grundlagen runden du bist dran aus dem so geht’s“-kasten 0,4983 0,4983 0,50 0,4983 0,498 aufgabe 0,4082 ii 0,4082 0,41 iii 0,4082 0,408 0,9817 ii 0,9817 0,98 iii 0,9817 0,982 0,0453 ii 0,0453 0,05 iii 0,0453 0,045 aufgabe 0,41782 0,4178 0,37295 0,3730 0,373 0,00007 0,0001 0,99999 1,0000 umrechnen in prozentschreibweise du bist dran aus dem so geht’s“-kasten erweitere den bruch auf den nenner und schreibe ihn in prozentschreibweise berechne mit dem taschenrechner 0,5385 53,85 aufgabe aufgabe 0,4286 42,86 0,1538 15,38 1,6429 164,29 0,4375 43,75 0,2941 29,41 aufgabe 37,5 multiplizieren von brüchen du bist dran aus dem so geht’s“-kasten multipliziere die beiden zähler und nenner miteinander kürze vor dem multiplizieren die brüche über kreuz aufgabe aufgabe dividieren von brüchen du bist dran aus dem so geht’s“-kasten multipliziere mit dem kehrbruch multipliziere mit dem kehrbruch und kürze die brüche über kreuz aufgabe aufgabe addieren und subtrahieren von brüchen du bist dran aus dem so geht’s“-kasten ermittle einen gemeinsamen nenner erweitere beide brüche auf den gemeinsamen nenner und addiere bzw subtrahiere die zähler ermittle einen gemeinsamen nenner die zahl ist in der zahl enthalten deswegen ist ein gemeinsamer nenner erweitere beide brüche auf den gemeinsamen nenner und addiere bzw subtrahiere die zähler lösungen lösungen

aufgabe aufgabe lösen von exponentialgleichungen mit dem logarithmus du bist dran aus dem so geht’s“-kasten löse die aufgabe direkt mit dem logarithmusbefehl deines taschenrechners log 2,082 oder log log 2,082 aufgabe log 0,3562 log 1,4650 log 0,36 –0,9299 log 0,24 4,0012 aufgabe log 1,4650 log 2,4966 log 2,45 5,478 1,898 log 2,345 0,3701 absolute und relative häufigkeit du bist dran aus dem so geht’s“-kasten berechne die relative häufigkeit berechne die absolute häufigkeit aufgabe zufallsexperiment wahrscheinlichkeit und ergebnis du bist dran aus dem so geht’s“-kasten stelle die tabelle mit den ergebnissen und den zugehörigen wahrscheinlichkeiten auf ergebnis gelb grün blau wahrscheinlichkeit multipliziere die anzahl der durchführungen mit der wahrscheinlichkeit für dieses ergebnis bei drehungen kann man das gelbe feld 100mal erwarten würfel ergebnis wahrscheinlichkeit bei würfen kann man die zahl 100-mal erwarten glücksrad ergebnis rosa blau grün wahrscheinlichkeit 1200 1200 1200 bei 1200 drehungen kann man das blaue feld 300mal erwarten ereignis und gegenereignis du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {2;3;4} berechne die wahrscheinlichkeit dieses ereignisses indem du die anzahl der im ereignis enthaltenen ergebnisse durch die gesamtzahl der ergebnisse teilst notiere das gegenereignis und gib seine ereignismenge an die augenzahl ist {1} gib die wahrscheinlichkeit für das gegenereignis an glücksrad {5;6;7;9;15} {0;1;2;3;4;6;8;10;11;12;13;14} urne {2;3;5;7} die gezogene zahl ist keine primzahl {0;1;4;6;8;9}

mittelwert du bist dran aus dem so geht’s“-kasten berechne die gesamtzahl der schülerinnen und schüler berechne den mittelwert der schülerzahlen mittelwert 0,0478 0,0372 0,1072 0,5572 0,0006 0,15 regentage 11,5 schritt das brauchst du wieder 0,084 0,25 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten lege das ereignis fest ereignis oder würfeln notiere die möglichen und günstigen ergebnisse sowie deren anzahl mögliche ergebnisse des würfels 1,2,3,4,5,6 anzahl günstige ergebnisse des würfels anzahl berechne die wahrscheinlichkeit anzahl der günstigen ergebnisse anzahl der möglichen ergebnisse rosen-strauß ereignis eine rote blume ziehen anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,4286 42,86 ereignis eine rote oder rosarote blume ziehen anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,7143 71,43 pokerkarten-spiel ereignis eine herz-karte ziehen anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,25 ereignis eine rote karte ziehen anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse ereignis eine ass-karte ziehen anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,0769 schnittund vereinigungsmenge du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {0;2;4;6;8;10;12;14} notiere die zum ereignis gehörenden ergebnisse {1;2;4;6;7;9;10;11;13;14} bilde die schnittmenge beider ereignisse {2;4;6;10;14} bilde die vereinigungsmenge beider ereignisse {0;1;2;4;6;7;8;9;10;11;12;13;14} beutel a={2;3;5;7} {0;2;4;6;8} {0;5} {2} {0} {0;2;4;5;6;8} {0;2;3;5;7} säulendiagramm du bist dran aus dem so geht’s“-kasten zeichne ein koordinatensystem mit einer passenden skalierung regentage fr do mi di mo dezember november oktober september august juli lösungen

ereignis karte ist rot und eine herz-karte anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,25 ereignis karte ist rot und hat eine zahl anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,3461 34,61 beutel mit kugeln ereignis kugel ist rot ereignis ungerade zahl {1,3,5} {rote rote rote 5} anzahl anzahl aller möglichen ergebnisse ereignis kugel ist gelb oder blau ereignis primzahl {2,3,5} {gelbe gelbe gelbe blaue blaue blaue 5} anzahl anzahl aller möglichen ergebnisse würfel {(1,3 5,1)} 0,13 tischtennis weiblich männlich jugendlicher spielt tischtennis spielt kein tischtennis würfel 0,41 0,13 theaterund musikstück ereignis ein schüler nimmt am theaterstück teil anzahl ereignis ein schüler nimmt an einem musikstück teil anzahl anzahl von anzahl von anzahl anzahl anzahl anzahl |– anzahl anzahl schülerinnen und schüler nehmen an beiden vorführungen teil ereignis pia ist in beiden gruppen 0,375 37,5 dodekaeder ereignis {10,11,12} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,25 ereignis {3,6,9,12} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse ereignis {9,10,11,12} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse werfen von würfeln mögliche ergebnisse mit einer 1,1),(1,2),(1,3 1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1 anzahl ereignis kein würfel zeigt eine gegenereignis mindestens ein würfel zeigt eine anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse p( 0,69 ereignis pasch {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse dies entspricht ereignis beide würfel zeigen eine gerade zahl {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse dies entspricht iii ereignis differenz der beiden zahlen ist gleich {(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)} anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse dies entspricht ii du bist dran aus dem so geht’s“-kasten stelle alle möglichen ergebnisse beider ereignisse auf ereignis durch teilbar {5,10,15,20} ereignis ungerade {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} schreibe die schnittmenge auf {5 15} anzahl berechne die wahrscheinlichkeit mengen poker-spiel ereignis karte ist rot und ein ass anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse 0,0385 3,85

schritt das brauchst du wieder {6;30} {6;12;15;18;24;30} du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere alle möglichen ergebnisse der ereignisse sowie deren anzahl ereignis die zahl ist durch teilbar {5,10,15,20} anzahl ereignis die zahl ist keine primzahl {1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20} anzahl strategie berechne die wahrscheinlichkeit durch abzählen stelle die vereinigungsmenge auf {1,4,5,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20} anzahl berechne die wahrscheinlichkeit 0,65 strategie berechne die wahrscheinlichkeit mit dem additionssatz stelle die schnittmenge auf {10;15;20} anzahl verwende den additionssatz 0,65 urne ereignis die kugel ist weiß oder hat die nummer 3 {w1 w2 w3 w4 w5 r3} 0,75 ereignis die kugel ist rot oder hat die nummer 4 {r1 r2 r3 w4} ereignis die kugel ist rot oder hat eine nummer kleiner als {r1 r2 r3 w1 w2} 0,625 62,5 buchstaben ziehen ereignis der buchstabe ist ein vokal oder ein {a k} ereignis der buchstabe ist ein vokal oder ein {a e} 0,375 37,5 ereignis der buchstabe ist ein vokal oder ein konsonant {a z} poker-spiel ereignis karte ist rot oder ein ass a)= 0,5385 53,85 ereignis karte ist rot oder eine herz-karte ereignis karte ist rot oder hat eine zahl c)= 0,8462 84,62 zwei würfel werden geworfen ereignis ein würfel zeigt eine oder die summe beider würfel ist größer als anzahl aller möglichen ergebnisse günstige ergebnisse {(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6 6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),(5,5)} anzahl ereignis ein würfel zeigt eine oder die differenz beider würfel ist anzahl aller möglichen ergebnisse günstige ergebnisse {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6 6,1),(5,1),(4,1),(3,1),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4 5,6),(6,5)} anzahl 0,52 ereignis beide würfel zeigen die gleiche zahl oder beide zahlen sind ungerade anzahl aller möglichen ergebnisse günstige ergebnisse {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6 1,3),(1,5),(3,1),(5,1),(3,5),(5,3)} anzahl wahl eines zusatz-kurs ereignis eine schülerin hat einen zusatz-kurs gewählt ereignis eine schülerin hat weder den musiknoch den theater-kurs gewählt anzahl aller möglichen ergebnisse anzahl aller schüler die den theateroder den musikkurs besuchen anzahl aller schüler die weder den theaternoch den musikkurs besuchen b)= reisegruppe ereignis ein teilnehmer war weder im museum noch in der kirche 100–(80 0,05 oder schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten lege das ereignis fest ereignis dreimal eine zahl werfen die größer als ist lösungen

ereignis der erste ball ist schwarz der zweite blau und der dritte rot wahrscheinlichkeit für schwarzen ball wahrscheinlichkeit für blauen ball wahrscheinlichkeit für roten ball g)= 0,03 dreimaliges werfen eines würfels die richtige antwort ist beschreibt die wahrscheinlichkeit beim dreimaligen würfel jeweils eine sechs zu würfeln da aber schon zwei mal eine sechs gefallen ist ist die wahrscheinlichkeit dass ein drittes mal eine sechs gewürfelt wird genauso hoch wie dass beim einmaligen würfeln eine sechs gewürfelt wird du bist dran aus dem so geht’s“-kasten lege das ereignis fest ereignis die kugel ist dreimal weiß notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug in der urne sind noch rote und weiße kugeln anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug notiere die anzahl der möglichen und günstigen ergebnisse für den zug in der urne sind noch rote und weiße kugeln anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der günstigen ergebnisse berechne die wahrscheinlichkeit für den zug berechne mit der pfadregel die wahrscheinlichkeit des ereignisses www 0,008 königskarte er zieht die königskarte 3x nichtkönigskarte fremdsprachen keine schülerin lernt russisch 0,219 21,9 pokerspiel ereignis die karte ist jedes mal eine herz-karte 33150 0,0129 1,29 ereignis die karte ist jedes mal rot 15600 132600 0,1176 11,76 notiere die möglichen und günstigen ergebnisse sowie ihre anzahl für 1­mal würfeln mögliche ergebnisse des würfelns anzahl günstige ergebnisse des würfelns anzahl berechne die wahrscheinlichkeit für einen wurf berechne die wahrscheinlichkeit des ereignisses multipliziere die gleichen wahrscheinlichkeiten der drei würfe 0,125 12,5 dreimaliges werfen einer münze ereignis es erscheint dreimal zahl 0,125 12,5 ereignis es erscheint zahl kopf zahl 0,125 12,5 ereignis es erscheint zahl zahl kopf 0,125 12,5 jedes ereignis entspricht genau einem pfad und jeder pfad ist gleich wahrscheinlich pokerspiel ereignis die karte ist jedes mal eine herz-karte 0,25 a)= 0,0039 0,39 ereignis die karte ist jedes mal rot 0,0625 6,25 ereignis die karte ist beim ersten mal rot dann schwarz dann wieder rot dann wieder schwarz 0,0625 6,25 pfannkuchen beide pfannkuchen sind mit apfelmus gefüllt armreifen die wahrscheinlichkeit einen goldenen armreif zu ziehen ist die wahrscheinlichkeit einen silbernen armreif zu ziehen ist die wahrscheinlichkeit erst zwei goldene und dann einen silbernen armreif zu ziehen ist deswegen also ist antwortmöglichkeit die richtige beutel mit bällen ereignis alle drei bälle sind schwarz 0,125 12,5 ereignis die ersten beiden bälle sind schwarz und der dritte blau wahrscheinlichkeit für schwarzen ball wahrscheinlichkeit für blauen ball 0,075

ereignis die karte ist beim ersten mal rot dann schwarz und dann wieder rot 16900 132600 0,1275 12,75 beutel mit bällen ereignis alle drei bälle sind schwarz a)= 0,08 ereignis die ersten beiden bälle sind schwarz der dritte ist blau b)= 0,08 ereignis der erste ball ist schwarz der zweite blau und der dritte rot c)= 0,041 fotos von sportlern du ziehst zuerst das foto eines leichtathleten dann das eines schwimmers und zuletzt das eines fuß ballers du ziehst zuerst das foto eines leichtathleten dann nochmal das eines leichtathleten und zuletzt das eines schwimmers du ziehst zuerst das foto eines fußballers dann das eines schwimmers und zuletzt das eines leichtath leten ii du ziehst zuerst das foto eines fußballers dann nochmal das eines fußballers und zuletzt das eines leichtathleten iii du ziehst dreimal hintereinander das foto eines fußballers du ziehst zuerst das foto eines fußballers dann das eines leichtathleten und zuletzt das eines schwimmers ii du ziehst zuerst das foto eines fußballers dann das eines leichtathleten und zuletzt nochmal das eines fußballers streichhölzer ereignis s1 spieler verliert s1 ereignis s2 spieler verliert s2 ereignis s3 spieler verliert s3 ereignis s4 spieler verliert s4 es ist also egal an welcher position du ein streichholz ziehst die wahrscheinlichkeit zu verlieren ist immer genau schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe die möglichen ergebnisse auf a,d bestimme die wahrscheinlichkeit für den ersten zug ergebnis ass ergebnis dame da die karten nicht wieder umgedreht werden handelt es sich hier um ein ziehen ohne zurücklegen notiere den stand vor dem zweiten zug für den zug sind noch karten verdeckt beim ergebnis ass und damen beim ergebnis ass und damen für jedes ergebnis gibt es wieder zwei mögliche ergebnisse bestimme die wahrscheinlichkeiten für den zweiten zug nach dem ergebnis nach dem ergebnis zeichne das baumdiagramm und schreibe ans ende jedes pfades das ergebnis und die wahrscheinlichkeiten aa aa ad ad da da dd dd schreibe alle ergebnisse für das ereignis auf dd lies die wahrscheinlichkeiten der günstigen ergebnisse am baumdiagramm ab und addiere sie dd dreimaliges werfen einer münze zzz zzw zwz zww wzz wzw wwz www zzw zwz wzz genau 2-mal zahl lösungen

zeichne das dazugehörige baumdiagramm schreibe alle ergebnisse für das ereignis auf kk kk bestimme die wahrscheinlichkeit mit der summenregel und der pfadregel p(kk p(k p( kk 0,3429 34,29 drei karten aus einem stapel man zieht genau eine herz-karte hh 0,4403 44,03 glücksrad man landet genau dreimal auf dem blauen feld man landet einmal auf dem roten feld und zweimal auf einem anderen feld man landet einmal auf dem roten feld und zweimal auf dem weißen feld kk kk kk kk kk kk hhh hhh hhh hhh hhh hhh hhh hhh vase mit blumen zwei blumen haben unterschiedliche farbe r;g);(r;w);(g;r);(g;w);(w;r);(w;g fehlende wahrscheinlichkeiten bestimmen ab 0,24 0,08 0,36 ab 0,24 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten hier interessiert nur das ergebnis könig und nicht könig bestimme die wahrscheinlichkeit für den zug für den zug liegen noch karten auf dem tisch bestimme die wahrscheinlichkeit für den zug aufgedeckt aufgedeckt )= für den zug liegen noch karten auf dem tisch bestimme die wahrscheinlichkeit für den zug kk aufgedeckt aufgedeckt aufgedeckt kk aufgedeckt

urne man zieht genau einmal eine blaue kugel 0,4286 42,86 man zieht die weiße kugel man zieht genau eine grüne und eine weiße kugel 10,71 spielwürfel es tritt erst beim mal eine sechs auf 7776 0,0804 8,04 lotterie er zieht erst im versuch einen gewinn 0,1055 10,55 tetraeder gleiche ziffer 0,0156 1,56 eine zahl größer als 1111 0,9961 99,61 nicht gemachte hausaufgaben 0,0150 b)= 0,4737 47,37 c)= 0,8158 81,58 schritt das brauchst du wieder durchschnitt von 1,3,5,7 und gr gr durchschnitt von 2,2,2,3,4 und du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße und die wahrscheinlichkeit {1;2;3;4} eine beliebige seite des würfels stelle eine tabelle auf schreibe in die zeile die werte der zufallsvariablen zeile die wahrscheinlichkeiten dieser werte zeile die produkte bestimme den erwartungswert als summe der 3.  zeile münze {0;1;2;3;4;5} kartenstapel {3;4;5;6;7;8;9;10} {0;1;2;3;4;5;6;7} lostopf {0;1;2;3;4;5;6} {4;5;6;7;8;9;10} pokerspiel {2;1;– 0,1} 0,1462 glücksrad {1;3;5} schulfest {9;6;4;3;1;0;-5} mountainbike strecken {[30;50];]50;70];]70;90];]90;110];]110;130 ]130;150]} spiel mit karten {10;6;3;1} du kannst nach einer runde die punktzahl von erwarten 20=70 du kannst nach runden die punktzahl von erwarten lösungen

1;2),(2;1),(0;3),(3;0 1;3),(3;1),(2;2 2;3),(3;2 3;3 berechne die summe der rechten spalte spielwürfel {– 2;2;1} ergebnisse rot blau +2 gelb +1 28,8 also runden zauberwörter {0;2;5} ergebnisse hokuspokus simsalabim sabberbrabbel alohomora bombarda abrakadabra {0;1;2;5} ergebnisse hokuspokus alohomora simsalabim abrakadabra bombarda sabberbrabbel karten {1;2} schwarze karte rote karte ergebnisse s;r r;s s;s lehrer 0,12 0,26 0,21 0,01 2,55 das ergebnis entspricht dieses mal nicht dem erwartungswert spielbox zahl die die spielbox anzeigt wahrscheinlichkeit dass die zahl angezeigt wird 3p 2p 0,75 die wahrscheinlichkeit dass die zahl angezeigt wird ist 0,75 glücksrad wahrscheinlichkeit für die zahl 2,25 0,25 0,15 2,25 3p 0,75 2,25 2p 3,05 2p die wahrscheinlichkeit für die zahl ist schritt das brauchst du wieder karten 7,75 karten 7,29 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten bestimme die möglichen ergebnisse deren anzahl und wahrscheinlichkeit ergebnisse 1;1);(1;2);(1;3);(1;0);(2;1);(;2;2);(2;3 2;0);(3;1);(3;2);(3;3);(3;0);(0;1);(0;2);(0;3);(0;0 anzahl alle ergebnisse haben die gleiche wahrscheinlichkeit notiere alle möglichen werte der zufallsgröße die sich bei der multiplikation bzw addition ergeben {0;1;2;3;4;5;6} schreibe in die 1. spalte alle ergebnisse in die 2. spalte die dazugehörigen werte produkte für und in die spalte die wahrscheinlichkeiten ergebnisse 0;0 0;1),(1;0 1;1),(0;2),(2;0

felder zum aufrubbeln drei leere felder 0,05 anzahl felder die ich freirubbeln muss bis ein feld mit einem preis kommt 1,75 im schnitt muss man 1,75 felder freirubbeln bis ein feld mit einem preis kommt urne 0,375 37,5 gewinn in ereignis weiß schwarz rot man kann das spiel im schnitt acht mal wiederholen bis man 2 € verloren hat schritt das brauchst du wieder voraussichtliche punktzahl nach würfen voraussichtliche punktzahl nach würfen 1000 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten definiere die zufallsgröße gewinne in euro berechne und notiere alle möglichen werte indem du den einsatz vom gewinn abziehst keine sechs 1 € eine sechs 0 € zwei sechsen 3 € drei sechsen 9 € stelle eine tabelle auf und berechne den erwartungswert anzahl gewinn 1 € 0,579 € 0 € 0 € 3 € 0,208 € 9 € 0,0417 € –0,579 € 0 € 0,208 € 0,0417 € 0,3293 € interpretiere den erwartungswert das spiel ist nicht fair du verlierst im durchschnitt pro spiel ca cent {0;1} ergebnisse s;s s;r r;s omelett {0;1;2;3} 0,288 0,864 0,648 0,288 0,864 0,648 du kannst im schnitt mit ca treffern rechnen schlüsselbund anzahl der versuche die du brauchst bis du den passenden schlüssel gefunden hast {1;2;3;4} man bräuchte im schnitt versuche bis man den richtigen schlüssel gezogen hat karten ziehen anzahl der karten die du ziehen musst bis du ein ass gezogen hast {1;2;3} tabelle die summe der werte und muss zusammen betragen es ergeben sich also zwei extremfälle extremfall extremfall der erwartungswert kann zwischen den werten und liegen lösungen

der auszahlungsbetrag müsste 3 € sein damit das spiel fair ist lotterie kosten eines loses in € gewinn 10 € 1 € 0,1x 5 € 0,5 € 0,1x 1 € 0,2 € 0,2x 0,6x 1 € 0,1x 0,5 € 0,1x 0,2 € 0,2x 0,6x 1,7 € da sein muss muss € sein die lose müssten kosten damit der lotterie-veranstalter keinen verlust macht 50 € 0,5 € der erwartungswert muss also 0,5 € betragen dies ist bei einem preis von pro los der fall glücksrad beim schulfest einsatz pro runde gewinn 0,4e 0,3e 0,2e 0,1e –0,4e 0,3e 0,2e 0,1e da sein muss muss sein der einsatz pro runde muss also betragen damit das spiel fair ist urne ergebnisse gewinn r;r 10 €  € r;w w;r 4 €  € w;w 2 €  €  €  €  €  € 0,4 € der erwartende verlust pro spiel beträgt im schnitt cent ergebnisse gewinn r;r 8 €  € r;w w;r 3 €  € w;w 2 €  €  €  € 0 € spielwürfel {– chip chips} ergebnisse gewinn weiß grün das spiel ist fair münzen gleichzeitig werfen {0;1;2;3} ergebnisse gewinn k;k;k 0 € 0 € z;k;k k;z;k k;k;z 1 €  € z;z;k k;z;z z;k;z 2 €  € z;z;z 3 €  € 0 €  €  €  €  € 1,5 € erwartungswert nach 3-maligem werfen 1,5 € 4,5 € das spiel ist nicht fair du verlierst im durchschnitt 0,5 € werfen von zwei würfeln gewinne in ergebnisse gewinn 4;6 5;5 5;6 6;4 6;5 6;6 anzahl 1,5 € anzahl 0,5 €  €  €  €  € 0,17 € das spiel ist nicht fair du verlierst im durchschnitt ca cent auszahlungsbetrag ergebnisse gewinn 4;6 5;5 5;6 6;4 6;5 6;6 anzahl 0,5 €  € anzahl 0,5 €  €  €  €  € damit das spiel fair ist muss der erwartungswert null sein  € |· 18 € |+ 18 € 3 €

glücksspiel der einsatz müsste 2 € 0,1 € also 1,90 € sein damit das spiel fair ist 0,2x 0,2x der gewinn von 1 € müsste 1,5 € betragen damit das spiel fair ist glücksrad ergebnisse gewinn blau blau 3 €  € blau weiß weiß blau 0 € 0 € weiß weiß 2 €  €  € 0 €  €  €  € betrag für 2-mal blau ergebnisse gewinn blau blau 2 € blau weiß weiß blau 0 € 0 € weiß weiß 2 €  €  € 0 €  €  € da sein muss muss 10 € sein der betrag für 2-mal blau muss 10 € sein damit das spiel fair ist schmuggler die wahrscheinlichkeit einmal unerkannt durchzukommen ist die wahrscheinlichkeit 10-mal unerkannt durchzukommen ist 0,000006 0,0006 schulklasse 0,02 0,361 36,1 bei spielen kann man mit einem gewinn von ca rechnen training spielwürfel ereignis die summe beider augenzahlen ist größer als anzahl möglicher ereignisse günstige ereignisse 5;6 6;5 6;6 0,08 ereignis die augenzahl ist kleiner als und die augenzahl des zweiten würfels ist gerade anzahl möglicher ereignisse günstige ereignisse 1;2 1;4 1;6 2;2 2;4 2;6 3;2 3;4 3;6 4;2 4;4 4;6 anzahl günstiger ereignisse brettspiel mit würfeln g;g g;b b;g b;b 0,25 g;r b;r r;g r;b 0,50 g;g b;b r;r glücksrad gewinn in ereignis man verliert langfristig im schnitt also ca 12,5 cent pro spiel g(g;g g;r g;b b;g b;r b;b r;g r;r r;b lösungen

buchstabenkarten los 0,0313 3,13 würfel mit seiten gewürfelte zahl ist durch teilbar oder eine primzahl anzahl möglicher ereignisse günstige ereignisse 0,5667 56,67 erste zahl ist gerade oder die zweite zahl ist kleiner als erste zahl ist gerade zweite zahl ist kleiner als b∪c additionssatz e∪f schaltbrett schmuggelgut schmuggelgut kein schmuggelgut kkk 38,18 {(ksk skk kks)} 49,09 elektrogeschäft alle glühbirnen sind in ordnung eine glühbirne ist defekt 0,005 eine glühbirne ist in ordnung 0,005 0,995 0,995 0,9752 97,52 mindestens eine glühbirne ist defekt alle glühbirnen sind in ordnung 0,9851 0,0149 1,49 los

würfelbecher beide zahlen sind gerade genau eine zahl ist eine smartphones das smartphone funktioniert auch noch nach jahren einwandfrei 0,75 2j 4j 2j 4j 2j 4j 2j 0,68 an merkung bei diesem beispiel gilt 4j 2j 4j schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe die merkmale und ihre anzahlen auf männlich weiblich männlich ohne wirkung weiblich ohne wirkung trage die werte in die vierfeldertafel ein und ergänze sie kursstufe/instrument schüler sind mädchen und spielen ein blasinstrument schüler sind jungen und spielen ein streichinstrument schüler spielen ein streichinstrument insgesamt sind es schüler s-i b-i b-i:68 b-i:33 schritt das brauchst du wieder zwei schwarze karten ss 0,1071 10,71 zuerst eine rote dann eine schwarze karte rs)= 0,2679 26,79 zuerst eine schwarze dann eine rote karte sr)= 0,2679 26,79 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe das ergebnis und die bedingung auf ergebnis ungerade zahl und bedingung ungerade zahl lies aus der tabelle die wahrscheinlichkeiten der ereignisse ab und addiere berechne mithilfe der formel die bedingte wahrscheinlichkeit pu 0,375 37,5 baumdiagramm 0,25 0,75 jugendgruppe rothaarig mädchen 0,15 0,25 die wahrscheinlichkeit beträgt hochsprung-wettbewerb 1,90 über 1,90 meter gesprungen 2,00 über meter gesprungen 1,90 2,00 1,90 2,00 1,90 0,25 die wahrscheinlichkeit beträgt rauchmelder wahrscheinlichkeit dass das signal ertönt nachdem sich rauch gebildet hat wahrscheinlichkeit dass das signal nicht ertönt nachdem sich rauch gebildet hat wahrscheinlichkeit dass das signal ertönt ohne das sich vorher rauch gebildet hat ist eher groß ist eher klein ist eher klein 0,25 0,48 0,2 lösungen

rauchen 0,2417 0,3583 0,2208 0,1792 0,4625 0,5375 0,2208 22,08 0,3583 35,83 dorffest fußball handball ho hobby-gruppen vereine ho ho 0,05 erhebung über berufstätigkeit weiblich männlich berufstätig 0,513 0,487 0,534 0,672 0,513 0,534 0,2739 27,39 0,487 0,672 0,3273 32,73 0,3273 0,2739 0,6012 0,1597 0,2391 0,3988 0,487 0,513 schreibfehler s-i b-i daten eintragen obstplantage mehltau kirchbäume pfirsichbäume kirschbäume sind nicht vom mehltau befallen du bist dran aus dem so geht’s“-kasten trage die prozentzahlen als dezimalzahlen in die vierfeldertafel ein und ergänze sie mädchen junge th theatergruppe mu musikgruppe th mu 0,15 0,55 0,25 0,45 lies aus der vierfeldertafel ab mu mu 0,25 vierfeldertafel vervollständigen 0,24 0,34 0,36 0,66 0,34 0,24

vierfeldertafel ergänzen 0,24 0,44 0,15 0,41 0,56 0,35 0,65 0,24 0,15 0,65 0,15 0,56 0,2679 0,24 0,65 0,3692 36,92 baumdiagramm aus entsprechendem vierfeldertafel erstellen 0,07 0,15 0,22 0,33 0,45 0,78 0,07 0,22 0,3182 0,33 0,78 0,4231 vierfeldertafel aus entsprechendem baumdiagramm erstellen 0,22 0,8 0,569 0,423 0,688 0,382 bürgermeisterwahl 0,425 ü50 0,556 ü50 0,53 ü50 ü50 ü50 0,556 0,53 0,2947 29,47 ü50 0,2947 0,2613 0,556 u50 0,1303 0,3137 0,444 0,425 0,575 u50 0,444 44,4 u50 u50 u50 0,3137 0,444 0,7065 70,65 schritt das brauchst du wieder 0,35 0,25 0,25 0,15 0,25 0,25 0,15 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten zeichne das baumdiagramm mit den wahrscheinlichkeiten die du aus der vierfeldertafel ablesen kannst berechne die fehlenden bedingten wahrscheinlichkeiten und trage sie in das baumdiagramm ein 0,16 0,64 0,25 0,25 0,75 0,24 0,36 0,6667 0,3333 0,64 0,36 0,3333 0,6667 0,75 0,25 0,24 0,2 0,16 0,48 lösungen

0,4286 0,3333 netz mit bällen leder kunststoff weiß bunt 0,16 0,16 0,6 0,24 0,666 0,3333 spam spam kein spam 0,1667 f–t 0,6667 musikschule musikschule außerhalb saxophon kein saxophon 0,25 0,15 0,75 0,25 saxophon-spieler entsprechen der bandmitglieder spieler entsprechen der bandmitglieder spieler entsprechen der bandmitglieder davon also spieler kommen von außerhalb 0,25 kursstufe stochastik 11a 11b mögen stochastik mögen kein stochastik 0,5 0,25 0,3333 0,666

fehlende wahrscheinlichkeiten ergänzen p( kurssprecher k1 0,35 k2 wahlberechtigt nicht wahlberechtigt k1 0,54 k2 0,46 k1 k1 k2 k2 0,35 0,54 0,46 0,511 esther ist von 51,1 aller wahlberechtigten gewählt worden gemeinde kfz kfz-führerschein kfz keinen kfz führerschein motorrad-führerschein keinen motorrad-führerschein kfz kfz kfz 0,15 kfz 0,25 kfz kfz kfz kfz 0,15 0,25 0,16 die wahrscheinlichkeit dass ein bewohner den ich zufällig treffe den motorrad-führerschein besitzt beträgt grippewelle männer frauen krank nicht krank 0,52 0,52 0,48 0,034 0,009 0,52 0,034 0,48 0,009 0,022 aller personen sind erkrankt baumdiagramm 0,66 in der mögen ca 46,15 stochastik und damit prozentual mehr als in der kleinstadt männlich weiblich über 3800 unter 3800 35000 0,1086 1800 3800 0,4737 1800 16800 0,1071 2000 18200 0,1099 damit ist der anteil der über 65-jährigen bei den frauen mit ca 10,99% größer als bei den männern schritt das brauchst du wieder 0,32 p( du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die wahrscheinlichkeiten mädchen jungen musikinstrument kein musikinstrument 0,45 0,45 0,55 berechne die totale wahrscheinlichkeit p( 0,45 0,55 0,27 0,275 0,545 54,5 54,5 aller kinder spielen ein musikinstrument 0,48 0,52 0,5385 0,465 0,5833 0,46 0,24 0,28 0,28 lösungen

kartenstapel rot schwarz ass könig die wahrscheinlichkeit ein ass zu ziehen ist es müssen immer doppelt so viele asse wie könige sein also asse könige gymnasium gymnasium eg elternteil hat das gymnasium besucht 0,52 eg 0,63 eg 0,22 eg eg 0,63 0,37 eg eg 0,22 0,78 eg eg eg 0,52 0,37 0,48 0,78 0,5668 56,68 die wahrscheinlichkeit ein elternteil anzutreffen das nicht auf dem gymnasium war ist ca 56,68 schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe die beiden ergebnisse und ihre wahrscheinlichkeiten auf s1 s2 ergebnis s1 und schwarz s1 ergebnis s2 und schwarz s2 bestimme die totale wahrscheinlichkeit eine schwarze karte zu ziehen s1 s2 berechne mit der regel von bayes die bedingte wahrscheinlichkeit s2 s2 s2 fehlende wahrscheinlichkeiten ergänzen p( oder spielwürfel w2 w2 w1 w2 urne blau u1 u1 blau u1 blau u2 blau blau u2 u2 blau u1 blau u2 blau man stellt fest blau u2 blau u1 kindergarten kg gs jemand ist nichtjemand der nichtschwimmer und im schwimmer ist ist in kindergarten der grundschule kg kg jemand ist im kinderjemand der im kindergarten garten ist ist schwimmer filmpremiere ü40 über u40 unter fanden den film gut fanden den film nicht gut ü40 u40 0,35 0,65 0,46 ü40 ü40 0,35 0,46 0,1522 schornsteinfeger heizung entspricht den vorschriften heizung entspricht nicht den vorschriften ü10 heizung ist älter als jahre u10 heizung ist nicht älter als jahre ü10 ü10 ∩ü10 0,04 0,15 0,16 ü10 ü10 ü10 0,15 0,16 0,75 ü10 ü10 0,15 0,15

brauerei liter flaschen liter flaschen defekte verschlüsse funktionierende verschlüsse 0,75 0,75 0,25 0,25 0,05 0,0125 da und 0,02 ist folgt 0,02 0,0125 0,0075 a∩d 0,0075 0,75 0,01 schritt das brauchst du wieder {2;4} {1;3;21} du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe die ergebnisse und ihre wahrscheinlichkeiten auf {4;5;6} {2;4;6} b)= bilde das produkt der beiden wahrscheinlichkeiten schreibe die schnittmenge und ihre wahrscheinlichkeit auf {4;6} vergleiche die beiden ergebnisse das heißt und sind stochastisch abhängig baumdiagramm ergänzen 0,28 0,15 0,43 und sind stochastisch abhängig 0,5 0,5 0,28 0,42 baumdiagramm ergänzen die wurde so gewählt dass die summe von und der zahl also insgesamt gleich also ist betriebssport 0,24 0,24 damit sind die beiden ereignisse stochastisch unabhängig vierfeldtafel ergänzen es muss gelten p(a also urne rote kugel beim zug keine rote kugel beim zug rote kugel beim zug keine rote kugel beim zug rote kugel beim zug keine rote kugel beim 3. zug beide ereignisse sind stochastisch unabhängig zwei würfel b1 b2 b1 b1 und b1 sind stochastisch abhängig b2 b2 und b2 sind stochastisch abhängig volleyball ein mädchen spielt volleyball ein mädchen spielt nicht volleyball blond nicht blond 0,65 0,195 0,315 0,65 0,335 die haarfarbe ist stochastisch abhängig davon ob ein mädchen volleyball spielt lösungen

fitness-studio frau müller ist im fitness-studio frau müller ist nicht im fitness-studio frau schmidt ist im fitness-studio frau schmidt ist nicht im fitness-studio antwort beide damen sind zu im fitnessstudio abgelesene werte 0,08 das nicht-erscheinen der beiden damen ist stochastisch unabhängig fahrrad noah nimmt das fahrrad noah nimmt nicht das fahrrad noah kommt zu spät noah kommt nicht zu spät 0,15 0,05 0,65 0,15 0,16 0,15 das fahren mit dem fahrrad und das zu-spät-kommen sind stochastisch abhängig training bedingte wahrscheinlichkeit berechnen 0,2857 28,57 0,5714 57,14 0,4286 42,86 0,25 vierfeldertafel blau rot schule s1 sekundarstufe s2 sekundarstufe ag ag s1 s2 s1 ag s1 ag s1 ag die ereignisse s1 geht in die sekundarstufe und ag besucht eine ag sind voneinander abhängig bürgermeisterwahl b1 b2 er hat insgesamt der stimmen erhalten kartenstapel ziehung einer roten karte ziehung keiner roten karte ziehung vom stapel ziehung vom stapel a)+p freund hat also recht theaterund musicalstück kannten das theaterstück kannten das theaterstück nicht kannten das musicalstück kannten das musicalstück nicht a∩ b0 a∩ a∩ b0 a∩ ,25 b1 b2 ab1 b1 ab2 b2

0,68 0,68 0,08 0,68 0,1176 11,76 zeitungsartikel zu schnelles fahren kein zu schnelles fahren u25 personen unter jahren ü25 personen über jahren u25 0,24 0,44 0,68 ü25 0,12 0,20 0,32 0,36 0,64 ü25 0,12 ü25 0,32 0,625 62,5 schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße und alle daten des zufallsexperiments anzahl gerader ergebnisse es liegt eine bernoulli-kette vor mit und konstant schreibe die ergebnisse von treffer und niete und deren wahrscheinlichkeiten auf {2 6} {1 5} bestimme die anzahl der möglichkeiten für 3  treffer anzahl berechne die wahrscheinlichkeit 31,25 binomialkoeffizienten bernoulli-formel mit dem taschenrechner 0,0425 0,2007 0,2150 led-leuchten anzahl defekter leuchten es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,02 0,02 0,98 0,2734 0,02 0,98 0,2707 0,02 0,98 0,0353 0,02 0,98 0,1326 es ist wahrscheinlicher dass keine led-leuchte defekt ist als dass defekt sind bernoulli-kette ja oder nein es gibt zwei mögliche ergebnisse treffer oder fehlwurf die wahrscheinlichkeit beider ergebnisse bleibt beim mehrmaligem durchführen gleich es handelt sich daher um eine bernoulli -kette anzahl treffer es gibt zwei mögliche ergebnisse pasch oder kein pasch die wahrscheinlichkeit beider ergebnisse bleibt bei mehrmaligem durchführen gleich es handelt sich daher um eine bernoulli-kette anzahl pasche es gibt zwei mögliche ergebnisse lebt mit nur einem elternteil oder lebt mit beiden elternteilen die wahrscheinlichkeit beider ergebnisse ändert sich aber je nach zusammensetzung der klasse es handelt sich daher nicht um eine bernoulli-kette dodekaeder 0,0378 0,1172 0,1366 0,1272 glücksrad mit sektoren da man nur die beiden ergebnisse weiß und nicht weiß blau und rot betrachtet kann man hier ein bernoulli-experiment annehmen anzahl weißer treffer es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,2637 man erhält bei versuchen genau 3-mal einen roten sektor man erhält bei versuchen genau 5-mal einen blauen sektor pokerkartenspiel ein mögliches ergebnis lautet man erhält beim ziehen von karten genau 6 rote karten ein mögliches ergebnis lautet man erhält beim ziehen von karten genau 3 herz-karten ein mögliches ergebnis lautet man erhält bei ziehen von karten genau 1 ass-karte lösungen

schritt das brauchst du wieder 0,2592 0,1280 0,0384 0,0585 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten berechne mit dem taschenrechner die wahrscheinlichkeiten für alle treffer treffer 0,1317 0,3292 0,3292 0,1646 0,0412 0,0041 trage die werte in ein histogramm ein werte von binomialverteilungen berechnen 0,25 0,3456 0,512 0,32768 0,3456 x=k histogramme zeichnen wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0001 0,0014 0,0090 0,0368 0,1029 0,2001 0,2668 0,2335 0,1211 0,0282 wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024 x=k x=k

würfel-aufgabe augenzahl es liegt eine bernoulli-kette vor mit und wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer x=k 0,3349 0,4019 0,2009 0,0536 0,0080 0,0006 augenzahl oder es liegt eine bernoulli-kette vor mit und wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0878 0,2634 0,3292 0,2195 0,0823 0,0165 0,0014 x=k x=k wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156 reißnagel aufgabe anzahl reißnägel auf glatter fläche es liegt eine bernoulli-kette vor mit und wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0060 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0016 0,0001 x=k x=k lösungen

ungerade augenzahl es liegt eine bernoulli-kette vor mit und wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156 münzwurf wertetabelle und histogramm der binomialverteilung treffer 0,0039 0,0313 0,1094 0,2188 0,2734 0,2188 0,1094 0,0313 0,0039 das histogramm ist achsensymmetrisch da die trefferwahrscheinlichkeit bei einer münze beträgt x=k x=k diagramme zuordnen diagramm diagramm diagramm schritt das brauchst du wieder höchstens vier schüler bedeutet oder 4 schüler mindestens von schülern bedeutet oder 10 schüler mindestens aber höchstens schülerinnen bedeutet oder schülerinnen du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe alle ergebnisse der ereignisse mit deren wahrscheinlichkeiten auf 0,02 0,12 0,14 0,38 0,18 0,86 kumulierte wahrscheinlichkeiten mit werten aus einer tabelle 0,02 0,09 0,21 0,32 0,85 0,15 0,89 oder 0,11 0,89 0,74 0,39 kumulierte wahrscheinlichkeiten mit werten aus einem histogramm 0,24 0,02 0,24 0,36 0,33 0,24 0,07 0,64 0,24 0,33 0,24 0,81 0,02 0,24 0,36

tombola gewinne es liegt eine bernoulli-kette vor mit 0,4718 bei losen beträgt die gesuchte wahrscheinlichkeit 47,18 0,8507 bei losen beträgt die gesuchte wahrscheinlichkeit 85,07 ungleichungen die ungleichung ist korrekt denn da die kumulierte wahrscheinlichkeit ein mehr umfasst ist sie größer als die ungleichung ist nicht korrekt denn da die kumulierte wahrscheinlichkeit ein mehr umfasst ist sie größer als nicht entscheidbar da zwar beide bereiche gleich groß sind aber je nach auswahl der werte und entweder der eine oder der andere bereich eine größere wahrscheinlichkeit hat die ungleichung ist korrekt denn umfasst ein weniger als aussagen über binomialverteilung die aussage ist korrekt denn wenn die anzahl der versuche zunimmt vergrößert sich der bereich von bis treffern und damit wird die wahrscheinlichkeit des bereichs von bis treffern kleiner die aussage ist korrekt denn wenn die anzahl der versuche zunimmt vergrößert sich der bereich von bis treffern und damit wird die wahrscheinlichkeit dieses bereichs ebenfalls größer roulette-spiel parkplätze mitarbeiter die mit dem auto kommen es liegt eine bernoulli-kette vor mit und es ist noch ein parkplatz vorhanden wenn oder weniger mitarbeiter mit dem auto gekommen sind 0,4575 die wahrscheinlichkeit dass es noch einen freien parkplatz gibt liegt bei 45,75 gleiche voraussetzungen wie in aber mit neuer versuchsanzahl 0,5216 die wahrscheinlichkeit liegt bei 52,16 und ist damit größer als kumulierte wahrscheinlichkeiten mit dem taschenrechner 0,8281 0,8042 0,9845 0,4465 0,5574 p(26 0,8465 münzwurf anzahl würfe mit ergebnis zahl es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,0796 7,96 0,5398 53,98 0,5398 53,98 0,9716 97,16 61)= 0,0176 1,76 0,6318 63,18 blumenzwiebeln anzahl rotblühender zwiebeln es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,9959 anzahl gelbblühender zwiebeln es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,2557 anzahl blaublühender zwiebeln es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,8714 überraschungseier anzahl figuren es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,9121 0,2586 0,9413 brennen von cds defekte cds es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,05 0,9990 die wahrscheinlichkeit dass höchstens drei defekt sind liegt bei 99,9 kätzchen männliche kätzchen es liegt eine bernoulli-kette vor mit und 0,54 0,7450 die wahrscheinlichkeit für mindestens zwei männliche kätzchen liegt bei 74,5 lösungen

histogramme vergleichen ist binomialverteilt mit und und 1,549 1,549 2,451 1,549 5,549 0,2150 0,2508 0,2007 restliche wahrscheinlichkeiten zum zeichnen des histogramms 0,0060 0,0403 0,1209 0,1115 0,0425 ist binomialverteilt mit und und 1,789 1,789 2,211 1,789 5,789 0,2054 0,2182 0,1746 restliche wahrscheinlichkeiten zum zeichnen des histogramms 0,0115 0,0576 0,1369 0,1091 0,0545 vergleicht man beide histogramme so fällt auf dass diese recht ähnlich sind obwohl sie zu unterschiedlichen binomialverteilungen gehören das liegt daran dass sie den gleichen erwartungswert und die gleiche σ-umgebung haben erwartungswert standardabweichung und bestimmung einer umgebung 4,899 4,899 55,101 4,899 64,899 innerhalb des intervalls liegen die trefferzahlen bei x=k σ-umgebung x=k σ-umgebung schritt das brauchst du wieder 0,0703 0,0874 0,1002 0,1065 0,1052 0,0971 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl dreier {0 15} ist binomialverteilt mit und setze die werte in die formeln ein 1,443 bestimme die wahrscheinlichkeiten in der σ­umgebung von zeichne ein histogramm und markiere die σ­umgebung 1,443 1,057 1,443 3,943 die gesuchten trefferzahlen sind und 0,2726 0,2363 zusätzliche wahrscheinlichkeiten in der 2σ-umgebung 2,041 0,918 2,041 9,082 0,0253 0,0733 0,0631 0,0309 alle restlichen wahrscheinlichkeiten in der 2σumgebung entsprechen denen aus dem beispiel 0,9761 in dieser umgebung liegen also 97,61 aller treffer vergleich von binomialverteilungen 0,3585 im intervall liegen 35,85 aller ergebnisse 0,4314 im intervall liegen 43,14 aller ergebnisse x=k σ-umgebung

aussagen prüfen betrachtet man die formeln von erwartungswert und standardabweichung so wird deutlich dass beide bei gleichbleibendem mit anzahl der versuche größer werden die aussage ist somit richtig betrachtet man die formel vom erwartungswert so wird deutlich dass dieser bei festem und zunehmendem größer wird betrachtet man die formel der standardabweichung so sieht man dass wenn größer wird gleichzeitig kleiner wird die genaue auswirkung auf den wert der standardabweichung hängt vom jeweiligen wert von ab der erste teil der aussage ist somit richtig über den zweiten teil kann dagegen keine entscheidung getroffen werden schritt das brauchst du wieder du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl fünfen und sechsen ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf |– |· suche im taschenrechner mit aus der aufgabenstellung und aus der letzten ungleichung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren 0,2634 0,1951 schreibe die antwort auf du musst den würfel mindestens 8-mal werfen um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens zweimal eine zahl größer oder gleich zu erhalten 0,6416 es liegen 64,16 aller ergebnisse in diesem intervall 0,8747 0,9179 die gesuchte umgebung ist und aus histogrammen ablesen für und ist der erwartungswert dazu passt das histogramm in histogramm ist die höchste säule bei was auch dem erwartungswert entspricht und das histogramm ist symmetrisch damit ist und in histogramm ist ebenfalls die höchste säule liegt bei geht man daher von als erwartungswert aus so erhält man zuordnen mit dem erwartungswert die drei erwartungswerte lauten da der erwartungswert im histogramm auf oder neben der höchsten säule liegt ist die passende binomialverteilung binomialverteilung erwartungswert begründen 0,5956 beim erwartungswert liegt der größte wert der binomialverteilung die summe der rechts und links davon liegenden wahrscheinlichkeiten ist ungefähr gleich groß also ohne den erwartungswert jeweils etwas weniger als wird der erwartungswert daher wie hier zur kumulierten wahrscheinlichkeit hinzugenommen wird diese größer als münzwurf das histogramm ist symmetrisch zum erwartungswert da die erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 0,0419 da das histogramm symmetrisch ist sind die wahrscheinlichkeiten im gleichen abstand links und rechts vom erwartungswert bzw im gleichen abstand vom anfang bzw ende der binomialverteilung gleich groß sind die von bis aufsummierten wahrscheinlichkeiten der binomialverteilung in sind alle wahrscheinlichkeiten von bis aufsummiert da es sich aufgrund der symmetrie um die gleichen wahrscheinlichkeiten wie von bis handelt gilt also im konkreten fall gilt 0,1013 lösungen

kinderparadies anzahl goldener bälle ist binomialverteilt mit und ist gesucht |– –0,5 |· 0,5256 0,4552 ein kind muss mindestens bälle ziehen um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens drei goldene bälle zu ziehen und einen davon behalten zu dürfen quiz anzahl richtiger antworten ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,2744 0,1938 er muss mit mindestens fragen rechnen bis er es mit einer wahrscheinlichkeit von in die nächste runde geschafft hat tombola anzahl gewinne ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,95 0,05 0,0594 0,0442 er muss mindestens lose kaufen um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens drei gewinne zu erzielen statisten anzahl geeigneter statisten ist binomialverteilt mit und ist gesucht |– –0,2 |· 0,2030 0,1953 das team muss mindestens statisten einladen um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens geeignete statisten zu finden multiple-choice-test anzahl richtiger antworten ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,9145 0,8943 der test sollte höchstens fragen haben damit man durch zufälliges ankreuzen mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens höchstens 10 richtige antworten hat autohaus anzahl ausgefüllter fragebögen ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,75 0,75 |– 0,25 |· 0,25 2566 0,2503 2567 0,2472 das autohaus muss mindestens 2567 fragebögen verschicken um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens ausgefüllte fragebögen zurück zu erhalten diagramm unterschiedlich großer stichproben bei der roten datenreihe ist die stichprobe größer würde man für die dargestellten drei wahrscheinlichkeiten die kumulierte wahrscheinlichkeit bilden sie also addieren dann wäre der wert der roten kumulierten wahrscheinlichkeit geringer daher muss die rote datenreihe einen größeren stichprobenumfang haben denn wird bei festen werten für die trefferanzahl und die trefferwahrscheinlichkeit kleiner je größer der wert für wird schritt das brauchst du wieder log 7,2126 log 0,08 8,7796 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße anzahl aufeinanderfolgender zahlen bestimme die trefferwahrscheinlichkeit passende ergebnisse {12 65} ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf

castingshow anzahl castingshows bei denen stella angenommen wird ist binomialverteilt mit und ist gesucht log 13,5 sie muss sich bei mindestens castingshows bewerben damit die wahrscheinlichkeit bei einer angenommen zu werden mindestens ist schmuggelgut anzahl geöffneter container mit schmuggelgut ist binomialverteilt mit und ist gesucht bei zwei geöffneten containern ist die wahrscheinlichkeit keinen einzigen mit schmuggelgut zu erhalten 0,5625 damit ist die wahrscheinlichkeit mindestens einen container mit schmuggelgut zu finden bei 0,5625 0,4375 43,75 und damit deutlich unter den geforderten log 3,18 man muss mindestens container öffnen damit die wahrscheinlichkeit einen mit schmuggelgut zu öffnen mindestens ist erfolgloses würfeln die wahrscheinlichkeit fünfmal hintereinander keine zu würfeln ist 0,4019 die wahrscheinlichkeit danach nochmal keine zu würfeln ist 0,3349 und damit kleiner das heißt mit jedem misserfolg sinkt die wahrscheinlichkeit weiterhin keine zu erhalten schritt das brauchst du wieder 0,01 0,05 0,14 0,27 0,30 0,18 0,05 0,01 0,06 0,20 0,47 0,77 0,95 0,01 0,99 0,77 0,23 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten notiere die zufallsgröße und alle benötigten daten anzahl der treffer des basketballspielers ist binomialverteilt mit und ist gesucht gib die wahrscheinlichkeit 1–p für eine niete an und ersetze durch 1–p löse die entsprechende gleichung nach auf log runde für die antwort auf eine ganze zahl auf du musst mindestens 8-mal würfeln damit die wahrscheinlichkeit zwei aufeinander folgende zahlen zu erhalten mindestens ist spielwürfel anzahl augenzahl sechs ist binomialverteilt mit und ist gesucht log 12,6 du musst mindestens 13-mal würfeln damit die wahrscheinlichkeit eine sechs zu erhalten mindestens ist lotterie anzahl hauptgewinne ist binomialverteilt mit 0,02 und ist gesucht 0,02 0,98 0,98 log 0,98 79,7 du musst mindestens lose kaufen damit die wahrscheinlichkeit einen hauptgewinn zu erhalten mindestens ist torwandschießen treffer an der torwand ist binomialverteilt mit und ist gesucht log er muss mindestens 8-mal schießen damit die wahrscheinlichkeit für einen treffer mindestens ist lösungen

0,307 0,1502 0,308 0,1461 die cashewkerne müssen mindestens einen anteil von 30,8 an der nussmischung haben damit in einer packung mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens cashewkerne sind macadamianüsse 0,85 0,15 0,261 0,1520 0,262 0,1476 die macadamianüsse müssen mindestens einen anteil von 26,2 an der nussmischung haben damit in einer packung mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens macadamia-nüsse sind paranüsse 0,85 0,15 0,215 0,1501 0,216 0,1455 die paranüsse müssen mindestens einen anteil von 21,6 an der nussmischung haben damit in einer packung mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens paranüsse sind glücksrad anzahl roter sektoren ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,326 0,8016 0,327 0,7997 die trefferwahrscheinlichkeit darf höchstens 32,6 betragen damit von drehungen mit wahrscheinlichkeit nicht mehr als auf einem roten sektor enden die winkelsumme des gesamten glücksrads beträgt 360° 0,326 360° 117,36° die winkelsumme der roten sektoren darf höchstens 117,36° betragen dübel anzahl defekter dübel ist binomialverteilt mit 1000 und ist gesucht für 0,005 ist 0,6160 die wahrscheinlichkeit für oder weniger defekte dübel liegt nur bei 61,6 und ist damit zu gering 0,85 0,003 0,9164 0,004 0,7854 die fehlerquote bei der herstellung darf höchstens betragen damit von 1000 dübeln mit mindestens wahrscheinlichkeit nicht mehr als defekt sind schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit auf suche im taschenrechner mit aus der aufgabenstellung und aus der letzten ungleichung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren 0,884 0,1004 0,885 0,0983 schreibe die antwort auf die trefferwahrscheinlichkeit muss mindestens 88,5 betragen damit von würfen mindestens mit mindestens wahrscheinlichkeit treffer sind biathlet anzahl treffer des biathleten ist binomialverteilt mit und ist gesucht |– –0,1 |· suche nach mit einer nachkommastelle 0,1631 0,0579 liegt zwischen und daher suche nach mit zwei nachkommastellen 0,75 0,1035 0,76 0,0933 liegt zwischen 0,75 und 0,76 daher suche nach mit drei nachkommastellen 0,753 0,1004 0,754 0,0993 die trefferwahrscheinlichkeit muss mindestens 75,4 betragen damit von schüssen mindestens mit mindestens wahrscheinlichkeit treffer sind torwandschießen anzahl treffer ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,860 0,2003 0,861 0,1980 die trefferwahrscheinlichkeit muss mindestens 86,1 betragen damit von schüssen mindestens mit mindestens wahrscheinlichkeit treffer sind nuss mischung anzahl nüsse einer bestimmten sorte ist binomialverteilt mit und gegebenen je nach nusssorte ist gesucht cashewkerne 0,85 0,15

spielautomat anzahl sonnensymbole ist binomialverteilt mit und 0,08 0,92 0,7892 0,9316 aus folgt dass ist es müssen mindestens sonnensymbole verlangt werden damit die wahrscheinlichkeit den jackpot zu gewinnen höchstens ist würfelwurf anzahl der würfe mit der augenzahl sechs ist binomialverteilt mit und 0,05 0,95 0,9494 0,9803 aus folgt dass ist sie muss mindestens 10-mal eine sechs würfeln damit die wahrscheinlichkeit dass dies zufällig geschieht höchstens ist multiple-choice-test anzahl richtiger antworten ist binomialverteilt mit und 0,5605 bei einer mindestanzahl von richtigen antworten was dem erwartungswert entspricht wäre die wahrscheinlichkeit durch zufälliges ankreuzen diese mindestanzahl zu erreichen bei 56,05 |– –0,9 |· 0,8968 0,9456 aus folgt dass ist es müssen mindestens richtige antworten verlangt werden damit die wahrscheinlichkeit den test durch zufälliges ankreuzen zu bestehen höchstens 10% beträgt tombola anzahl nieten ist binomialverteilt mit und 0,3828 0,6496 wenn man maximal zwei nieten haben darf beträgt die wahrscheinlichkeit den zusatzpreis zu erhalten höchstens schritt das brauchst du wieder 0,0538 0,9981 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten schreibe die zufallsgröße und alle benötigten daten auf anzahl richtiger antworten ist binomialverteilt mit und ist gesucht schreibe die bedingung für die wahrscheinlichkeit für treffer auf |– p(x |· suche im taschenrechner mit und aus der aufgabenstellung den wert für für den diese letzte ungleichung erstmals erfüllt wird durch probieren 0,8095 0,9081 aus folgt dass ist schreibe die antwort auf die lehrerin muss mindestens richtige antworten einfordern damit die wahrscheinlichkeit zufällig zu bestehen höchstens beträgt verschiedene werte von ist binomialverteilt mit und 0,5841 0,7500 gesuchte trefferzahl aus folgt dass ist ist binomialverteilt mit und 0,4114 0,6296 gesuchte trefferzahl aus folgt dass ist ist binomialverteilt mit und 0,2375 0,4164 gesuchte trefferzahl ist binomialverteilt mit und 0,3920 0,5836 gesuchte trefferzahl lösungen

rote gummibärchen anzahl falscher antworten ist binomialverteilt mit und 0,75 0,0197 sie besteht den test unter der annahme dass sie nur rät mit einer wahrscheinlichkeit von 1,97 0,0781 0,2241 sie dürfte maximal falsche antworten geben damit die wahrscheinlichkeit dass ihr dies durch raten gelingt maximal beträgt training wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilung ist binomialverteilt mit und 0,0014 0,2001 0,1211 urne mit schwarzen und roten kugeln anzahl schwarzer kugeln ist binomialverteilt mit und 0,2150 genau von gezogenen kugeln sind rot genau von gezogenen kugeln sind schwarz kumulierte wahrscheinlichkeiten erwartungswert und standardabweichung ist binomialverteilt mit und 0,8867 ii 0,6080 iii 0,7625 iv 0,3919 0,9594 2,049 2,049 3,951 2,049 8,049 innerhalb des intervalls liegen die trefferzahlen 0,7796 es liegen 77,96 aller ergebnisse in diesem intervall linkshänder anzahl linkshänder ist binomialverteilt mit 0,14 ist gesucht 0,14 0,86 0,86 0,25 log 0,86 0,25 9,19 die gruppe muss mindestens eine größe von 10  personen haben damit mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein linkshänder darunter ist 0,75 0,75 |– 0,25 |· 0,25 0,2634 0,2462 die gruppe muss mindestens eine größe von 52 personen haben damit mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens sechs linkshänder darunter sind kugelschreiber anzahl defekter kugelschreiber ist binomialverteilt mit und ist gesucht 0,95 0,013 0,9521 0,014 0,9362 der anteil der defekten kugelschreiber in der produktion darf höchstens betragen damit in einer packung von stück mit einer wahrscheinlichkeit von höchstens defekt sind multiple-choice-test anzahl richtiger fragen ist binomialverteilt mit und 0,1723 0,2392 0,04 0,04 |– –0,96 |· 0,96 0,9389 0,9744 aus folgt dass ist es müssen mindestens richtige antworten verlangt werden damit die wahrscheinlichkeit den test durch zufälliges ankreuzen zu bestehen höchstens beträgt überbuchtes flugzeug anzahl der passagiere die den flug antreten ist binomialverteilt mit und 0,95 0,8177 die wahrscheinlichkeit dass zu viele buchungen angenommen wurden und mehr als personen den gebuchten flug antreten liegt bei 81,77 0,05 0,05 |– 0,95 |· 0,95 0,9733 0,9491 die fluggesellschafft sollte maximal buchungen annehmen damit die wahrscheinlichkeit dass das flugzeug überbucht ist höchstens beträgt

die wahrscheinlichkeit dass ein spielkegel aufrecht stehen bleibt hat näherungsweise den wert 24,3 0,24 es werden von hingeworfenen spielkegel voraussichtlich ca. 97 aufrecht stehen 0,24 1000 es werden also eher als spielkegel stehen das eher bezieht sich darauf dass diese anzahl wahrscheinlicher ist es aber auch durchaus sein kann dass nur spielkegel stehen werden schritt das brauchst du wieder 0,0275 0,0501 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten definiere die zufallsgröße und ihre verteilung anzahl gewürfelter dreien ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf 0,05 notiere einen auszug und bestimme das größte mit dem taschenrechner da der erwartungswert beträgt suchst du links davon in nicht allzu großer entfernung 0,0424 0,0538 0,0675 0,0837 anzahl relative häuf igkeit tombola genau von gezogenen losen sind gewinne man zieht nieten höchstens von gezogenen losen sind gewinne schritt das brauchst du wieder 0,74 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten lies an der grafik den ungefähren wert ab dem sich die relativen häufigkeiten annähern entspricht dem wert nach jahren berechne mit diesem wert als wahrscheinlichkeit die anzahl an schwimmern anzahl 0,29 53,65 antwort die schule kann mit etwa schwimmern rechnen verkehrskontrolle jahr 2014 2015 2016 2017 relative häufigkeit 0,6767 0,6571 0,6167 0,6054 zwar weisen von jahr zu jahr immer mehr fahrräder mängel auf allerdings nimmt auch die gesamtanzahl der kontrollierten fahrräder zu vergleicht man die relativen häufigkeiten so fällt sogar auf dass der anteil an fahrrädern mit mängeln von jahr zu jahr kleiner wird geht man von der gleichen relativen häufigkeit wie 2017 aus so gilt 0,6054 188,8848 es würden also ca fahrräder mängel aufweisen da die relative häufigkeit aber wahrscheinlich weiter abnimmt wird es eine geringere anzahl sein spielkegel kind relative häufigkeit aufrecht 0,36 0,26 0,16 0,22 0,26 anzahl anzahl aufrecht relative häufigkeit 0,28 0,27 0,245 0,24 0,24 lösungen

notiere den ablehnungsbereich und eine ent scheidungsregel für dein ergebnis ablehnungsbereich {0 84} da das ergebnis nicht im ablehnungsbereich liegt trifft die nullhypothese zu entscheidungsregel wenn bei würfen höchstens 84-mal eine erscheint wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für eine kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen linksseitiger test mit gegebener tabelle gesucht ist das größte für das gilt aus der tabelle kann man dafür den wert ablesen ablehnungsbereich {0 120} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen linksseitiger hypothesentest mit verschiedenen versuchsanzahlen anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,05 erwartungswert 0,0452 0,0859 ablehnungsbereich {0 9} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,05 erwartungswert 0,0421 0,0740 ablehnungsbereich {0 13} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,05 erwartungswert 0,0376 0,0630 ablehnungsbereich {0 17} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen linksseitiger hypothesentest mit verschiedenen signifikanzniveaus anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,35 nullhypothese 0,35 alternative 0,35 erwartungswert 0,35 signifikanzniveau 0,05 0,05 0,0368 0,0615 ablehnungsbereich {0 20} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen

ablehnungsbereich {0 44} da die anzahl von tüten im ablehnungsbereich liegt wird die nullhypothese verworfen entscheidungsregel wenn es unter untersuchten höchstens tüten mit normgewicht gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für eine tüte mit normgewicht kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen werbeagentur anzahl der befragten die das produkt kennen ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau erwartungswert 0,0934 0,1228 ablehnungsbereich {0 51} da die anzahl von befragten die das produkt kennen nicht im ablehnungsbereich liegt reicht diese anzahl aus und die agentur erhält die prämie biogemüse kunden die lieber biogemüse kaufen ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,08 0,08 erwartungswert 0,0728 0,1093 ablehnungsbereich {0 33} entscheidungsregel wenn von den befragten höchstens lieber biogemüse kaufen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen kunden der lieber biogemüse kauft kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen signifikanzniveau 0,0971 0,1454 ablehnungsbereich {0 22} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen signifikanzniveau 0,15 0,15 0,1454 0,2072 ablehnungsbereich {0 23} entscheidungsregel wenn es bei versuchen höchstens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen glücksrad anzahl hauptgewinne ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,04 nullhypothese 0,04 alternative 0,04 signifikanzniveau 0,05 0,1497 da das ergebnis größer als das signifikanzniveau ist und damit nicht im ablehnungsbereich liegt ist der verdacht nicht gerechtfertigt schokoladeneier tüten mit normgewicht ist binomialverteilt mit und 0,95 nullhypothese 0,95 alternative 0,95 signifikanzniveau erwartungswert 0,95 47,5 0,0378 0,1036 lösungen

rechtsseitiger hypothesentest mit verschiedenen signifikanzniveaus anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,62 nullhypothese 0,62 alternative 0,62 erwartungswert 0,62 166,16 signifikanzniveau 0,25 0,25 0,75 0,7483 0,2517 0,7870 0,2130 ablehnungsbereich {173 268} wenn es bei versuchen mindestens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen signifikanzniveau 0,8805 0,1195 0,9041 0,0959 ablehnungsbereich {177 268} wenn es bei versuchen mindestens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen signifikanzniveau 0,15 0,15 0,85 0,8220 0,1780 0,8532 0,1468 ablehnungsbereich {175 268} entscheidungsregel wenn es bei versuchen mindestens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen schritt das brauchst du wieder 0,0597 0,0373 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten definiere die zufallsgröße und ihre verteilung anzahl gewürfelter vieren ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf 0,05 0,95 notiere einen auszug und bestimme das kleinste mit dem taschenrechner da der erwartungswert beträgt suchst du rechts davon in nicht allzu großer entfernung 0,9130 0,0870 0,9286 0,0714 0,9419 0,0581 0,9532 0,0468 schreibe den ablehnungsbereich und eine entscheidungsregel für dein ergebnis auf ablehnungsbereich {116 600} da das ergebnis im ablehnungsbereich liegt wird die nullhypothese verworfen entscheidungsregel wenn bei würfen mindestens 116-mal eine erscheint wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für eine größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen rechtsseitiger test mit gegebener tabelle gesucht ist das kleinste für das gilt aus der tabelle kann man dafür den wert ablesen ablehnungsbereich {177 300} entscheidungsregel wenn es bei versuchen mindestens treffer gibt wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen treffer größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen

da das ergebnis größer als das signifikanzniveau ist und damit nicht im ablehnungsbereich liegt kann sie der im artikel behaupteten prozentzahl zustimmen flaschen-abfüll-anlage anzahl nicht richtig verschlossener flaschen ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,02 nullhypothese 0,02 alternative 0,02 signifikanzniveau erwartungswert 0,02 0,8704 0,9129 da dies aus folgt ablehnungsbereich {22 800} entscheidungsregel wenn mindestens der geprüften flaschen nicht richtig verschlossen sind wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit dass eine flasche nicht richtig verschlossen ist größer als ist die vom abteilungsleiter gezählten flaschen sind also tatsächlich noch akzeptabel metallbänder anzahl unbrauchbarer teile ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,03 nullhypothese 0,03 alternative 0,03 signifikanzniveau 0,05 0,05 0,95 erwartungswert 0,03 0,9192 0,9688 da dies aus folgt ablehnungsbereich {7 100} entscheidungsregel wenn unter den produzierten teilen mindestens mängel aufweisen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit dass ein teil mängel hat größer als ist der mitarbeiter hat nicht recht denn es könnten bis zu teile mängel aufweisen ohne dass man die nullhypothese verwerfen müsste obstverkäufer anzahl nicht einwandfreier äpfel ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,25 nullhypothese 0,25 alternative 0,25 signifikanzniveau erwartungswert 0,25 0,7759 0,2241 0,9219 0,0781 ablehnungsbereich {5 10} entscheidungsregel wenn unter untersuchten äpfeln mindestens 5 nicht einwandfrei sind wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für einen nicht einwandfreien apfel größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen hygienemängel betroffene restaurants ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau erwartungswert 0,8392 0,9125 da dies aus folgt ablehnungsbereich {12 40} entscheidungsregel wenn mindestens der geprüften restaurants hygienemängel haben wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für ein restaurant mit hygienemängel größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen reißnägel anzahl schräg gelandeter reißnägel ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,0615 lösungen

mangelhafte smartphones anzahl mangelhafter smartphones ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,03 nullhypothese 0,03 alternative 0,03 signifikanzniveau 0,05 0,05 0,95 erwartungswert 0,03 0,9182 0,9550 da dies aus folgt ablehnungsbereich {14 280} da zehn mangelhafte smartphones außerhalb des ablehnungsbereichs liegen kann man der behauptung des herstellers weiterhin vertrauen entscheidungsregel wenn mindestens der verkauften smartphones mängel aufweisen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit dass ein smartphone mängel hat größer als ist schritt das brauchst du wieder linksseitig 0,0314 0,0573 taschenrechner ablehnungsbereich {0 23} rechtsseitig 0,9460 0,9720 taschenrechner ablehnungsbereich {37 50} du bist dran aus dem so geht’s“-kasten lege die art des zu verwendenden tests fest die ärzte wollen nachweisen dass es mehr kinder mit übergewicht gibt sie werden daher einen rechtsseitigen test durchführen notiere die zufallsgröße und die daten für den test anzahl der kinder mit übergewicht ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die bedingung für einen entsprechenden hypothesentest auf die behauptung hier lautet höchstens der kinder haben übergewicht nullhypothese man prüft ob es nicht mehr sind alternative signifikanzniveau 0,05 gesucht kleinste zahl mit ≤ 0,05 bzw 0,95 notiere einen auszug aus dem taschenrechner und das passende da der erwartungswert beträgt suchst du rechts davon in nicht allzu großer entfernung 0,9492 0,9621 da schreibe den ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {73 300} entscheidungsregel wenn von kindern mindestens übergewichtig sind wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass mehr als jedes fünfte kind übergewichtig ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen das untersuchungsergebnis liegt im ablehnungsbereich daher können die ärzte die nullhypothese verwerfen und das ergebnis der studie anfechten entscheidung für linksoder rechtsseitigen test hier wäre ein rechtsseitiger hypothesentest angemessen da die nullhypothese 0,15 ist und die alternative davon ausgeht dass mehr kunden daran interessiert sind hier wäre ein linksseitiger hypothesentest angemessen da die nullhypothese ist und die alternative davon ausgeht dass weniger schüler aufs gymnasium gehen möchte hier wäre ein rechtsseitiger hypothesentest angemessen da die nullhypothese ist und die alternative davon ausgeht dass mehr studenten unzufrieden sind hier wäre ein linksseitiger hypothesentest angemessen da die nullhypothese ist und die alternative davon ausgeht dass weniger als jeder dritte badegast übergewichtig ist

0,8652 0,9071 da ablehnungsbereich {27 173} entscheidungsregel wenn von befragten mindestens onlinehilfen nutzen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass mehr als der befragten onlinehilfen nutzen ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen die gegebene wahrscheinlichkeit sollte aufgrund des im ablehnungsbereichs liegenden befragungsergebnisses von daher nach oben korrigiert werden gesucht wird eine neue wahrscheinlichkeit für die gilt also so dass die anzahl von 36  schülern noch im annahmebereich liegt 0,16 0,9440 0,17 0,8893 der anteil an schülern die onlinehilfen in mathe verwenden liegt also aktuell eher bei mindestens schritt das brauchst du wieder signifikanzniveau 0,05 linksseitig 0,05 ablehnungsbereich {0 3} rechtsseitig 0,05 0,95 ablehnungsbereich {11 15} signifikanzniveau 0,15 linksseitig 0,15 ablehnungsbereich {0 4} rechtsseitig 0,15 0,85 ablehnungsbereich {10 15} du bist dran aus dem so geht’s“-kasten definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der gewürfelten vierer ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,025 mathematik ohne grenzen anzahl der schüler die die anforderungen nicht erfüllt ist im extremfall binomialverteilt mit und linksseitiger test nullhypothese alternative die behauptung zur nullhypothese wäre hier dass mindestens der kinder die anforderungen nicht erfüllt man prüft ob es nicht weniger sind rechtsseitiger test nullhypothese alternative die behauptung zur nullhypothese wäre hier dass höchstens der kinder die anforderungen nicht erfüllt man prüft ob es nicht mehr sind da in der aufgabenstellung von höchstens die rede ist prüft man mit einem rechtsseitigen test signifikanzniveau erwartungswert 17,2 0,8754 0,9201 da ablehnungsbereich {23 86} entscheidungsregel wenn mindestens schüler die anforderungen nicht ganz erfüllen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass der anteil der schüler der die anforderungen nicht erfüllt größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen es dürfen daher maximal schüler sein die die aufgaben nicht erfüllen onlinehilfen für mathematik anzahl der schüler die onlinehilfen nutzen ist im extremfall binomialverteilt mit 0,12 und erwartungswert 0,12 20,76 da die zu prüfende anzahl größer als der erwartungswert ist bietet sich ein rechtsseitiger test an nullhypothese 0,12 alternative 0,12 signifikanzniveau lösungen

spielautomat anzahl der hauptgewinne ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 linksseitiger test 0,05 0,0237 0,0576 linker ablehnungsbereich {0 4} rechtsseitiger test 0,05 0,95 0,9274 0,9601 da ablehnungsbereich {16 100} entscheidungsregel wenn der hauptgewinn weniger als 5-mal oder mehr als 15-mal auftritt wird die nullhypothese verworfen puzzle teile die wasser zeigen ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau linksseitiger test 0,0967 0,1356 linker ablehnungsbereich {0 43} rechtsseitiger test 0,8644 0,9033 da linksseitig schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf 0,025 berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das größte 0,0139 0,0275 schreibe den ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {0 11} rechtsseitig schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf 0,025 0,975 berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das kleinste 0,9627 0,9777 da schreibe den ablehnungsbereich auf ablehnungsbereich {29 120} formuliere eine entscheidungsregel für dein ergebnis entscheidungsregel wenn die vier weniger als 12-mal oder mehr als 28-mal gewürfelt wird wird die nullhypothese verworfen ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen und das bedeutet dass die korrektheit des würfels zu gegeben ist zweiseitiger hypothesentest mit vorberechneten tabellen anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 linksseitiger test 0,05 aus der tabelle erhält man linker ablehnungsbereich {0 48} rechtsseitiger test 0,05 0,95 aus der tabelle erhält man und damit ist rechter ablehnungsbereich {64 80} entscheidungsregel bei weniger als und mehr als treffern wird die nullhypothese verworfen ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen

rechter ablehnungsbereich {17 48} paula 0,9017 0,9449 da rechter ablehnungsbereich {18 50} regina 0,9219 0,9570 da rechter ablehnungsbereich {19 52} entscheidungsregel anja bei weniger als und mehr als bärchen einer farbe wird die nullhypothese verworfen das trifft bei ihr nur auf die grünen zu paula bei weniger als und mehr als bärchen einer farbe wird die nullhypothese verworfen dies trifft bei ihr auf keine der farben zu regina bei weniger als und mehr als bärchen einer farbe wird die nullhypothese verworfen das trifft bei ihr auf die grünen und orangenen zu da die grünen bärchen bei zwei personen im ablehnungsbereich sind scheint ihr anteil nicht zu stimmen sie treten seltener auf als angegeben die orangenen bärchen liegen nur bei einer person im ablehnungsbereich ihr anteil ist somit wahrscheinlich korrekt angegeben oder minimal größer der anteil der roten und gelben bärchen scheint dagegen wie angegeben zu stimmen schritt das brauchst du wieder 0,1339 0,1897 0,0609 0,0271 0,2252 0,4148 0,9591 0,9861 signifikanzniveau 0,05 linksseitig 0,05 0,0243 ablehnungsbereich {0 1} rechtsseitig 0,05 0,95 0,0409 ablehnungsbereich {9 20} ablehnungsbereich {57 100} entscheidungsregel wenn weniger als oder mehr als teile wasser zeigen und blau sind wird die nullhypothese verworfen bei oder weniger teilen hat käthe nicht recht bei oder mehr teilen hat leah nicht recht sind es mehr als und weniger als teile können beide beanspruchen recht gehabt zu haben gummibärchen anzahl gummibärchen einer bestimmten farbe ist im extremfall binomialverteilt mit je nach person unterschiedlichen und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,15 0,075 linksseitiger test 0,075 anja 0,0611 0,1190 linker ablehnungsbereich {0 7} paula 0,0453 0,0916 linker ablehnungsbereich {0 7} regina 0,0697 0,1292 linker ablehnungsbereich {0 8} rechtsseitiger test 0,075 0,925 anja 0,8768 0,9296 da lösungen

signifikanzniveau linksseitig 0,0913 ablehnungsbereich {0 2} rechtsseitig 0,0409 ablehnungsbereich {9 20} du bist dran aus dem so geht’s“-kasten für den fehler art definiere die zufallsvariable und ihre verteilung anzahl der angeschlagenen äpfel ist im extremfall binomialverteilt mit und schreibe die nullhypothese die alternative und das signifikanzniveau auf nullhypothese alternative signifikanzniveau schreibe die bedingung für die grenze des ablehnungsbereichs auf berechne mit dem taschenrechner einen auszug und bestimme das kleinste 0,8909 0,9532 da gib den ablehnungsbereich an und bestimme die irrtumswahrscheinlichkeit ablehnungsbereich {9 25} 0,0468 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler art beträgt 4,68 beschreibe die bedeutung des fehlers aufgrund des ablehnungsbereichs des tests würde man bei oder mehr angeschlagenen äpfeln dem händler nicht glauben aber wenn der händler dennoch recht hat begeht man einen fehler die entscheidung war also ein irrtum denn die möglichkeit oder mehr angeschlagene äpfel zu erhalten hat wenn der händler die wahrheit sagt eine wahrscheinlichkeit von immerhin 4,68 fehler art mit verschiedenen signifikanzniveaus anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,0871 0,1075 ablehnungsbereich {0 108} 0,0871 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler art beträgt 8,71 signifikanzniveau 0,05 0,05 0,0429 0,0550 ablehnungsbereich {0 105} 0,0429 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler art beträgt 4,29 signifikanzniveau 0,01 0,01 0,0074 0,0102 ablehnungsbereich {0 99} 0,0074 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler art beträgt 0,74 aussagen prüfen diese aussage ist falsch ein größeres signifikanzniveau bedeutet auch eine größere irrtumswahrscheinlichkeit je größer die irrtumswahrscheinlichkeit ist desto größer ist auch die wahrscheinlichkeit die nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen diese aussage ist wahr die wahrscheinlichkeit für den fehler art entspricht der irrtumswahrscheinlichkeit und diese ist maximal so groß wie das signifikanzniveau diese aussage ist falsch nach den erläuterungen aus müsste man das signifikanzniveau hierfür möglichst klein machen

linker ablehnungsbereich {0 815} rechtsseitiger test 0,05 0,95 0,9460 0,9524 da ablehnungsbereich {871 1240} die hypothese wird nicht verworfen für ist tatsächlich binomialverteilt mit 1240 und berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers 2. art 0,5593 ist tatsächlich binomialverteilt mit 1240 und 0,65 berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers 2. art 0,2865 ist tatsächlich binomialverteilt mit 1240 und berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers 2. art 870)-p klausuraufgaben zu hypothesentests sie begeht einen fehler art wenn sie ihm nicht glaubt obwohl er recht hat sie begeht einen fehler art wenn sie ihm glaubt obwohl er nicht recht hat und doch eine aufgabe zu hypothesentests in der klausur drankommt fehler beim würfeln anzahl gewürfelter sechsen ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,05 0,05 0,0485 0,0644 ablehnungsbereich {0 54} 0,0485 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler 1. art beträgt 4,85 ist tatsächlich binomialverteilt mit und 0,12 0,1585 die wahrscheinlichkeit für den fehler 2. art beträgt 15,85 du bist dran aus dem so geht’s“-kasten für den fehler art gebe den ablehnungsbereich der ursprünglichen behauptung an ablehnungsbereich {9 24} notiere die werte der tatsächlichen binomialverteilung ist tatsächlich binomialverteilt mit und bestimme mit diesen werten die wahrscheinlichkeit ein ergebnis außerhalb des ursprünglichen ablehnungsbereichs zu erhalten 0,8506 die wahrscheinlichkeit des fehlers art liegt bei 85,06 beschreibe die bedeutung des fehlers der fehler art gibt an wie wahrscheinlich es ist ein ergebnis zu erhalten aufgrund dessen man dem obsthändler glaubt da es im ursprünglichen annahmebereich liegt auch wenn er gelogen hat fehler art bei verschiedenen wahren wahrscheinlichkeiten anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit und erwartungswert da die akzeptierten treffer links vom erwartungswert liegen handelt es sich um einen linksseitigen test mit dem ablehnungsbereich {0 191} ist tatsächlich binomialverteilt mit und 0,75 berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers 2. art 0,2823 die wahrscheinlichkeit für den fehler 2. art liegt bei 28,23 ist tatsächlich binomialverteilt mit und berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers 2. art 0,0101 die wahrscheinlichkeit für den fehler 2. art liegt bei 1,01 fehler 2. art bei einem zweiseitigen hypothesentest anzahl treffer ist im extremfall binomialverteilt mit 1240 und 0,68 nullhypothese 0,68 alternative 0,68 signifikanzniveau 0,05 linksseitiger test 0,05 0,0465 0,0526 lösungen

herstellung von drahtstiften anzahl fehlerhafter drahtstifte ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,05 nullhypothese 0,05 alternative 0,05 signifikanzniveau 0,8691 0,9055 da ablehnungsbereich {32 500} 0,0945 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler 1. art beträgt 9,45 wird das signifikanzniveau kleiner wird auch die wahrscheinlichkeit für den fehler erster art kleiner denn diese kann immer maximal so groß sein wie das signifikanzniveau ist tatsächlich binomialverteilt mit und 0,06 0,6209 die wahrscheinlichkeit für den fehler 2. art beträgt 62,09 die wahrscheinlichkeit für den fehler zweiter art wird größer wenn das signifikanzniveau verkleinert wird da dann der annahmebereich und die menge der darin liegenden werte für größer werden training linkshänder jahr 1960 1970 1980 1990 2000 2010 relative häufigkeit linkshänder 0,0484 0,0769 0,1096 0,1212 0,2097 0,2615 der anteil der linkshänder an der grundschule selbst nimmt zu daraus kann man aber nicht schließen ob generell auf das ganze land oder die erdbevölkerung bezogen ebenfalls der anteil an linkshändern größer wird und damit anteilig mehr linkshänder geboren werden zudem wurden in früheren jahren viele linkshänder bereits als kinder darauf trainiert mit rechts zu schreiben 26,15 entspricht der relativen häufigkeit im jahr 2010 anzahl 0,2615 19,0895 die schule kann mit etwa linkshändern rechnen medikament patienten mit allergie ist im extremfall binomialverteilt mit und nullhypothese alternative signifikanzniveau 0,01 0,01 0,99 erwartungswert 0,9869 0,9905 da dies aus folgt ablehnungsbereich {84 650} entscheidungsregel wenn bei mindestens der getesteten patienten allergien auftreten wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit für das auftreten von allergien größer als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen ausländisches kennzeichen auto mit ausländischem kennzeichen ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,25 nullhypothese 0,25 alternative 0,25 signifikanzniveau 0,05 linksseitiger test 0,05 0,0431 0,0520 linker ablehnungsbereich {0 151} rechtsseitiger test 0,05 0,95 0,9404 0,9500 da ablehnungsbereich {190 683} entscheidungsregel wenn weniger als oder mehr als autos ein ausländisches kennzeichen haben wird die nullhypothese verworfen da hier autos gezählt wurden wird die nullhypothese verworfen und der anteil der autos mit ausländischem kennzeichen ist kleiner als

cafeteria unzufriedene schülerinnen und schüler ist im extremfall binomialverteilt mit und signifikanzniveau erwartungswert die schülervertretung geht von wesentlich mehr unzufriedenen aus und wird daher einen rechtsseitigen hypothesentest durchführen nullhypothese alternative der betreiber geht von wesentlich weniger unzufriedenen aus und wird daher einen linksseitigen hypothesentest durchführen nullhypothese alternative linksseitiger test 0,0960 0,1102 ablehnungsbereich {0 303} rechtsseitiger test 0,8898 0,9040 da ablehnungsbereich {337 640} gemeinsame entscheidungsregel wenn von den befragten schülerinnen und schülern weniger als oder mehr als mit dem angebot der cafeteria unzufrieden sind wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit dafür dass ein befragter mit der mensa unzufrieden ist kleiner oder größer als ist das ergebnis des betreibers liegt mit unzufriedenen innerhalb des annahmebereichs seines tests das der schülervertretung mit zufriedenen innerhalb des ablehnungsbereichs ihres tests in diesem fall werden also mehr als der schülerinnen und schüler mit dem angebot der cafeteria unzufrieden sein es gilt 0,0431 würde man ein signifikanzniveau von 0,08 bzw 0,04 ansetzen hätte man für den linken ablehnungsbereich die bedingung 0,04 und damit wäre die zahl von autos im annahmebereich das signifikanzniveau zu verkleinern senkt die genauigkeit des tests und damit seine aussagekraft über die gemachte behauptung tulpenzwiebeln keimende tulpenzwiebeln ist im extremfall binomialverteilt mit und 0,85 nullhypothese 0,85 alternative 0,85 signifikanzniveau erwartungswert 0,95 0,0936 0,1181 ablehnungsbereich {0 330} entscheidungsregel wenn von den untersuchten tulpenzwiebeln oder weniger keimen wird die nullhypothese verworfen und man geht davon aus dass die wahrscheinlichkeit dafür dass eine tulpenzwiebel keimt kleiner als ist ansonsten wird die nullhypothese nicht verworfen 0,0936 die irrtumswahrscheinlichkeit und damit die wahrscheinlichkeit für den fehler art beträgt 9,36 wäre hier binomialverteilt und 0,88 0,0008 die wahrscheinlichkeit die nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen also ebenfalls einen fehler art zu begehen liegt bei ca 0,08 den fehler art begeht man hier wenn man bei der stichprobe von tulpenzwiebeln ein ergebnis erhält aufgrund dessen man die nullhypothese nicht verwirft obwohl sie falsch ist dies ist der fall wenn das ergebnis im annahmebereich der ursprünglichen nullhypothese liegt berechnung der wahrscheinlichkeit des fehlers art wäre hier binomialverteilt mit und 0,79 0,0353 die wahrscheinlichkeit für den fehler art läge in diesem fall bei 3,53 lösungen

endlich verständlich alle sicher zum abitur die arbeitsbücher mathematik oberstufe bieten die grundlagen fürs mathe-abi mit wiederholungen aus der sekundarstufe dem abi-stoff in kleinen und verständlichen schritten vielen beispielen und aufgaben zum nachvollziehen vielen einfachen tipps schrittweisen erklärungen und erklärfilmen trainingsseiten zur regelmäßigen selbstkontrolle und lösungen zu allen aufgaben die arbeitsbücher können flexibel eingesetzt werden im unterricht zusätzlich zum lehrwerk oder als zentrales arbeitsbuch selbstständig zum erarbeiten auch im rahmen von flipped classroom wiederholen festigen und zum vorbereiten auf klausuren und die abiturprüfung ebenfalls in dieser reihe analysis analysis ii analytische geometrie beilage zum arbeitsbuch mathematik stochastik isbn 978-3-12-735996-1