auflage 2020 alledruckedieserauflagesindunverändertundkönnenimunterrichtnebeneinanderverwendetwerden dieletztezahlbezeichnetdasjahrdesdruckes daswerkundseineteilesindurheberrechtlichgeschützt.jedenutzunginanderenalsdengesetzlichzugelassenenfällenbedarfder vorherigenschriftlicheneinwilligungdesverlages.hinweis§52aurhg:wederdaswerknochseineteiledürfenohneeinesolcheeinwilligung eingescanntundineinnetzwerkeingestelltwerden.diesgiltauchfürintranetsvonschulenundsonstigenbildungseinrichtungen fotomechanischeoderanderewiedergabeverfahrennurmitgenehmigungdesverlages ©ernstklettverlaggmbh,stuttgart2016.allerechtevorbehalten.www.klett.de autorinnen und autoren manfredbaum,martinbellstedt,uwebergmann,matthiasblank,jonasbochtler,stefanböckling,borisboor dr.dieterbrandt,heidibuck(†),günterbüchte,cynthiabüttner,gunnardemuth,guntramdierolf,dr.detlefdornieden,christinadrükenoe,prof.rolfdürr,haraldeisfeld,stephanieeller,irmgardesche-gallinger,prof.hansfreudigmann,jürgenfrink,birgitfrohmader,inga giersemehl,herbertgötz,marinagress,dietergreulich,christinahanek,prof.dr.heikoharborth,dr.friederhaug,manfredherbst,edmund herd,markusherold,alexanderhildebrandt,prof.dr.stephanhußmann,heikejacoby-schäfer,thomasjörgens,klaus-peterjungmann thorstenjürgensen-engl,mariekäding,karenkaps,rebeakeller,christinekestler,matthiaskestler,andreaskönig,markuskrieg,dorothee landwehr,prof.dr.timoleuders,prof.dr.detleflind,prof.dr.hinrichlorenzen,alexandermaier,olivermanger,dr.johannesnovotný,prof dr.reinhardoldenburg,anjapohl,katjarasch,elkeräthe,hekyungreichhart,rolfreimer,dr.güntherreimelt,svenrempe,kathrinrichter dr.wolfgangriemer,rüdigersandmann,dr.thorstenschatz,hartmutschermuly(†)bettinascheu,reinhardschmitt-hartmann,ulrich schönbach,reinholdschrage,andreasschulz,waltersölch,willisölch,raphaelasonntag,heikespielmanns,heikesteinwand-schatz andreastühler,barbarasy,thomasthiessen,dr.heiketomaschek,rainertopp,peterwassermann,susanneweiß,marczeller,dr.peter zimmermann,anderszmaila redaktion dr.gudrunpofahl,anna-lenanoll,kerstinhelbig,patriciarenner mediengestaltung heikefreese layout petramichel,essen umschlaggestaltung petramichel,essen umschlagfotos corbis(peterdurant/arcaid),düsseldorf;gettyimages(goodshot),münchen illustrationen uwealfer,waldbreitbach;imprint,zusmarshausen satz imprint,zusmarshausen druck printedingermany isbn978-3-12-733053-3

lösungen bayern lambacher schweizer mathematik für gymnasien ernst klett verlag stuttgart leipzig bearbeitet von manfred herbst alexander hildebrandt matthias kestler katja rasch sven rempe peter wassermann marc zeller

natürliche zahlen und größen veranschaulichung von zahlen das dezimalsystem zahlenmengen teilbarkeit runden negative zahlen anordnung und betrag der ganzen zahlen wiederholen vertiefen vernetzen exkursion römische zahlzeichen ii addition und subtraktion ganzer zahlen addieren und subtrahieren natürlicher zahlen terme addieren ganzer zahlen subtrahieren ganzer zahlen rechengesetze wiederholen vertiefen vernetzen exkursion zauberquadrate iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte abstand kreis winkel vierecke wiederholen vertiefen vernetzen exkursion kreise auf der kugel der globus iv multiplikation und division ganzer zahlen multiplizieren und dividieren schriftliches multiplizieren und dividieren punkt-vor-strich-regel anwendungen rechengesetze und rechenvorteile potenzieren und faktorisieren baumdiagramm und zählprinzip multiplizieren ganzer zahlen dividieren ganzer zahlen verbindung der grundrechenarten wiederholen vertiefen vernetzen exkursion multiplizieren mit den fingern inhalt

größen messen länge rechnen mit größen rechnen mit dreisatz maßstab masse zeit wiederholen vertiefen vernetzen exkursion planetenweg flächen flächeninhalte vergleichen und messen flächeneinheiten flächeninhalt und umfang des rechtecks flächeninhalt verschiedener figuren netz und schrägbild oberflächeninhalt des quaders wiederholen vertiefen vernetzen exkursion tangram

schülerbuchseiten die gerade ist durch die punkte und fest gelegt der punkt liegt auf der durch die punkte und festgelegten geraden die geraden und sind parallel die halbgerade wird durch und festgelegt wobei ihr endpunkt ist seite wahr wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr die entstandenen geraden sind jeweils parallel zueinander individuelle lösung zum beispiel bei vorgegebenen punkten entstehen strecken iii geometrische figuren und lagebeziehungen parallele und senkrechte seite einstiegsaufgabe das blatt wird zunächst einmal gefaltet dabei entsteht eine erste faltkante anschließend wird das gefaltete papier erneut gefaltet und zwar so dass die erste faltkante in zwei teile zerlegt wird die nach dem zweiten falten genau übereinander liegen in gleicher weise wird das papier noch zwei mal gefaltet seite a)– individuelle lösung zum beispiel am rechteckigen boden sind gegenüberliegende seiten parallel aneinandergrenzende seiten stehen senkrecht aufeinander entsprechendes gilt für die seitenwände und die decke iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten maximale anzahl von schnittpunkten bei drei geraden vier geraden fünf geraden minimale anzahl da die geraden parallel sein können kennt man die maximale anzahl von schnittpunkten bei vier geraden so kommen mit der fünften geraden maximal vier weitere schnittpunkte hinzu da die neue fünfte gerade jede der bereits vorhandenen geraden höchstens einmal schneiden kann abstand seite einstiegsaufgabe wenn man die straßen und den see nicht berücksichtigt dann kann man vom bauernhof eine verbindungsstrecke zur autobahn einzeichnen die auf der autobahn senkrecht steht die länge der verbindungsstrecke ist der gesuchte abstand seite pq cm pw cm qw cm abstand zwischen und cm cm cm cm ab bc individuelle lösung zum beispiel wird ein punkt hinzugefügt so entstehen neue strecken also sind es insgesamt strecken ab cd hf gi ad bc fg hi ab bc bc cd cd ad ab ad hf fg fg gi gi ih ih hf ac hg bd fi individuelle lösung zum beispiel seite a)– individuelle lösung zum beispiel individuelle lösung zum beispiel ab cd ef gh kl mn individuelle lösung zum beispiel ab ef cd gh die beiden geraden und sind senkrecht zu einer dritten geraden die durch das lineal vorgegeben ist und somit parallel iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseite ac cm bc cm abstand der parallelen geraden und cm die parallele erhält man indem man den punkt an der geraden spiegelt und durch den spiegelpunkt eine parallele zu zeichnet cm cm cm die seiten ab und cd haben den abstand cm die seiten bc und da haben den abstand cm iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten seite die geraden und sind parallel die punkte liegen auf einer parallelen zu und die durch den koordinaten ursprung geht die punkte liegen auf zwei parallelen zu die beide den abstand cm von haben und auf unterschiedlichen seiten von liegen skizze im maßstab 1000 cm entspricht die gestrichelte strecke ist ein maß für die kabel länge sie ist ungefähr cm lang cm entsprechen man braucht mindestens kabel ungefähr km abstand zur route warnemünde gedser km abstand zur route travemünde helsinki km individuelle lösung zum beispiel fp fp fp fp fp fp die aussage ist falsch gegenbeispiel pq cm aber cm cm abstand des punktes von der geraden da cm abstand des punktes von der geraden fb cm beide punkte stimmen in ihrer y-koordinate überein daher haben beide punkte von der x-achse den gleichen abstand und liegen somit auf einer parallelen zur x-achse iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten kreis seite einstiegsaufgabe man zeichnet einen kreis um mit radius mp mp cm hat ein punkt ganzzahlige koordinaten und den abstand mp von dann liegt er auf dem kreis dies sind und die zusätzlich markierten punkte innerhalb des kreises haben ganzzahlige koordinaten und einen abstand kleiner als mp seite a)– die aussage ist falsch gegenbeispiel die verbindungsstrecke der punkte und muss nicht senkrecht zu den parallelen geraden liegen die aussage ist falsch gegenbeispiel oben der fußpunkt des lotes von auf muss nicht sein die aussage ist falsch gegenbeispiel die verbindungsstrecke von und kann ein gemeinsames lot der geraden und sein somit beträgt der abstand von und genau cm zeichne die geraden und zeichne die beiden parallelen zu mit abstand cm zeichne die beiden parallelen zu mit abstand cm die schnittpunkte der parallelen zu und sind die gesuchten punkte da sie von den abstand cm und von den abstand cm haben fp fp iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseite ohne begrenzung wenn alle punkte angegeben werden die höchstens cm von einem gegebenen mittelpunkt entfernt sind dann muss man den entstandenen kreis komplett ausfüllen und auch den kreisrand kennzeichnen vgl sind die punkte weniger als cm entfernt darf der rand des kreises nicht gekennzeichnet werden hier gestrichelt dargestellt vgl die punkte und sind die schnittpunkte der kreise um mit radius cm bzw um mit radius cm und somit die gesuchten punkte liegt im quadranten und im quadranten a)– liegt auf dem kreis liegt innerhalb des kreises und liegen außerhalb des kreises individuelle lösung zum beispiel liegt inner halb des kreises liegt auf dem kreis liegt außerhalb des kreises siehe muster im schülerbuch individuelle lösung zum beispiel iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten winkel seite einstiegsaufgabe die kleine schere ist weiter geöffnet da ihre schneiden weiter auseinander liegen seite 32° 130° 79° 151° 61° 91° 69° 139° 24° 30° 45° 50° 60° seite individuelle lösung zum beispiel da der durchmesser des rades cm beträgt bewegt sich der schieber auch cm von der evakuierung betroffen sind die ortschaften buch schnepfenreuth und almoshof sowie der flughafen wähle einen beliebigen punkt auf dem kreis um zeichne die gerade am sie schneidet den kreis ein zweites mal in wähle einen weiteren punkt auf dem kreis sodass am und bm nicht aufeinander senkrecht stehen zeichne die gerade bm sie schneidet den kreis ein zweites mal in das viereck abcd ist ein rechteck das kein quadrat ist grafik verkleinert zeichne zwei im kreismittelpunkt aufeinander senkrecht stehende geraden die beiden geraden haben mit dem kreis vier schnittpunkte in jedem schnittpunkt wird eine tangente an den kreis gezeichnet die schnittpunkte der vier tangenten bilden die eckpunkte eines quadrates iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten 90° 100° 120° 133° 173° seite 45° 36° 30° 20° linkes haus ungefähr 34° mittleres haus links ungefähr 51° rechts ungefähr 32° vslw]hu :lqnho uhfkwhu :lqnho vwxpsihu :lqnho vwxpsihu :lqnho þehuvwxpsihu :lqnho jhvwuhfnwhu :lqnho þehuvwxpsihu :lqnho þehuvwxpsihu :lqnho individuelle lösung zum beispiel 180° 66,8° 54,16° 212,47° =26,57° seite iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseite mithilfe einer zeichnung erhält man ungefähr 37° sitzstrebe sitzrohr 45° kettenstrebe sitzstrebe 70° sitzrohr kettenstrebe 65° sitzrohr oberrohr 76° unterrohr sitzrohr 61° steuerrohr unterrohr 119° oberrohr steuerrohr 104° 7ru bao spitz cba spitz dcb überstumpf edc überstumpf fed spitz gfe überstumpf hgf spitz ihg überstumpf kih überstumpf lki spitz mlk stumpf nml spitz onm überstumpf aon überstumpf individuelle lösung zum beispiel iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten individuelle lösung zum beispiel spitzer winkel 1:00 uhr rechter winkel 3:00 uhr stumpfer winkel 4:00 uhr gestreckter winkel 6:00 uhr überstumpfer winkel 9:00 uhr der vogel hat das maul weiter aufgerissen da der öffnungswinkel des schnabels fast 90° ist und somit größer als der öffnungswinkel des krokodilmauls weniger als 45° bac 40° die geraden und sind zueinander parallel 90° und 50° susanne hat nicht recht gegenbeispiel 15° 5:00 uhr bis 21:00 uhr 15° 240° 7:00 uhr bis 17:00 uhr 15° 150° die besonderheit dieser dreiecke ist dass bei und der winkel immer 45° beträgt seite individuelle lösung zum beispiel er hat beim messen die falsche skala auf dem geodreieck verwendet und zusätzlich das geodreieck am scheitel falsch angelegt 20° bac 35° acb 108° bca 252° abc 323° iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten seine x-koordinate ist es gibt keine eindeutige festlegung von punkt weil es zwei mögliche dreiecke abd und adb gibt punkt kann folgende koordinaten haben oder es ist der kleinere der beiden möglichen winkel angegeben 180° 120° 30° 135° 15° 45° vierecke seite einstiegsaufgabe individuelle lösung zum beispiel blaue vierecke die vierecke und haben jeweils vier rechte winkel viereck hat vier gleich lange seiten jedoch nicht viereck bei viereck ii und iv sind die jeweils gegenüberliegenden seiten parallel das viereck iii hat außer den parallelen seiten keine gemeinsamkeiten mit den anderen vierecken grüne vierecke das viereck kann man viereck iv zuordnen da in beiden vierecken jeweils alle vier seiten gleich lang sind das viereck kann man viereck iii zuordnen da in beiden vierecken jeweils nur zwei seiten parallel sind das viereck kann man viereck zuordnen da in beiden vierecken jeweils alle vier seiten gleich lang sind und alle vier winkel rechte winkel sind das viereck kann man viereck zuordnen da in beiden vierecken jeweils zwei seiten parallel sind und alle vier winkel rechte winkel sind das viereck kann man viereck ii zuordnen da in beiden vierecken die gegenüberliegenden seiten jeweils parallel sind seite individuelle lösung zum beispiel individuelle lösung zum beispiel seite individuelle lösung zum beispiel die größe des vierten winkels beträgt 30° max weiß dass und zusammen einen gestreckten winkel ergeben dieser hat die größe von 180° kann man also als differenz aus 180° und berechnen 52° der tote winkel auf der linken seite ist kleiner da der fahrer näher am fenster sitzt und somit der bereich den er durch das linke fenster sieht größer ist als bereich bereich ii auf der linken seite ist genauso groß wie auf der rechten 117° 33° 30° der punkt muss auf einer parallelen zur y-achse die durch den punkt geht liegen iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten seite die parallelogramme abcd abef und abgh haben die eckpunkte und gemeinsam sowie bei einen winkel von 60° nur die abstände der jeweils zu ab parallelen seite können unterschiedlich sein parallelogramm man kann insgesamt vierecke bilden aus einem kleinen viereck bestehend aus zwei kleinen vierecken bestehend aus kleinen vierecken bestehend aus kleinen vierecken bestehend aus kleinen vierecken bestehend und aus kleinen vierecken bestehend individuelle lösung zum beispiel liebe bea deine behauptung ist falsch da man aus den gleich langen gegenüberliegenden seiten nicht auf die größe der innenwinkel schließen kann das gezeichnete gegenbeispiel zeigt dir auch dass deine behauptung falsch ist trapez ii iii iv vi parallelogramm ii iii vi drachenviereck vi seite rechteck raute raute bei allen teilaufgaben ist auch das quadrat eine lösung individuelle lösung zum beispiel dachseite des kleinen aus dem dach herausstehenden fensters trapez im fachwerk oben in der spitze des aus dem dach herausstehenden fensters raute kleine dachfensterscheiben quadrat holzfensterkreuze in der scheibe quadrat hauswand zwischen den fenstern rechteck individuelle lösung zum beispiel viereck ders viereck ofgq viereck glvw viereck cnkm viereck cnwh viereck mkwh viereck cnrj viereck tgfl die aussage ist falsch da es parallelogramme gibt die keine rechten innenwinkel besitzen idovfk *hjhqehlvslho zdku mhghv 4xdgudw lvw dxfk 5dxwh idovfk *hjhqehlvslho idovfk *hjhqehlvslho iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten individuelle lösung zum beispiel das quadrat rtdb ist auch ein drachenviereck die winkel bei und bzw bei und sind jeweils gleich groß wiederholen vertiefen vernetzen seite individuelle lösung zum beispiel individuelle lösung zum beispiel individuelle lösung zum beispiel individuelle lösung zum beispiel iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten und müssen mindestens voneinander entfernt sein der abstand der punkte und darf höchstens cm betragen da sich die kreise cm und cm dann gerade noch berühren der abstand der punkte und darf höchstens cm betragen dann liegt cm vollständig in cm somit wird nicht nur ein teil des kreises um mit radius cm berücksichtigt sondern der ganze kreis seite 360° 90° 360° 30° 360° 120° es gibt insgesamt verbindungsstrecken es gibt paare von verbindungsstrecken die aufeinander senkrecht stehen ab bc bc ce be ac ab ae ae ce ac cd ed be cd de es gibt paare von verbindungsstrecken die parallel zueinander sind ae bc cd be ab ec de ac cm cm cm gefärbt ist der bereich in dem alle punkte liegen die von höchstens cm und von höchstens cm entfernt sind gefärbt ist der bereich in dem alle punkte liegen die von höchstens cm und von der geraden höchstens cm entfernt sind iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten 26° 122° 84° 39° 115° 180° 360° 336° 29° 288° 18° fp fp der abstand beträgt ungefähr seite ein zahn entspricht 360° 18° 18° 198° das blaue zahnrad dreht sich im uhrzeigersinn ebenfalls um zähne ein zahn entspricht 360° 15° also hat sich das zahnrad um 15° 165° gedreht iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseiten individuelle lösung zum beispiel wahr wahr falsch gegenbeispiel individuelle lösung zum beispiel falsch gegenbeispiel ein quadrat ist eine raute und besitzt keinen stumpfen winkel kleines rechteck großes rechteck kleines quadrat großes quadrat kleines trapez großes trapez ja es gibt rauten denn jedes quadrat ist auch eine raute exkursion kreise auf der kugel der globus seite individuelle lösung östliche länge nördliche breite 10° 54° länge nördliche breite 0° 51° östliche länge nördliche breite 14° 41° östliche länge südliche breite 19° 34° östliche länge nördliche breite 104° 1° westliche länge nördliche breite 74° 41° westliche länge nördliche breite 122° 38° westliche länge breite 79° 0° westliche länge südliche breite 58° 35° östliche länge nördliche breite 38° 56° östliche länge nördliche breite 140° 36° bayern liegt zwischen dem 47-ten und 51-ten nördlichen breitengrad und somit jenseits des 45-ten breitengrades deshalb sind alle orte bayerns näher am nordpol als am äquator der zweite schenkel liegt auf der y-achse wenn 135° oder 315° ist es muss gelten 45° 225° das zeigen die gestrichelten winkel und linien im graphen wahr falsch gegenbeispiel individuelle lösung zum beispiel wahr falsch gegenbeispiel ein quadrat ist ein drachenviereck besitzt aber keinen spitzen winkel individuelle lösung zum beispiel iii geometrische figuren und lagebeziehungen

schülerbuchseite tines behauptung ist falsch anhand einer zeichnung sieht man dass der radius des breitenkreises größer ist als die hälfte des äquatorradius’ bbb '% bbb $& die gesuchten orte liegen auf dem breitenkreis nördlich des äquators europa helsinki asien magadan russland amerika anchorage afrika australien südlich des äquators gibt es einen weiteren breitenkreis auf diesem liegen jedoch keine kontinente und damit auch keine orte individuelle lösung die kürzeste flugroute führt über den nordpol dessen koordinaten sind nördliche breite 90° jede mögliche länge bbb '% bbb $% bbb $& bbb '% bbb $% der radius des breitenkreises hat auf dem globus den radius cm norden flensburg nördliche breite 55° westliche länge 9° süden oberstdorf nördliche breite 47° westliche länge 10° westen aachen nördliche breite 51° westliche länge 6° osten frankfurt an der oder nördliche breite 52° westliche länge 15° norden brixen nördliche breite 47° westliche länge 12° süden catania nördliche breite 38° westliche länge 15° westen turin nördliche breite 45° westliche länge 8° osten brindisi nördliche breite 41° westliche länge 18° vatikan stadtstaat nördliche breite 42° westliche länge 12° nördliche breite 90° länge jede mögliche von 0° bis 180° da alle längenkreise durch den nordpol gehen iii geometrische figuren und lagebeziehungen

lambacher schweizer lösungen lambacher schweizer das lösungsheft enthält die lösungen zu allen aufgaben die nicht im schülerbuch gelöst werden es unterstützt sie im unterricht und ermöglicht ihren schülerinnen und schülern sich zu hause zu kontrollieren und ihr wissen zu festigen