Der elektrische Widerstand

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Achtung, der Polprüfer verbindet in einem Stromkreis einen Menschen mit der Netzspannung! Warum ist das in diesem Fall für den Menschen ungefährlich?

Keine elektrisch leitenden Gegenstände in Steckdosen einführen!

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Bauteile im Stromkreis

Die Lücke in einem Stromkreis wird durch verschiedene Bauteile, z.B. mit einem Draht oder einer Glühlampe, geschlossen.

Durch Einsetzen eines Bauteils wird der Stromkreis geschlossen.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Die Stromstärke $I$ im geschlossenen Stromkreis misst man mit einem Amperemeter. Bei unveränderter Spannung der Quelle zeigt das Amperemeter jeweils unterschiedliche Stromstärken an. Die verschiedenen Bauteile ermöglichen Ströme mit unterschiedlicher Stromstärke.

In einem anderen Stromkreis wird ebenfalls die Stromstärke $I$ gemessen. Anschließend wird zusätzlich eines der Bauteile, die den Stromkreis in der Schaltung zuvor geschlossen haben, in Reihe in den Stromkreis geschaltet.

Das zusätzliche Bauteil verringert die Stromstärke im Stromkreis.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Die Stromstärke $I$ sinkt. Das zusätzliche Bauteil behindert den Strom.

Elektrische Bauteile ermöglichen den elektrischen Strom und behindern ihn gleichzeitig. Die physikalische Größe Widerstand erfasst die Behinderung des Stroms als Eigenschaft des Bauteils. Das Formelzeichen für den elektrischen Widerstand ist $R$ . Die Einheit ist 1 Ohm ( $1 Ω$ ). Mit einem Ohmmeter kann man den Widerstand eines Bauteils messen, indem man die Pole des Bauteils mit den Anschlüssen des Messgerätes verbindet.

Ohmmeter an Glühlampe

6 V / 0,1 A

Manfred Grote, Lüchow

Schaltsymbol für Ohmmeter

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

In einem geschlossenen Stromkreis mit vorgegebener Spannung der Quelle gilt: Je größer der Widerstand eines Bauteils ist, desto kleiner ist die Stromstärke im Stromkreis. Dieser Zusammenhang wird durch die Definition $R = \frac{U}{I}$ erfasst.

Aus der Definition folgt: $1 Ω = \frac{1 V}{1 A}$

Das Ohm'sche Gesetz

Für eine Glühlampe ( $6 V | 0,1 A$ ) berechnet man den Widerstand und erhält $R = \frac{U}{I} = \frac{6 V}{0,1 A} = 60 Ω$ . Misst man mit einem Ohmmeter, so ist das Ergebnis $R = 6,6 Ω$ . Bei einer Messung direkt nach längerem Betrieb an der heißen Glühlampe liefert auch das Ohmmeter einen höheren Wert.

In einem elektrischen Stromkreis werden an einem Eisen- bzw. an einem Konstantandraht die Stromstärken für verschiedene Spannungen gemessen und die zugehörigen Widerstände berechnet:


$U$ in V	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
$R$ in Ω Konstantan	8,3	8,3	8,3	8,2	8,2	8,1
$R$ in Ω Eisen	2,9	3,3	3,8	4,1	4,6	5,3

Für den Konstantandraht sind die Werte für den elektrischen Widerstand nahezu konstant. Beim Eisendraht steigen sie mit der Spannung. Wird der Widerstand des Eisendrahtes mit einem Ohmmeter gemessen während man den Draht erhitzt, so steigt der Messwert mit der Temperatur. Hält man dagegen die Temperatur des Eisendrahtes konstant und misst die Stromstärke $I$ für verschiedene Werte von $U$ , so ist auch der Quotient $\frac{U}{I} = R$ nahezu konstant.

Den Quotienten aus Spannung und Stromstärke nennt man elektrischen Widerstand. In metallischen Leitern ist der Widerstand $R = \frac{U}{I}$ konstant, wenn die Temperatur des Leiters konstant ist (Ohm'sches Gesetz).

Das Ohm'sche Gesetz

Wähle auf der linken Seite die Einstellung "Ohm'scher/Nicht-Ohm'scher Widerstand".

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Wähle als Material zunächst Konstantan. Klicke das Kästchen "Graph" an und starte die Simulation. Wähle anschließend als Material Eisen und starte wieder die Simulation. Vergleiche die ermittelten Diagramme.

+ Der Widerstand von Leitungen

Eine dünne Leitung leitet den Strom schlechter als eine dicke Leitung mit gleicher Länge und aus dem gleichem Material. Sie hat einen größeren Widerstand als die dicke. Ebenso ist der Widerstand einer langen Leitung größer als der einer kurzen und eine Leitung aus Eisen hat einen größeren Widerstand als eine gleich lange und gleich dicke aus Kupfer. Die Formel $R = ϱ \cdot \frac{l}{A}$ gibt den Widerstand einer Leitung mit Länge $l$ und Querschnitt $A$ an. Dabei ist $ϱ$ eine Konstante, die für jedes Leitermaterial charakteristisch ist. Sie heißt spezifischer Widerstand des Leitermaterials.

Beispiel: Ein Experimentierkabel aus Kupferlitze hat eine Länge von $l = 1,5 m$ , einen Querschnitt von $A = 1 {mm}^{2}$ und einem spezifischen Widerstand von

ϱ = 0,018 \frac{Ω \cdot {mm}^{2}}{m}

Berechnung des Widerstands:

R = ρ \cdot \frac{l}{A} = 0,018 \frac{Ω \cdot {mm}^{2}}{m} \cdot \frac{1,5 m}{1 {mm}^{2}} = 0,027 Ω

Der Widerstand von Leitungen

Wähle auf der linken Seite die Einstellung "Drahtabmessungen".

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Wähle als Material zunächst Konstantan. Verändere die Länge des Drahtes (Durchmesser konstant lassen) und beobachte, wie sich der Widerstand ändert. Verändere anschließend den Durchmesser (Länge konstant lassen) und beobachte, wie sich der Widerstand ändert. Wiederhole die Messung für Kupfer.

+ Zwei Sichtweisen

Elektrische Bauteile behindern den Strom. Wie stark sie ihn behindern, wird durch die Größe Widerstand beschrieben. Gleichzeitig ermöglichen die Bauteile aber auch den elektrischen Strom. Für die Leitfähigkeit eines Bauteils gibt es ebenfalls eine physikalische Größe, den Leitwert $G$ . Je größer der Leitwert eines Bauteils, desto besser leitet es den Strom und desto kleiner ist sein Widerstand. Und umgekehrt: Je größer der Widerstand eines Bauteils, desto schlechter leitet es den Strom und desto kleiner ist sein Leitwert. Der Leitwert wird daher als Kehrwert des Widerstands definiert: $G = \frac{1}{R}$

Mathematisch betrachtet handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Für immer kleinere Widerstände $R$ steigt der Leitwert $G$ , also die Leitfähigkeit, sehr stark an. Für große Widerstände wird der Leitwert immer kleiner.

Gemessen wird der Leitwert in der Maßeinheit $1 S$ ( $1 Siemens$ ): $1 S = \frac{1}{Ω} = 1 \frac{A}{V}$

Der elektrische Widerstand und der elektrische Leitwert sind Maße für die Leitungseigenschaft eines Gegenstands, aber aus unterschiedlichen Perspektiven: Der Leitwert beschreibt, wie gut die Elektronen das Objekt passieren, sein Kehrwert, der Widerstand, beschreibt das Hindernis, das den Elektronen entgegengesetzt wird.

Rechnen mit proportionalen Zusammenhängen

Rechenaufgaben mit Formeln wie $s = v \cdot t$ , $F = D \cdot s$ oder aktuell $U = R \cdot I$ können problemlos mit Rechendreiecken bewältigt werden. Man kann aber auch systematischer vorgehen und Äquivalenzumformungen vornehmen.

Aus $U = R \cdot I$ kann man $R$ ermitteln, indem man alles, was stört, entfernt, so dass $R$ allein neben dem Gleichheitszeichen steht. Nun darf man aber nicht einfach das $I$ streichen. Man darf aber auf beiden Seiten durch $I$ teilen, also:

\begin{array}{rcl} \frac{U}{I} & = & \frac{R \cdot I}{I} \end{array}

Steht im Zähler und im Nenner die gleiche physikalische Größe, darf man kürzen:

$\begin{array}{rcl} \frac{U}{I} & = & \frac{R \cdot I}{I} = R \end{array}$ und somit $R = \frac{U}{I}$

Um $I$ aus $R = \frac{U}{I}$ zu berechnen, geht man in zwei Schritten vor.

Zunächst multipliziert man beide Seiten mit $I$ :

R \cdot I = \frac{U \cdot I}{I}

Auch hier kann man $I$ kürzen und erhält $U = R \cdot I$

Im zweiten Schritt muss man dann beide Seiten durch $R$ teilen und erhält $I = \frac{U}{R}$

Beim Rechnen mit Brüchen gibt es einen Trick: Man kann durch 1 dividieren, ohne dass sich etwas ändert. Statt $R = \frac{U}{I}$ schreibt man $\frac{R}{1} = \frac{U}{I}$ .

Nun kann man diagonal vertauschen, also z. B. $R$ und $I$ tauschen und erhält $I = \frac{U}{R}$

Widerstand einer Kabeltrommel

In der dargestellten Schaltung leuchtet die Lampe ( $6 V | 5 A$ ) nicht, obwohl der Stromkreis geschlossen ist und die Quelle die Nennspannung $6 V$ bereitstellt. Erkläre.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Der Widerstand der Lampe beträgt $R = \frac{U}{I} = \frac{6 V}{5 A} = 1,2 Ω$ , wenn sie leuchtet. Der Widerstand des Kabels $R = 2 Ω$ ist etwas größer als der der Lampe. Damit die Lampe leuchtet, muss in der Reihenschaltung von Lampe und Kabel die Spannung der Quelle mehr als verdoppelt werden.

Der elektrische Widerstand

Bauteile im Stromkreis

Das Ohm'sche Gesetz

Das Ohm'sche Gesetz

+ Der Widerstand von Leitungen

Der Widerstand von Leitungen

+ Zwei Sichtweisen

Rechnen mit proportionalen Zusammenhängen

Widerstand einer Kabeltrommel

Messungen mit dem Multimeter

Lösen einfacher Rechenaufgaben