ist die gesamtfläche 6,10 sinussatz und kosinussatz seite dreieck kosinussatz sinussatz unbestimmt dreiec cos cos 48° 4,15 cm dreiec cos cos }} 0,625 51,3° 57° 40° 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm 57° 40° 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm 57° 40° 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm 57° 40° 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm 48° 31° 75° 74° 40° cm cm cm cm cm cm cm cm kosinussatz cos }} cos }}} 0,603 52,9° dreieck pbc sin sin 52,9° 39,9 44,8 länge der kürzeren laufstrecke 144,7 länge der längeren laufstrecke å85 å44,7 å447 0,28 die längere strecke ist um ca länger somit müssen die erwachsenen 1,28-mal oder schneller laufen 90° 10° 100° 90° 25° 65° 180° 180° 65° 100° 15° sin }} sin sin 100° 1,50 }}} sin 15° 5,71 5,71 8,76 es müssen mindestens neun terrassen angelegt werden flächenquerschnitt einer terrasse sin 3,88 volumen des erdbodens der für eine breite terrasse aufgeschüttet werden muss die nummerierung der schritte zusammen mit den berechnungen winkelsumme 180° 7,6° 37,4° 135° oder ergänzungswinkel 180° 135° 45° oder sinussatz }} sin 37,4° }} sin 7,6° 13,78 kosinussatz cos 11,85 sinussatz sin sin sin }} sin sin 13,78 }} 11,85 sin 45° 0,822 also 55,31° hier muss beachtet werden dass aufgrund der rechten senkrechten linie für alle winkel gelten muss dass die winkel größer als 90° sind si ist im bereich nicht eindeutig lösbar der taschenrechner gibt nur den kleineren wert aus der zweite ergibt sich aus der differenz von 180° und dem taschenrechnerwert für 180° 55,31° 124,69° ergänzungswinkel 180° 55,31° kosinussatz cos 10,44 sinussatz sin sin sin 10,44 sin 55,31 0,2363 also 13,67°

lösungen trigonometrie in ebene und raum seite laura rechnet das dreieck abc ist gleichschenklig und rechtwinklig sein flächeninhalt beträgt abc cm abc 22,445 berechnung des flächeninhalts des dreiecks acd 45° 24° 9,48 cm acd sin acd 19,27 vierecksfläche abc acd 41,71 sören rechnet im rechtwinkligen dreieck hcd ist sin 9,336 cm cos cm cos 69° 3,584 cm hcd hcd 16,73 3,116 cm flächeninhalt des vierecks abhe abhe abhe 20,88 2,636 cm flächeninhalt des dreiecks ade ade ade 4,11 cm gesamtfläche abhe hcd ade 41,71 laura und sören nehmen eine unterschiedliche zerlegung des vierecks vor laura nutzt den rechten winkel und die zwei gleich langen seiten um ein rechtwinkliges gleichschenkliges dreieck zu bekommen sie benötigt deshalb weniger rechenschritte als sören sören nutzt den rechten winkel um ein rechtwinkliges dreieck und ein viereck zu bekommen das viereck teilt sören in ein rechteck und ein rechtwinkliges dreieck auf bc mit pythagoras bc ac ab bc bc 4,90 km mit cos cos ab ac 0,714 44,4° mit 90°-ergänzung 90° 45,6° km km km höhe ac zur seite ac im dreieck acd mit sin ac ad sin ac 2,143 km strecke ah mit dem satz des pythagoras ah ad ah 2,10 km strecke ch ch km ah ch 4,90 km berechnung von dc dc ch dc 5,35 km linker weg ad dc km 5,35 km 8,35 km rechter weg ab bc km 4,90 km 9,90 km die differenz zwischen linkem und rechtem weg beträgt ca 1,55 km der linke weg ist mit 8,35 km der kürzere ad sin 39,95 ce ce 10,05 de dc ce de 39,75 mit dem satz des pythagoras können noch die strecken am und bn berechnet werden am am 60,0 trigonometrie in ebene und raum seite der winkel abc liegt am punkt an rechtwinklig gleichschenklig gleichseitig afh af fh ah bhd bdh bcf cbf bf bc acg acg bck bk ck ebh beh berechnung von tan tan å8 2,67 69,4° berechnung von tan tan å8 1,89 62,0° cm cm cm eb cm tan 55,6° bn bn 59,9 flächeninhalt der schnittfläche amd dmnc nbc am de bn 480,9

lösungen sinus und kosinus am einheitskreis seite sin å0° 0,94 cos å20° 70° 120° sin 250° 0,94 cos 320° 0,77 250° 320° 44° oder 136° 204° oder 336° 66° oder 294° weitere funktionen sinusfunktion und kosinusfunktion seite sin sin 180° cos cos 360° sin 90° sin 90° cos 90° cos 90° sin 180° sin cos 180° cos 30° 45° 60° 90° 135° 180° 270° 360° sin cos sinusfunktion sinusfunktion und kosinusfunktion sinusfunktion sinusfunktion und kosinusfunktion das trifft auf keine der beiden funktionen zu kosinusfunktion kosinusfunktion sinusfunktion wachstumsfaktor und wachstumsrate seite europa asien/ pazifik amerika afrika mittlerer osten 2014 588,4 263,0 180,6 56,0 50,3 2010 484,4 205,1 150,6 49,9 58,2 absolute zu-/abnahme 104,0 57,9 30,0 wachs tumsfaktor 1,2147 1,2823 1,1992 1,1222 0,8643 in der grafik werden folgende werte für die wachstumsrate eingetragen europa 21,47 0,2147 asien/pazifik 28,23 0,2823 amerika 19,92 0,1992 afrika 12,22 0,1222 mittlerer osten 13,57 0,1357 es gibt verschiedene möglichkeiten hilfslinien einzuzeichnen und die aufgabe zu lösen ein beispiel eg cm tan 25,1° 180° 129,8° sin 140° sin 40° cos 50° cos 310° sin 10° sin 170° cos 80° cos 280° sin 210° sin 330° cos 120° cos 240°

lösungen es gehören jeweils zusammen zu der wachstumsfaktor beträgt 1,02 die neue größe erhält man indem man millionen mit 1,02 multipliziert der neue umsatz beträgt 12,24 millionen zu der wachstumsfaktor beträgt 0,98 die alte größe erhält man indem man millionen durch 0,98 dividiert die produktion lag vorher bei stück zu der wachstumsfaktor beträgt 1,02 die alte größe erhält man indem man 12,24 millionen durch 1,02 dividiert der alte wert betrug millionen korrigiert werden muss jeweils in wachstumsrate 0,25 wachstumsfaktor 0,25 1,25 in zu-/abnahme wachstumsrate 0,03 in zu-/abnahme wachstumsfaktor 1,064 es wurden butter mehr produziert 0,97 im quartal 2008 wurden computer ausgeliefert die seefläche war vor vier jahrzehnten groß exponentielles wachstum seite verdoppelungen 1,164 1,149 mill 1,149 mill 1,030 1,31 0,0131 1,0131 1995 1,226 milliarden 2000 å,å49 milliarden å,0å3 å0 å,308å milliarden 2005 å,å49 milliarden å,0å3 å5 å,396å milliarden 1990 bis 1995 1995 bis 2000 2000 bis 2005 5,57 4,62 3,39 1,0557 1,0462 1,0339 das wachstum steigt langsamer als angenommen das bedeutet dass kein echtes exponentielles wachstum vorliegt die kurve verläuft flacher wachstumsrate 4,25 wachstumsfaktor 1,0425 endkapital 1,042 428,18 zeit in jahren kapital in 8000 4000 1,042 16,65 nach etwa jahren verdoppelt sich das kapital minuten bakterienzahl rechnung minuten die anzahl halbiert sich jeweils wenn man rückwärts rechnet min vorher min vorher min vorher min vorher exponentielle abnahme seite aufprall höhe in 1,45 1,05 0,76 0,55 0,40 0,29 0,21 0,15 0,275 0,72 ab dem dritten aufprall erreicht der ball die höhe von nicht mehr nach drei stunden ist nur halb so viel koffein im blut zeit koffeingehalt im blut in mg cola cola light energy 12,5 6,25 3,13 3,75 1,56 1,88 bei cola und cola light wird dieser wert nach einem zeitraum zwischen und stunden jeweils unterschritten bei energy erst nach stunden

lösungen für flüssigkeit ist für flüssigkeit ist zeit in min flüssigkeit flüssigkeit °c °c °c °c 64,8 °c °c 58,3 °c 34,3 °c 47,2 °c hängt von der raumtemperatur ab nach minuten hat die erste eine temperatur unter °c nach minuten die zweite flüssigkeit anzahl pflanzen anzahl pflanzen durch ausprobieren jahr pflanzenbestand stück 2008 2010 2012 1600 1400 1200 1000 2009 2011 2013 bei linearer abnahme wird sich der bestand nach jahren bei exponentieller abnahme nach ca jahren halbiert haben exponentialfunktion seite 0,001 0,01 0,01 0,001 0,125 0,25 0,25 0,125 alle funktionsgraphen gehen durch den punkt die graphen von bzw erhält man durch spiegelung der graphen von bzw an der y-achse zusammen gehören und 0,25 und 0,25 und und und und und und und und und und und und und graph term 0,3å5 å,5 4,243 å2 0,0å4 0,66å 3,464 å8 0,25 0,03å 0,å25 0,25 0,354 å2,5 0,å 0,045 0,02 0,004 å,58å 0,05 die erste dritte sechste und achte aussage sind richtig lösungswort untertassen üben und wiederholen üben und wiederholen seite ergänzen drei nicht weiße kugeln schwarze und/oder rote ergänzen eine schwarze und eine rote kugel ergänzen vier rote kugeln siehe tabelle seite einsetzen von und in die allgemeine geraden gleichung ergibt ein lineares gleichungssystem das mit dem additionsverfahren gelöst werden kann in eingesetzt ergibt å4 å4

lösungen tabelle wahrscheinlichkeit glas glas glas glas einen grauen fisch erhalten å2 å0 å0 einen schwarzen oder weißen fisch erhalten å2 å00 einen orangen oder grauen fisch erhalten å2 å00 keinen schwarzen fisch erhalten å2 å2 åå å00 parabel scheitel öffnung form nach unten wie normalparabel nach oben breiter als normalparabel nach oben wie normalparabel nach unten wie normalparabel flächeninhalt des dreiecks fe üben und wiederholen seite punkt in einsetzen und in einsetzen in eingesetzt ergibt funktionsgleichung und in einsetzen in eingesetzt ergibt funktionsgleichung normalform scheitelpunktform aus der öffnung der verschobenen normalparabel und der lage der beiden nullstellen ergibt sich für den scheitelpunkt funktionsgleichung

lösungen das dreieck kann nicht berechnet werden da die zerlegung von nicht bekannt ist sin sin 39,0° 4,53 cm cm 5,60 cm 180° 90° 180° 90° 39,0° 51,0° 81,0° 51,0° 30,0° tan 4,53 cm tan 30,0° 2,62 cm 5,60 cm 2,62 cm cm cm cm 180° 180° 39,0° 81,0° 60,0° sin sin 81,0° 7,11 cm cm 1,13 cm 180° 90° 180° 90° 81,0° 9,0° 39° 9° 30,0° tan 7,11 cm tan 30,0° 4,10 cm 1,13 cm 4,10 cm 5,23 cm cm cm 180° 180° 39,0° 81,0° 60,0° wenn nur eine seite eines dreiecks gegeben ist sollte diese nicht zerlegt werden da sonst für die berechnung nötige informationen verloren gehen lösungsschritte trigonometrische funktion ec sin cm sin 25,4° cm alternativ kann auch ae berechnet werden satz des pythagoras ae ec cm cm alternativ wird dann hier ec berechnet flächeninhalt berechnen ae ec cm cm zusammenhang nutzen flächeninhalt berechnen eb ec eb ec }} cm cm satz des pythagoras eb ec cm cm umfang berechnen ae eb cm cm cm cm 18,6 cm flächeninhalte addieren ges 12,0 üben und wiederholen seite 0,25 probe es gehören jeweils zusammen 8,75 8,75 2,25 2,25

lösungen +25 üben und wiederholen seite å2 å2 å2 å2 å2 å2 graues kärtchen å5 ungerade zahl å5 graues kärtchen oder ungerade zahl å5 man muss von der summe der beiden einzelwahrscheinlichkeiten noch å5 abziehen da man kärtchen doppelt gezählt hat aufgaben und lösungshinweise gehören wie folgt zusammen a1 l1 a2 l1 a3 l1 a4 l7 a5 l4 a6 l6 a7 l5 a8 l8 a9 l2 a10 l3 wertetabelle um längeneinheiten nach links und längeneinheiten nach unten verschobene normalparabel wertetabelle 4,75 nach oben geöffnet und nur ein achsen schnittpunkt wertetabelle nach unten geöffnet und schmaler als eine normalparabel wertetabelle nach unten geöffnet und als einzige nullstelle hinweis die funktionsgleichungen 4,75 und 4,75 müssen zuerst durch quadratische ergänzung in die scheitelpunktform umgewandelt werden dann kann das passende schaubild zugeordnet werden

beilage zum arbeitsheft schnittpunkt isbn 978-3-12-742726-4 ernst klett verlag gmbh stuttgart 2015 alle rechte vorbehalten www.klett.de zeichnungen/illustrationen arnold domnick leipzig druckmedienzentrum gmbh gotha media office gmbh kornwestheim uwe alfer waldbreitbach dorothee wolters köln dtp/satz arnold domnick leipzig