aufgaben leicht mittel schwer zusatzangebote im internet auf einigen seiten findest du arbeitsbuch mathematikcodes diese führen dich zu erklärfilmen im internet gib den code einfach in das suchfeld auf www.klett.de ein grundlagen erarbeiten und üben jeder schritt erklärt dir kompetenzen fürs abi ganz einfach und nachvollziehbar das brauchst du wieder erschließt dir notwendiges vorwissen darum geht's führt dich ins neue thema mit den beispielaufgaben kannst du das neue ganz einfach nachvollziehen querverweise links zu erklärfilmen und lösungstipps geben dir hilfestellungen so lernst du mit dem arbeitsbuch mathematik prüfungen sicher vorbereiten mit dem training kannst du themen für klausuren und prüfungen üben lösungswege nachvollziehen lösungen zeigen dir schrittweise einen lösungsweg verweise auf lernschritte helfen dir zusätzlich kompliziertes schnell und einfach erklärt klett erklärfilme die wichtigsten inhalte einfach und anschaulich dargestellt eine echte hilfestellung beim erarbeiten und wiederholen bestimmen von wahrscheinlich keiten und ereignismengen mehrstufige zufallsexperimente die summenregel mehrstufige zufallsexperimente die produktregel vierfeldertafel vierfeldertafel der parameter bei der binomialverteilung linksseitiger hypothesentest rechtsseitiger hypothesentest fehler art und fehler art formel von bernoulli graph und erwartungswert der binomialverteilung kumulierte wahrscheinlichkeiten der parameter bei der binomialverteilung der parameter bei der binomialverteilung zusätzlich dazu gibt es an einigen stellen im arbeitsbuch erklärfilme zu themen die du schon aus der mittelstufe kennst

oberstufe arbeitsbuch mathematik stochastik felix fähnrich dieter markert carsten thein ernst klett verlag stuttgart leipzig ober stufe ar ei uc the to as felix fähnrich dieter marker carsten thein ernst klet er lag stut tgar lei pzig

grundlagen runden umrechnen in prozentschreibweise multiplizieren von brüchen dividieren von brüchen addieren und subtrahieren von brüchen lösen von exponentialgleichungen mit dem logarithmus absolute und relative häuf￿gkeiten zufallsexperiment wahrscheinlichkeit und ergebnis ereignis und gegenereignis schnittund vereinigungsmenge säulendiagramme mittelwert wahrscheinlichkeit ich kann die wahrscheinlichkeiten von laplace-experimenten berechnen die wahrscheinlichkeiten bei ereignissen mit oder berechnen die wahrscheinlichkeiten für mehrstuf￿ge zufallsexperimente berechnen pfadregel zusammengesetzte experimente mit einem baumdiagramm darstellen zufallsgrößen und ihren erwartungswert bestimmen den erwartungswert für verknüpfte ergebnisse berechnen erkennen ob ein spiel fair ist training bedingte wahrscheinlichkeit ich kann bedingte wahrscheinlichkeiten berechnen vierfeldertafeln lesen und interpretieren aus einer vierfeldertafel ein baumdiagramm erstellen die totale wahrscheinlichkeit berechnen die regel von bayes anwenden stochastische unabhängigkeit nachweisen training binomialverteilung ich kann die formel von bernoulli anwenden die binomialverteilung darstellen und interpretieren kumulierte wahrscheinlichkeiten berechnen den erwartungswert und die standardabweichung einer binomialverteilung berechnen die anzahl der versuche einer binomialverteilung bestimmen die anzahl an versuchen bis zum ersten eintreffen eines ereignisses bestimmen die trefferwahrscheinlichkeit einer binomialverteilung bestimmen die anzahl der treffer einer binomialverteilung bestimmen training ich kann’s inhalt

ich kann’s hypothesentest ich kann aus relativen häuf￿gkeiten prognosen erstellen einen linksseitigen hypothesentest durchführen einen rechtsseitigen hypothesentest durchführen entscheiden welchen test ich wähle einen zweiseitigen test durchführen einen test auf fehler art und art untersuchen training

grundlagen hier lernst du grundlagen die du für die stochastik der oberstufe brauchst runden häufig musst du wahrscheinlichkeiten falls diese in dezimalschreibweise angegeben werden sollen runden steht dabei eine stelle nach der zu rundenden stelle eine oder wird abgerundet steht dagegen eine stelle nach der zu rundenden stelle eine oder wird aufgerundet beispiel du bist dran runde die zahl 0,7399 auf eine nachkommastelle zwei nachkommastellen drei nachkommastellen runde die zahl 0,4983 auf eine nachkommastelle zwei nachkommastellen drei nachkommastellen betrachte die stelle nach der zu rundenden stelle 0,74 0,73 0,740 0,74 runde die zahl jeweils auf eine zwei und drei nachkommastellen 0,4082 0,9817 0,0453 runde die dezimalzahl auf vier nachkommastellen 0,41782 0,37295 0,00007 0,99999 umrechnen in prozentschreibweise um einen bruch in prozentschreibweise umzuwandeln erweiterst du ihn auf den nenner die zahl im zähler ist dann die gesuchte zahl kannst du den nenner nicht auf erweitern berechne den bruch mit dem taschenrechner indem du den zähler durch den nenner dividierst um eine zahl von dezimalzahlschreibweise in prozentschreibweise umzuwandeln verschiebst du das komma um zwei stellen nach rechts beispiel du bist dran schreibe den bruch in prozent schreibweise schreibe den bruch in prozent schreibweise schreibe den bruch in prozentschreibweise schreibe den bruch in prozentschreibweise erweitere den bruch auf den nenner und schreibe ihn in prozentschreibweise berechne mit dem taschenrechner 0,5625 56,25 so geht’s tipp steht an der zu rundenden stelle eine und wird aufgerundet so wird diese stelle zu und die stelle links davon erhöht sich um tipp in der wahrscheinlichkeitsrechnung rundet man häufig auf vier nachkommastellen da dann prozentzahlen noch mit zwei nachkommastellen angegeben werden können erklärfilm dezimalschreibweise p5cn9z so geht’s

grundlagen schreibe den bruch in prozentschreibweise schreibe den bruch mithilfe eines taschenrechners in prozentschreibweise schreibe den bruch in prozentschreibweise ohne den bruch auf den nenner zu erweitern multiplizieren von brüchen beim multiplizieren von brüchen rechnest du einfach zähler mal zähler und nenner mal nenner eventuell kannst du vor dem multiplizieren bereits kürzen beispiel du bist dran berechne berechne multipliziere die beiden zähler und nenner miteinander kürze vor dem multiplizieren die brüche über kreuz berechne berechne dividieren von brüchen du dividierst durch einen bruch indem du mit dem kehrbruch multipliziert beispiel du bist dran berechne berechne multipliziere mit dem kehrbruch multipliziere mit dem kehrbruch und kürze die brüche über kreuz tipp folgende umrechnungen solltst du auswendig können 33,3 12,5 erklärfilm multiplikation von brüchen p5cn9z so geht’s tipp in aufgabe ist es sinnvoll vor dem multiplizieren zu kürzen erklärfilm division von brüchen p5cn9z so geht’s hier musst du den bruch auf den nenner kürzen dividiere zähler und nenner mit dem taschenrechner eine ganze zahl multiplizierst du mit einem bruch indem du die zahl mit dem zähler multiplizierst oder die zahl als bruch mit dem nenner 1 schreibst tipps zum lösen der aufgaben

berechne berechne addieren und subtrahieren von brüchen beim addieren und subtrahieren von brüchen bringst du die brüche zunächst auf einen gemeinsamen nenner diesen erhältst du zum beispiel indem du einfach die beiden nenner miteinander multiplizierst anschließend addierst bzw subtrahierst du die zähler beispiel du bist dran ermittle einen gemeinsamen nenner erweitere beide brüche auf den gemeinsamen nenner und addiere bzw subtrahiere die zähler ermittle einen gemeinsamen nenner die zahl ist in der zahl enthalten deswegen ist ein gemeinsamer nenner erweitere beide brüche auf den gemeinsamen nenner und addiere bzw subtrahiere die zähler berechne berechne tipp durch eine ganze zahl dividierst du indem du entweder den nenner des ersten bruchs mit dieser zahl multiplizierst oder die zahl als bruch mit dem nenner schreibst erklärfilm addition und subtraktion von brüchen p5cn9z so geht’s tipp der kleinste gemeinsame nenner wird auch hauptnenner genannt dabei handelt es sich nicht immer um das produkt der beiden nenner tipp kürze endergebnisse soweit wie möglich ist ein möglicher gemeinsamer nenner aber nicht der hauptnenner ist ein möglicher gemeinsamer nenner aber nicht der hauptnenner anstatt zu erweitern kannst du auch kürzen tipps zum lösen der aufgabe

grundlagen lösen von exponentialgleichungen mit dem logarithmus exponentialgleichungen der form kannst du ganz einfach mit deinem taschenrechner lösen beispiel du bist dran löse die gleichung 0,68 0,47 löse die gleichung löse die aufgabe direkt mit dem logarithmusbefehl deines taschenrechners log 0,68 0,47 1,9577 oder log 0,47 log 0,68 1,9577 berechne log log log 0,36 log 0,24 löse die gleichung 2,45 5,478 2,345 absolute und relative häufigkeiten die absolute häufigkeit bezieht sich immer auf eine tatsächliche anzahl dividiert man diese durch die gesamtanzahl so erhält man die relative häufigkeit die relative häufigkeit wird auch oft als anteil bezeichnet beispiel du bist dran an einer schule kommen von den insgesamt schülerinnen und schülern mit dem fahrrad berechne den anteil der mit dem fahrrad ankommenden schülerinnen und schüler an der benachbarten realschule ist die relative häufigkeit der radfahrer gleich berechne die anzahl der schülerinnen und schüler die mit dem rad fahren wenn es insgesamt schülerinnen und schüler an dieser schule gibt in der jahrgangsstufe einer schule können der schülerinnen und schüler nicht richtig schwimmen berechne anteil der schülerinnen und schüler die nicht richtig schwimmen können in der klassenstufe ist die relative häufigkeit der schülerinnen und schüler die nicht richtig schwimmen können gleich berechne deren anzahl wenn es in dieser klassenstufe insgesamt schülerinnen und schüler gibt berechne die relative häufigkeit berechne die absolute häufigkeit 1200 1200 bei einer verkehrskontrolle wurden fahrzeuge kontrolliert insgesamt der kontrollierten fahrzeuge hatten defekte scheinwerfer berechne den anteil ein viertel der fahrzeuge war zu schnell unterwegs gib die anzahl dieser fahrzeuge an so geht’s tipp log 0,47 steht für log 0,47 und ist eine in vielen taschenrechnern bereits vorhandene rechenoperation tipp log log log so geht’s tipp die relative häufigkeit wird meist als bruch angegeben kann aber auch in dezimaloder prozentschreibweise angegeben werden

zufallsexperiment wahrscheinlichkeit und ergebnis bei einem zufallsexperiment sind mehrere ergebnisse möglich und man kann nicht vorhersagen welches ergebnis eintritt jedem ergebnis wird eine wahrscheinlichkeit zugeordnet sie gibt an welche relative häufigkeit man bei vielen durchführungen erwartet die wahrscheinlichkeit ist immer eine zahl zwischen und beispiel du bist dran das abgebildete glücksrad wird einmal gedreht gib die ergebnisse und die zugehörigen wahrscheinlichkeiten in einer tabelle an das glücksrad wird 800-mal gedreht wie oft kann man das gelbe feld erwarten das abgebildete glücksrad wird einmal gedreht gib die ergebnisse und die zugehörigen wahrscheinlichkeiten in einer tabelle an das glücksrad wird 400-mal gedreht wie oft kann man das gelbe feld erwarten stelle die tabelle mit den ergebnissen und den zugehörigen wahrscheinlichkeiten auf ergebnis rot gelb blau wahrscheinlichkeit multipliziere die anzahl der durchführungen mit der wahrscheinlichkeit für dieses ergebnis bei drehungen kann man das gelbe feld 300-mal erwarten ein idealer sechsseitiger würfel wird einmal geworfen gib die ergebnisse und die zugehörige wahrscheinlichkeit in einer tabelle an der würfel wird 600-mal geworfen wie oft kann man die zahl erwarten das abgebildete glücksrad wird einmal gedreht gib die ergebnisse und die zugehörige wahrscheinlichkeit in einer tabelle an das glücksrad wird 200-mal gedreht wie oft kann man das blaue feld erwarten so geht’s erklärfilm ergebnismengen und wahrscheinlichkeiten p5cn9z

grundlagen ereignis und gegenereignis häufig werden verschiedene ergebnisse von zufallsexperimenten zu sogenannten ereignissen zusammengefasst so können die ergebnisse beim würfeln mit einem normalen würfel das ereignis alle geraden zahlen bilden das gegenereignis dazu alle ungeraden zahlen sind die würfe mit beispiel du bist dran ein herkömmlicher spielwürfel mit den zahlen bis wird geworfen gib die ereignismenge und die wahrscheinlichkeit für das ereignis die augenzahl ist größer als an benenne das gegenereignis und gib seine ereignismenge an gib die wahrscheinlichkeit für das gegenereignis an ein tetraederförmiger würfel mit den zahlen bis wird geworfen gib die ereignismenge und die wahrscheinlichkeit für das ereignis die augenzahl ist oder größer an benenne das gegenereignis und gib seine ereignismenge an gib die wahrscheinlichkeit für das gegenereignis an notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {5 6} berechne die wahrscheinlichkeit dieses ereignisses indem du die anzahl der im ereignis enthaltenen ergebnisse durch die gesamtzahl der ergebnisse teilst p(e notiere das gegenereignis und gib seine ereignismenge an die augenzahl ist oder kleiner {1 4} gib die wahrscheinlichkeit für das gegenereignis an p( das abgebildete glücksrad wird gedreht gib die ereignismenge und die wahrscheinlichkeit des ereignisses die zahl liegt auf einem grünen feld an benenne das gegenereignis und gib seine wahrscheinlichkeit an aus der abgebildeten urne wird eine kugel gezogen gib die ereignismenge und die wahrscheinlichkeit des ereignisses die gezogene zahl ist eine primzahl an benenne das gegenereignis und gib seine wahrscheinlichkeit an ohne seine ereignismenge zu notieren so geht’s tipp die summe der wahrscheinlichkeiten von ereignis und gegenereignis ist es gilt also )=

schnittund vereinigungsmenge aus zwei oder mehr mengen können schnittmengen und vereinigungsmengen gebildet werden in sind alle ergebnisse enthalten die zu und gehören in sind alle ergebnisse enthalten die zu oder gehören beispiel du bist dran das abgebildete glücksrad wird gedreht gib die ereignismenge des ereignisses die zahl ist durch drei teilbar an gib die ereignismenge des ereignisses die zahl liegt auf einem blauen feld an gib die schnittmenge an gib die vereinigungsmenge an das abgebildete glücksrad wird gedreht gib die ereignismenge des ereignisses die zahl ist durch zwei teilbar an gib die ereignismenge des ereignisses die zahl liegt auf einem roten feld an gib die schnittmenge an gib die vereinigungsmenge an notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {0 15} notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {0 15} bilde die schnittmenge beider ereignisse {0 15} bilde die vereinigungsmenge beider ereignisse {0 15} ein beutel enthält kugeln mit den zahlen bis es wird eine kugel gezogen gib die folgenden ereignismengen an die zahl ist eine primzahl die zahl ist gerade die zahl ist durch teilbar bilde die folgenden schnittbzw vereinigungsmengen so geht’s tipp primzahlen sind alle natürlichen zahlen größer als die nur durch und sich selbst teilbar sind

grundlagen säulendiagramme zur veranschaulichung und analyse von datenmengen zeichnet man häufig säulendiagramme beispiel du bist dran die tabelle zeigt die schüleranzahlen aller siebten klassen eines gymnasiums zeichne ein säulendiagramm die tabelle zeigt die anzahl der schülerinnen und schüler die in der mittagspause die hausaufgabenbetreuung besuchen mo di mi do fr zeichne ein säulendiagramm zeichne ein koordinatensystem mit einer passenden skalierung die werte in der tabelle entsprechen der anzahl der monatlichen regentage in der zweiten jahreshälfte in karlsruhe juli august september oktober november dezember übertrage die werte in ein säulendiagramm so geht’s tipp die anzahl an schülerinnen und schülern bestimmt jeweils die höhe der zugehörigen säule schüler

mittelwert der mittelwert wird berechnet indem man die summe aller werte durch die anzahl an ereignissen dividiert der mittelwert wird manchmal auch als arithmetisches mittel oder durchschnitt bezeichnet beispiel du bist dran die tabelle zeigt die schüleranzahlen aller achten klassen eines gymnasiums wie groß sind die klassen im mittel die tabelle zeigt die anzahl der schülerinnen und schüler die in der mittagspause die mensa besuchen mo di mi do fr wie viele schülerinnen und schüler nehmen durchschnittlich teil berechne die gesamtzahl der schülerinnen und schüler berechne den mittelwert der schülerzahlen berechne den mittelwert der zahlen runde gegebenenfalls auf nachkommastellen 0,0478 0,0372 0,1027 0,5572 0,0006 die werte in der tabelle entsprechen der anzahl der monatlichen regentage in der ersten jahreshälfte in stuttgart januar februar märz april mai juni wie viele regentage gab es im monat im mittel so geht’s

ich kann die wahrscheinlichkeiten von laplaceexperimenten berechnen hier lernst du wie du die wahrscheinlichkeit berechnen kannst dass beim würfeln eine zahl fällt die gerade und größer als ist beispiele 0,12 0,405 40,5 0,40 0,084 beim berechnen von wahrscheinlichkeiten von zufallsexperimenten verwendest du folgende formel wahrscheinlichkeit eines ereignisses anzahl der günstigen ergebnisse anzahl aller möglichen ergebnisse die wahrscheinlichkeit für das eintreten eines bestimmten ereignisses ist das verhältnis der anzahl der günstigen ergebnisse zu allen möglichen ergebnissen günstige ergebnisse können beim würfeln zum beispiel gerade zahl oder eine oder sein alle ergebnisse die nicht günstig sind bilden das gegenereignis wahrscheinlichkeit diese strategie kannst du immer dann verwenden wenn du die möglichen und günstigen ergebnisse direkt abzählen kannst beispiel du bist dran ein spielwürfel wird einmal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit eine gerade zahl zu werfen ein spielwürfel wird einmal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit eine oder eine zu werfen lege das ereignis fest ereignis die zahl ist gerade notiere die möglichen und günstigen ergebnisse sowie deren anzahl mögliche ergebnisse des würfels anzahl günstige ergebnisse des würfels anzahl berechne die wahrscheinlichkeit p(e ein rosen-strauß besteht aus drei roten zwei rosaroten und zwei weißen rosen du ziehst eine rose ohne hinzuschauen aus dem strauß gib die wahrscheinlichkeit an dass die rose rot ist nicht weiß ist das brauchst du wieder umrechnen in prozentschreibweise in den grundlagen darum geht’s erklärfilm ergebnismenge und wahrscheinlichkeiten p5cn9z so geht’s tipp du kannst eine dezimalzahl immer als prozentzahl schreiben wenn du das komma um zwei stellen nach rechts verschiebst schritt

ein pokerkarten-spiel besteht aus karten je herzpikkreuzund karo-karten du ziehst eine karte berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses die karte ist eine herz-karte die karte ist rot die karte ist ein ass ein dodekaeder regelmäßiger körper mit seiten wird als spielwürfel mit den zahlen bis benutzt berechne die wahrscheinlichkeit folgender ereignisse die zahl ist 2-stellig die zahl ist durch teilbar die zahl ist größer als beim werfen mit zwei würfeln gibt es ergebnisse schreibe alle möglichen ergebnisse mit einer auf gib die wahrscheinlichkeit dafür an dass kein würfel eine zeigt ordne den ereignissen und die passende wahrscheinlichkeit zu pasch zwei gleiche zahlen beide würfel zeigen eine gerade zahl die differenz der beiden zahlen ist gleich ii iii wahrscheinlichkeit eines ereignisses mit und die hier beschriebene strategie verwendest du immer dann wenn du die wahrscheinlichkeit von zwei gleichzeitig auftretenden ereignissen berechnen sollst die durch und verbunden sind beschreibung mit und bedeutet nur die ergebnisse die zu beiden ereignissen gehören sind die günstigen bei und ist nach der schnittmenge gesucht das sind hier alle zahlen die sowohl zu wie auch zu gehören beispiel du bist dran karten mit den zahlen von bis liegen verdeckt auf dem tisch eine karte wird aufgedeckt bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zahl durch teilbar und gerade ist karten mit den zahlen von bis liegen verdeckt auf dem tisch eine karte wird aufgedeckt bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zahl durch teilbar und ungerade ist stelle alle möglichen ergebnisse beider ereignisse auf ereignis die zahl ist durch teilbar {3 18} ereignis die zahl ist gerade {2 20} schreibe die schnittmenge auf {6 18} anzahl berechne die wahrscheinlichkeit p(e 0,15 so geht’s die hälfte aller karten in einem pokerspiel ist rot die andere ist schwarz du musst immer und unterscheiden auch wenn die würfel völlig gleich sind auch hier musst du zwischen und unterscheiden tipps zum lösen der aufgaben und

die abbildung zeigt die anzahl an elementen zweier mengen und sowie ihrer schnittmenge berechne folgende wahrscheinlichkeiten aus den oben beschriebenen poker-karten wird eine karte gezogen berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses die karte ist rot und ein ass die karte ist rot und eine herz-karte die karte ist rot und hat eine zahl in einem beutel liegen jeweils fünf rote gelbe und blaue von bis nummerierte kugeln bestimme die wahrscheinlichkeit eine kugel zu ziehen die rot ist und eine ungerade zahl hat eine kugel zu ziehen die nicht rot ist und eine primzahl zeigt du wirfst zwei würfel bestimme die wahrscheinlichkeit dass beide zahlen ungerade sind und ein würfel eine eins zeigt in einer gemischten hobby-sportgruppe mit sechs herren und vier damen spielen vier der herren und zwei der damen tischtennis von diesen vier herren sind zwei noch jugendliche bestimme die wahrscheinlichkeit für die auswahl einer person für die folgendes gilt die person ist weiblich und spielt kein tischtennis die person ist männlich und spielt tischtennis die person ist männlich und kein jugendlicher es werden ein roter und ein weißer würfel geworfen berechne die wahrscheinlichkeit für folgende ereignisse der rote würfel zeigt eine größere zahl an als der weiße der rote würfel zeigt eine gerade zahl und der weiße eine zahl kleiner als der rote würfel zeigt keine aber die summe beider würfel ist für das abschlussfest einer schule sollen ein theaterund ein musikstück eingeübt werden es melden sich insgesamt schülerinnen und schüler am theaterstück nehmen am musikstück schülerinnen beziehungsweise schüler teil wie viele schülerinnen und schüler nehmen an beiden vorführungen teil wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass pia in beiden gruppen ist tipp primzahlen sind alle natür lichen zahlen größer als die nur durch und sich selbst teilbar sind alle herz-karten sind rot insgesamt haben karten eine zahl aber nicht alle sind rot tipps zum lösen der aufgabe

schritt ich kann die wahrscheinlichkeiten bei ereignissen mit oder berechnen hier lernst du wie du die wahrscheinlichkeit berechnen kannst wenn zwei ereignisse mit oder verbunden sind zum beispiel kannst du die wahrscheinlichkeit berechnen dass beim würfeln eine oder eine gerade zahl fällt beispiele {2 10} {1 6} schnittmenge {2 6} vereinigungsmenge {1 10} {6 30} {6 30} zwei gleichzeitig eintretende ereignisse können durch und oder durch oder verknüpft sein den fall mit und hast du bereits im lernschritt kennengelernt beschreibung mit oder bedeutet die ergebnisse von beiden ereignissen gehören zu den günstigen ergebnissen bei oder ist nach der vereinigungsmenge gesucht das sind alle elemente die in oder in vorkommen für die verknüpfung mit oder gilt der additionssatz den durchschnitt musst du einmal abziehen da er sonst 2-mal gezählt wird wie du an der abbildung erkennen kannst wahrscheinlichkeit eines ereignisses mit oder sind zwei gleichzeitig eintretende ereignisse durch oder verbunden kannst du als strategie den additionssatz anwenden oder wie bei und alle günstigen ergebnisse abzählen beispiel du bist dran karten mit den zahlen von bis liegen verdeckt auf dem tisch eine karte wird aufgedeckt bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zahl durch teilbar oder eine primzahl ist karten mit den zahlen von bis liegen verdeckt auf dem tisch eine karte wird aufgedeckt bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zahl durch teilbar oder keine primzahl ist notiere alle möglichen ergebnisse der ereignisse sowie deren anzahl ereignis die zahl ist durch teilbar {5 20} anzahl ereignis die zahl ist eine primzahl {2 19} anzahl strategie berechne die wahrscheinlichkeit durch abzählen stelle die vereinigungsmenge auf {2 20} anzahl das brauchst du wieder schnittmenge und vereinigungsmenge in den grund lagen darum geht’s so geht’s tipp hierbei musst du besonders aufpassen dass du keine zahl vergisst

berechne die wahrscheinlichkeit p(e 0,55 strategie berechne die wahrscheinlichkeit mit dem additionssatz stelle die schnittmenge auf {5} anzahl verwende den additionssatz p(e in einer urne liegen fünf von bis nummerierte weiße und drei von bis nummerierte rote kugeln du greifst eine kugel heraus bestimme die wahrscheinlichkeit dass die kugel weiß ist oder die nummer 3 hat rot ist oder die nummer 4 hat rot ist oder eine nummer kleiner als hat bei einem spiel mit buchstaben darfst du von deinem gegenspieler einen buchstaben ziehen ohne dass du ihn sehen kannst dein gegenspieler hat acht buchstaben vor sich liegen bestimme die wahrscheinlichkeit dass der gezogene buchstabe ein vokal oder ist ein vokal oder ein ist ein vokal oder ein konsonant ist aus einem satz poker-karten wird eine karte gezogen berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses die karte ist rot oder ein ass die karte ist rot oder eine herz-karte die karte ist rot oder hat eine zahl es werden zwei würfel geworfen berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses ein würfel zeigt eine oder die summe beider würfel ist größer als ein würfel zeigt eine oder die differenz beider würfel ist beide würfel zeigen die gleiche zahl oder beide zahlen sind ungerade die schülerinnen einer klasse können einen freiwilligen zusatz-kurs wählen von schülerinnen wählen den musik-kurs den theater-kurs und zwei wählen beide kurse du lernst eine schülerin der klasse kennen bestimme die wahrscheinlichkeit dass sie einen zusatz-kurs weder den musiknoch den theater-kurs gewählt hat die teilnehmer einer reisegruppe haben zur auswahl ob sie einen besuch im museum machen oder eine kirche besichtigen erfahrungsgemäß wollen ins museum in die kirche und beides du triffst einen der teilnehmer im café bestimme die wahrscheinlichkeit dass derjenige weder im museum noch in der kirche war tipp die strategie brauchst du immer dann wenn nicht die einzelnen elemente sondern nur die anzahlen der ereignismengen und der durchschnittmenge angegeben sind tipp ein satz poker-karten besteht aus karten karo herz pik und kreuz es gibt rote karten und asse aber die anzahl der günstigen ergebnisse ist nicht alle herz-karten sind rot am besten schreibst du dir alle günstigen ergebnisse auf weder noch bedeutet keins von beiden du musst daher zunächst herausfinden wie viele schülerinnen insgesamt den theateroder den musikkurs besucht haben tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann die wahrscheinlichkeit für mehrstufige zufallsexperimente berechnen pfadregel hier lernst du die wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen dass du beim würfeln dreimal hintereinander eine sechs wirfst allgemein kürzen eines bruchs zähler und nenner durch die gleiche zahl dividieren beispiele wenn man ein experiment zum beispiel das ziehen von kugeln aus einer urne mit roten und blauen kugeln mehrmals hintereinander ausführt spricht man von einem mehrstufigen zufallsexperiment die ergebnisse eines mehrstufigen zufallsexperiments setzen sich aus den teilergebnissen zusammen zum beispiel setzt sich das ergebnis rrr nach dreimaligem ziehen aus den drei einzelnen ergebnissen zusammen die einzelnen ergebnisse bilden einen pfad für das ergebnis rrr die wahrscheinlichkeit für die aufeinanderfolge von teilergebnissen im beispiel ist das produkt der einzelnen wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen pfades pfadregel ziehen mit zurücklegen in diesen fällen bleibt die anzahl der möglichen ergebnisse gleich beispiel du bist dran ein spielwürfel wird dreimal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit dreimal eine zahl größer als zu erhalten ein spielwürfel wird dreimal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit dreimal eine zahl größer als zu erhalten lege das ereignis fest ereignis es erscheint 3-mal oder das brauchst du wieder multiplizieren von brüchen in den grundlagen tipp manchmal kannst du auch kürzen darum geht’s erklärfilm mehrstufige zufallsexperimente die pfadregel p5cn9z rrr p(rrr ·p ·p tipp im nächsten lernschritt wird durch ergänzen der anderen pfade ein baumdiagramm daraus tipp das bedeutet du legst die gezogene kugel oder karte wieder zurück die ausgangssituation für das nächste ergebnis ist dann wieder die gleiche so geht’s

notiere die möglichen und günstigen ergebnisse sowie ihre anzahl für 1­mal würfeln mögliche ergebnisse des würfels anzahl günstige ergebnisse des würfels anzahl berechne die wahrscheinlichkeit für einen wurf berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses multipliziere die gleichen wahrscheinlichkeiten der drei würfe p(e 0,0370 3,70 eine münze wird 3-mal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit des ereignisses 3-mal zahl zahl-kopf-zahl zahl-zahl-kopf gib mithilfe der pfadregel eine begründung dafür an dass die wahrscheinlichkeit für die ereignisse und gleich groß ist aus den poker-karten wird viermal eine karte gezogen und wieder zurückgelegt berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses die karte ist jedes mal eine herz-karte die karte ist jedes mal rot die karte ist beim ersten mal rot dann schwarz dann rot und dann wieder schwarz jonas isst sehr gern pfannkuchen mit apfelmus darin seine mutter hat sechs pfannkuchen gebacken vier mit apfelmus und zwei mit marmelade er nimmt sich zwei pfannkuchen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass beide mit apfelmus gefüllt sind in einer schachtel liegen sieben armreife drei goldene und vier silberne ein mädchen nimmt zum genaueren anschauen dreimal hintereinander einen armreif heraus und legt ihn wieder zurück gib an welcher term die wahrscheinlichkeit beschreibt dass sie zuerst zwei goldene und dann einen silbernen reifen angeschaut hat begründe deine antwort aus einem beutel mit roten blauen und schwarzen bällen darf ein kind dreimal ziehen und muss nach jedem zug den ball wieder zurücklegen bestimme die wahrscheinlichkeit der folgenden ereignisse alle drei bälle sind schwarz die ersten beiden bälle sind schwarz der dritte ball ist blau der erste ball ist schwarz der zweite blau und der dritte rot tipp ein satz poker-karten besteht aus karten karo herz pik und kreuz überlege dir wie viele pfade es jeweils für die drei ereignisse gibt dieser term wäre es wenn die reihenfolge egal wäre das ist hier aber nicht der fall tipps zum lösen der aufgaben und

beim dreimaligen würfeln ist bereits zweimal eine sechs gefallen ist die wahrscheinlichkeit für eine dritte sechs oder beschreibe den unterschied zwischen und ziehen ohne zurücklegen hierbei wird mit jedem zug die anzahl der möglichen ergebnisse um kleiner beispiel du bist dran aus einer urne mit roten und drei weißen kugeln werden nacheinander drei kugeln gezogen ohne sie zurückzulegen bestimme die wahrscheinlichkeit drei rote kugeln zu ziehen aus einer urne mit roten und drei weißen kugeln werden nacheinander drei kugeln gezogen ohne sie zurück zulegen bestimme die wahrscheinlichkeit drei weiße kugeln zu ziehen lege das ereignis fest ereignis die kugel ist 3-mal rot notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug in der urne sind noch rote und weiße kugeln anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug in der urne sind noch rote und weiße kugeln anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug berechne mit der pfadregel die wahrscheinlichkeit des ereignisses p(e p(rrr 0,2917 29,17 so geht’s tipp das werfen eines würfels ist immer ein ziehen mit zurücklegen bei anderen experimenten wie dem ziehen von kugeln gibt es sowohl das ziehen mit als auch das ziehen ohne zurücklegen

bei einem spiel darf raphael von seinem mitspieler der die königskarte hat drei von dessen fünf karten ziehen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass er die königskarte zieht in einer klasse eines mädchen-gymnasiums haben schülerinnen französisch 8  schülerinnen spanisch und sechs schülerinnen russisch als zweite fremdsprache es werden fünf schülerinnen ausgewählt bestimme die wahrscheinlichkeit dass unter den fünf keine ist die russisch lernt aus den poker-karten wird dreimal eine karte gezogen und nicht wieder zurückgelegt berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses die karte ist jedes mal eine herz-karte die karte ist jedes mal rot die karte ist beim ersten mal rot dann schwarz und dann wieder rot aus einem beutel mit roten blauen und schwarzen bällen darf ein kind dreimal ziehen ohne den gezogenen ball wieder zurücklegen zu müssen bestimme die wahrscheinlichkeit der folgenden ereignisse alle drei bälle sind schwarz die ersten beiden bälle sind schwarz der dritte ball ist blau der erste ball ist schwarz der zweite blau und der dritte rot du darfst aus einer serie mit fotos von sportlern drei fotos ziehen ohne ihren aufdruck zu sehen unter den fotos sind fußballer schwimmer und leichtathleten gib an welche drei fotos die wahrscheinlichkeiten beschreiben in manchen fällen gibt es mehrere möglichkeiten nenne alle möglichkeiten von vier streichhölzern ist eines kürzer als die anderen vier spieler ziehen nacheinander wer das kürzere zieht hat verloren prüfe ob es für dich ein nachteil ist wenn du als letzter ziehst tipp ein satz poker-karten besteht aus karten karo herz pik und kreuz tipp beim ziehen ohne zurücklegen enden irgendwann die bäume hier nach 4  zügen hier ist es hilfreich das gegenereignis zu berechnen vorsicht nach dem ziehen einer roten karte bleibt die anzahl der schwarzen karten unverändert aber die anzahl aller karten hat sich geändert berechne für jeden spieler getrennt die wahrscheinlichkeit dass er verliert der spieler zum beispiel kann nur verlieren wenn der spieler ein längeres streichholz gezogen also nicht verloren hat tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann zusammengesetzte experimente mit einem baumdiagramm darstellen hier lernst du wie du die ergebnisse der im lernschritt nacheinander ausgeführten zufallsexperimente zum beispiel alle ergebnisse des dreimaligen werfens einer münze an einem baumdiagramm ablesen kannst allgemein beispiele 1,15 mit einem baumdiagramm kannst du dir einen überblick über alle ergebnisse und deren wahrscheinlichkeiten verschaffen in der abbildung bilden je zwei aneinanderhängende äste des baumes einen pfad für den die pfadregel gilt summenregel gibt es für ein ereignis mehrere ergebnisse musst du die jeweiligen wahrscheinlichkeiten am ende des pfades addieren um die wahrscheinlichkeit des ereignisses zu erhalten die wahrscheinlichkeiten aller pfade zusammen ergeben immer baumdiagramm wenn ein experiment mehrmals ausgeführt wird kannst du für jedes einzelne ergebnis einen ast zeichnen alle möglichen äste zusammen ergeben das baumdiagramm beispiel du bist dran auf dem tisch liegen verdeckt fünf karten zwei asse und drei damen zwei karten werden nacheinander aufgedeckt ohne sie wieder umzudrehen trage alle ergebnisse in ein baumdiagramm ein und gib die wahrscheinlichkeit für das ereignis an ein ass und eine dame sind aufgedeckt auf dem tisch liegen verdeckt sechs karten drei asse und drei damen zwei karten werden nacheinander aufgedeckt ohne sie wieder umzudrehen trage alle ergebnisse in ein baumdiagramm ein und gib die wahrscheinlichkeit für das ereignis an zwei damen sind aufgedeckt schreibe die möglichen ergebnisse auf bestimme die wahrscheinlichkeiten für den ersten zug ergebnis ass p(a ergebnis dame p(d pfadregel in schritt addieren von brüchen in den grundlagen das brauchst du wieder tipp manchmal kannst du durch geeignetes erweitern kleinere nenner für die rechnung nutzen oder kürzen darum geht’s erklärfilm ereignisse die summen regel p5cn9z tipp das gilt auch für jede einzelne verzweigung wenn die wahrscheinlichkeit für ist ist 1-p die wahrscheinlichkeit für rr rb br bb so geht’s

da die karten nicht wieder umgedreht werden handelt es sich hier um ein ziehen ohne zurücklegen notiere den stand vor dem zweiten zug für den zug sind noch karten verdeckt beim ergebnis ass und damen beim ergebnis asse und damen für jedes ergebnis gibt es wieder zwei mögliche ergebnisse bestimme die wahrscheinlichkeiten für den zweiten zug nach dem ergebnis p(a p(d nach dem ergebnis p(a p(d zeichne das baumdiagramm und schreibe ans ende jedes pfades das ergebnis und die wahrscheinlichkeiten p(aa p(ad p(da p(dd schreibe alle ergebnisse für das ereignis auf ad da lies die wahrscheinlichkeiten der günstigen ergebnisse am baumdiagramm ab und addiere sie p(e p(ad p(da eine münze wird 3-mal geworfen stelle alle ergebnisse für zahl und wappen in einem baumdiagramm dar notiere alle ergebnisse bei denen genau 2-mal zahl vorkommt bestimme die wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal zahl vorkommt in einer vase befinden sich blumen rote gelbe weiße jemand nimmt ohne hinzuschauen zwei blumen heraus stelle die möglichen ergebnisse in einem baumdiagramm dar bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zwei blumen unterschiedliche farben haben bestimme die fehlenden wahrscheinlichkeiten an den ästen und berechne die wahrscheinlichkeiten der ergebnisse am ende der äste tipp du kannst die äste zur seite oder nach unten zeichnen

teilbaum wenn bei mehreren möglichen ergebnissen nicht alle in betracht gezogen werden brauchst du auch nicht für jedes einen ast zu zeichnen beispiel du bist dran auf dem tisch liegen verdeckt vier könige drei damen und zwei buben du deckst drei karten auf ohne sie wieder umzudrehen trage alle möglichen ergebnisse für das ziehen eines königs in einen teilbaum ein gib die wahrscheinlichkeit dafür an dass du genau zwei könige aufgedeckt hast auf dem tisch liegen verdeckt drei könige zwei damen und zwei buben du deckst drei karten auf ohne sie wieder umzudrehen trage alle möglichen ergebnisse für das ziehen eines königs in einen teilbaum ein gib die wahrscheinlichkeit dafür an dass du genau zwei könige aufgedeckt hast hier interessiert nur das ergebnis könig und nicht­könig bestimme die wahrscheinlichkeiten für den zug p(k p( für den zug liegen noch karten auf dem tisch bestimme die wahrscheinlichkeiten für den zug aufgedeckt p(k p( aufgedeckt p(k p( für den zug liegen noch karten auf dem tisch bestimme die wahrscheinlichkeiten für den zug kk aufgedeckt p(k p( aufgedeckt p(k p( aufgedeckt p(k p( kk aufgedeckt p(k p( zeichne das dazugehörige baumdiagramm schreibe alle ergebnisse für das ereignis auf kk kk bestimme die wahrscheinlichkeiten mit der summenregel und der pfadregel p(e p(kk p(k p( kk 0,357 35,7 so geht’s tipp du kannst dame und bube zu dem ergebnis nicht-könig zusammenfassen tipp das baumdiagramm sieht immer noch ziemlich kompliziert aus aber es würde bei eintragen aller äste also für könig dame und bube noch viel komplizierter aussehen deshalb beschränken wir uns auf könig und nicht-könig kkk kkk kkk kkk kkk kkk kkk kkk

du ziehst drei karten aus einem stapel mit jeweils herzkarokreuzund pik-karten ohne sie zurückzulegen zeichne einen teilbaum mit den ästen herz und nicht herz bestimme die wahrscheinlichkeit genau eine herz-karte zu ziehen ein glücksrad hat drei felder mit drei verschiedenen farben feld 90° rot feld 120° blau feld 150° weiß du darfst dreimal drehen beschreibe welches ereignis die wahrscheinlichkeiten beschreiben in einer urne befinden sich weiße gelbe blaue und grüne kugeln du darfst zweimal mit verbundenen augen eine kugel ziehen ohne sie zurückzulegen zeichne jeweils einen geeigneten teilbaum bestimme die wahrscheinlichkeit genau einmal eine blaue kugel zu ziehen die weiße kugel zu ziehen genau eine grüne und eine weiße kugel zu ziehen ein spielwürfel wird geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit dass erst beim mal eine sechs auftritt bei einer lotterie mit gewinnen darf raphael so lange ziehen bis er einen gewinn gezogen hat bestimme die wahrscheinlichkeit dass er erst beim versuch einen gewinn zieht die flächen eines tetraeders sind mit den zahlen bis beschriftet als gewürfelt gilt die zahl die an der unteren kante steht der würfel wird viermal geworfen mit welcher wahrscheinlichkeit erhält man viermal die gleiche ziffer wie groß ist die wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine zahl größer als zu würfeln von schülern einer klasse haben sechs ihre hausaufgaben nicht gemacht zu beginn der stunde werden 3 schüler kontrolliert bestimme die wahrscheinlichkeiten der ereignisse alle drei haben keine hausaufgaben genau ein schüler ohne hausaufgaben wird erwischt höchstens ein schüler ohne hausaufgaben wird erwischt tipp bei vielen losen und wenigen versuchen kannst du die wahrscheinlichkeit für einen gewinn als konstant betrachten obwohl sie sich in wirklichkeit mit jedem zug ziehen ohne zurücklegen geringfügig verändert hier musst du 3 äste zeichnen hier werden nicht alle möglichkeiten eine sechs zu werfen betrachtet sondern nur die eine bei der viermal keine sechs aufgetreten ist der teilbaum besteht hier nur aus einem ast tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann zufallsgrößen und ihren erwartungswert bestimmen hier lernst du wie du den durchschnitt der ergebnisse eines glücksrads berechnen kannst auf dem 180° rot 120° gelb und 60° blau gefärbt sind dazu wird zum beispiel rot der wert blau der wert und gelb der wert zugeordnet allgemein beispiele durchschnittliches ergebnis beim würfel durchschnitt von und durchschnitt von und neben zahlen beim würfeln haben wir bisher als ergebnisse von zufallsexperimenten unter anderem spielkarten und farben betrachtet mit letzteren kannst du aber nicht rechnen daher muss ihnen ein zahlenwert zugeordnet werden die zusammenfassung aller zahlenwerte ist die zufallsgröße der begriff zufallsgröße ist sehr nahe an der ergebnismenge die du bereits kennst enthält aber nur zahlen zum beispiel gibt es beim glücksrad als ergebnis die farben rot blau und gelb die zufallsgröße ordnet jeder farbe einen wert zu etwa rot blau und gelb die einzelnen werte von hier und werden mit bezeichnet ihre wahrscheinlichkeiten mit der erwartungswert von ist die zahl die die zufallsgröße im mittel annimmt bei unbegrenzter wiederholung des experiments ergibt er sich als durchschnitt aller ergebnisse zur berechnung musst du die ergebnisse mit den jeweiligen wahrscheinlichkeiten multiplizieren und dann addieren erwartungswert zufallsgröße und berechnen des erwartungswerts es ist wichtig immer zuerst alle möglichen werte der zufallsgröße zu notieren für die berechnung des erwartungswerts ist es eine vorteilhafte strategie die werte und ihre wahrscheinlichkeiten in eine tabelle zu schreiben dann kannst du übersichtlich die produkte bilden und addieren beispiel du bist dran du sollst von einem spielwürfel mit geänderter aufschrift den erwartungswert bestimmen auf den sechs seiten des würfels steht 3-mal eine 2-mal eine und einmal eine du sollst von einem spielwürfel mit geänderter aufschrift den erwartungswert bestimmen auf den sechs seiten des würfels steht 2-mal eine 2-mal eine und jeweils 1-mal eine und eine mittelwert in den grundlagen das brauchst du wieder darum geht’s tipp da beim würfeln die wahrscheinlichkeit für jede augenzahl gleich ist ist der oben berechnete durchschnitt gleich dem erwartungswert des einmaligen würfelwurfs erklärfilm der erwartungswert p5cn9z so geht’s

notiere die zufallsgröße und die wahrscheinlichkeiten {1 3} p(eine beliebige seite des würfels p(x p(x p(x stelle eine tabelle auf schreibe in die zeile die werte xi der zufallsvariablen zeile die wahrscheinlichkeiten dieser werte zeile die produkte p(x p(x bestimme den erwartungswert als summe der zeile e(x eine münze wird 5-mal geworfen stelle die zufallsgröße auf die die anzahl von kopf beschreibt du ziehst von einem kartenstapel mit schwarzen und roten karten karten ohne sie zurückzulegen gib die zufallsgröße an die die anzahl der möglichen schwarzen karten beschreibt gib die zufallsgröße an die die anzahl der möglichen roten karten beschreibt in einem lostopf mit losen sind gewinne du greifst lose heraus gib die zufallsgröße an die die anzahl der möglichen gewinne beschreibt gib die zufallsgröße an die die anzahl der möglichen nieten beschreibt den karten eines pokerspiels wird durch die nebenstehende tabelle jeweils ein wert zugeordnet eine karte wird aufgedeckt gib die zufallsgröße an die den wert der karte beschreibt bestimme den erwartungswert für den wert einer karte auf einem glücksrad mit gleichen sektoren steht 6-mal 4-mal und 2-mal stelle die zufallsgröße auf schreibe die ergebnisse in eine tabelle und ermittle den erwartungswert für ein einmaliges drehen tipp wie du schon beim normalen würfel gesehen hast muss der durchschnitt keines der möglichen ergebnisse sein ass 2 € 1 € übrige ct vergiss nicht dass du auch einmal kopf werfen kannst du kannst nicht null schwarze karten ziehen du kannst nicht mehr als rote karten ziehen tipps zum lösen der aufgaben und

bei einem schulfest kannst du an einer schießbude mit einem turm aus blechdosen punkte sammeln du hast genau drei würfe auf einer tafel sind die spielregeln notiert du kannst also maximal punkte erreichen gib die zufallsgröße an die die möglichen punktzahlen beschreibt ein ort in den bergen plant weitere mountainbike-strecken anzulegen um die bedürfnisse der touristen besser einschätzen zu können nimmt man befragungen in abhängigkeit von der länge der strecke vor dazu werden die strecken von 30 km bis 150 km in 20-km-intervalle aufgeteilt gib die zufallsgröße an die alle möglichen streckenlängen beschreibt in einem spiel gibt es verschiedenfarbige kärtchen rote gelbe blaue und grüne die roten zählen punkte die gelben die blauen drei und die grünen einen punkt die karten werden beim spiel zufällig von einem stapel verdeckt gezogen in jeder spielrunde zieht jeder spieler eine karte die wieder unter den stapel gemischt wird die erhaltenen punkte werden addiert gib die zufallsgröße an die die punkte der kärtchen beschreibt welche punktzahl kannst du nach einer runde erwarten welche punktzahl kannst du nach runden erwarten ein lehrer hat sich über mehrere jahre die noten der schüler in den klausuren notiert note anteil bestimme den erwartungswert der durchschnittsnote für die nächste klausur das ergebnis der nächsten klausur ist 4-mal 8-mal 3-mal 3-mal 2-mal untersuche ob das ergebnis dem erwartungswert entspricht eine spielbox zeigt wenn man sie schüttelt die zahlen oder du möchtest herausfinden mit welcher wahrscheinlichkeit die beiden zahlen auftreten dazu schüttelst du die box 100-mal und erhältst als summe aller ergebnisse jetzt kannst du die beiden wahrscheinlichkeiten herausfinden in einer tabelle sind die ergebnisse eines glücksrads mit ihren wahrscheinlichkeiten eingetragen zwei zahlen sind verwischt und können nicht mehr gelesen werden es ist jedoch bekannt dass der erwartungswert bei einmaligem drehen des glücksrads 2,25 beträgt berechne daraus die wahrscheinlichkeiten für die zahlen und 0,25 0,15 da e(x gleich bleibt kannst du von einer runde auf mehrere schließen tipp zum lösen der aufgabe

schritt ich kann den erwartungswert für verknüpfte ergebnisse berechnen hier lernst du wie du beim werfen von zwei würfeln den erwartungswert des produkts der beiden zahlen berechnen kannst allgemein beispiele auf dem tisch liegen neun karten asse könige und damen die karten haben folgende werte ass zehn könig dame bestimme den erwartungswert des zahlenwerts beim aufdecken einer karte asse könige damen karten asse zehnen damen karten ass zehnen könig damen du weiß bereits was ein erwartungswert ist und wie er berechnet wird bislang waren die elemente der zufallsgröße immer gegeben hier musst du sie und ihre wahrscheinlichkeiten erst bestimmen die berechnung des erwartungswerts bleibt die gleiche erwartungswert für verknüpfte ergebnisse bei dieser strategie bestimmst du zunächst alle werte der zufallsgröße dann sammelst du alle ergebnisse die zu den jeweiligen gehören und bestimmst die wahrscheinlichkeiten beispiel du bist dran ein spielwürfel hat die form eines tetraeders an den vier spitzen stehen die zahlen und es wird mit zwei tetraedern gewürfelt bestimme den erwartungswert für das produkt der beiden zahlen an der spitze ein spielwürfel hat die form eines tetraeders an den vier spitzen stehen die zahlen und es wird mit zwei tetraedern gewürfelt bestimme den erwartungswert für die summe der beiden zahlen an der spitze bestimme die möglichen ergebnisse deren anzahl und wahrscheinlichkeit ergebnisse anzahl alle ergebnisse haben die gleiche wahrscheinlichkeit das brauchst du wieder erwartungswert in schritt darum geht’s so geht’s

notiere alle möglichen werte der zufallsgröße die sich bei der multiplikation bzw addition ergeben {0 9} schreibe in die spalte alle ergebnisse in die spalte die dazugehörigen werte produkte für und in die spalte die wahrscheinlichkeiten ergebnisse p(x berechne den erwartungswert als summe der rechten spalte e(x 2,25 die seiten eines spielwürfels sind jeweils 1-mal rot 2-mal blau und 3-mal gelb gefärbt die farben bedeuten rot felder zurück blau felder vorrücken gelb feld vorrücken berechne den erwartungswert pro spielrunde wie viele runden wirst du voraussichtlich benötigen um felder vorzurücken vor dir liegen verdeckt sechs karten mit zauberwörtern darauf simsalabim abrakadabra hokuspokus sabberbrabbel alohomora bombarda du drehst eine karte um gib die zufallsgröße an die die anzahl der beschreibt bestimme den erwartungswert für die anzahl der bestimme den erwartungswert für die anzahl der vor dir liegen verdeckt drei schwarze und eine rote karte du kannst zwei karten aufdecken ohne sie wieder umzudrehen gib die zufallsgröße an die die anzahl der möglichen schwarzen karten beschreibt berechne den erwartungswert für die anzahl der aufgedeckten schwarzen karten berechne den erwartungswert für die anzahl der aufgedeckten roten karten tipp wenn es viele werte gibt ist es übersichtlicher sie in einer spalte untereinander zu schreiben

beim backen von omeletts versuchst du jedes mal die omeletts durch hochwerfen in der pfanne zu drehen es gelingt dir zu du zählst das als treffer du hast drei omeletts gebacken gib die zufallsgröße an die die anzahl der treffer beschreibt mit wie vielen treffern kannst du rechnen du hast einen schlüsselbund mit vier schlüsseln und weißt nicht welcher der richtige ist berechne den erwartungswert für die anzahl der versuche die du brauchst bis du den passenden gefunden hast bei einem spiel musst du von deinem nebenmann so lange karten ziehen bis du ein ass gezogen hast dein nebenmann hat noch karten davon asse wie oft musst du erwartungsgemäß ziehen eine zufallsvariable ist durch die tabelle bestimmt bei der zwei wahrscheinlichkeiten verloren gegangen sind untersuche zwischen welchen werten der erwartungswert liegen kann von sechs feldern zum aufrubbeln bei rubbellosen sind drei leer und unter den anderen drei ist jeweils ein preis bestimme die wahrscheinlichkeit zuerst die drei leeren felder hintereinander frei zu rubbeln wie viele felder musst du voraussichtlich frei rubbeln bis du ein feld mit einem preis darunter gefunden hast in einer urne befinden sich drei rote vier schwarze und eine weiße kugel bestimme die wahrscheinlichkeit bei dreimaligem ziehen ohne zurücklegen die weiße kugel zu ziehen für einen einsatz von darf man eine kugel aus der urne ziehen handelt es sich um die weiße kugel erhält man für eine rote kugel und für eine schwarze kugel wie oft kann man voraussichtlich das spiel wiederholen bis man die euro verloren hat rubbel gluck manchmal können auch die anzahlen an versuchen die -werte der zufallsgröße darstellen beachte dass alle wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben müssen tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann erkennen ob ein spiel fair ist hier lernst du ob ein glücksspiel fair oder für einen der spieler vorteilhaft ist max und moritz würfeln mit zwei würfeln und vereinbaren folgende regel sind beide zahlen gleich oder zeigt ein würfel eine muss max an moritz 1 euro bezahlen andernfalls zahlt moritz an max 1 euro prüfe ob das spiel fair ist allgemein beispiele beim werfen eines würfels erhältst du fünf punkte für eine drei punkte für eine einen punkt für alle anderen zahlen voraussichtliche punktzahl nach würfen voraussichtliche punktzahl nach würfen voraussichtliche punktzahl nach würfen du kannst den erwartungswert eines spiels berechnen er kann positiv negativ oder null sein ist der erwartungswert dann nennt man das spiel fair das bedeutet dass du auf lange sicht weder verlierst noch gewinnst ist der erwartungswert aus deiner sichtweise positiv gewinnst du ist er negativ verlierst du auf lange sicht gewinnchance beim spiel bei dieser strategie schreibst du zuerst die ergebnisse danach die damit verbundenen geldbeträge und dann die wahrscheinlichkeiten auf beispiel du bist dran bei einem würfelspiel mit einem üblichen würfel darfst du für 1 euro einsatz 3-mal würfeln es gelten die folgenden regeln eine sechs du erhältst 2 euro zwei sechsen du erhältst 3 euro drei sechsen du erhältst 6 euro untersuche ob das spiel fair ist bei einem würfelspiel mit einem üblichen würfel darfst du für 1 euro einsatz 3-mal würfeln es gelten die folgenden regeln eine sechs du erhältst 1 euro zwei sechsen du erhältst 4 euro drei sechsen du erhältst 10 euro untersuche ob das spiel fair ist definiere die zufallsgröße gewinne in euro berechne und notiere alle möglichen werte indem du den einsatz vom gewinn abziehst keine sechs -1 € eine sechs 1 € zwei sechsen 2 € drei sechsen 5 € das brauchst du wieder erwartungswert für verknüpfte ergebnisse in schritt darum geht’s tipp jedes glücksspiel wird vom betreiber so designt dass der erwartungswert negativ ist so geht’s

stelle eine tabelle auf und berechne den erwartungswert anzahl gewinn p(x p(x -1 € -0,579 € 1 € 0,347 € 2 € 0,139 € 5 € 0,023 € e(x 0,579 € 0,347 € 0,139 € 0,023 € 0,070 € interpretiere den erwartungswert das spiel ist nicht fair du verlierst im durchschnitt pro spiel cent ein spielwürfel hat die form eines tetra eders drei seiten sind weiß eine seite ist grün bemalt dir steht eine beliebige anzahl an chips zur verfügung landet der tetra eder beim werfen auf einer weißen seite musst du einen chip abgeben landet er auf der grünen seite erhältst du drei chips untersuche ob das spiel fair ist du wirfst drei münzen gleichzeitig die anzahl der münzen die zahl zeigen ist der gewinn schreibe alle ergebnisse auf berechne den erwartungswert für 3-maliges werfen der drei münzen musst du 5 euro als einsatz bezahlen prüfe ob das spiel fair ist du wirfst zwei würfel für einen einsatz von 0,50 euro ist die summe der beiden zahlen größer oder gleich erhältst du 2 euro zurück untersuche ob das spiel fair ist bestimme den auszahlungsbetrag damit das spiel fair wird in einer lotterie kannst du mit der lose 10 € mit der lose 5 € und mit der lose 1 € gewinnen was müssen die lose kosten damit der lotterie-veranstalter keinen verlust macht im mittel bei spielen 50 € verdient für ein schulfest ist ein glücksrad mit zehn gleich großen feldern gebaut worden auf den zehn feldern ist 4-mal die 3-mal die 2-mal die und einmal die aufgemalt die aufgetragenen werte werden jeweils in euro ausbezahlt wie hoch muss der einsatz pro runde sein damit das spiel fair ist tipp in einem spiel kannst du nicht wirklich cent verlieren das ergebnis bedeutet dass du nach spielen im schnitt 7 € verloren hast

in einer urne befinden sich zwei rote und acht weiße kugeln du darfst zweimal ziehen ziehst du eine rote kugel musst du 5 euro bezahlen ziehst du eine weiße kugel erhältst du 1 euro berechne den zu erwartenden verlust pro spiel weise nach dass das spiel fair wäre wenn du bei einer roten kugel nur 4 euro bezahlen müsstest bei einem glücksspiel mit einem einsatz von 2 euro gibt die zufallsvariable den gewinn an die tabelle gibt die wahrscheinlichkeitsverteilung von an in euro -2 -1 p(x berechne den erwartungswert von wie groß müsste der einsatz sein damit das spiel fair ist ändere den gewinn von 1 euro so ab dass das spiel bei einem einsatz von 2 euro fair wird bei dem abgebildeten glücksrad ist ein drittel der fläche blau du zahlst für eine runde 2 euro und darfst dafür 2-mal drehen es gelten folgende regeln 2-mal blau du erhältst 5 euro beide farben du bekommst deinen einsatz zurück 2-mal weiß du bekommst nichts zurück berechne den erwartungswert für ein spiel ändere den betrag für 2-mal blau so ab dass das spiel fair ist von fünf freunden wollen zwei am zoll zigaretten schmuggeln bei der zollkontrolle werden zwei untersucht berechne die wahrscheinlichkeiten der ereignisse beide schmuggler werden erwischt mindestens ein schmuggler wird erwischt berechne die wahrscheinlichkeit für einen der schmuggler bei versuchen unerkannt durchzukommen eine schulklasse hat für ein gewinnspiel zwei würfel gebastelt einen roten und einen blauen die sich nur in den farben unterscheiden die abbildung zeigt die beschriftung der würfel am schulfest bietet die klasse für euro einsatz ihr gewinnspiel gewinnt an hauptpreis 5 euro für trostpreis 1 euro für oder verloren alle anderen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeiten mit der einem spieler 5 € 1 € oder nichts aus bezahlt werden mit welchem gewinn kann die klasse bei spielen rechnen

ein normaler spielwürfel wird zweimal geworfen schritt bestimme die wahrscheinlichkeit dass die summe beider augenzahlen größer als ist bestimme die wahrscheinlichkeit dass die augenzahl des ersten würfels kleiner ist als und die augenzahl des zweiten würfels gerade ist bei einem brettspiel werden würfel mit einer gelben zwei blauen und drei roten seiten benutzt es werden zwei würfel geworfen schritt zeichne das dazugehörige baumdiagramm und trage alle ergebnisse und wahrscheinlichkeiten ein bestimme die wahrscheinlichkeiten der folgenden ereignisse kein würfel zeigt rot genau ein würfel zeigt rot beide würfel zeigen die gleiche farbe bei einem glücksspiel wird das abgebildete glücksrad einmal gedreht als einsatz bezahlt man 3 € man erhält den betrag ausgezahlt der auf dem feld zu sehen ist welches nach der drehung oben steht bestimme den erwartungswert für den gewinn schritt auf einem schaltbrett sind vier schalter angebracht von denen jeder auf ein oder aus stehen kann schritt zeichne in ein baumdiagramm alle möglichen schalterstellungen bestimme die wahrscheinlichkeiten der folgenden ereignisse der erste schalter steht auf ein der zweite auf aus der dritte auf ein und der letzte auf aus der erste schalter steht auf ein der zweite auf aus und der dritte auf ein der erste schalter steht auf ein und der zweite auf aus der erste schalter steht auf ein unter einer warenladung von containern sind drei mit schmuggelgut wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass beim öffnen schritt von containern keiner mit schmuggelgut dabei ist von containern genau zwei ohne schmuggelgut dabei sind ein elektrogeschäft erhält eine sendung glühbirnen es wird mit defekten glühbirnen gerechnet du kaufst glühbirnen schritt bestimme die wahrscheinlichkeit dass alle in ordnung sind bestimme die wahrscheinlichkeit dass mindestens eine defekt ist bei einem spiel mit buchstaben-karten werden die buchstaben des wortes solo umgedreht und vermischt es werden drei karten hintereinander aufgedeckt und deren buchstabe jeweils notiert anschließend wird die gezogene karte zurückgelegt umgedreht und die karten wieder vermischt schritt zeichne das dazugehörige baumdiagramm wie groß ist dann die wahrscheinlichkeit dass der reihe nach das wort los entsteht ein würfel hat seiten schritt er wird einmal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit dass die zahl durch teilbar oder eine primzahl ist nun wird der würfel zweimal geworfen bestimme die wahrscheinlichkeit dass die erste zahl gerade oder die zweite zahl kleiner als ist training

schritt ich kann bedingte wahrscheinlichkeiten berechnen hier lernst du wie groß die wahrscheinlichkeit für eine sechs ist wenn dir jemand verrät dass die geworfene zahl weder eine noch eine ist allgemein beim ziehen ohne zurücklegen verringern sich mit jedem zug die möglichen ergebnisse beispiele von einem stapel mit roten und schwarzen karten ziehst du zweimal zwei rote karten rr 0,3571 35,71 zwei schwarze karten ss zuerst eine rote dann eine schwarze karte rs zuerst eine schwarze dann eine rote karte vom ziehen ohne zurücklegen weißt du dass die wahrscheinlichkeit für den zug vom ergebnis des zugs abhängt ebenso ändert sich die wahrscheinlichkeit eines ereignisses wenn du eine zusätzliche information ereignis erhalten hast dies ist die bedingte wahrscheinlichkeit du kannst am baumdiagramm ablesen daraus ergibt sich bedingte wahrscheinlichkeit diese strategie wendest du an wenn die wahrscheinlichkeit eines ereignisses von einer zusätzlichen information ereignis abhängt beispiel du bist dran ein nicht ganz gleichmäßig geformter tetraeder wird als spielwürfel benutzt die unten liegende seite gilt drei seiten mit den zahlen und sind weiß die vierte seite mit der zahl ist rot der tetraeder kommt mit folgenden wahrscheinlichkeiten auf einer zahl zu liegen bestimme die wahrscheinlichkeit für die zahl wenn dir ein mitspieler verrät dass der tetraeder auf einer weißen seite liegt ein nicht ganz gleichmäßig geformter tetraeder wird als spielwürfel benutzt die unten liegende seite gilt drei seiten mit den zahlen und sind weiß die vierte seite mit der zahl ist rot der tetraeder kommt mit folgenden wahrscheinlichkeiten auf einer zahl zu liegen bestimme die wahrscheinlichkeit für die zahl wenn dir ein mitspieler verrät dass der tetraeder auf einer ungeraden zahl liegt das brauchst du wieder ziehen ohne zurücklegen in schritt baumdiagramme in schritt 4 darum geht’s p(a erklärfilm bedingte wahrscheinlichkeit p5cn9z so geht’s

schreibe das ergebnis und die bedingung auf ergebnis weiße seite und bedingung weiße seite lies aus der tabelle die wahrscheinlichkeiten der ereignisse ab und addiere p(w p(w berechne mithilfe der formel die bedingte wahrscheinlichkeit p(w p(w 0,375 37,5 ergänze die fehlenden wahrscheinlichkeiten im nebenstehenden baumdiagramm gib die bedingten wahrscheinlichkeiten an in einer jugendgruppe gibt es rothaarige mädchen die mädchen machen einen anteil von aus bestimme die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen das du triffst rothaarig ist bei einem hochsprung-wettbewerb sind der teilnehmer über 1,90 meter gesprungen aber nur noch von diesen teilnehmern über meter mit welcher wahrscheinlichkeit hat einer der die 1,90 geschafft hat auch die 2,00 geschafft in einer schule wurden neue rauchmelder installiert r = es hat sich rauch gebildet s = signal ertönt beschreibe mit worten was die bedingten wahrscheinlichkeiten bedeuten gib außerdem an ob die werte der wahrscheinlichkeiten von eher groß oder eher klein sein sollten du hast mit dem würfelbecher zwei würfel geworfen ein mitspieler schaut unter den becher und verrät dir dass beide zahlen gerade sind bestimme die wahrscheinlichkeit dass genau eine der beiden zahlen eine sechs ist eine untersuchung ergab dass von neu gekauften smartphones nach den ersten beiden jahren einwandfrei funktionieren der smartphones funktionieren auch noch nach vier jahren einwandfrei bei wie viel prozent der käufer funktioniert das handy nach zwei jahren noch einwandfrei bei wie viel prozent der käufer die ihr smartphone bereits zwei jahre haben funktioniert es auch noch nach zwei weiteren jahren einwandfrei wahrscheinlichkeit dass das signal ertönt nachdem sich rauch gebildet hat es gibt neun möglichkeiten dass beide zahlen gerade sind die wahrscheinlichkeit für jahre ist die summe der zahlen in den feldern von <3 und tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann vierfeldertafeln lesen und interpretieren hier lernst du wie du aus einzelnen zahlen-angaben einer schule weitere anzahlen bestimmen kannst zum beispiel gibt es unter den lehrerinnen einer schule die rauchen insgesamt unterrichten personen an der schule von denen nichtraucher sind bestimme daraus die anzahl der männlichen lehrer die nicht rauchen beispiele schraffiere schraffiere bei statistischen erhebungen findest du oft zahlen die die häufigkeit verschiedener merkmale wie männlich/weiblich oder raucher/nichtraucher angeben über die anzahlen zweier merkmale und sowie ihrer alternativen bzw kannst du dir mit einer vierfeldertafel einen überblick verschaffen in den inneren vier feldern stehen die schnittmengen der betrachteten merkmale rechts und unten stehen die summen der inneren felder wenn du die gesamtanzahl mit annimmst kannst du alle anderen daten der tafel als prozentoder dezimalzahlen angeben die als wahrscheinlichkeiten für das auftreten dieser merkmale interpretiert werden können vierfeldertafel mit konkreten zahlen eine vierfeldertafel ist immer dann hilfreich wenn du einen text mit mehreren anzahlen verschiedener merkmale zu bearbeiten hast beispiel du bist dran an männlichen und weiblichen mäusen wird die wirkung eines bestimmten medikaments getestet das ergebnis des tests ist männliche und weibliche mäuse zeigen wirkung die anderen nicht fertige zu dem test eine vierfeldertafel an und trage die angegebenen daten ein ergänze die fehlenden daten an männlichen und weiblichen mäusen wird die wirkung eines bestimmten medikaments getestet das ergebnis des tests ist von den mäusen die keine wirkung zeigen sind männlich und weiblich fertige zu dem test eine vierfeldertafel an und trage die angegebenen daten ein ergänze die fehlenden daten schreibe die merkmale und ihre anzahlen auf männlich weiblich männlich mit wirkung weiblich mit wirkung trage die werte in die vierfeldertafel ein und ergänze sie das brauchst du wieder schnittund vereinigungsmenge in den grundlagen umrechnen in prozentschreibweise in den grundlagen darum geht’s tipp merkmal bedeutet das gleiche wie ereignis erklärfilm die vierfeldertafel p5cn9z so geht’s tipp die anordnung der merkmale spielt keine rolle

von den schülerinnen und schülern einer kursstufe wird in einer vierfeldertafel festgehalten wie viele ein streichinstrument s-i beziehungsweise ein blasinstrument b-i spielen ein paar zahlen sind bereits eingetragen schreibe auf was die zahlen aussagen vervollständige die vierfeldertafel nenne die anzahlen der folgenden mengen b-i b-i die im feld ab der vierfeldertafel ist ein schreibfehler korrigiere ihn und ergänze die fehlenden daten trage die daten in eine vierfeldertafel ein und ergänze die fehlenden daten insgesamt auf einer obstplantage mit kirschund pfirsich-bäumen sind ein viertel aller bäume von mehltau befallen davon sind pfirsichbäume schreibe alle daten in eine vierfeldertafel und vervollständige sie wie viele kirschbäume sind nicht befallen vierfeldertafel mit prozentwerten als dezimalzahlen die jeweiligen prozentualen anteile beziehen sich auf die gesamtanzahl die prozentzahlen kannst du als wahrscheinlichkeit für ein zufällig ausgewähltes element interpretieren beispiel du bist dran am ende eines ferienlagers mit mädchen wollen die kinder etwas aufführen sie können zwischen einer theaterund einer musikgruppe wählen müssen sich aber für eine entscheiden für die beiden gruppen entscheiden sich gleich viele kinder aber die jungen in der theatergruppe machen nur aller kinder aus trage die daten in eine vierfeldertafel und ergänze sie lies die wahrscheinlichkeiten in prozent ab ein kind ist ein junge ein kind ist ein mädchen und macht musik am ende eines ferienlagers mit mädchen wollen die kinder etwas aufführen sie können zwischen einer theaterund einer musikgruppe wählen müssen sich aber für eine entscheiden für die theatergruppe entscheiden sich aller kinder aber die jungen in der theatergruppe machen nur aller kinder aus trage die daten in eine vierfeldertafel und ergänze sie lies die wahrscheinlichkeiten in prozent ab ein kind ist in der musikgruppe ein kind ist ein junge und macht musik trage die prozentzahlen als dezimalzahlen in die vierfeldertafel ein und ergänze sie mädchen junge th theatergruppe mu musikgruppe th mu lies aus der vierfeldertafel ab p(j p(m mu s-i b-i s-i b-i so geht’s insgesamt gibt es bäume sind von mehltau befallen tipp zum lösen der aufgabe

vervollständige die vierfeldertafel 0,24 0,66 lies die wahrscheinlichkeiten ab unter den oberstufen-schülern eines gymnasiums wird eine umfrage zum rauchen durchgeführt von den mädchen geben an dass sie hin und wieder rauchen bei den jungen sind es schreibe alle daten in eine vierfeldertafel und ergänze die fehlenden daten wandle die daten in prozentzahlen um du wählst einen beliebigen namen aus der kartei gib die wahrscheinlichkeit dafür an dass der-/diejenige männlich ist männlich und raucher ist weiblich ist und nicht raucht bei einem dorffest werden ein fußballund ein handballturnier veranstaltet am fußballturnier nehmen insgesamt mannschaften teil am handballturnier insgesamt außer eingetragenen vereinen nehmen auch einige hobbymannschaften teil beim fußballturnier sind mannschaften aus vereinen übertrage den text in eine vierfeldertafel wie viel prozent der teilnehmenden mannschaften sind hobbymannschaften die handball spielen in einem landkreis wurde eine erhebung über die berufstätigkeit durchgeführt dabei ergab sich 51,3 der befragten sind frauen 53,4 der frauen und 67,2 der männer sind berufstätig bestimme aus den angaben den prozentualen anteil der personen die weiblich und berufstätig beziehungsweise männlich und berufstätig sind trage die daten in eine vierfeldertafel ein vervollständige sie und beantworte die frage wie viel prozent der befragten sind nicht berufstätig bei einer bürgermeisterwahl erhielt von drei kandidaten der kandidat 42,5 aller stimmen bei der analyse des wahlergebnisses stellte sich heraus dass kandidat von den über 50-jährigen die 55,6 der wähler stellten mit 53,0 mehr als die hälfte der stimmen bekommen hatte trage die daten in eine vierfeldertafel ein vervollständige sie und beantworte die fragen wie viel prozent der wähler sind unter jahre alt wie viel prozent der wähler die noch nicht sind haben einen anderen kandidaten gewählt weiblich und berufstätig erhältst du aus 0,513 0,534 tipp zum lösen der aufgabe

schritt ich kann aus einer vierfeldertafel ein baumdiagramm erstellen hier lernst du wie du die prozentwerte einer vierfeldertafel in ein baumdiagramm übertragen kannst zum beispiel sind in der kursstufe einer schule mädchen von allen schülerinnen und schülern sind in einem sportverein davon sind mädchen und jungen bestimme den prozentsatz der jungen die in einem sportverein sind beispiele 0,35 du weißt schon dass die werte der inneren felder der vierfeldertafel die wahrscheinlichkeiten am ende des jeweiligen pfades sind die daten einer vierfeldertafel können in ein baumdiagramm übertragen werden das bringt den vorteil dass du auch die bedingten wahrscheinlichkeiten eintragen kannst wie du schon weißt vierfeldertafel baumdiagramm und bedingte wahrscheinlichkeiten mithilfe der vierfeldertafel kannst du alle bedingten wahrscheinlichkeiten berechnen beispiel du bist dran es ist die vierfeldertafel gegeben 0,25 0,45 0,45 0,55 zeichne ein baumdiagramm mit als merkmal und als merkmal trage die fehlenden bedingten wahrscheinlichkeiten ein es ist die vierfeldertafel gegeben 0,16 0,48 0,64 0,24 0,12 0,36 zeichne ein baumdiagramm mit als 1. merkmal und als merkmal trage die fehlenden bedingten wahrscheinlichkeiten ein zeichne das baumdiagramm mit den wahrscheinlichkeiten die du aus der vierfeldertafel ablesen kannst das brauchst du wieder baumdiagramm in schritt 4 bedingte wahrscheinlichkeit in schritt 8 vierfeldertafel in schritt 9 0,35 darum geht’s p(a a∩b a∩ a∩b so geht’s tipp an jeder verzweigung ist die summe 0,25 0,20 0,45 0,10 0,5556 0,4444 0,45 0,55 0,8182 0,1818

berechne die fehlenden bedingten wahrscheinlichkeiten und trage sie in das baum diagramm ein p(a p(a 0,25 0,45 0,5556 0,4444 p(a p(a 0,45 0,55 0,8182 0,1818 die nebenstehende vierfeldertafel gibt die wahrscheinlichkeiten zweier merkmale und an ergänze die fehlenden werte lies die wahrscheinlichkeiten ab berechne die bedingten wahrscheinlichkeiten die nebenstehende vierfeldertafel gibt die wahrscheinlichkeiten zweier merkmale und an ergänze in der vierfeldertafel die daten mit den folgenden informationen 0,33 berechne die bedingten wahrscheinlichkeiten erstelle ein baumdiagramm mit als und als merkmal übertrage die wahrscheinlichkeiten des baumdiagramms in die inneren felder einer vierfeldertafel und bestimme damit die wahrscheinlichkeiten der ereig nisse und schreibe und an das baum diagramm berechne damit die bedingten wahrscheinlichkeiten und stelle ein neues baumdiagramm mit als erstem ereignis auf trage alle wahrscheinlichkeiten ein in einem großen netz befinden sich bälle aus kunststoff und aus leder unter den kunststoff-bällen sind weiße unter den leder-bällen sind weiße alle anderen bälle sind bunt trage die daten in eine vierfeldertafel ein und ergänze sie du hast einen ball ausgewählt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass der ball aus leder ist du hast einen ball ausgewählt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass der ball aus leder und bunt ist du darfst den ball auswählen den du blind mit einem finger berührst du spürst dass der ball aus leder ist wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass der ball bunt ist übertrage die daten in ein baumdiagramm mit dem material als merkmal und der farbe als merkmal tipp nicht vergessen 0,24 0,65 tipp die wahrscheinlichkeit für das merkmal findest du in der vierfeldertafel aber nicht im baumdiagramm 0,15 unterscheide zwischen leder und bunt und bunt unter der bedingung leder tipps zum lösen der aufgabe

von insgesamt erhaltenen mails sind im spamordner gelandet du hast dir online informationen zum thema fußball-techniken f-t zuschicken lassen zu dem thema f-t hast du mails erhalten davon sind im spam-ordner schreibe die daten in eine vierfeldertafel und vervollständige sie bestimme die wahrscheinlichkeit dass unter den guten mails eine mail zum thema f-t ist wie hoch ist die wahrscheinlichkeit dass eine von den nicht zum thema f-t gehörigen mails im spam-ordner ist an einer musikschule ist eine neue band zusammengestellt worden in der saxophon spielen in der band sind lernende der musikschule nur ein drittel davon spielt kein saxophon die übrigen band-mitglieder sind musiker von außerhalb schreibe alle daten in eine vierfeldertafel und vervollständige sie gib die anzahl der musiker von außerhalb an nachdem du erfahren hast dass in der neu gegründeten band 24 saxophon-spieler sind wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass ein musiker von außerhalb saxophon spielt übertrage die daten in ein baumdiagramm mit den lernenden der musikschule als 1. merkmal in zwei klassen einer kursstufe wurden die schüler/innen daraufhin befragt ob sie stochastik mögen oder nicht die klasse hat schüler/innen die klasse schüler/innen in klasse gaben schüler/innen an dass sie stochastik mögen in klasse waren es schreibe die daten in eine vierfeldertafel und vervollständige sie übertrage die vierfeldertafel in ein baumdiagramm mit der klasse als merkmal lies an den bedingten wahrscheinlichkeiten ab in welcher klasse der prozentsatz derjenigen die stochastik mögen höher ist in einer kleinstadt sind von einwohnern männlich von diesen sind über jahre alt einwohner sind unter jahre bestimme mit einer vierfeldertafel die folgenden wahrscheinlichkeiten ein zufällig ausgewählter einwohner ist über jahre alt ein zufällig ausgewählter einwohner der über jahre alt ist ist ein mann ein zufällig ausgewählter einwohner der ein mann ist ist über jahre alt untersuche ob der prozentuale anteil der über 65-jährigen bei den männern größer oder kleiner ist als der bei den frauen saxophon musikschule kein saxophon 0,25 in der band sind insgesamt mitglieder große band tipps zum lösen der aufgabe

schritt ich kann die totale wahrscheinlichkeit berechnen hier lernst du wie du aus der wahrscheinlichkeit von und bedingten wahrscheinlichkeiten die wahrscheinlichkeit von berechnen kannst zum beispiel sind an einer schule mädchen von denen volleyball spielen bei den jungen sind es berechne den prozentualen anteil aller schüler die volleyball spielen beispiele du weißt schon dass am ende der pfade eines baumdiagramms die wahrscheinlichkeiten der schnittmengen stehen also hier und die mit der pfadregel berechnet werden können im baumdiagramm kannst du die wahrscheinlichkeit für aber nicht die für ablesen du weißt aber dass die wahrscheinlichkeiten der schnittmengen auch in den vier inneren feldern der vierfeldertafel stehen und am rand deren summen daraus ergibt sich die sogenannte totale wahrscheinlichkeit von dies besagt dass du mithilfe der bedingten wahrscheinlichkeiten und die wahrscheinlichkeit berechnen kannst totale wahrscheinlichkeit du kannst mit dieser strategie die fehlende wahrscheinlichkeit eines merkmals berechnen wenn die wahrscheinlichkeit und die bedingten wahrscheinlichkeiten und gegeben sind beispiel du bist dran in einem ferienlager mit mädchen spielen der mädchen und der jungen fußball berechne die prozentzahl der kinder in dem ferienlager die fußball spielen in einem ferienlager mit mädchen spielen der mädchen und der jungen ein musikinstrument berechne die prozentzahl der kinder in dem ferienlager die ein musikinstrument spielen notiere die wahrscheinlichkeiten mädchen jungen fußball musikinstrument p(a berechne die totale wahrscheinlichkeit p(b p(a p( p(a p( 0,18 0,32 aller kinder spielen fußball das brauchst du wieder baumdiagramm und vier feldertafel in schritt darum geht’s a∩ p(a p(b p(b so geht’s tipp du kannst auch immer erst eine vierfeldertafel aufstellen aber manchmal ist das un nötig aufwendig

ergänze die fehlenden wahrscheinlichkeiten und bestimme daraus die wahrscheinlichkeiten und bei der wahl zum kurssprecher für die beiden kurse k1 und k2 erhält esther vom kurs k1 und vom kurs k2 der wahlberechtigten sind aus kurs k1 aus kurs k2 von wie viel prozent der wahlberechtigten ist esther gewählt worden in einer gemeinde haben der über 20-jährigen einen kfz-führerschein davon auch einen motorrad-führerschein von denen die keinen kfz-führerschein haben besitzt ein viertel einen führerschein fürs motorrad du triffst einen bewohner dieser gemeinde wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass er den motorrad-führerschein besitzt in einer großstadt ist eine grippewelle ausgebrochen die vor allem bei männern verstärkt auftritt so sind bereits der männer aber nur der frauen betroffen der männliche anteil in dieser stadt beträgt bestimme die prozentzahl aller erkrankten personen ergänze das abgebildete baumdiagramm und bestimme die totale wahrscheinlichkeit für das ereignis du ziehst aus einem kartenstapel mit assen und königen eine karte die wahrscheinlichkeit dass sie rot ist beträgt wenn die gezogene karte rot ist ist die wahrscheinlichkeit dafür dass sie ein ass ist ist die gezogene karte schwarz ist die wahrscheinlichkeit dafür dass sie ein ass ist bestimme die wahrscheinlichkeit ein ass zu ziehen gib ein mögliches beispiel für die anzahl von assen und königen an eines jahrgangs besuchen das gymnasium von deren eltern haben auch schon das gymnasium besucht nur der eltern von den schülerinnen und schülern die nicht das gymnasium besuchen waren selbst auf dem gymnasium bestimme die wahrscheinlichkeit ein elternteil anzutreffen das nicht auf dem gymnasium war tipp die prozentuale anzahl der stimmen kannst du auch als wahrscheinlichkeit schreiben du kannst p(b auch direkt mit p(b p(a p( ausrechnen schreibe es am geschicktesten so p(k1 0,35 p(k2 k1 0,54 haben keinen kfz-führerschein tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann die regel von bayes anwenden hier lernst du wie du mithilfe der totalen wahrscheinlichkeit alle nicht bekannten bedingten wahrscheinlichkeiten berechnen kannst zum beispiel ziehst du aus einer urne mit fünf blauen und drei gelben kugeln nacheinander zwei kugeln ohne sie zurück zu legen bestimme die wahrscheinlichkeit dass die erste kugel blau war wenn die beiden kugeln unterschiedliche farben haben allgemein beispiele p( p( du weißt schon wie du an einem baumdiagramm die totale wahrscheinlichkeit von berechnen kannst mit ihr kannst du jetzt die reihenfolge im baumdiagramm umkehren und so die bedingten wahrscheinlichkeiten und mit als bedingung berechnen diese berechnung nennt man regel von bayes bedingte wahrscheinlichkeit des ereignisses nach eintreten des ereignisses mit diesem vorgehen kannst du über die totale wahrscheinlichkeit berechnen beispiel du bist dran vor dir liegen zwei verdeckte kartenstapel mit je karten in dem einen stapel s1 sind rote und eine schwarze karte im anderen s2 sind rote und schwarze karten du ziehst von einem stapel eine karte sie ist rot bestimme die wahrscheinlichkeit dass du vom stapel s1 gezogen hast vor dir liegen zwei verdeckte kartenstapel mit je karten in dem einen stapel s1 sind rote und eine schwarze karte im anderen s2 sind rote und schwarze karten du ziehst von einem stapel eine karte sie ist schwarz bestimme die wahrscheinlichkeit dass du vom stapel s2 gezogen hast schreibe die beiden ergebnisse und ihre wahrscheinlichkeiten auf p(s1 p(s2 ergebnis s1 und rot p(s1 ergebnis s2 und rot p(s2 bestimme die totale wahrscheinlichkeit eine rote karte zu ziehen p(r p(s1 p(s2 berechne mit der regel von bayes die bedingte wahrscheinlichkeit s1 s1 p(s1 p(r totale wahrscheinlichkeit in schritt das brauchst du wieder darum geht’s tipp diese regel ist nicht wirklich etwas neues sie vereint nur die formeln die du bereits kennengelernt hast so geht’s tipp s2 s1 tipp du kannst auch immer eine vierfeldertafel aufstellen aber manchmal ist das unnötig aufwendig

ergänze die fehlenden wahrscheinlichkeiten und bestimme und berechne die bedingten wahrscheinlichkeiten und zwei spielwürfel mit den zahlen w1 bzw w2 werden für ein spiel benutzt du hast eine geworfen ohne zu wissen welchen würfel du geworfen hast wie groß die wahrscheinlichkeit dass du den würfel w2 geworfen hast in einer urne u1 liegen blaue und gelbe kugeln in einer zweiten urne u2 liegen 4 blaue und gelbe kugeln du ziehst eine blaue kugel berechne die wahrscheinlichkeit dass die kugel aus der urne stammt berechne die wahrscheinlichkeit dass die kugel aus der urne stammt vergleiche beide ergebnisse kinder aus dem kindergarten und der grundschule werden gefragt ob sie schwimmen können aller kinder sagen dass sie nicht schwimmen können davon ist ein drittel noch im kindergarten von den schwimmern ist ein fünftel noch im kindergarten beschreibe formal und in worten was die wahrscheinlichkeiten ausdrücken kg kindergarten gs grundschule schwimmer nichtschwimmer 0,75 0,25 0,75 0,25 nach einer filmpremiere fand eine zuschauer-befragung statt der zuschauer waren älter als jahre von diesen fanden nur den film gut bei den unter 40-jährigen fanden den film gut bestimme die wahrscheinlichkeit dass einer der befragten den film gut fand bestimme die wahrscheinlichkeit dass einer derjenigen die den film gut fanden über jahre alt war ein schornsteinfeger hat bei der überprüfung der heizungsanlagen in seinem bezirk festgestellt dass der heizungen nicht mehr den vorschriften entsprechen und damit nicht mehr zulässig sind dieser heizungen sind älter als jahre nur aller überprüften heizungsanlagen waren älter als jahre und entsprachen noch den vorschriften bestimme die wahrscheinlichkeit dass eine der kontrollierten heizungen älter als jahre ist eine mehr als jahre alte heizung nicht mehr zulässig ist eine der nicht mehr zulässigen heizungen älter als jahre ist in einer brauerei werden liter-flaschen und liter-flaschen mit zinndeckeln verschlossen dabei sind der verschlüsse defekt bei einer überprüfung fällt auf dass bei den liter-flaschen die insgesamt ein viertel der produktion ausmachen sogar der verschlüsse defekt sind bestimme die wahrscheinlichkeit dass liter-flaschen einen defekten verschluss haben und du musst hier blau u1 berechnen übrigens sind u1 und u2 hier ist eine vierfeldertafel sicherlich hilfreich um einen überblick zu bekommen berechne mithilfe der formel für die totale wahrscheinlichkeit erst die wahrscheinlichkeit dass eine flasche defekt ist und eine -l–flasche ist tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann stochastische unabhängigkeit nachweisen hier lernst du ob das ereignis eine zahl größer als gewürfelt zu haben und das ereignis dass die zahl gerade ist stochastisch unabhängig sind beispiele {5 6} {2 6} {6} {2 10} {1 11} {1 21} {1 21} du kennst schon beispiele für stochastische unabhängigkeit und abhängigkeit so ist etwa beim ziehen von kugeln ohne zurücklegen das ergebnis des zweiten zugs abhängig vom ergebnis des ersten zugs beim ziehen mit zurücklegen ist das ergebnis des zweiten zugs jedoch unabhängig vom ergebnis des ersten zugs man nennt solche ereignisse stochastisch unabhängig und es gilt daraus folgt auch das bedeutet wenn die wahrscheinlichkeit für das eintreten des ereignisses die gleiche ist wie die bedingte wahrscheinlichkeit nach eintreten des ereignisses dann sind und stochastisch unabhängig stochastische unabhängigkeit bei vielen aufgabenstellungen kannst du beide obige formeln für dein vorgehen verwenden ist eine bedingte wahrscheinlichkeit angegeben musst du die zweite formel verwenden beispiel du bist dran ein würfel wird geworfen ereignis die zahl ist größer als ereignis die zahl ist durch teilbar untersuche ob die beiden ereignisse stochastisch unabhängig sind ein würfel wird geworfen ereignis die zahl ist größer als ereignis die zahl ist gerade untersuche ob die beiden ereignisse stochastisch unabhängig sind schreibe die ereignisse und ihre wahrscheinlichkeiten auf {4 6} p(a {3 6} p(b bilde das produkt der beiden wahrscheinlichkeiten p(a p(b schreibe die schnittmenge und ihre wahrscheinlichkeit auf {6} p(a vergleiche die beiden ergebnisse p(a p(a p(b das heißt und sind stochastisch unabhängig das brauchst du wieder bedingte wahrscheinlichkeiten in schritt darum geht’s tipp die stochastische unabhängigkeit ist eine mathematische aussage die nicht unbedingt mit unserer vorstellung von unabhängigkeit übereinstimmen muss so geht’s erklärfilm stochastische unabhängigkeit p5cn9z tipp bei der verwendung der zweiten formel musst du zuerst berechnen von den zahlen des ereignisses ist nur eine die durch teilbar daher

hier ist die formel die bessere strategie denk an die totale wahrscheinlichkeit auch wenn in der praxis zwei ereignisse nicht voneinander abhängen können sie doch stochastisch abhängig sein du kannst statt der ereignisse und auch und untersuchen tipps zum lösen der aufgaben und ergänze das baumdiagramm und weise nach,dass die ereignisse und stochastisch abhängig sind ergänze die im baumdiagramm eingetragenen wahrscheinlich keiten sodass die ereignisse und stochastisch unabhängig sind in einer firma wird untersucht wie viele der mitarbeiter am betriebssport teilnehmen dabei wird zwischen ledigen und verheirateten mitarbeitern unterschieden die neben stehende tafel hält das ergebnis fest nimmt am sport teil nimmt nicht am sport teil ledig verheiratet weise nach dass die beiden ereignisse stochastisch unabhängig sind ergänze die fehlenden daten in der abgebildeten vierfeldertafel so dass die ereignisse und stochastisch unabhängig sind du ziehst aus einer urne mit roten blauen und gelben kugeln dreimal und legst die kugeln jeweils wieder zurück beim zug hast du eine rote kugel gezogen beim zug hast du keine rote kugel gezogen weise nach dass die beiden ereignisse stochastisch unabhängig sind zwei würfel werden geworfen und zeigen die beiden zahlen z1 und z2 ereignis z1 z2 pasch ereignis b1 z1 z2 ereignis b2 z1 z2 finde heraus ob eines oder beide ereignisse b1 und b2 von stochastisch unabhängig ist in einer mädchengruppe spielen volleyball der mädchen sind blond bei denen die nicht volleyball spielen sind nur blond untersuche ob die haarfarbe stochastisch abhängig davon ist dass ein mädchen volleyball spielt frau müller und frau schmidt gehen beide am dienstag ins fitness-studio frau müller zu und frau schmidt zu in aller fälle sind beide dienstags nicht im studio übertrage die daten in eine vierfeldertafel und lies daran ab mit welcher wahrscheinlichkeit beide damen im studio sind untersuche ob das nicht-erscheinen der beiden damen stochastisch unabhängig ist noah fährt zu mit dem fahrrad in die schule bei schlechtem wetter nimmt er den bus er kommt in der regel einmal während der fünf wochentage zu spät dabei ist er dreimal so oft mit dem fahrrad gefahren als mit dem bus untersuche ob das fahren mit dem fahrrad und das zu-spät-kommen stochastisch abhängig sind 0,5 0,42

berechne die bedingten wahrscheinlichkeiten und schritt es ist die nebenstehende vierfeldertafel gegeben schritt zeichne ein baumdiagramm mit als merkmal und als merkmal trage die fehlenden bedingten wahrscheinlichkeiten ein von den schülerinnen und schülern des wilhelm-hausenstein-gymnasiums whg gehen in die sekundarstufe unterund mittelstufe von diesen besuchen schüler eine ag von den schülern der sekundarstufe oberstufe besuchen eine ag erstelle eine vierfeldertafel und untersuche ob die ereignisse geht in die sekundarstufe und besucht eine ag unabhängig voneinander sind schritt eine gemeinde wird zur bürgermeisterwahl in zwei wahlbezirke b1 und b2 eingeteilt der wähler kommen aus b1 aus b2 in b1 erhält der kandidat albrecht der stimmen in b2 dagegen veranschauliche den sachverhalt in einem baumdiagramm wie viel prozent der stimmen hat der kandidat albrecht insgesamt bekommen schritte vor dir liegen zwei verdeckte kartenstapel in dem einen sind gleich viele rote und schwarze karten in dem anderen sind nur rote karten du ziehst von einem stapel eine karte sie ist rot die drei anwesenden freunde haben unterschiedliche vorstellungen von der wahrscheinlichkeit eine rote karte zu ziehen freund die wahrscheinlichkeit ist freund die wahrscheinlichkeit ist freund die wahrscheinlichkeit ist wer hat recht schritt ein theaterstück wurde zu einem musical umgeschrieben in dem ort in dem das musical aufgeführt wurde wurde anschließend eine befragung unter den über jahre alten einwohnern durchgeführt das ergebnis der befragung war kannten das theaterstück nicht kannten weder das theaterstück noch hatten sie das musical gesehen welcher prozentsatz der befragten die das theaterstück nicht kannten hatten dennoch das musical gesehen schritt in einem zeitungsartikel war zu lesen dass in einem jahr etwa unfälle mit personenschaden registriert wurden davon waren durch zu schnelles fahren verursacht in aller fälle waren personen unter jahre beteiligt in aller unfälle war festzustellen dass sie durch zu schnelles fahren von personen unter jahren verursacht wurden schreibe alle daten als prozentzahlen in eine vierfeldertafel und ergänze die fehlenden daten wie viele personen waren älter als jahre und sind zu schnell gefahren du betrachtest eine beliebige person über jahre wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass sie nicht zu schnell gefahren ist schritt 0,25 0,15 0,45 0,55 training

schritt ich kann die formel von bernoulli anwenden hier lernst du mit welcher wahrscheinlichkeit beim 10-maligen werfen einer münze genau 6-mal zahl auftritt allgemein beispiele du weißt dass man beim werfen eines würfels insgesamt sechs verschiedene ergebnisse hat doch du hast auch die unterscheidung in nur zwei ergebnisse zum beispiel treffer und nicht niete kennengelernt wenn bei einem solchen zufallsexperiment die wahrscheinlichkeit für einen treffer wie beim würfel immer die gleiche bleibt spricht man von einem bernoulli-experiment mehrere voneinander unabhängige und nacheinander ausgeführte bernoulli-experimente werden zu einer bernoulli-kette zusammengefasst du kannst dann mit der bernoulli-formel die wahrscheinlichkeit für treffer bei versuchen berechnen mit trefferwahrscheinlichkeit und wahrscheinlichkeit einer niete der binomialkoeffizient gibt die möglichkeiten an treffer auf versuche zu verteilen das sind beim baumdiagramm alle pfade die zu treffern führen bernoulli-experiment diese strategie verwendest du immer dann wenn nach der wahrscheinlichkeit einer ganz bestimmten trefferzahl gefragt ist beispiel du bist dran berechne die wahrscheinlichkeit dass bei 6-maligem würfeln 2-mal oder erscheint berechne die wahrscheinlichkeit dass bei 5-maligem würfeln 3-mal eine gerade zahl erscheint notiere die zufallsgröße und alle daten des zufallsexperiments anzahl der einsen und sechsen es liegt eine bernoulli-kette vor konstant schreibe die ergebnisse von treffer und niete und deren wahrscheinlich keiten auf {1 6} p(t {2 5} p(n bestimme die anzahl der möglichkeiten für treffer anzahl berechne die wahrscheinlichkeit p(x 0,3292 das brauchst du wieder tipp sprich fakultät bedeutet dass man das produkt bildet darum geht’s tipp lies über einige taschenrechner können den bino mialkoeffizienten direkt berechnen ncr das entspricht tipp so geht’s erklärfilm die formel von bernoulli p5cn9z

berechne ohne taschenrechner es ist eine bernoulli-kette mit versuchen und der trefferwahrscheinlichkeit gegeben lies aus dem taschenrechner die wahrscheinlichkeit für treffer ab in einer lieferung von led-leuchten sind durchschnittlich defekt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass in der lieferung zwei led-leuchten defekt sind wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass in der lieferung nur eine led-leuchte defekt ist untersuche was wahrscheinlicher ist in der lieferung sind fünf led-leuchten oder keine defekt überprüfe ob eine bernoulli-kette vorliegt nenne gegebenenfalls die zufallsgröße und gib soweit vorhanden die größen und an ein basketballspieler der zu trifft macht trainingswürfe zwei würfel werden 20-mal geworfen es wird festgehalten wie oft ein pasch gleiche augenzahl auf getreten ist jeweils fünf schülerinnen aus klassen werden gefragt ob sie mit nur einem elternteil leben ein dodekaeder wird 10-mal geworfen gib für die ereignisse jeweils die größen und an 3-mal die zahl 7-mal eine gerade zahl 5-mal eine durch teilbare zahl 6-mal eine primzahl ein glücksrad ist in 12 sektoren eingeteilt davon sind 5 rot und blau gefärbt sind weiß begründe dass man die wahrscheinlichkeit für die anzahl von treffern auf weiß als bernoulli-experiment betrachten kann obwohl das rad drei farben hat berechne die wahrscheinlichkeit bei 5 drehungen genau 2-mal weiß zu treffen gib ein ereignis und an für das die wahrscheinlichkeit gilt aus einem pokerkartenspiel mit karten werden karten gezogen und wieder zurückgelegt gib für die wahrscheinlichkeiten jeweils ein mögliches ereignis an 0,25 0,75 tipp mit vielen taschenrechnern kannst du mit den befehlen binompdf oder binomialpdf die wahrscheinlichkeitswerte direkt berechnen betrachte in den beiden formeln jeweils die trefferwahrscheinlichkeit sie verrät dir welches ergebnis des glücksrads als treffer gewertet wird betrachte in den drei formeln jeweils die trefferwahrscheinlichkeit sie verrät dir welche kartentypen von der anzahl her als treffer in frage kommen tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann die binomialverteilung darstellen und interpretieren hier lernst du wie du die wahrscheinlichkeiten für alle möglichen anzahlen an einsen beim 5-maligen würfeln berechnen und in einem histogramm darstellen kannst allgemein beispiele 0,2304 du weißt bereits wie du die einzelnen wahrscheinlichkeiten für treffer mit der treffer-wahrscheinlichkeit einer bernoulli-kette der länge berechnest man bezeichnet diese wahrscheinlich keiten kurz mit n;p die dazugehörige verteilung einer zufallsgröße heißt binomialverteilung man sagt auch ist binomialverteilt mit den parametern und du kannst die binomialverteilung anschaulich in einem histogramm darstellen binomialverteilung bei diesem vorgehen berechnest du für jeden treffer die wahrscheinlichkeit die ergebnisse kannst du wie funktionswerte in ein histogramm eintragen beispiel du bist dran beim werfen eines würfels betrachtet man das erscheinen der augenzahl oder als treffer berechne die wahrscheinlichkeiten für alle treffer beim 6-maligen würfeln trage die ergebnisse in eine tabelle ein und stelle die werte in einem histogramm dar beim werfen eines würfels betrachtet man das erscheinen der augenzahl oder als treffer berechne die wahrscheinlichkeiten für alle treffer beim 5-maligen würfeln trage die ergebnisse in eine tabelle ein und stelle die werte in einem histogramm dar berechne mit dem taschenrechner die wahrscheinlichkeiten für alle treffer treffer p(x 0,0878 0,2634 0,3292 0,2195 0,0823 0,0165 0,0014 das brauchst du wieder bernoulli-formel in schritt 14 darum geht’s so geht’s tipp du musst die wahrscheinlichkeit für jeden treffer getrennt berechnen bei einem histogramm trägst du die anzahl der treffer auf der waagerechten achse und die dazugehörigen wahrscheinlich keiten auf der senkrechten achse ein erklärfilm graph und erwartungswert der binomialverteilung p5cn9z

trage die werte in ein histogramm ein berechne mit der formel von bernoulli oder der entsprechenden funktion deines taschenrechners die werte der binomialverteilung zeichne ein histogramm zu den binomialverteilungen beim werfen eines reißnagels hat man festgestellt dass er mit etwa wahrscheinlichkeit auf der glatten fläche zu liegen kommt es werden reißnägel geworfen berechne die wahrscheinlichkeit für alle anzahlen von reißnägeln die auf der glatten fläche liegen und trage die ergebnisse in ein histogramm ein ein würfel wird 6-mal geworfen berechne die wahrscheinlichkeit für alle anzahlen der ereignisse und trage die ergebnisse in ein histogramm ein {6} {1 6} ungerade zahl eine münze wird 8-mal geworfen berechne die wahrscheinlichkeiten für die anzahlen von kopf und trage sie in ein histogramm ein gib eine begründung dafür an dass das histogramm achsensymmetrisch zu der geraden zu ist die drei diagramme zeigen die binomialverteilung mit und ordne den verschiedenen trefferwahrscheinlichkeiten das richtige diagramm zu diagramm diagramm ii diagramm iii tipp wähle auf der y-achse für einen abstand von zwei kästchen und runde die wahrscheinlichkeiten zum zeichnen auf nachkommastellen p(x=k tipp achte darauf den wert für beim zeichnen von histogrammen nicht zu vergessen x=k x= x=k eine binomialverteilung mit ist achsensymmetrisch je nachdem ob größer oder kleiner ist sind die säulen tendenziell eher weiter rechts oder weiter links im histogramm umso mehr oder weniger treffer sind zu erwarten tipps zum lösen der aufgabe

schritt ich kann kumulierte wahrscheinlichkeiten berechnen hier lernst du wie du beim 10-maligen werfen einer münze nicht nur die wahrscheinlichkeit für genau 6-mal zahl sondern auch für höchstens oder mindestens 6-mal zahl berechnen kannst allgemein für alle genau bedeutet nur dieser fall höchstens bedeutet kleiner oder gleich weniger oder gleich mindestens bedeutet größer oder gleich mehr oder gleich beispiele höchstens autos bedeutet oder höchstens schüler bedeutet mindestens von autos bedeutet oder mindestens von schülern bedeutet mindestens aber höchstens autos bedeutet oder mindestens aber höchstens schülerinnen bedeutet du weißt bereits wie du die wahrscheinlichkeiten für genau treffer einer binomialverteilung bestimmst durch addieren der einzelnen wahrscheinlichkeiten kumulierte binomialverteilung kannst du außerdem auch die wahrscheinlichkeiten für eine höchstoder mindestanzahl von treffern bestimmen höchstens treffer alle ergebnisse von bis zu einer bestimmten trefferzahl werden zu einem ereignis zusammengefasst mindestens treffer alle ergebnisse ab einer bestimmten trefferzahl bis zu werden zu einem ereignis zusammengefasst bei verwendung des taschenrechners der immer von an zählt benötigst du das gegenereignis wahrscheinlichkeit mit höchstens und mindestens diese strategie wendest du dann an wenn durch die worte höchstens oder mindestens mehrere ergebnisse gemeint sind beispiel du bist dran die tabelle zeigt die werte einer verteilung treffer 0,08 0,26 0,35 0,22 0,08 0,01 bestimme die wahrscheinlichkeit der ereignisse ereignis höchstens drei treffer ereignis mindestens drei treffer die tabelle zeigt die werte einer verteilung treffer 0,02 0,12 0,30 0,38 0,18 bestimme die wahrscheinlichkeit der ereignisse ereignis höchstens ein treffer ereignis mindestens zwei treffer das brauchst du wieder binomialverteilung n;p in schritt x=k 023456 grün x≤2 höchstens pink x≥5 mindestens blau 3≤x≤4 mindestens höchstens darum geht’s tipp mit vielen taschenrechnern kannst du mit den befehlen binomcdf oder binomialcdf die wahrscheinlichkeitswerte direkt berechnen k– k+ k– k+ tipp beachte dass du beim gegenereignis von bis rechnest p(x sondern p(x rechne im taschenrechner beim addieren und subtrahieren von wahrscheinlichkeiten mit exakten zwischengespeicherten werten sonst gibt es rundungsfehler k– k+ k– k+ so geht’s erklärfilm kumulierte wahrscheinlichkeit p5cn9z

du kannst alle zugehörigen wahrscheinlichkeiten addieren oder mit dem gegenereignis rechnen wenn deine ergebnisse in der letzten nachkommastelle nicht mit denen der lösung übereinstimmen hast du wahrscheinlich gerundete wahrscheinlichkeiten addiert oder subtrahiert zwischen und bedeutet gesucht ist die wahrscheinlichkeit tipps zum lösen der aufgaben und schreibe alle ergebnisse der ereignisse mit deren wahrscheinlichkeiten auf p(e p(x p(x p(x p(x p(x 0,08 0,26 0,35 0,22 0,91 p(f p(x p(x p(x p(x 0,22 0,08 0,01 0,31 lies aus der tabelle die wahrscheinlichkeiten ab und berechne die kumulierten wahrscheinlichkeiten treffer 0,02 0,09 0,21 0,29 0,24 0,12 0,03 lies an dem histogramm näherungsweise die wahrscheinlichkeiten ab die zufallsgröße ist binomialverteilt mit den parametern und berechne die wahrscheinlichkeiten mit dem taschenrechner 0,15 eine münze wird 100-mal geworfen gib die wahrscheinlichkeit für das auftreten von zahl in prozent an genau 50-mal höchstens 50-mal mindestens 50-mal weniger als 60-mal mehr als 60-mal zwischen 45und 55-mal ein gartenfachmarkt verkauft blumenzwiebeln darunter sind rotblühende und jeweils gelbblühende und blaublühende ein kunde kauft ein päckchen mit sechs zwiebeln schreibe die wahrscheinlichkeiten für die zwiebeln als kumulierte wahr scheinlichkeiten auf und berechne sie mit dem taschenrechner höchstens fünf zwiebeln sind rotblühend mindestens drei zwiebeln sind gelb blühend mindestens eine und höchstens vier sind blaublühend tipp x=k tipp ab dieser aufgabe solltest du die kumulierten wahrscheinlichkeiten wie oben beschrieben mit dem taschenrechner berechnen liegen die werte für in einem bereich gehst du folgendermaßen vor hier wird abgezogen da noch im bereich liegt

in einer serie von überraschungseiern ist in jedem dritten ei eine figur enthalten du kaufst acht eier berechne die wahrscheinlichkeiten höchstens vier eier enthalten eine figur mindestens vier eier enthalten eine figur mindestens ein ei und höchstens eier enthalten eine figur beim brennen von cds sind erfahrungsgemäß defekt du greifst heraus bestimme die wahrscheinlichkeit dass höchstens drei defekt sind von neu geborenen kätzchen sind nach einer studie männlich eine katze hat einen wurf von vier kätzchen bestimme die wahrscheinlichkeit dass mindestens zwei davon männlich sind bei einer tombola sind der lose gewinne wie groß ist die wahrscheinlichkeit für mindestens zwei gewinne wenn du lose lose kaufst prüfe ohne rechnung die folgenden ungleichungen für die wahrscheinlichkeiten einer binomial verteilung gib eine begründung für die aussagen über eine binomialverteilung an die wahrscheinlichkeit für höchstens treffer wird kleiner wenn die anzahl der versuche größer wird die wahrscheinlichkeit für mindestens treffer wird größer wenn die anzahl der versuche größer wird ein kleines roulette-spiel ist in felder eingeteilt weiße und grüne esther darf dreimal die kugel drehen untersuche welche der folgenden wahrscheinlichkeiten oder zu den ereignissen und gehören es können wahrscheinlich keiten doppelt vorkommen genau 2-mal grün höchstens 1-mal weiß mindestens 2-mal grün für ein institut steht ein parkplatz mit plätzen zur verfügung von den mitarbeitern des instituts kommt etwa ein drittel mit dem eigenen auto bis 8:30 uhr sind mitarbeiter gekommen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass dann noch ein parkplatz frei ist weise nach dass die chance auf einen freien parkplatz größer als ist wenn erst 76 mitarbeiter gekommen sind tipp kumulierte wahrscheinlichkeiten werden bei größer wenn größer wird da der bereich dann mehr treffer umfasst bei kleiner wenn k  größer wird da der bereich dann weniger treffer umfasst in jedem dritten ei bedeutet dass aller eier eine figur enthält was der trefferwahrscheinlichkeit entspricht denke daran falls du einzelne addierst den fall dass keine defekt ist nicht zu vergessen wenn die anzahl der lose groß ist kann die wahrscheinlichkeit für das ziehen von ein paar losen als konstant angenommen werden die zufallsvariable zählt nicht die parkplätze sondern die anzahl mitarbeiter die mit dem auto zur arbeit kommen wie viele dürfen das maximal sein sodass es noch mindestens einen freien parkplatz gibt tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann den erwartungswert und die standardabweichung einer binomialverteilung berechnen hier lernst du wie oft vermutlich eine sechs auftritt wenn du 100-mal würfelst allgemein beispiele 0,0350 0,0520 du kennst den erwartungswert schon von ergebnissen mit unterschiedlichen wahrscheinlichkeiten der erwartungswert der binomialverteilung hat die gleiche bedeutung er ist bei unbegrenzter wiederholung des zufallsexperiments der durchschnitt aller ergebnisse erwartungswert mit anzahl versuche und tefferwahrscheinlichkeit im histogramm liegt er auf oder neben der höchsten säule im obigen beispiel liegt er zwischen und genau bei bei der binomialverteilung ist außerdem die standardabweichung von bedeutung mit der man den bereich e(x e(x um den erwartungswert angeben kann in dem etwa aller ergebnisse liegen für die berechnung der standardabweichung kannst du eine ein fache formel verwenden standardabweichung mit anzahl versuche trefferwahrscheinlichkeit wahrscheinlichkeit einer niete erwartungswert und standardabweichung die strategie besteht im wesentlichen darin die daten in die formeln einzusetzen beispiel du bist dran ein würfel wird 30-mal geworfen die mögliche anzahl aller vierer wird notiert berechne den erwartungswert und die standardabweichung bestimme die wahrscheinlichkeiten in der umgebung des erwartungswerts zeichne ein dazugehöriges histogramm im bereich und markiere die σ-umgebung ein würfel wird 15-mal geworfen die mögliche anzahl aller dreier wird notiert berechne den erwartungswert und die standardabweichung bestimme die wahrscheinlichkeiten in der umgebung des erwartungswerts zeichne ein dazugehöriges histogramm im bereich und markiere die σ-umgebung das brauchst du wieder histogramm einer binomialverteilung in schritt 0,05 0,5 x=k darum geht’s erklärfilm graph und erwartungswert der binomialverteilung p5cn9z so geht’s

gesucht ist die wahrscheinlichkeit also die wahrscheinlichkeit dass das ergebnis des versuchs im bereich von einem bis neun treffern liegt tipp zum lösen der aufgabe notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl der vierer {0,1,… 30} ist binomialverteilt mit und setze die werte in die formeln ein e(x 2,041 bestimme die wahrscheinlichkeiten in der σ­umgebung von zeichne ein histogramm und markiere die σ­umgebung e(x 2,041 2,959 e(x 2,041 7,041 die gesuchten trefferzahlen sind und p(x 0,1368 p(x 0,1847 p(x 0,1921 p(x 0,1601 p(x 0,1098 berechne für das obige beispiel linke aufgabe die zusätzlichen wahrscheinlichkeiten in der um gebung des erwartungswerts bestimme wie viel prozent aller ergebnisse in dieser umgebung liegen es werden die beiden binomialverteilungen und betrachtet weise nach dass beide binomialverteilungen den gleichen erwartungswert haben berechne wie viel prozent der ganzen binomialverteilung jeweils im intervall liegen berechne den erwartungswert und die standardabweichung der binomialverteilungen zeichne jeweils ein histogramm im bereich von und markiere die -umgebung vergleiche beide histogramme tipp wird immer aufgerundet immer abgerundet tipp wähle auf der y-achse für einen abstand von 2 kästchen und runde die wahrscheinlichkeiten zum zeichnen auf 2 nachkommastellen p(x=k

es ist die binomialverteilung gegeben berechne den erwartungswert und die standardabweichung gib die trefferzahlen an die innerhalb des intervalls liegen bestimme wie viel prozent aller ergebnisse in diesem intervall liegen bestimme die umgebung des erwartungswerts in der mindestens aller ergebnisse liegen für eines der drei histogramme ist und versuche und auch für die beiden anderen histogramme anzugeben ordne der abbildung die passende binomialverteilung zu begründe deine entscheidung es ist die binomialverteilung mit und gegeben bestimme den erwartungswert berechne die wahrscheinlichkeit begründe weshalb die wahrscheinlichkeit größer als ist eine münze wird 50-mal geworfen die anzahl von kopf wird gezählt bestimme den erwartungswert begründe dass das histogramm der dazugehörigen binomialverteilung symmetrisch zu ist überprüfe dies am beispiel und begründe mit den ergebnissen aus dass für eine symmetrische binomialverteilung gilt überprüfe dies am beispiel prüfe die aussagen auf ihre richtigkeit wenn bei gleicher treffer-wahrscheinlichkeit die anzahl der versuche wächst dann wachsen auch der erwartungswert und die standardabweichung wenn bei gleicher anzahl der versuche die treffer-wahrscheinlichkeit wächst dann wachsen auch der erwartungswert und die standardabweichung x=k x=k x=k 02345 02345 2345 x=k 2345 bestimme für verschiedene werte von um den bereich zu bestimmen dessen wahrschein lichkeit am nächsten kommt beachte die symmetrie der histogramme  orientiere dich am erwartungswert  betrachte die histogramme aus aufgabe und welche auswirkungen es auf das aussehen des histogramms hat wenn die trefferwahrscheinlichkeit kleiner gleich bzw größer als ist betrachte die formeln für und und überlege dir welche auswirkungen das größerwerden der faktoren und auf die beiden werte hat tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann die anzahl der versuche einer binomialverteilung bestimmen hier lernst du wie oft du würfeln musst damit die wahrscheinlichkeit p(x drei sechsen zu würfeln größer als ist allgemein beispiele bisher hast du bei einer binomialverteilung immer die wahrscheinlichkeit für treffer oder die kumulierte wahrscheinlichkeit für höchstens treffer oder für mindestens treffer berechnet jetzt ist die wahrscheinlichkeit oder gegeben und du sollst die anzahl der versuche bestimmen die du brauchst um diese wahrscheinlichkeit zu erreichen anzahl der versuche handelt es sich um eine wahrscheinlichkeit mit dem zusatz mindestens ist es die beste strategie das gegenereignis zu betrachten da dieses im taschenrechner berechnet werden kann beispiel du bist dran wie oft musst du einen würfel werfen damit die wahrscheinlichkeit drei sechsen zu erhalten mindestens ist wie oft musst du einen würfel werfen damit die wahrscheinlichkeit zweimal eine zahl größer oder gleich zu erhalten mindestens ist notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl sechsen ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf p(x p(x p(x p(x suche im taschenrechner mit aus der aufgabenstellung und aus der letzten ungleichung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren p(x 0,1028 p(x 0,0906 schreibe die antwort auf du musst den würfel mindestens 31-mal werfen um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens drei sechsen zu erhalten das brauchst du wieder kumulierte binomialverteilung mit mindestens in schritt 16 darum geht’s so geht’s tipp in der aufgabenstellung musst du dir bei wie oft und drei sechsen immer ein mindestens vorstellen erklärfilm bestimmung des parameters bei der binomialverteilung p5cn9z tipp beim multiplizieren mit dreht sich das ungleichheits-zeichen um tipp probiere zunächst mehrere werte von in größeren abständen aus und grenze die werte für dann schrittweise ein

 beginne die suche nach in 5er-schritten  beginne die suche nach in 100er-schritten  achte darauf dass hier nicht wie in den aufgaben zuvor in bezug auf nicht nach mindestens sondern nach höchstens gefragt wird beginne die suche nach in 10er-schritten  beginne die suche nach in 000er-schritten  betrachte im beispiel unter so geht‘s wie sich für größer werdende werte von verhält tipps zum lösen der aufgaben und in einem kinderparadies steht eine große kiste mit goldenen roten und blauen bällen aus der die kinder mit geschlossenen augen einen ball herausgreifen dürfen anschließend wird er wieder zurückgelegt wenn ein kind zum dritten mal einen goldenen ball gezogen hat darf es ihn behalten wie oft muss es wohl ziehen um mit mehr als %iger wahrscheinlichkeit einen goldenen ball behalten zu können bei einem quiz kann der kandidat nur mit ja oder nein antworten da er sich in dem thema nicht auskennt probiert er es mit bloßem raten er benötigt fünf richtige antworten um in die nächste runde zu kommen mit wie vielen fragen muss er wohl rechnen bis er es mit %-iger wahrscheinlichkeit in die nächste runde geschafft hat bei einer tombola ist ein drittel aller lose gewinne ein teilnehmer möchte für seine kinder mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens drei gewinne erzielen wie viele lose muss er dafür mindestens kaufen ein filmteam benötigt für einen massenauflauf mindestens statisten erfahrungsgemäß ist nur jeder dritte geeignet wie viele personen sollten das team von den über freiwilligen zu einer probe einladen damit mit %iger wahrscheinlichkeit genügend geeignete statisten darunter sind bei einem multiple-choice-test ist nur eine von vier antworten richtig bestimme die anzahl der fragen die der test höchstens haben sollte damit jemand der nur zufällig ankreuzt mit mindestens %iger wahrscheinlichkeit nicht über richtige antworten kommt ein großes autohaus verschickt fragebögen an haushalte um mehr über die wünsche der kunden zu erfahren bei solchen aktionen kommen meistens etwa der fragebögen ausgefüllt zurück das autohaus möchte mit mindestens wahrscheinlichkeit rückmeldungen auswerten können wie viele fragebögen muss es dazu verschicken in der abbildung siehst du einen ausschnitt zweier binomialverteilungen mit gleicher trefferwahrscheinlichkeit aber unterschiedlichem stichprobenumfang begründe bei welcher datenreihe die stichprobe größer ist x=k datenreihe datenreihe

schritt ich kann die anzahl an versuchen bis zum ersten eintreffen eines ereignisses bestimmen hier lernst du wie oft du würfeln musst damit die wahrscheinlichkeit mindestens eine sechs zu würfeln größer als ist allgemein log beispiele log 3,3219 0,08 du hast bereits die anzahl der versuche bestimmt die du für mindestens treffer brauchst hier geht es nur noch um mindestens einen treffer bzw wie lange du ein zufallsexperiment wiederholen musst um mit einer bestimmten wahrscheinlichkeit mindestens einen treffer zu erhalten das gegenereignis davon ist treffer du kannst daher die bernoulli-formel deutlich vereinfachen mit erstes eintreffen eines ereignisses bei diesen aufgaben kannst du als strategie wieder die bernoulli-formel anwenden obwohl es von der formulierung her eine aufgabe mit einer kumulierten binomialverteilung ist beispiel du bist dran wie oft musst du zwei würfel werfen damit die wahrscheinlichkeit einen pasch zu erhalten mindestens ist wie oft musst du zwei würfel werfen damit die wahrscheinlichkeit zwei aufeinander folgende zahlen also zu erhalten mindestens ist notiere die zufallsgröße anzahl der pasch-würfe bestimme die trefferwahrscheinlichkeit ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf p(x 0,95 p(x 0,05 gib die wahrscheinlichkeit 1­p für eine niete an und ersetze p(x durch p(x 0,05 das brauchst du wieder lösen von exponentialgleichungen mit dem logarithmus in den grund lagen darum geht’s so geht’s tipp die aufgaben dieses schritts lassen sich auch mit der strategie aus schritt berechnen tipp bedeutet nur nieten tipp mit etwas routine kannst du den vorherigen teilschritt überspringen und direkt hier beginnen

im schnitt jedes mal bedeutet aus dem text kannst du ablesen 0,05 und berechne für den fall dass den wert hat berechne die wahrscheinlichkeiten fünfbzw sechsmal hintereinander keine sechs zu erhalten vergleiche die beiden ergebnisse tipps zum lösen der aufgaben und löse die entsprechende gleichung nach auf log 0,05 16,4 runde für die antwort auf eine ganze zahl auf du musst mindestens 17-mal würfeln damit die wahrscheinlichkeit einen pasch zu erhalten mindestens ist bestimme die wahrscheinlichkeit wie oft du mit einem gewöhnlichen spielwürfel würfeln musst um mit %iger wahrscheinlichkeit eine sechs zu erhalten bei einer lotterie sind aller lose hauptgewinne wie viele lose musst du mindestens kaufen um mit wahrscheinlichkeit einen hauptgewinn zu erhalten marvin übt mit dem fußball an der torwand er trifft im schnitt jedes mal wie viele schüsse muss er einplanen wenn er seinem freund mit %iger wahrscheinlichkeit einen treffer zeigen will stella träumt von einer großen karriere und meldet sich immer wieder zu casting shows die erfahrung zeigt dass von bewerberinnen nur eine genommen wird bei wie vielen casting-shows muss stella wohl antreten damit ihre chancen genommen zu werden auf wenigstens gestiegen sind in drei von zwölf containern befindet sich schmuggelgut der zoll möchte so wenige container öffnen wie möglich aber mit einer wahrscheinlichkeit von einen con tainer mit schmuggelgut finden begründe warum es nicht genügt zwei container zu öffnen bestimme die anzahl der container die geöffnet werden sollten damit der zoll mit der vorgegebenen wahrscheinlichkeit einen container mit schmuggelgut findet du hast schon mehrere male gewürfelt ohne ein sechs zu bekommen wieso wird dann die wahrscheinlichkeit nach so vielen misserfolgen endlich eine sechs zu würfeln mit jedem wurf größer obwohl die wahrscheinlichkeit für eine sechs immer noch ist tipp beim abrunden auf wäre die wahrscheinlichkeit zu groß und damit die für zu klein

schritt ich kann die trefferwahrscheinlichkeit einer binomialverteilung bestimmen hier lernst du wie hoch die treffer-wahrscheinlichkeit eines basketball-spielers sein muss damit er von würfen mit wahrscheinlichkeit mindestens ins netz bringt allgemein beispiele 0,01 0,05 0,14 0,27 0,30 0,18 0,05 0,01 0,06 0,20 0,01 0,05 0,06 0,94 bisher hast du gelernt bei einer binomialverteilung die wahrscheinlichkeiten und oder die benötigte anzahl für treffer zu berechnen hier geht es um die berechnung der trefferwahrscheinlichkeit wenn die anzahl an versuchen und die treffer gegeben sind mit einer bestimmten trefferwahrscheinlichkeit kannst du über eine gegebene wahrscheinlichkeit kommen oder unter einer gegebenen wahrscheinlichkeit bleiben trefferwahrscheinlichkeit bei dieser strategie berechnest du für verschiedene trefferwahrscheinlichkeiten und wählst aufgrund der ergebnisse die passende trefferwahrscheinlichkeit aus beispiel du bist dran ein basketballspieler möchte von würfen mit %iger wahrscheinlichkeit mindestens ins netz bringen berechne wie hoch seine trefferwahrscheinlichkeit mindestens sein muss ein basketballspieler möchte von würfen mit %iger wahrscheinlichkeit mindestens ins netz bringen berechne wie hoch seine trefferwahrscheinlichkeit mindestens sein muss notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl treffer des basketballspielers ist binomialverteilt mit ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf p(x 0,85 p(x 0,15 das brauchst du wieder binomialverteilung mit mindestens in schritt darum geht’s erklärfilm bestimmung des para meters bei der binomialverteilung p5cn9z so geht’s tipp bei mindestens brauchst du immer das gegenereignis da der taschenrechner nur von an addieren kann siehe aufgaben und umrechnung von zu in schritt

alle sektoren zusammen bilden einen winkel von 360° fehlerquote bedeutet dasselbe wie fehlerwahrscheinlichkeit berechne für 0,005 tipps zum lösen der aufgaben und suche im taschenrechner mit aus der aufgabenstellung und aus der letzten ungleichung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren 0,784 p(x 0,1507 0,785 p(x 0,1488 schreibe die antwort auf die trefferwahrscheinlichkeit muss mindestens 78,5 betragen damit von würfen mindestens mit mindestens wahrscheinlichkeit treffer sind ein biathlet muss jeweils auf fünf scheiben schießen berechne seine trefferwahrscheinlichkeit wenn er mit wahrscheinlichkeit mindestens drei trifft max hat für ein dorffest extra das torwandschießen geübt bei dem man dreimal auf das obere und dreimal auf das untere loch schießen darf er möchte dabei mit %-iger wahrscheinlichkeit mindestens fünf der sechs möglichen treffer schaffen bestimme seine trefferwahrscheinlichkeit ein vertrieb von nuss-mischungen verkauft packungen mit etwa nüssen aufgrund der rückmeldungen von verbrauchern sollten mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens in einer packung mindestens cashewkerne macadamianüsse und paranüsse sein gib in prozent an welchen anteil die genannten nüsse bei der zusammenstellung der mischung haben sollten ein glücksrad ist in rote und weiße sektoren eingeteilt bei rot gewinnt die spielerin bei zehn versuchen sollen mit mindestens wahrscheinlichkeit nicht mehr als vier treffer vorkommen berechne die trefferwahrscheinlichkeit berechne wie groß die winkelsumme aller roten sektoren höchstens sein darf von ausgelieferten dübeln einer firma sollen mit mindestens wahrscheinlichkeit höchstens fünf dübel fehlerhaft sein begründe warum nicht die richtige antwort ist bestimme wie hoch tatsächlich die fehlerquote bei der herstellung sein darf tipp probiere zuerst in großen schritten dann in kleineren bei diesen aufgaben kannst du dich für mit stellen nach dem komma zufriedengeben eine detaillierte durchführung des systematischen probierens findest du in der lösung zu aufgabe tipp in einigen aufgaben wird das mindestens teilweise wegge lassen du musst es dir selbst dazu denken tipp da in aufgabe und die trefferzahlen keinen mindestsondern höchstwert haben sollen kannst du die wahrscheinlichkeiten direkt mit dem taschenrechner berechnen du suchst dabei aber nicht mehr das kleinste sondern das größte für das der mindestwert der gewünschten wahrscheinlichkeit noch erreicht wird

schritt ich kann die anzahl der treffer einer binomialverteilung bestimmen hier lernst du wie viele korrekte antworten ein test mit multiple-choice-fragen von einem schüler fordern muss damit die wahrscheinlichkeit p(x durch zufälliges ankreuzen den test zu bestehen bei maximal liegt allgemein beispiele 0,0145 p(x 0,0107 0,9893 du kannst jetzt schon die größen und einer binomialverteilung bestimmen wenn die übrigen drei größen gegeben sind es fehlt nur noch die berechnung für die anzahl der treffer dabei sind die anzahl an versuchen die trefferwahrscheinlichkeit sowie die wahrscheinlichkeit oder gegeben anzahl der treffer bei dieser strategie stellst du die binomialverteilung auf und suchst ein geeignetes beispiel du bist dran ein multiple-choice-test besteht aus fragen mit je vier antwortmöglichkeiten von denen jeweils nur eine richtig ist wie viele korrekte antworten muss ein lehrer für das bestehen dieses tests mindestens einfordern damit die wahrscheinlichkeit ihn durch zufälliges ankreuzen zu bestehen höchstens beträgt ein multiple-choice-test besteht aus fragen mit je drei antwortmöglichkeiten von denen jeweils nur eine richtig ist wie viele korrekte antworten muss eine lehrerin für das bestehen dieses tests mindestens einfordern damit die wahrscheinlichkeit ihn durch zufälliges ankreuzen zu bestehen höchstens beträgt schreibe die zufallsgröße und alle benötigten daten auf anzahl richtiger antworten ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit für treffer auf p(x 0,05 p(x 0,05 p(x 0,95 p(x 0,95 suche im taschenrechner mit und aus der aufgabenstellung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren p(x 0,9434 p(x 0,9827 aus folgt dass ist das brauchst du wieder kumulierte binomialverteilung in schritt darum geht’s erklärfilm bestimmung des para meters bei der binomialverteilung so geht’s tipp beim multiplizieren mit dreht sich das ungleichheits-zeichen um

schreibe die antwort auf der lehrer muss mindestens richtige antworten einfordern damit die wahrscheinlichkeit zufällig zu bestehen höchstens beträgt eine zufallsvariable sei binomialverteilt mit bestimme sodass für gilt bestimme sodass für gilt bestimme sodass für gilt bestimme sodass für gilt an einem neuen spielautomat beträgt die wahrscheinlichkeit in einem spiel das sonnensymbol zu erhalten man bekommt den jackpot ausbezahlt wenn man bei spielen eine bestimmte mindestanzahl an sonnensymbolen erhalten hat wie viele sonnensymbole müssen mindestens verlangt werden damit die wahrscheinlichkeit den jackpot zu gewinnen kleiner als ist alicia behauptet dass sie einen würfel so werfen kann dass er sehr häufig die augenzahl sechs zeigt marie glaubt ihr nicht und lässt sie daher 30-mal würfeln wie viele male muss alicia dabei eine sechs würfeln damit die wahrscheinlichkeit dass dies zufällig geschieht kleiner als ist bei einem multiple-choice-test mit fragen ist nur eine von vier antworten richtig bestimme die wahrscheinlichkeit für das bestehen des tests wenn man für das bestehen den erwartungswert als mindestzahl für das zufällige ankreuzen der richtigen antworten nutzen würde bestimme die anzahl der richtigen antworten ab der der test bestanden ist damit jemand der nur zufällig ankreuzt mit höchstens zehnprozentiger wahrscheinlichkeit den test besteht bei einer tombola gibt es nieten man erhält einen der zusatzpreise wenn beim kauf von losen eine bestimmte anzahl nieten nicht überschritten wird welche anzahl muss dafür festgelegt werden wenn die wahrscheinlichkeit den zusatzpreis zu erhalten höchstens betragen soll noelle behauptet sie erkenne rote gummibärchen aufgrund deren geschmacks emily glaubt ihr nicht und möchte daher dass sie 10-mal vier gummibärchen probiert von denen jeweils eines rot ist und die anderen drei andere farben haben sie verspricht ihre meinung zu ändern wenn noelle höchstens 4-mal falsch liegt mit welcher wahrscheinlichkeit besteht noelle den test unter der annahme dass sie nur rät wie viele falsche antworten dürfte noelle maximal geben damit die wahrscheinlichkeit dass ihr dies durch raten gelingt maximal ist da du hier betrachtest musst du im gegensatz zu den aufgaben aus dem so geht’s“-teil nicht erst umrechnen um den taschenrechner zu nutzen berechne zunächst den erwartungswert er entspricht dann dem wert im gegensatz zum beispiel und den aufgaben und suchst du hier die maximalanzahl für für die eine maximalwahrscheinlichkeit erreicht wird also die berechnung entspricht dabei den aufgabenteilen und von aufgabe 7  beachte dass die fehlversuche betrachtet werden die trefferwahrscheinlichkeit bezieht sich also darauf das rote gummibärchen nicht zu erkennen tipps zum lösen der aufgaben und

eine zufallsgröße ist binomialverteilt mit und berechne die wahrscheinlichkeit für treffer schritt in einer urne befinden sich schwarze und rote kugeln schritt berechne die wahrscheinlichkeit beim 8-maligen ziehen mit zurücklegen genau drei schwarze kugeln zu erhalten gib passende ereignisse und an für die folgende wahrscheinlichkeiten gelten eine zufallsgröße ist binomialverteilt mit und berechne die folgenden wahrscheinlichkeiten schritt ii iii iv berechne den erwartungswert und die standardabweichung gib die trefferanzahlen an die innerhalb des intervalls liegen bestimme wie viel prozent aller ergebnisse in diesem intervall liegen schritt laut einer studie sind ca der bevölkerung in deutschland linkshänder berechne wie groß eine gruppe zufällig ausgewählter testpersonen mindestens sein muss damit mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein linkshänder darunter ist schritt oder schritt sechs linkshänder darunter sind schritt bei der produktion von einfachen kugelschreibern als werbegeschenke sind erfahrungsgemäß einige defekt wie groß darf der anteil defekter kugelschreiber höchstens sein damit in einer packung von kugelschreibern mit einer wahrscheinlichkeit von höchstens defekt sind schritt ein multiple-choice-test hat fragen zu jeder gibt es fünf antwortmöglichkeiten von denen jeweils genau eine richtig ist bestimme die wahrscheinlichkeit durch zufälliges ankreuzen genau fragen richtig zu beantworten schritt bestimme die wahrscheinlichkeit durch zufälliges ankreuzen mindestens fragen richtig zu beantworten schritt die wahrscheinlichkeit dass jemand den test durch raten besteht soll höchstens betragen bestimme die mindestanzahl an richtigen antworten für das bestehen schritt ein flugzeug das auf der strecke von frankfurt nach new york eingesetzt wird hat sitzplätze erfahrungsgemäß treten der fluggäste den flug nicht an die fluggesellschaft nimmt buchungen für diese verbindung an berechne die wahrscheinlichkeit dass zu viele buchungen angenommen wurden bestimme die anzahl buchungen die die fluggesellschaft annehmen sollte damit die wahrscheinlichkeit dass zu viele buchungen angenommen wurden höchstens beträgt schritt bei einer tombola sind aller lose nieten formuliere jeweils ein ereignis für das die angegebene wahrscheinlichkeit gilt schritte und training

schritt ich kann aus relativen häufigkeiten prognosen erstellen hier lernst du wie viele der jugendfußballer eines bundesligavereins es voraussichtlich eines tages in die bundesliga schaffen können etwa wenn die statistik der vergangenen jahre zeigt dass von a-jugendspielern zu einem einsatz in einer bundesligamannschaft gekommen sind allgemein relative häufigkeit absolute häufigkeit gesamte anzahl der stichprobe beispiele 7-meter-würfe beim handball und treffer relative häufigkeit 0,64 treffer du kennst die wichtigen begriffe bei der erhebung von daten wie die absolute und relative häufigkeit sowie den mittelwert von diesen statistischen begriffen wird hier die verbindung zu den wahrscheinlichkeiten hergestellt bei langen versuchsreihen stabilisieren sich die relativen häufigkeiten eines merkmals bei einem bestimmten wert diesen wert kannst du als wahrscheinlichkeit für eine vorhersage prognose verwenden wahrscheinliche treffer absolute häufigkeit bei versuchen sowohl wie auch sind nur annähernd richtig also wahrscheinlich vorhersagen treffen bei diesen berechnungen nimmst du den wert auf den sich die relativen häufigkeiten einpendeln als wahrscheinlichkeit zum aufstellen einer prognose der absoluten häufigkeiten mit dieser wahrscheinlichkeit entspricht die prognose dem erwartungswert beispiel du bist dran in einer kleinstadt wurde jahre lang statistisch festgehalten wie viel prozent der grundschüler schwimmen können in der untenstehenden grafik sind die prozentzahlen in abhängigkeit der betrachteten jahre aufgetragen im nächsten schuljahr werden schülerinnen und schüler die grundschule besuchen gib eine prognose an wie viele davon voraussichtlich schwimmen können in einer kleinstadt wurde jahre lang statistisch festgehalten wie viel prozent der grundschüler schwimmen können in der untenstehenden grafik sind die prozentzahlen in abhängigkeit der betrachteten jahre aufgetragen im nächsten schuljahr werden schülerinnen und schüler die grundschule besuchen gib eine prognose an viele davon voraussichtlich schwimmen können das brauchst du wieder absolute und relative häufigkeiten in den grundlagen darum geht’s tipp zur erinnerung bei der binomialverteilung war der erwartungswert so geht’s tipp beachte dass sich in der grafik der wert bei nicht auf das sechste jahr sondern auf die vergangenen sechs jahre bezieht in den sechs betrachteten jahren gab es etwa schwimmer jahre prozent prozent jahre

lies an der grafik den ungefähren wert ab dem sich die relativen häufigkeiten annähern entspricht dem wert nach jahren berechne mit diesem wert als wahrscheinlichkeit die anzahl an schwimmern anzahl 0,38 93,48 antwort die schule kann mit etwa schwimmern rechnen bei einer jährlichen verkehrskontrolle an fahrrädern innerhalb eines festen zeitraumes wird festgehalten wie viele fahrräder mängel aufweisen jahr 2014 2015 2016 2017 anzahl fahrräder anzahl fehlerhafte fahrräder bestimme die jeweiligen relativen häufigkeiten eine meldung greift diese statistik auf immer mehr der kontrollierten fahrräder weisen mängel auf untersuche diese aussage und kommentiere sie im jahr 2018 waren es fahrräder die kontrolliert wurden wie viele davon werden voraussichtlich mängel aufweisen sechs kinder wollen feststellen wie oft die spielkegel aufrecht stehen wenn man sie zufällig auf den boden wirft jedes kind wirft 50-mal am ende schreiben sie ihre ergebnisse in eine tabelle bestimme die jeweiligen relativen häufigkeiten kind anzahl aufrecht ergänze die tabelle und zeichne in eine grafik die entwicklung der relativen häufigkeiten wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass ein spielkegel aufrecht steht anzahl anzahl aufrecht relative häufigkeit 0,28 gib mit dem ergebnis von teilaufgabe an wie viele von hingeworfenen spielkegeln voraussichtlich aufrecht stehen überprüfe ob bei geworfenen spielkegeln eher oder spielkegel aufrecht stehen beschreibe was das eher aussagt argumentiere mit den relativen häufigkeiten gehe für das jahr 2018 von der gleichen relativen häufigkeit aus wie 2017 die anzahl aufrecht bezieht sich auf die summe der anzahlen aus aufgabenteil rechne mit der relativen häufigkeit die du bei der anzahl von spielkegeln bestimmt hast tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann einen linksseitigen hypothesentest durchführen hier lernst du wie du eine entscheidungsregel dafür finden kannst ob ein würfel gezinkt ist wenn er bei würfen nur 12-mal die fünf angezeigt hat allgemein beispiele 0,0139 wenn du 120-mal einen spielwürfel wirfst kannst du mit ungefähr fünfen rechnen wenn daher nur 1-mal fällt bist du dir ziemlich sicher dass der würfel gezinkt ist bei 19-mal glaubst du dagegen dass er in ordnung ist je weiter dein ergebnis vom erwartungswert abweicht umso unwahrscheinlicher kommt es dir vor wie soll man ein ergebnis von fünfen bewerten daher brauchst du eine entscheidungsregel mit der du zwar nicht zu aber doch zu etwa festlegen kannst ob der würfel in ordnung ist oder nicht die verbleibenden bezeichnet man als signifikanzniveau das den ablehnungsbereich festlegt wenn das ergebnis hier links vom erwartungswert hier liegt bestimmst du den linken ablehnungsbereich mit einem linksseitigen hypothesentest bei einem linksseitigen hypothesentest bestimmst du bis zu welcher höchstanzahl hier fünfen die kumulierte wahrscheinlichkeit kleiner ist als das vorgegebene signifikanzniveau alle natürlichen zahlen für die das gilt werden zum ablehnungsbereich {0 g} zusammengefasst die ablehnung bezieht sich auf die behauptete wahrscheinlichkeit die nullhypothese beim würfel beim linksseitigen hypothesentest wird untersucht ob die tatsächliche wahrscheinlichkeit kleiner ist alternative linksseitiger hypothesentest den linksseitigen hypothesentest führst du durch wenn du testen möchtest ob eine stichprobe zu wenige treffer enthält beispiel du bist dran du hast einen würfel 120-mal geworfen und nur 12-mal eine fünf erhalten du hältst den würfel für gezinkt führe einen linksseitigen hypothesentest mit einem signifikanzniveau durch bestimme den ablehnungsbereich und gib eine entscheidungsregel für dein ergebnis an max hat einen würfel 600-mal geworfen und 87-mal eine drei erhalten du hältst den würfel für gezinkt führe einen links seitigen hypothesentest mit einem signifikanzniveau durch bestimme den ablehnungsbereich und gib eine entscheidungsregel für dein ergebnis an das brauchst du wieder kumulierte binomialverteilung n;p in schritt erwartungswert einer binomialverteilung in schritt x=k darum geht’s tipp die könnte sogar gar nicht also 0-mal fallen denn alle ergebnisse zwischen und sind möglich tipp oft steht hier auch erklärfilm linksseitiger hypothesentest p5cn9z so geht’s

definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der gewürfelten fünfen ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanz niveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf p(x 0,05 notiere einen auszug und bestimme das größte mit dem taschenrechner p(x 0,0139 0,0275 0,0501 0,0847 notiere den ablehnungsbereich und eine entscheidungsregel für dein ergebnis ablehnungsbereich {0 12} da das ergebnis im ablehnungsbereich liegt wird die hypothese verworfen entscheidungsregel wenn bei würfen höchstens 12-mal eine erscheint wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für eine kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen es wird ein linksseitiger test mit einem stichprobenumfang und einem signifikanzniveau durchgeführt nullhypothese 0,65 alternative 0,65 bestimme anhand der tabelle den ablehnungsbereich und formuliere eine entscheidungsregel 0,0609 0,0805 0,1045 0,1334 tipp der wert von liegt beim linksseitigen test immer links vom erwartungswert für kleine werte von nahe bei für größere werte von weiter entfernt tipp das bedeutet du glaubst nicht dass die wahrscheinlichkeit für eine fünf ist du glaubst dass sie kleiner der würfel also nicht in ordnung ist bei oder mehr fünfen glaubst du dagegen der null hypothese und nimmst an dass der würfel in ordnung ist

es wird die hypothese und die alternative mit einem linksseitigen test untersucht dazu werden mehrere stichproben ausgewählt bestimme jeweils den ablehnungsbereich mit dem signifikanzniveau 0,05 und formuliere eine entscheidungsregel es ist eine stichprobe von und eine hypothese 0,35 gegeben bestimme mit einem linksseitigen test den ablehnungsbereich mit dem signifikanzniveau und formuliere eine entscheidungsregel 0,05 0,15 bei einem glücksrad tritt der hauptgewinn mit einer wahrscheinlichkeit von auf es wird der verdacht geäußert dass die wahrscheinlichkeit in wirklichkeit kleiner ist der verdacht soll mit spielen und einem signifikanzniveau von überprüft werden dabei tritt der hauptgewinn 8-mal auf untersuche ob damit der verdacht gerechtfertigt ist bei einer lieferung von tüten mit schokoladeneiern werden einige gefunden die zu wenig gewicht haben der vertrieb behauptet dass mindestens das normgewicht haben zur prüfung wird ein linksseitiger test mit tüten und einem signifikanzniveau von durchgeführt 43 tüten haben das angegebene gewicht 7 nicht gib den ablehnungsbereich an und überprüfe das ergebnis formuliere eine entscheidungsregel eine werbeagentur ist beauftragt für ein neues produkt eine werbekampagne durchzuführen gelingt es der agentur durch die kampagne für das neue produkt einen bekanntheitsgrad von zu erreichen soll sie eine zusätzliche prämie erhalten bei einer anschließenden umfrage unter personen kennen das neue produkt prüfe mit einem linksseitigen test und einem signifikanzniveau von ob die anzahl für eine zusätzliche prämie ausreichend ist in einer annonce wird behauptet dass inzwischen mehr als die hälfte aller kunden lieber biogemüse kaufen auch wenn es etwas teurer ist eine gärtnerei glaubt das nicht und befragt kunden untersuche mit einem linksseitigen test den ablehnungsbereich bei einem signifikanzniveau von formuliere eine entscheidungsregel für die gärtnerei tipp es genügt die wahrscheinlichkeiten für das größte und anzugeben siehe lösung dieser aufgabe die definition der nullhypothese als 0,35 bedeutet das gleiche wie zuvor 0,35 und hat damit keine auswirkung auf die lösung der aufgabe da du hier weder den ablehnungsbereich noch eine entscheidungsregel angeben musst genügt es direkt zu berechnen und zu überprüfen ob es innerhalb des signifikanzniveaus liegt achte darauf die richtige versuchsanzahl zu benutzen es werden nämlich nur tüten untersucht auch wenn hier …mehr als die hälfte aller kunden steht lautet deine nullhypothese tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann einen rechtsseitigen hypothesentest durchführen hier lernst du zu entscheiden ob ein würfel gezinkt ist wenn er bei würfen die 27-mal also sehr oft anzeigt allgemein beispiele 0,0920 wenn du 120-mal einen spielwürfel wirfst kannst du mit ungefähr zweien rechnen wenn aber stattdessen 27-mal die zwei fällt kommt dir das ziemlich oft vor du vermutest vielleicht dass der würfel gezinkt ist du brauchst eine entscheidungsregel mit der du für ein bestimmtes signifikanzniveau festlegen kannst ob der würfel mit einer großen wahrscheinlichkeit in ordnung ist oder nicht wenn das ergebnis hier rechts vom erwartungswert hier liegt bestimmst du den rechten ablehnungsbereich mit einem rechtsseitigen hypothesentest bei einem rechtsseitigen hypothesentest bestimmst du ab welcher mindestanzahl hier zweien die kumulierte wahrscheinlichkeit kleiner ist als das vorgegebene signi fikanzniveau alle natürlichen zahlen für die das gilt werden zum ablehnungsbereich {g n} zusammengefasst die ablehnung bezieht sich auf die behauptete wahrscheinlichkeit die nullhypothese hier beim rechtsseitigen hypothesentest wird untersucht ob die tatsächliche wahrscheinlichkeit größer ist alternative rechtsseitiger hypothesentest den rechtsseitigen hypothesentest führst du durch wenn du testen möchtest ob eine stichprobe zu viele treffer enthält beispiel du bist dran du hast einen würfel 120-mal geworfen und 27-mal eine zwei erhalten führe einen rechtsseitigen hypothesentest mit einem signifikanzniveau durch bestimme den ablehnungsbereich und gib eine entscheidungsregel für dein ergebnis an max hat einen würfel 600-mal geworfen und 117-mal eine vier erhalten führe einen rechtsseitigen hypothesentest mit einem signifikanzniveau durch bestimme den ablehnungsbereich und gib eine entscheidungsregel für dein ergebnis an das brauchst du wieder x=k darum geht’s kumulierte binomialverteilung n;p in schritt linksseitiger hypothesentest in schritt tipp dies kann der taschenrechner nicht direkt bestimmen daher wird mit dem gegenereignis gerechnet tipp beim multiplizieren mit dreht sich das ungleichheitszeichen um tipp oft steht hier auch erklärfilm rechtsseitiger hypothesentest p5cn9z so geht’s

definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der gewürfelten zweien ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf p(x p(x 0,05 p(x 0,95 notiere einen auszug und bestimme das kleinste mit dem taschenrechner p(x p(x 0,9081 0,0920 0,9403 0,0597 0,9627 0,0373 0,9777 0,0223 schreibe den ablehnungsbereich und eine entscheidungsregel für dein ergebnis auf ablehnungsbereich {28 120} da das ergebnis nicht im ablehnungsbereich liegt wird die hypothese nicht ver worfen entscheidungsregel wenn bei würfen mindestens 28-mal eine erscheint wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für eine größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen es wird ein rechtsseitiger test mit einem stichprobenumfang und einem signifikanzniveau durchgeführt nullhypothese 0,55 alternative 0,55 bestimme anhand der tabelle den ablehnungsbereich und formuliere eine entscheidungsregel 0,8887 0,1113 0,9091 0,0907 0,9269 0,0731 0,9418 0,0582 tipp merke erst wenn 0,95 ist ist 0,05 mit etwas übung kannst du die beiden rechten spalten weglassen tipp das bedeutet du glaubst dass der würfel mit einer wahr scheinlichkeit von in ordnung ist

es ist eine stichprobe von und eine hypothese 0,62 gegeben bestimme mit einem rechtsseitigen test mit dem signifikanzniveau wie sich der ablehnungsbereich verändert wenn sich das signifikanzniveau ändert formuliere jeweils eine entscheidungsregel 0,25 0,15 ein obstverkäufer bietet verbilligt äpfel an die teilweise angeschlagen oder verwurmt sind er behauptet allerdings dass höchstens der äpfel nicht ganz einwandfrei sind zur kontrolle entnimmst du äpfel dem angebot und führst einen rechtsseitigen test mit einem signifikanzniveau von durch bestimme den ablehnungsbereich und formuliere eine entscheidungsregel in einer restaurantkette sind hygienemängel aufgetreten der manager behauptet dass das höchstens ein fünftel der restaurants betreffen würde mit einem rechtsseitigen hypothesentest für restaurants soll mit einem signifikanzniveau von geprüft werden ob der anteil der betroffenen restaurants nicht größer ist formuliere eine entscheidungsregel ariane hat in einem artikel gelesen dass beim werfen von reißnägeln schräg auf der tischplatte zu liegen kommen bei einem versuch hat sie den eindruck dass es deutlich mehr sind sie führt daher einen test mit reißnägeln durch als signifikanzniveau nimmt sie bei ihr landen nägel auf dem kopf und schräg soll sie der in dem artikel behaupteten prozentzahl zustimmen oder nicht in einer flaschen-abfüll-anlage wird mit etwa nicht richtig verschlossenen flaschen gerechnet der abteilungsleiter überprüft wieder einmal die anlage und zählt bei flaschen flaschen die nicht richtig verschlossen sind damit glaubt er dass die anlage nicht mehr einwandfrei arbeite und überholt werden müsse ein mitarbeiter gibt aber zu bedenken dass bei einem signifikanzniveau von schlecht verschlossene flaschen noch akzeptabel seien überprüfe die aussagen mit einem rechtsseitigen test eine firma die metallbänder für büromaterial ausstanzt rechnet mit höchstens ausschuss in letzter zeit scheint der ausschuss höher geworden zu sein dies soll mit einer stichprobe von teilen und einem signifikanzniveau von überprüft werden ein mitarbeiter meint allerdings dass bei einer so kleinen stichprobe von nur teilen alle in ordnung sein müssten der abteilungsleiter hält das für unsinn was meinst du dazu überprüfe die aussagen ein hersteller von smartphones gibt auf seiner webseite an dass mindestens einwandfrei funktionieren nach dem verkauf von smartphones werden zehn wegen mängel zurückgegeben untersuche ob der verkäufer weiterhin der behauptung des herstellers vertrauen kann wenn das signifikanzniveau beträgt formuliere eine entscheidungsregel tipp es genügt die wahrscheinlichkeit für das und einen wert darunter anzugeben siehe lösung der aufgabe tipp auch wenn der ablehnungsbereich nicht konkret gefordert wird solltest du ihn mit angeben das formulieren der entscheidungsregel fällt damit deutlich leichter da du hier weder den ablehnungsbereich noch eine entscheidungsregel angeben musst genügt es direkt zu berechnen und zu überprüfen ob es innerhalb des signifikanzniveaus liegt da du die anzahl mangelhafter smartphones untersuchst musst du die treffer wahrscheinlichkeit zunächst aus den gegebenen einwandfreien smartphones bestimmen tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann entscheiden welchen test ich wähle du hast einen würfel 200-mal geworfen und dabei 81-mal eine zahl kleiner als erhalten hier lernst du ob du einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen test durchführen solltest wenn du überprüfen willst ob der würfel in ordnung ist allgemein linksseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {0 g} rechtsseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {g n} beispiele stichprobenumfang signifikanzniveau 0,05 linksseitig 0,05 taschenrechner ablehnungsbereich {0 13} linksseitig 0,05 taschenrechner ablehnungsbereich {0 rechtsseitig 0,95 taschenrechner ablehnungsbereich {27 50} rechtsseitig 0,95 taschenrechner ablehnungsbereich 50} einen test macht man immer dann wenn es zu viele oder unendlich viele möglichkeiten gibt du hast gelernt den ablehnungsbereich für einen linksseitigen oder rechtsseitigen hypothesentest zu bestimmen aber oft ist es schwierig aus dem text heraus zu erkennen welcher der beiden tests durchzuführen ist du nimmst einen linksseitigen test wenn du bei der nullhypothese ein mindestens ergänzen kannst du aber glaubst dass zu groß ist daraus folgt die alternative im test prüfst du ob es zu wenige treffer gibt also den linken ablehnungsbereich du nimmst einen rechtsseitigen test wenn du bei der nullhypothese ein höchstens ergänzen kannst du aber glaubst dass zu klein ist daraus folgt die alternative im test prüfst du ob es zu viele treffer sind also den rechten ablehnungsbereich wenn du den stichprobenumfang hier und die trefferwahrscheinlichkeit hier sowie die anzahl der treffer hier kennst kannst du mithilfe des erwartungswerts hier feststellen ob die anzahl zu groß wie hier oder zu klein ist ist die zu prüfende anzahl kleiner als der erwartungswert bietet sich ein linksseitiger test an ist die zu prüfende anzahl größer als der erwartungswert bietet sich ein rechtsseitiger test an das brauchst du wieder einseitiger hypothesentest in schritt und g– ablehnungsbereich rechtsseitiger test g+ ablehnungsbereich linksseitiger test 0,0280 0,0540 0,9427 0,9686 darum geht’s

linksund rechtsseitiger test je nach aufgabenstellung musst du dich für einen linksoder rechtsseitigen test entscheiden beispiel du bist dran eine studie behauptet jedes vierte kind unter jahren hat übergewicht einige eltern halten das für übertrieben eine untersuchung an kindern ergibt dass übergewicht haben für die entscheidungsregel wird ein signifikanzniveau von festgelegt begründe ob ein linksoder ein rechtsseitiger test sinn ergibt bestimme ablehnungsbereich und entscheidungsregel und interpretiere das ergebnis eine studie behauptet jedes fünfte kind unter jahren hat übergewicht eine ärzte gruppe hält das für zu wenig eine unter suchung an kindern ergibt dass übergewicht haben für die entscheidungsregel wird ein signifikanzniveau von festgelegt begründe ob ein linksoder ein rechtsseitiger test sinn ergibt bestimme ablehnungsbereich und entscheidungsregel und interpretiere das ergebnis lege die art des zu verwendenden tests fest die eltern wollen nachweisen dass es weniger kinder mit übergewicht gibt sie werden daher einen linksseitigen test durchführen notiere die zufallsgröße und die daten für den test anzahl der kinder mit übergewicht ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,25 schreibe die bedingung für einen entsprechenden hypothesentest auf die behauptung hier lautet mindestens der kinder haben übergewicht nullhypothese man prüft ob es nicht weniger sind alternative 0,25 signifikanzniveau 0,05 gesucht größte zahl mit p(x 0,05 notiere einen auszug aus dem taschenrechner und das passende p(x 0,0452 0,0578 so geht’s erklärfilm linksseitiger hypothesentest rechts seitiger hypothesentest p5cn9z

schreibe den ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {0 85} entscheidungsregel wenn von kindern höchstens übergewichtig sind wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass weniger als jedes vierte kind übergewichtig ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen das untersuchungsergebnis liegt nicht im ablehnungsbereich daher können die eltern die nullhypothese nicht verwerfen sondern sollten das ergebnis der studie akzeptieren prüfe ob bei den folgenden meldungen ein linksoder rechtsseitiger test angemessen ist ein bäcker bietet kein vollkornbrot an da seiner meinung nach höchstens der kunden daran interessiert sind obwohl nur gut die hälfte aller schüler nach der grundschule auf das gymnasium wechseln zeigt eine umfrage unter den grundschülern dass eigentlich mindestens zwei drittel aufs gymnasium gehen wollten auf den hinweis dass viele studenten mit dem mensa-essen unzufrieden sind antwortet die mensa-leitung dass es ihrer meinung nach höchstens ein fünftel aller studenten sei bei einem besuch an einem beliebten badestrand in nordspanien hatte die redakteurin der zeitung den eindruck dass mindestens jeder dritte übergewichtig war die lehrerinnen und lehrer eines gymnasiums werden gefragt ob sie sich an dem wettbewerb mathematik ohne grenzen beteiligen möchten sie beschließen teilzunehmen wenn bei einigen probeaufgaben höchstens ein fünftel der schüler die anforderungen nicht ganz erfüllen beschreibe welche nullhypothese du mit einem linksseitigen test überprüfen könntest nenne die alternative beschreibe welche nullhypothese du mit einem rechtsseitigen test überprüfen könntest nenne die alternative untersuche mit einem geeigneten test und einem signifikanzniveau von wie viele der schüler es höchstens sein sollten die die probe-aufgaben nicht schaffen laut einer pressemitteilung sollen etwa der schülerinnen und schüler in mathematik neben dem schulunterricht auch onlinehilfen benutzen bei einer befragung von schülerinnen und schülern einer sekundarstufe geben an dass hin und wieder onlinehilfen benutzen berechne den erwartungswert und entscheide damit welchen test du durchführst prüfe ob die gegebene wahrscheinlichkeit bei einem signifikanzniveau von noch stimmt oder ob sie besser nach oben korrigiert werden sollte gib eventuell eine neue prozentzahl an die die aktuelle lernsituation mit onlinehilfen in mathematik besser beschreibt orientiere dich an den begriffen mindestens und höchstens in der aufgabenstellung  du bestimmst mit einem rechtsseitigen test den ablehnungsbereich als antwort ist hier jedoch nach dem höchsten wert des akzeptanzbereichs gefragt du suchst einen neuen wert für sodass die in der aufgabenstellung genannten nutzer den linken rand des annahmebereichs bilden tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann einen zweiseitigen test durchführen hier lernst du wie oft bei einem würfel die mindestens auftreten muss oder höchstens auftreten darf damit du ihn als korrekt akzeptierst allgemein linksseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {0 g} rechtsseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {g n} beispiele stichprobenumfang 0,45 signifikanzniveau 0,05 linksseitig 0,05 ablehnungsbereich rechtsseitig 0,05 0,95 ablehnungsbereich signifikanzniveau 0,15 linksseitig 0,15 ablehnungsbereich rechtsseitig 0,15 0,85 ablehnungsbereich du kannst bereits den ablehnungsbereich für einen linksseitigen oder rechtsseitigen hypothesentest bestimmen der zweiseitige test ist nichts neues es werden nur beide tests zu einem test zusammengefasst in zahlreichen fällen ist es sinnvoll für die ergebnisse sowohl eine grenze nach unten wie auch nach oben festzulegen nullhypothese alternative das signifikanzniveau wird beim zweiseitigen test auf beide seiten zu verteilt und es wird ein unterer und ein oberer ablehnungsbereich bestimmt zweiseitiger test dieses vorgehen wählst du immer dann wenn nach oben und nach unten keine zu großen abweichungen vorkommen sollen beispiel du bist dran du hast einen würfel 200-mal geworfen und gezählt wie oft die drei gefallen ist führe einen zweiseitigen test mit einem signifikanzniveau durch und gib an bei welchen ergebnissen du den würfel für nicht korrekt hältst max hat einen würfel 120-mal geworfen und gezählt wie oft die vier gefallen ist führe einen zweiseitigen test mit einem signifikanzniveau durch und gib an bei welchen ergebnissen er den würfel für nicht korrekt hält das brauchst du wieder linksseitiger und rechtsseitiger hypothesentest in den schritten 23–25 x=k 0234568 darum geht’s tipp der wesentliche unterschied zu den einseitigen tests ist die halbierung des signifikanz niveaus sowie die gleichzeitige betrachtung beider ablehnungsbereiche so geht’s

definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der gewürfelten dreien ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifi kanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,025 linksseitig schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungs bereichs auf p(x 0,025 berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das größte p(x 0,0163 0,0269 schreibe den linken ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {0 22} rechtsseitig schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf p(x p(x 0,025 p(x 0,975 berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das kleinste p(x 0,9699 0,9801 0,9872 0,9919 da schreibe den rechten ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {45 200} formuliere eine entscheidungsregel für dein ergebnis entscheidungsregel wenn die drei weniger als 23-mal oder mehr als 44-mal gewürfelt wird wird die null hypothese verworfen ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen und das bedeutet dass die korrektheit des würfels zu gegeben ist erklärfilm linksseitiger hypothesentest p5cn9z erklärfilm rechtsseitiger hypothesentest p5cn9z

es wird ein zweiseitiger test mit einem stichprobenumfang n = 80 und einem signifikanzniveau α = 0,1 durchgeführt die nullhypothese ist : p = 0,7 bestimme anhand der tabellen den linken und den rechten ablehnungsbereich und formuliere eine entscheidungsregel 0,0211 0,9127 0,0360 0,9469 0,0588 0,9700 0,0916 0,9839 ein automat soll bei der spiele den hauptgewinn das doppelte auftreten der herzdame anzeigen der automat wird mit spielen getestet bestimme dazu den bereich in dem die ergebnisse liegen sollten wenn ein signifikanzniveau von zugrunde gelegt wird käthe und leah wollen ein puzzle mit teilen legen nach betrachten des bildes meint käthe dass mehr als die hälfte der teile wasser zeigen und blau sind leah hält das für übertrieben und glaubt dass es weniger als die hälfte ist sie überprüfen das mit einem zweiseitigen test sie greifen sich zusammen teile heraus und zählen die blauen sie legen dazu ein signifikanzniveau von fest gib eine entscheidungsregel an bei wie vielen blauen teilen hat käthe nicht recht bei wie vielen blauen teilen hat leah nicht recht bei wie vielen blauen teilen können beide bei ihrer meinung bleiben eine firma wirbt damit dass in ihren gummibärchen-packungen die vier farben rot gelb grün und orange ungefähr gleich oft vorkommen anja untersucht das an gummibärchen bei ihr sind rot gelb grün und orange paula hat gummibärchen bei ihr sind rot gelb grün und orange regina hat gummibärchen bei ihr sind rot gelb grün und orange prüfe alle drei ergebnisse mit einem zweiseitigen test und einem signifikanzniveau von gib an für welche farben die behauptung der firma aufrechterhalten werden kann und welche farben zu oft oder zu selten vorkommen  beachte dass die gesamtanzahl von puzzleteilen hier nicht dem wert entspricht berechne für alle drei personen jeweils den linken und rechten ablehnungsbereich dieser ist für alle farben wiederum gleich anschließend kannst du untersuchen welche farben jeweils im annahmebereich liegen und welche nicht tipps zum lösen der aufgaben und

schritt ich kann einen test auf fehler und art untersuchen hier lernst du mit welcher wahrscheinlichkeit du den fehler machst eine nullhypothese anzunehmen obwohl sie eigentlich falsch ist bzw eine nullhypothese zu verwerfen obwohl sie eigentlich richtig ist allgemein linksseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {0 g} rechtsseitig nullhypothese alternative ablehnungsbereich {g n} beispiele stichprobenumfang 0,25 0,0032 0,0211 0,0670 0,1897 0,0032 0,0243 0,0913 0,2023 0,1686 0,1124 0,0271 0,0100 0,6172 0,7858 0,8982 0,9961 signifikanzniveau 0,05 linksseitig 0,05 rechtsseitig 0,05 0,0243 0,95 ablehnungsbereich {0 ablehnungsbereich 20} signifikanzniveau linksseitig rechtsseitig ablehnungsbereich ablehnungsbereich du kannst jetzt mit einem linksseitigen einem rechtsseitigen und einem zweiseitigen hypothesentest umgehen aber keine entscheidung für das ablehnen oder akzeptieren einer nullhypothese ist zu sicher sie kann auch immer falsch sein weil das so ist spricht man bei hypothesentests auch von fehlern fehler art die nullhypothese wird verworfen obwohl sie richtig ist die wahrscheinlichkeit dafür ist die sogenannte irrtumswahrscheinlichkeit sie ist beim linksseitigen test mit dem ablehnungsbereich {0 g} die wahrscheinlichkeit und beim rechtsseitigen test mit dem ablehnungsbereich {g n} die wahrscheinlichkeit die irrtumswahrscheinlichkeit ist in beiden fällen höchstens so groß wie das signifikanzniveau fehler art die nullhypothese wird nicht verworfen obwohl sie falsch ist die wahrscheinlichkeit dafür kannst du nur dann berechnen wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit bekannt ist das brauchst du wieder linksseitiger und rechtsseitiger hypothesentest in den schritten darum geht’s erklärfilm fehler und art beim testen von hypo thesen p5cn9z

fehler art beim fehler art gehst du genauso vor wie bei den einseitigen und zweiseitigen tests beispiel du bist dran ein obsthändler bietet seine äpfel zu einem günstigen preis an da ein teil davon etwas angeschlagen ist seiner aussage nach sind das aber höchstens du greifst dir zwei dutzend äpfel aus dem korb wovon äpfel angeschlagen sind diese anzahl kommt dir recht hoch vor du glaubst dem händler daher nicht und kaufst keine äpfel bestimme mit einem rechtsseitigen test mit einem signifikanzniveau von die wahrscheinlichkeit des dabei möglichen fehlers art und beschreibe die bedeutung dieses fehlers ein obsthändler bietet seine äpfel zu einem günstigen preis an da ein teil davon etwas angeschlagen ist seiner aussage nach sind das aber höchstens du greifst dir äpfel aus dem korb wovon äpfel angeschlagen sind diese anzahl kommt dir recht hoch vor du glaubst dem händler daher nicht und kaufst keine äpfel bestimme mit einem rechtsseitigen test mit einem signifikanzniveau von die wahrscheinlichkeit des dabei möglichen fehlers art und beschreibe die bedeutung dieses fehlers definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der angeschlagenen äpfel ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,25 schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese 0,25 alternative 0,25 signifikanzniveau schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das kleinste p(x 0,8787 0,9453 da gib den ablehnungsbereich an und bestimme die irrtumswahrscheinlichkeit ablehnungsbereich {10 24} 0,0547 die irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 5,47 beschreibe die bedeutung des fehlers aufgrund des ablehnungsbereichs des tests würde man bei oder mehr angeschlagenen äpfeln dem händler nicht glauben aber wenn der händler dennoch recht hat begeht man einen fehler die eigene entscheidung war also ein irrtum die möglichkeit tatsächlich oder mehr angeschlagene äpfel zu erhalten hat eine wahrscheinlichkeit von 5,47 so geht’s tipp in der praxis legen wir oft eine art ablehnungsbereich nach unserem gefühl fest tipp die irrtumswahrscheinlichkeit ist der fehler art

bestimme mit einem linksseitigen hypothesentest den ablehnungsbereich einer stichprobe mit und der nullhypothese bei einem signifikanzniveau von 0,05 0,01 berechne für alle drei fälle den fehler art und halte das ergebnis in worten fest prüfe welche der aussagen wahr ist je größer das signifikanzniveau ist umso größer ist das vertrauen in die nullhypothese je größer das signifikanzniveau ist umso größer ist der fehler 1. art um die irrtumswahrscheinlichkeit möglichst klein zu halten muss ich das signifikanzniveau möglichst groß machen fehler art wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit von der der nullhypothese abweicht musst du eine neue binomialverteilung betrachten dabei kann es passieren dass man einen fehler art macht beispiel du bist dran du greifst dir bei dem gleichen obsthändler wie bei der aufgabe zum fehler art zwei dutzend äpfel aus dem korb und hast nur angeschlagene darunter daher glaubst du seiner aussage der obsthändler hat aber gelogen in wirklichkeit ist ein drittel aller äpfel angeschlagen bestimme die wahrscheinlichkeit des dabei möglichen fehlers art und beschreibe die bedeutung des fehlers du greifst dir bei dem gleichen obsthändler wie bei der aufgabe zum fehler art 25 äpfel aus dem korb und hast dieses mal nur angeschlagene darunter daher glaubst du seiner aussage der obsthändler hat aber gelogen in wirklichkeit ist ein viertel aller äpfel angeschlagen bestimme die wahrscheinlichkeit des dabei möglichen fehlers art und beschreibe die bedeutung des fehlers gib den ablehnungsbereich der ursprünglichen behauptung an ablehnungsbereich {10 24} notiere die werte der tatsächlichen binomialverteilung ist tatsächlich binomialverteilt mit und bestimme mit diesen werten die wahrscheinlichkeit ein ergebnis außerhalb des ursprünglichen ablehnungsbereichs zu erhalten 0,7462 die wahrscheinlichkeit des fehlers art liegt bei 74,62 beschreibe die bedeutung des fehlers der fehler art gibt an wie wahrscheinlich es ist ein ergebnis zu erhalten aufgrund dessen man dem obsthändler glaubt da es im ursprünglichen annahmebereich liegt auch wenn er gelogen hat so geht’s tipp der ablehnungsbereich ist entweder bereits aus einer vorangehenden aufgabe vorhanden oder wird mit dem gelogenen bzw ursprünglichen wert von bestimmt tipp die wahrscheinlichkeit für den fehler art ist relativ hoch wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit näher bei der ursprünglichen nullhypothese liegt

bei einer binomialverteilung mit und werden oder mehr treffer akzeptiert bestimme den fehler art wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit ist 0,75 an einer stichprobe von wird ein zweiseitiger test mit der nullhypothese 0,68 und einem signifikanzniveau von durchgeführt bestimme den fehler art wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit beträgt 0,65 alwin erklärt lenya dass in der morgigen klausur keine aufgabe zu hypothesentests drankommt sie brauche daher nicht mehr zu lernen da sie die anderen themen beherrscht und stattdessen mit ihm in die disco gehen beschreibe an lenyas entscheidung wann sie einen fehler art fehler art begeht du willst einen würfel mit würfen und einem signifikanzniveau von testen du zählst dazu die anzahl der sechsen und gehst von einer wahrscheinlichkeit von aus bestimme die wahrscheinlichkeit für den fehler art bestimme die wahrscheinlichkeit für den fehler art wenn die tatsächliche wahrscheinlichkeit für eine sechs beträgt eine anlage zur herstellung von cm langen drahtstiften zeigt ungenauigkeiten der betreiber toleriert nur eine fehlerquote von höchstens er lässt die länge an stiften mit einem rechtsseitigen test und einem signifikanzniveau von überprüfen berechne die wahrscheinlichkeit für den fehler art beschreibe wie sich die wahrscheinlichkeit für den fehler art verändert wenn das signifikanzniveau kleiner gemacht wird bestimme die wahrscheinlichkeit für den fehler art wenn in wirklichkeit die wahrscheinlichkeit für ungenauigkeiten schon bei liegt beschreibe wie sich die wahrscheinlichkeit für den fehler art verändert wenn das signifikanzniveau kleiner gemacht wird tipp je nachdem ob die tatsächliche wahrscheinlichkeit die beim fehler art zugrunde gelegt wird größer/kleiner als die wahrscheinlichkeit der nullhypothese ist entscheidet man sich für einen rechtsseitigen/linksseitigen hypothesentest  berechne zunächst den erwartungswert der binomialverteilung und lege aufgrund der position der akzeptierten treffer fest ob es sich um einen linksoder rechtsseitigen test handelt berechne dann mit den treffern direkt die wahrscheinlichkeit des fehlers art  bestimme zunächst den linken und rechten ablehnungsbereich und daraus den bereich für den die nullhypothese nicht verworfen wird  in dieser aufgabe brauchst du nur die oben gemachten allgemeinen überlegungen zu beiden fehlern.   lege aufgrund der tatsächlichen wahrscheinlichkeit aus aufgabenteil und dem tipp am rand zunächst fest ob es sich um einen linksoder rechtsseitigen test handelt tipps zum lösen der aufgaben und

an einer grundschule wurde alle zehn jahre die anzahl der mit der linken hand schreibenden schülerinnen und schüler gezählt dabei ergab sich die in der tabelle dargestellte entwicklung schritt jahr 1960 1970 1980 1990 2000 2010 anzahl schüler anzahl linkshänder bestimme die jeweiligen relativen häufigkeiten es wird vermutet dass immer mehr linkshänder geboren werden kommentiere diese aussage für das jahr 2020 wird mit schülern gerechnet stelle auf basis der relativen häufigkeit im jahr 2010 eine prognose für die voraussichtliche anzahl an linkshändern auf bei der einführung eines neuen medikaments wird angegeben dass nur noch bei höchstens der patienten allergien auftreten könnten das medikament wird an patienten mit einem signifikanzniveau von getestet stelle eine entscheidungsregel auf schritt felix behauptet gegenüber seinem freund carsten dass zurzeit etwa jedes vierte auto auf deutschen autobahnen ein ausländisches kennzeichen hat sie wollen das überprüfen dazu zählen sie an der autobahn eine stunde lang von einer brücke aus alle autos von insgesamt autos haben ausländische kennzeichen schritt bestimme mit einem zweiseitigen test den ablehnungsbereich mit dem signifikanzniveau von interpretiere dieses ergebnis in bezug auf die gezählten autos mit ausländischen kennzeichen gib ein signifikanzniveau an für das die behauptung von felix mit gezählten autos mit ausländischen kennzeichen akzeptiert werden kann begründe warum ein kleineres signifikanzniveau in diesem fall aber nicht unbedingt sinnvoll ist ein großes gartencenter verkauft tulpenzwiebeln und bewirbt deren keimfähigkeit mit ein großkunde vermutet dass die keimfähigkeit in wirklichkeit geringer ausfällt er überprüft daher die werbeaussage des gartencenters mithilfe eines tests auf einem signifikanzniveau von und untersucht dabei tulpenzwiebeln die aussage des gartencenters bildet dabei die nullhypothese schritte und stelle eine entscheidungsregel auf berechne die wahrscheinlichkeit des fehlers art und beschreibe seine bedeutung in wirklichkeit liegt die keimfähigkeit des saatguts sogar bei wie groß ist in diesem fall die wahrscheinlichkeit dafür dass beim test die nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird angenommen die keimfähigkeit läge bei nur beschreibe in worten die bedeutung des fehlers art und berechne dessen wahrscheinlichkeit die sprecherin der schülerinnen und schüler einer schule meint dass mehr als die hälfte mit dem angebot der cafeteria unzufrieden sind der betreiber glaubt allerdings dass es wesentlich weniger als die hälfte sind beide seiten führen daher eine befragung unter den schülerinnen und schülern durch die schülervertretung kommt auf unzufriedene der betreiber der cafeteria nur auf schritte und welchen test wird die schülervertretung durchführen schreibe die überlegungen dazu und die nullhypothese sowie die alternative auf welchen test wird der betreiber durchführen schreibe die überlegungen dazu und die nullhypothese sowie die alternative auf führe einen rechtsund einen linksseitigen test mit einem signifikanzniveau von jeweils durch und stelle eine gemeinsame entscheidungsregel auf training

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endlich verständlich alle sicher zum abitur die arbeitsbücher mathematik oberstufe bieten die grundlagen fürs mathe-abi mit wiederholungen aus der sekundarstufe dem abi-stoff in kleinen und verständlichen schritten vielen beispielen und aufgaben zum nachvollziehen vielen einfachen tipps schrittweisen erklärungen und erklärfilmen trainingsseiten zur regelmäßigen selbstkontrolle und lösungen zu allen aufgaben die arbeitsbücher können flexibel eingesetzt werden im unterricht zusätzlich zum lehrwerk oder als zentrales arbeitsbuch selbstständig zum erarbeiten auch im rahmen von flipped classroom wiederholen festigen und zum vorbereiten auf klausuren und die abiturprüfung ebenfalls in dieser reihe analysis analysis ii analytische geometrie