so lernen sie mit dem lambacher schweizer die kapitel beginnen mit jeweils zwei auftaktseiten auf denen sie entdecken können was sie in diesem kapitel erwartet fragen und texte zu den fotos und grafiken geben anregungen zum nachdenken oder helfen beim einordnen der neuen themen mit den check-in-seiten können sie überprüfen ob sie die nötigen grundlagen für das kapitel beherrschen diese werden auf der auftaktseite unter der rubrik das kennen sie schon aufgelistet die lösungen finden sie hinten im buch in den exkursionen werden themengebiete angesprochen die mit dem jeweiligen kapitel in verbindung stehen sie sind als anregung für schülerinnen und schüler gedacht sich mit mathematischen fragen auseinander zu setzen die kapitel sind in lerneinheiten unterteilt die sie immer einen mathematischen schritt voranbringen zum einstieg in die lerneinheit finden sie stets eine anregung oder eine frage zum thema der lerneinheit sie können sich dazu alleine gedanken machen sich in einer gruppe besprechen oder mit der gesamten klasse darüber diskutieren vor den aufgaben finden sie beispielaufgaben diese führen ihnen vor wie sie die nachfolgenden aufgaben lösen können vi stochastik ereignisse und summenregel hinweise auf ähnliche oder weiterführende aufgaben auf drei niveaustufen verweisen auf die wiederholen-vertiefenvernetzen-seiten

in dem aufgabenblock zeit zu überprüfen können sie alleine testen ob sie die grundlegenden aufgaben zu dem neu gelernten stoff lösen können die lösungen zu diesen aufgaben finden sie hinten im buch nach den lerneinheiten sind aufgaben zum wiederholen vertiefen vernetzen des im kapitel gelernten stoffes vorher wird an geeigneter stelle auf diese aufgaben hingewiesen die aufgaben sind mit drei niveausstufen gekennzeichnet wiederholen und üben vertiefen und anwenden vernetzen und erforschen auf den rückblick-seiten sind alle zentralen inhalte des kapitels zusammengefasst und an beispielen veranschaulicht mit dem test am ende des kapitels können sie sich eigenständig auf die nächste klausur vorbereiten die lösungen zu den aufgaben finden sie im buch im merkkasten finden sie die wichtigsten inhalte dieser lerneinheit zusammengefasst online-codes einfach unter www.klett.de eingeben dort finden sie weitere materialien

jörg heuß ingrid kolupa ulrike kopizenski carsten kreutz ute reinhardt siegfried schwehr thomas weber mb er ei er mathematik für berufliche gymnasien eing ngskl sse ernst klett verlag stuttgart leipzig

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zur on ep ion funk ionen un en ungen abhängigkeiten darstellen und interpretieren der begriff der funktion lineare funktionen gegenseitige lage von geraden formeln und funktionen lineare regression mathematisch modellieren ie er olen er ie en erne en exkursion abschnittsweise lineare funktionen rü kbli es qu is funk ionen einführung strecken und verschieben von parabeln scheitelform und hauptform nullstellen und produktform gegenseitige lage von parabeln und geraden aufstellen von quadratischen funktionstermen anwendungen quadratischer funktionen ie er olen er ie en erne en exkursion parabolspiegel rü kbli es ion le funk ionen potenzfunktionen mit natürlichem exponent potenzfunktionen mit negativem exponent umkehrfunktion ganzrationale funktionen symmetrie nullstelllen mehrfache nullstellen näherungsverfahren ie er olen er ie en erne en exkursion polynomdivision exkursion iterationsverfahren rü kbli es er ei nis

er ei nis exponen unk ionen rechnen mit potenzen wachstumsvorgänge exponentialfunktionen exponentialgleichungen und logarithmen exponentialfunktionen und anwendungen die eulersche zahl die natürliche exponentialfunktion ie er olen er ie en erne en exkursion kondensatorentladung exkursion die c-14-methode rü kbli es rigonome ris funk ionen sinus kosinus und tangens bogenmaß trigonometrische funktionen die allgemeine sinusfunktion f(x sin trigonometrische gleichungen anwendungen trigonometrischer funktionen ie er olen er ie en erne en exkursion umkehrfunktion arc sin rü kbli es ik laplace-experimente zufallsexperiment und wahscheinlichkeitsverteilung von der versuchsreihe zur wahrscheinlichkeitsverteilung ereignisse und summenregel mehrstufige zufallsexperimente pfadregel gleichverteilung kombinatorik verknüpfen von ereignissen additionssatz vierfeldertafeln bedingte wahrscheinlichkeiten unabhängigkeit von ereignissen erwartungswert und standardabweichung bei zufallsgrößen ie er olen er ie en erne en exkursion das ziegenproblem rü kbli es inhaltsverzeichnis

er ei nis sis issen mengen rechnen gleichungen und ungleichungen arbeiten im koordinatensystem geraden lineare gleichungssysteme mit zwei variablen trigonometrie daten und ihre aufbereitung in ösungen regis er inhaltsverzeichnis

wahrscheinlichkeiten helfen uns entscheidungen nicht nur aus dem bauch heraus zu treffen soll ich mich am lotto-spiel beteiligen die antwort fällt vielleicht leichter wenn man weiß wie wahrscheinlich oder besser unwahrscheinlich sechs richtige sind und wie hoch der erwartungswert für den gewinn ist beides lernen sie in diesem kapitel zu berechnen das kennen sie schon absolute und relative häufigkeiten prozentangaben für relative häufigkeiten diagramme für häufigkeiten arithmetisches mittel check-in zur überprüfung ob sie die inhaltlichen voraussetzungen beherrschen siehe seite wissen sie mit welcher wahrscheinlichkeit ein geöffneter kronkorken auf die eine oder die andere seite fällt im gegensatz zum blitz bei einem gewitter kann man mit kronkorken oder würfeln experimentieren durch häufiges werfen erhält man hinweise auf die gesuchten wahrschein lichkeiten vi stochastik

in diesem kapitel werden ereignisse bei zufallsversuchen durch mengen beschrieben werden wahrscheinlichkeiten mithilfe von baumdiagrammen bestimmt werden ereignisse auf unabhängigkeit untersucht werden erwartungswerte und standardabweichungen bestimmt werden simulationen zur abschätzung unbekannter wahrscheinlichkeiten durchgeführt beim lotto lässt sich die gewinnwahrscheinlichkeit direkt berechnen die wahrscheinlichkeit vom blitz getroffen zu werden lässt sich nur durch erfahrung schätzen wahrscheinlichkeitsverteilung für das auftreten von sechsen beim zweimaligen wurf eines würfels zur bestimmung der wahr scheinlichkeiten werden die pfadregel und die summen regel angewandt baumdiagramme veranschau lichen die regeln

laplace-experimente bei dem spiel zahlen ziehen kann man sich einen behälter aussuchen aus dem dann blind eine kugel gezogen wird geben sie für jede einzelne ereigniskarte an welchen behälter sie wählen würden um die größte gewinnchance zu haben begründen sie in vielen fällen ist bei zufallsexperimenten die wahrscheinlichkeit für das auftreten der verschiedenen möglichen ergebnisse gleich das zugrunde liegende zufallsgerät heißt dann ideal beim würfeln gibt es sechs mögliche ergebnisse das zufallsexperiment werfen eines würfels hat die ergebnismenge ={ 6} bei einem idealen würfel hat jedes mögliche ergebnis die wahrscheinlichkeit auch bei einer idealen münze ist die wahrscheinlichkeit für die möglichen ergebnisse wappen und zahl jeweils gleich nämlich ein ereignis ist eine auswahl von ergebnissen so gehören zum beispiel beim würfeln zum ereignis gerade zahl die ergebnisse und die wahrscheinlichkeit für das eintreten dieses ereignisses beim würfeln ergibt sich indem die anzahl der ergebnisse die zum ereignis gehören durch die gesamtanzahl der möglichen ergebnisse geteilt werden für das ereignis würfeln einer geraden zahl ist daher die wahrscheinlicheit weil ergebnisse zum ereignis gehören und es insgesamt mögliche ergebnisse gibt ein zufallsexperiment bei dem jedes ergebnis die gleiche wahrscheinlichkeit hat heißt laplace-experiment gehören zu einem ereignis mehrere ergebnisse so wird die wahrscheinlichkeit dieses ereignisses festelegt als anzahl der zu gehörigen ergebnisse anzahl der möglichen ergebnisse ist die anzahl der dem ereignis zugehörigen ergebnisse und die anzahl der möglichen ergebnisse dann schreibt man kurz die wahrscheinlichkeit eines ereignisses ist mindestens und höchstens wenn ein ereignis aus allen möglichen ergebnissen besteht dann tritt es auf jeden fall ein und heißt daher sicheres ereignis seine wahrscheinlichkeit ist wenn ein ereignis kein mögliches ergebnis hat dann heißt es unmögliches ereignis und hat die wahrscheinlichkeit pierre-simon laplace 1749 1827 war französischer mathematiker er war wesentlich an der entwicklung der wahrscheinlichkeitsrechnung beteiligt vi stochastik

beispiel aus einer klasse mit schülerinnen und schülern soll per los der gewinner einer tombola ermittelt werden wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass eine schülerin gewinnt lösung ereignis eine schülerin gewinnt anzahl der möglichen ergebnisse anzahl der ergebnisse die zu gehören wahrscheinlichkeit des ereignisses aufgaben wie groß ist die wahrscheinlichkeit aus der urne fig blind eine rote kugel zu ziehen wie ist die chance für eine blaue kugel handelt es sich bei dem zufallsexeriment um ein laplace-experiment begründen sie eine vierstellige geheimzahl wird zufällig getippt die augensumme beim würfeln mit zwei idealen würfeln wird gebildet ein glücksrad mit acht gleichgroßen feldern wird gedreht die pin für eine bankkarte besteht aus vier ziffern wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass die letzte ziffer durch teilbar ist mit welcher wahrscheinlichkeit ist die erste ziffer eine primzahl wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass alle vier ziffern gleich sind ist es wahrscheinlicher dass die pin 1234 oder 5439 lautet bei der zufälligen eingabe der pin wurden schon zwei fehlversuche gemacht mit welcher wahrscheinlichkeit ist der dritte versuch erfolgreich für die weltmeisterschaft im fußball 2014 gab es bei einer lebensmittelkette tütchen mit insgesamt verschiedenen sammelbildern der deutschen mannschaft einschließlich trainern und maskottchen paul in jedem tütchen war ein bild wie groß war die wahrscheinlichkeit in der ersten tüte das mannschaftsmaskottchen paul zu bekommen mit welcher wahrscheinlichkeit ist einer der acht abwehrspieler in einer tüte entscheiden sie begründet ob es sich bei dem beschriebenen ereignis ggf um ein unmögliches oder um ein sicheres ereignis handelt beim würfeln zweier würfel ist die augensumme bei einem tennisspiel gibt es einen sieger am juni ist freibadwetter in einer schublade liegen leere und volle batterien mit welcher wahrscheinlichkeit wird zufällig eine volle batterie aus dem schrank genommen es werden zwei volle batterien benötigt eine volle wurde bereits genommen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass beim nächsten zug wieder eine volle batterie genommen wird beim lotto aus werden nacheinander kugeln von den nummerierten kugeln aus dem behälter gezogen bestimmen sie die wahrscheinlichkeit dafür dass die erste kugel die zahl trägt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass die dritte gezogenen kugel die zahl trägt fig es stehen die ziffern und zur verfügung statt behälter sagt man auch urne vi stochastik

zufallsexperiment und wahrscheinlichkeitsverteilung welches der zufallsgeräte würden sie nutzen wenn sie eine brauchen es gibt situationen und experimente bei denen der ausgang oder das ergebnis vom zufall abhängt in vielen fällen ist es möglich die chancen solcher ergebnisse einzuschätzen beispielsweise wird bei dem glücksrad in fig der zeiger gedreht es hängt vom zufall ab wo er stehen bleibt alle möglichen ergebnisse dieses zufallsexperiments bilden die ergebnismenge {gelb grün blau} da die hälfte der kreisscheibe blau ist erwartet man bei wiederholungen dieses zufallsversuchs etwa bei der hälfte aller drehungen das ergebnis blau für die ergebnisse gelb und grün erwartet man jeweils den anteil man bestimmt daher aufgrund der geometrischen form des glücksrads die wahrscheinlichkeiten und schreibt blau sowie gelb grün 0,25 fig die summe der bestimmten wahrscheinlichkeiten beträgt man nennt eine solche tabelle wahrscheinlichkeitsverteilung bei drehungen wird man also erwarten dass das ergebnis blau etwa 100-mal und die ergebnisse gelb und grün etwa 50-mal auftreten die nebenstehende tabelle zeigt die ergebnisse einer solchen versuchsreihe die relativen häufigkeiten stimmen hier recht gut mit den festgelegten wahrscheinlichkeiten überein es gibt weitere zufallsgeräte wie in fig und fig bei denen man die wahrscheinlichkeiten der möglichen ergebnisse aufgrund der geometrie oder der anzahlen festlegen kann die wahrscheinlichkeit eine rote kugel zu ziehen fig beträgt beim wetten würde man eher auf weiß setzen die wahrscheinlichkeit beträgt beim würfeln fig für jede augenzahl 16,7 beim wetten würde man keine augenzahl bevorzugen fig farbe blau gelb grün festgelegte wahrscheinlichkeit 0,25 0,25 summe der wahrscheinlichkeiten fig fig bei versuchen farbe blau gelb grün absolute häufigkeit relative häufigkeit 0,51 0,215 0,275 die relative häufigkeit erhält man indem man die absolute häufigkeit durch die zahl der versuche dividiert fig fig wahrscheinlichkeiten werden oft in prozent angegeben vi stochastik

alle möglichen ergebnisse eines zufallsexperimentes bilden die ergebnismenge durch die wahrscheinlichkeitsverteilung sind die wahrscheinlichkeiten der ergebnisse festgelegt dabei gilt die wahrscheinlichkeit für ein einzelnes ergebnis ist größer oder gleich null die summe der wahrscheinlichkeiten aller ergebnisse ergibt oder die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses gibt an welche relative häufigkeit man für das ergebnis bei vielen versuchswiederholungen in etwa erwarten kann beispiel wahrscheinlichkeitsverteilung das nebenstehende tetraeder wird geworfen als ergebnis gilt die zahl auf der es liegen bleibt geben sie die ergebnismenge und die wahrscheinlichkeitsverteilung an wie oft erwartet man die bei würfen lösung die ergebnismenge ist {1 4} da das tetraeder regelmäßig gebaut ist geht man für alle vier seiten von der gleichen wahrscheinlichkeit aus wahrscheinlichkeitsverteilung ergebnis summe wahrscheinlichkeit 0,25 0,25 0,25 0,25 bei versuchen erwartet man in etwa der fälle die also etwa 50-mal beispiel verschiedene ergebnismengen aus dem behälter in fig wird eine kugel gezogen geben sie verschiedene ergebnismengen an wenn man auf folgendes merkmal achtet farbe der kugel gerade oder ungerade zahl gezogene ziffer lösung {rot weiß} {gerade ungerade} {1 9} aufgaben welche wahrscheinlichkeit hat jeweils das ergebnis beim drehen des glücksrads fig geben sie passende ergebnismengen und wahrscheinlichkeitsverteilungen an jedes rad wird 240-mal gedreht wie oft können sie dabei jeweils die erwarten welche wahrscheinlichkeit hat jeweils das ergebnis gerade zahl fig beim roulette fig kann man verschiedene spielstrategien anwenden so kann man auf rot/schwarz setzen oder auf gerade/ungerade zahl formulieren sie unterschiedliche ergebnismengen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass die kugel auf ein rotes feld fällt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass die kugel auf eine zahl unter fällt fig fig fig vi stochastik

der behälter in fig enthält verschiedenfarbige kugeln mit ziffern geben sie die ergebnismenge an für ziehen einer kugel und feststellen ihrer ziffer ihrer farbe ii ziehen von zwei kugeln ohne zurücklegen und feststellen der summe ihrer ziffern iii ziehen von zwei kugeln ohne zurücklegen und feststellen des produktes ihrer ziffern aus dem behälter wird eine kugel gezogen man achtet auf die farbe geben sie die wahrscheinlichkeitsverteilung an geben sie für jeden der beiden würfel aus fig die wahrscheinlichkeitsverteilung der augenzahlen beim werfen an jeder würfel wird 300-mal geworfen wie oft erwartet man jeweils eine zahl unter zeit zu überprüfen das glücksrad in fig wird einmal gedreht geben sie die ergebnismengen und die dazugehörigen wahrscheinlichkeitsverteilungen an wenn man auf die zahlen auf die farben achtet beschreiben sie mögliche zufallsexperimente die zu den gegebenen wahrscheinlichkeitsverteilungen gehören könnten ergebnis rot grün blau ergebnis ungerade gerade wahrscheinlichkeit 0,25 0,25 wahrscheinlichkeit nehmen sie an dass alle tage des jahres als mögliche geburtstage gleich wahrscheinlich sind bestimmen sie die wahrscheinlichkeit dass jemand der nicht in einem schaltjahr geboren ist am januar im märz am februar geburtstag hat welche begründung ist gerechtfertigt welche ist annähernd gerechtfertigt welche ist falsch es gibt zwölf monate also ist die wahrscheinlichkeit dass eine zufällig ausgewählte person im januar geburtstag hat es gibt sieben wochentage also ist die wahrscheinlichkeit dass eine zufällig ausgewählte person in diesem jahr an einem sonntag geburtstag hat 14,3 es gibt sieben wochentage also ist die wahrscheinlichkeit dass der advent auf einen montag fällt 14,3 ein bierdeckel hat zwei seiten also ist die wahrscheinlichkeit dass er beim werfen auf die oberseite fällt es werden familien mit drei kindern nach dem geschlecht der kinder befragt wie könnten passende ergebnismengen formuliert werden wenn die reihenfolge bei der geburt der kinder berücksichtigt nicht berücksichtigt werden soll fig fig der weiße würfel ist ein dodekaeder 12-flächner fig vi stochastik

von der versuchsreihe zur wahrscheinlichkeitsverteilung der verschluss einer wasserflasche wird 20-mal geworfen auf welcher seite bleibt er wohl häufiger liegen bei einem zufallsexperiment gibt die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses an welche relative häufigkeit man für das ergebnis bei versuchswiederholungen etwa erwarten kann diese eigenschaft kann man bei einem zufallsversuch ausnutzen bei dem die wahrscheinlichkeiten nicht direkt aufgrund der symmetrien zu ermitteln sind wenn man einen lego-„würfel fig wirft kennt man die wahrscheinlichkeit für nicht mithilfe von langen wurfserien kann man sie aber schätzen die tabelle zeigt die relativen häufigkeiten von drei solchen serien sowie ein zugehöriges diagramm anzahl der würfe relative häufigkeit für bei serie serie serie 0,28 0,40 0,36 0,30 0,36 0,34 0,31 0,31 0,36 0,30 0,32 0,35 0,32 0,36 0,33 0,31 0,35 0,32 0,30 0,35 0,32 0,31 0,34 0,32 0,31 0,33 0,32 0,31 0,32 0,31 man erkennt dass die relativen häufigkeiten mit zunehmender wurfanzahl weniger schwanken empirisches gesetz der großen zahlen wenn man ein zufallsexperiment sehr oft durchführt stabilisieren sich die relative häufigkeiten für die ergebnisse bei einer weiteren serie von würfen wurden die relativen häufigkeiten für alle seiten des lego-würfels ermittelt fig bei der festlegung einer wahrscheinlichkeitsverteilung können weitere überlegungen einfließen so macht man die annahme dass aufgrund der symmetrie des legosteins die augenzahlen und gleich wahrscheinlich sind ebenso die seiten und durch mittelwertbildung erhält man eine wahrscheinlichkeitsverteilung die die symmetrie berücksichtigt fig es ist möglich dass die berücksichtigung der symmetrie nicht korrekt ist wenn der stein durch kaugummi auf einer innenseite gezinkt wurde fig fig fig augenzahl absolute häufigkeit relative häufigkeit augenzahl wahrscheinlichkeit die anordnung der zahlen ist wie beim 6er-würfel vi stochastik

aufgrund relativer häufigkeiten bei langen versuchsreihen können wahrscheinlichkeitsverteilungen festgelegt werden dabei achtet man auf mögliche symmetrien und darauf dass die summe aller wahrscheinlichkeiten ergibt beispiel geben sie eine mögliche wahrscheinlichkeitsverteilung für den dreieckswürfel in fig mit den seiten bis an lösung eine versuchsreihe von würfen hat fig ergeben da die wahrscheinlichkeiten für und aufgrund der symmetrie als gleich angesehen werden verwendet man den mittelwert der relativen häufigkeiten beider zahlen 33,5 als schätzwert aus dem gleichen grund legt man für und die wahrscheinlichkeit auf je fest wahrscheinlichkeitsverteilung aufgrund einer versuchsreihe augenzahl abs häuf rel häuf 0,35 0,12 0,10 0,11 0,32 festgelegte wahrsch 0,335 33,5 0,11 0,11 0,11 0,335 33,5 fig aufgaben wenn man eine flügelmutter auf den seiten weiß bzw schwarz markiert gibt es beim würfeln drei ergebnisse fig geben sie aufgrund der häufigkeiten in der tabelle verschiedene plausible wahrscheinlichkeitsverteilungen an in einem kasten liegen kugeln die jeweils einen der buchstaben tragen es wurde sehr oft jeweils eine kugel gezogen der buchstabe notiert und alle kugeln wieder durchmischt hierbei stelllt man fest dass die buchstaben und im verhältnis gezogen wurden geben sie eine entsprechende wahrscheinlichkeitsverteilung an die tabelle zeigt die ergebnisse von blutgruppenuntersuchungen bei verschiedenen populationen legen sie für jede population eine mögliche wahrscheinlichkeitsverteilung fest der kronkorken einer limonadenflasche wurde 170-mal geworfen dabei landete er 69-mal auf der oberseite und 101-mal auf der unterseite geben sie eine mögliche wahrscheinlichkeitsverteilung an unterseite oberseite cm cm cm cm hinten rechts fig weiß schwarz boden fig zum beispiel bedeutet das verhältnis für die verteilung der wahrscheinlichkeiten population ab deutsche 9376 3725 1670 japaner 5269 6671 3862 1752 isländer inuit indianer vi stochastik

zeit zu überprüfen zwei fünfergruppen haben mit dem quader fig je 100-mal gewürfelt und dabei die folgenden tabellen erhalten name summe name summe paula hares elaine edris marie christian marga sineat sandra alice abs häuf abs häuf rel häuf in 33,4 30,8 12,6 rel häuf in 32,8 33,2 erstellen sie eine mögliche wahrscheinlichkeitsverteilung worauf achten sie helena wirft einen reißnagel 250-mal und erhält 177-mal kopf susanne erhielt in würfen 322-mal kopf und pascal in würfen 466-mal kopf berechnen sie die relativen häufigkeiten in prozent und beurteilen sie die drei möglichen wahrscheinlichkeitsverteilungen für die ergebnisse kopf und seite paul hat die wahrscheinlichkeiten für lego-achter -sechser und -vierer geschätzt welche schätzung gehört zu welchem stein würfeln sie mit dem lego-achter -sechser und -vierer jeweils 50-mal einen becher auf den tisch stülpen und ermitteln sie die absoluten und relativen häufigkeiten der augenzahlen bis können sie die schätzungen von paul verbessern nutzen sie alle ergebnisse der klasse bei einem würfelspiel mit einem würfel gewinnt wer eine würfelt nach spielen hat frank dreimal gewonnen er sagt darum der würfel ist gezinkt die kommt nur mit einer wahrscheinlickeit von nehmen sie begründet stellung zu franks vorwurf am 2013 waren in deutschland pkw angemeldet emre steht an der straße und beobachtet autos mit welcher wahrscheinlichkeit ist der nächste pkw von der marke skoda mit welcher wahrscheinlichkeit ist der nächste pkw von einem baden-württembergischen hersteller wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass der nächste pkw kein vw ist berechnen sie die wahrscheinlichkeit dafür dass die marke des nächsten pkw mit oder anfängt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass der vorbeifahrende pkw von der marke skoda ist vergleichen sie ihr ergebnis mit dem aus und erklären sie ihre beobachtung quader cm cm cm fig bei aufgabe erzielt man bessere ergebnisse wenn man in der gruppe arbeitet augenzahl schätzung schätzung schätzung zahlenanordnung wie beim 6er-würfel marke anzahl audi bmw ford mercedes opel skoda toyota vw quelle kraftfahrt-bundesamt vi stochastik

ereignisse und summenregel wo ist ihre gewinnwahrscheinlichkeit höher die rote figur soll im nächsten zug die grüne figur überholen dazu muss eine der vier augenzahlen oder gewürfelt werden zusammengefasst wird also das ereignis augenzahl größer als mit {3 6} betrachtet für jedes ergebnis dieses laplaceexperiments ist die wahrscheinlichkeit für die wahrscheinlichkeit gilt daher das lässt sich auch ermitteln als verwendet man zum ziehen der figuren anstelle des würfels einen lego-achter so ändert sich die wahrscheinlichkeit für das überholen man kann diese wahrscheinlichkeit nicht mehr durch abzählen wie oben bestimmen da die ergebnisse nicht mehr gleich wahrscheinlich sind es gilt 89,5 summenregel die wahrscheinlichkeit eines ereignisses erhält man indem man die wahrscheinlichkeiten der zugehörigen ergebnisse addiert alle ergebnisse die nicht im ereignis liegen bilden das gegenereignis von es gilt daher beispiel in einer tüte schokolinsen sind blaue gelbe und rote schokolinsen es wird eine linse ohne hinzuschauen gezogen wie groß ist die wahrscheinlichkeit der ereignisse rote linse blaue oder rote linse keine rote linse lösung da mit dem gegenereignis übereinstimmt kann die wahrscheinlichkeit folgendermaßen bestimmt werden eine passende übungsaufgabe befindet sich auf seite aufgabe augenzahl wahrscheinlichkeit spiel man gewinnt wenn der zeiger auf grün oder gelb stehen bleibt spiel man gewinnt wenn die summe der augenzahlen größer als ist vi stochastik

aufgaben bestimmen sie für die glücksräder die wahrscheinlichkeit für die ergebnisse blau gelb und grün bestimmen sie die wahrscheinlichkeit für das ereignis gelb oder blau lösen sie falls die wahrscheinlichkeiten durch die tabelle in fig gegeben sind in der bonbondose von familie schütz sind noch fünf karamelbonbons drei vitaminvier himbeersieben zitronenund elf pfefferminzbonbons mit welcher wahrscheinlichkeit erhält jonas schütz ein bonbon seiner lieblingssorten karamel oder zitrone wenn er ohne hinzuschauen ein bonbon aus der dose nimmt seine schwester ilka hat heute lust auf himbeere oder pfefferminze mit welcher wahrscheinlichkeit zieht sie ein bonbon dieser sorten wenn jonas ihr den vortritt lässt was kann sich bei ergeben wenn jonas zuerst ein bonbon nimmt beim spiel mensch ärgere dich nicht ist der spieler mit den gelben figuren am zug mit welcher wahrscheinlichkeit schlägt er eine andere figur erreicht er sein haus geschieht keines von beiden wie groß ist die wahrscheinlichkeit an einem samstag oder sonntag geboren zu werden welche annahme machen sie bei der berechnung wie groß ist die wahrscheinlichkeit an einem tag geboren zu werden in dem der buchstabe vorkommt heutzutage werden am wochenende nicht mehr so viele kinder geboren wie früher weil der geburtstermin durch medikamente beeinflusst werden kann wie verändern sich dadurch die ergebnisse in und zeit zu überprüfen bei einer umfrage unter jugendlichen im alter von jahren zum täglichen fernsehkonsum ergab sich die folgende tabelle tageskonsum bis std über bis std über bis std über bis std über std anteil 10,4 20,1 33,2 19,8 16,5 beim jahrgangsstufenfest der eingangsklassen sind schülerinnen und schüler anwesend wie viele personen sind schätzungsweise darunter die mehr als zwei stunden täglich fernsehen welche annahme macht man bei der berechnung in teil zeichnen sie ein glücksrad mit den farben blau gelb und grün bei dem der zeiger mit der wahrscheinlichkeit auf gelb oder blau und mit der wahrscheinlichkeit auf gelb oder grün stehen bleibt der wahrscheinlichkeit auf blau oder grün stehen bleibt farbe wahrscheinlichkeit blau gelb grün fig fig fig welches problem entsteht wenn die rechte gelbe figur ein feld weiter vorne steht vi stochastik

info aufgaben simulation von zufallsexperimenten mit tabellenkalkulationssoftware tabellenkalkulationssoftware bietet verschiedene funktionen für zufallsexperimente und deren auswertung die funktion =zufallszahl( liefert eine zufallszahl zwischen und die funktion =zufallsbereich(kleinstezahl;größtezahl liefert eine ganze zufallszahl im bereich von der angegebenen kleinsten bis zur angegebenen größten zahl damit lässt sich zum beispiel das würfeln simulieren in den zellen b2 bis b1001 steht jeweils =zufallsbereich(1;6 in zelle d2 wird die häufigkeit des ergebnisses mit der funktion =zählenwenn( 1001;c2 gezählt d3 bis d7 lassen sich durch herunterziehen entsprechend für die ergebnisse bis ausfüllen mit der taste f9 microsoft excel oder der kombination strg umschalt f9 openofficecalc wird eine neue simulation der 1000 würfelvorgänge durchgeführt das säulendiagramm zeigt die relativen häufigkeiten der verschiedenen würfelergebnisse der zufallszahlengenerator der tabellenkalkulation liefert immer zufallszahlen bei denen jede mögliche zahl die gleiche wahrscheinlichkeit hat um versuche mit unterschiedlichen wahrscheinlichkeiten zu simulieren lässt er sich aber mit einem trick auch nutzen beispiel bei einem glücksrad gibt es nebenstehende wahrscheinlichkeitsverteilung für die simulation der wahrscheinlichkeitsverteilung wird der zufallszahlenbereich der tabellenkalkulation auf die zahlen bis festgelegt und dem ergebnis werden die zufallszahlen bis zugewiesen =zählenwenn( 1001;“<=5 dem ergebnis die zufallszahlen bis =zählenwenn( 1001;“<=8 zählenwenn( 1001;“<=5 und dem ergebnis die zufallszahlen bis =zählenwenn( 1001;“>=9 erstellen sie mithilfe einer tabellenkalkulationssoftware eine simulation für das werfen einer idealen münze nach versuchsdurchführungen bei einer simulation eines 6er-würfels weist eine tabellenkalkulationssoftware 2218-mal das ergebnis aus führen sie simulationen mit einer tabellenkalkulation durch tragen sie die ergebnisse in der klasse zusammen wie beurteilen sie den zufallsgenerator der ersten simulation erstellen sie eine simulation für ein zufallsexperiment bei dem die farbe rot mit einer wahrscheinlichkeit von und blau mit einer wahrscheinlichkeit von auftreten sollen simulation eines würfels xxxxxx ergebnis wahrscheinlichkeit damit ergibt sich und vi stochastik

mehrstufige zufallsexperimente pfadregel sebastian und sabine sind im tanzsport erfolgreich ihre trainingsgruppe besteht aus sechs paaren an einem abend werden für zwei tanzrunden die partner ausgelost wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass sebastian und sabine aufgrund der auslosung in beiden runden miteinander tanzen es gibt zufallsexperimente die aus mehreren stufen bestehen zum beispiel das mehrmalige drehen eines glücksrads hierbei gilt die abfolge der einzelergebnisse als ergebnis zweimaliges drehen des glücksrades fig ist ein mehrstufiges zufallsexperiment die ergebnisse erhält man mit einem baumdiagramm fig die ergebnismenge kann man als menge in der form {rr rb br bb} notieren die zugehörigen wahrscheinlichkeiten werden bestimmt indem man die wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen pfades multipliziert pfadregel rb dies ist plausibel da anteile von anteilen bestimmt werden müssen hier von die wahrscheinlichkeitsverteilung stellt man übersichtlich in einer tabelle oder mit einem diagramm fig dar die wahrscheinlichkeit des ereignisses {rr rb br} bestimmt man mit der summenregel rr rb br da in nur das ergebnis {bb} fehlt kann man die wahrscheinlichkeit schneller über das gegenereignis {bb} erhalten denn es gilt wahrscheinlichkeiten mit baumdiagrammen bestimmen die wahrscheinlichkeit für ein ergebnis erhält man indem man die wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen pfades multipliziert pfadregel die wahrscheinlichkeit eines ereignisses erhält man indem man die wahrscheinlichkeiten der zugehörigen ergebnisse addiert summenregel fig fig rr rb br bb fig fig die ereignisse und kann man auch in worten beschreiben es erscheint mindestens einmal rot es erscheint kein mal rot bzw nur blau vi stochastik

beispiel pfadregel anwenden ein kurs besteht aus zehn mädchen und fünf jungen in einem kasten sind zettel mit den namen der schülerinnen und schüler zwei zettel werden nacheinander ohne zurücklegen gezogen mit welcher wahrscheinlichkeit werden die namen von einem jungen und einem mädchen gezogen lösung gesucht ist die wahrscheinlichkeit des ereignisses {jm mj} aus dem baumdiagramm fig ergibt sich jm mj beispiel pfadund summenregel versuchsreihen bei einem medikament haben gezeigt dass es mit 80-prozentiger wahrscheinlichkeit eine heilende wirkung zeigt ein arzt behandelt drei patienten mit dem medikament berechnen sie die wahrscheinlichkeit für das ereignis alle patienten werden geheilt nur ein patient wird geheilt mindestens ein patient wird geheilt lösung hhh 0,512 {hkk khk kkh} 3·0,8·0,2·0,2 3·0,8·0,2 0,096 kein patient wird geheilt also 0,992 vgl fig aufgaben eine schale enthält vier rote und drei blaue kugeln es werden blind zwei kugeln mit zurücklegen entnommen mit welcher wahrscheinlichkeit sind es zwei rote ist eine blau und eine rot ist mindestens eine rote dabei ist höchstens eine blaue dabei von einem medikament ist bekannt dass es in aller fälle eine krankheit heilt drei patienten werden damit behandelt bestimmen sie die wahrscheinlichkeit für das ereignis beschreiben sie das gegenereignis in worten es wird kein patient geheilt genau ein patient wird geheilt nur ein patient wird nicht geheilt höchstens zwei patienten werden geheilt das glücksrad in fig wird dreimal gedreht geben sie die ergebnismenge an wie groß ist die wahrscheinlichkeit für das ereignis erstellen sie dazu ein baumdiagramm gelb erscheint dreimal blau erscheint genau einmal gelb erscheint mindestens einmal blau erscheint mindestens zweimal summe fig der zu gehörige pfad ist im baumdiagramm in fig rot markiert fig zug jm zug mj fig vi stochastik

in einer urne liegen sechs kugeln siehe fig man entnimmt daraus ohne hinzusehen nacheinander zwei kugeln mit zurücklegen vor jedem zug werden die kugeln gut gemischt ergebnisse werden in der form notiert falls die erste kugel die nummer und die zweite kugel die nummer trägt betrachten sie die ereignisse die summe der zahlen auf den kugeln beträgt höchstens und {11 41} geben sie in mengenschreibweise an beschreiben sie und das gegenereignis von in worten bestimmen sie und wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass die summe der zahlen auf den kugeln höchstens beträgt und dass man ein ergebnis aus erhält wie groß ist die wahrscheinlichkeit ein ergebnis aus oder zu erhalten zeit zu überprüfen ein basketballspieler trifft beim basketball-freiwurf mit der wahrscheinlichkeit der spieler macht drei freiwürfe ein mögliches ergebnis ist tnt im wurf trifft er im wurf trifft er nicht und im wurf trifft er wieder geben sie die ergebnismenge sowie die wahrscheinlichkeitsverteilung in tabellenform an geben sie das ereignis der spieler trifft mindestens zweimal als menge an und bestimmen sie beschreiben sie das gegenereignis von in worten und geben sie seine wahrscheinlichkeit an wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass der spieler höchstens zweimal trifft wie groß ist die wahrscheinlichkeit bei fünf würfen mit einem würfel mindestens eine zu werfen höchstens eine die erste erst beim fünften wurf zu erzielen die wahrscheinlichkeit für eine jungengeburt beträgt 0,515 mit welcher wahrscheinlichkeit bekommt eine familie mit fünf kindern nach vier söhnen eine tochter nach vier töchtern einen sohn das baumdiagramm gibt die wahrscheinlichkeiten von mängeln bei der produktion von toastern wieder dabei wird zunächst auf optische mängel und dann auf technische mängel untersucht übertragen sie das baumdiagramm und füllen sie die leeren felder des baumdiagramms aus bedeutung der abkürzungen om optischer mangel om kein optischer mangel tm technischer mangel tm kein technischer mangel in einer bäckerei ist gemäß langfristiger erfahrungen der verkaufsanteil der mohnbrötchen der verkaufsanteil der rosinenbrötchen der verkaufsanteil der vollkornbrötchen der verkaufsanteil der baguettebrötchen der verkaufsanteil der croissants und der verkaufsanteil der normalen brötchen erstellen sie einen pfad mit fünf stufen eines zu dieser aufgabe passenden baumdiagramms wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass die nächsten fünf verkauften brötchen die reihenfolge m,v,n,n,c haben fig vorsicht heißt hier nicht kugel nr om om 0,855 0,045 0,095 tm tm tm tm 0,95 vi stochastik

bei einem basketballturnier von schulen spielen fünf mannschaften wie viele möglichkeiten für die reihenfolge auf den plätzen bis gibt es wenn alle ergebnisse eines zufallsexperiments gleich wahrscheinlich sind liegt eine gleichverteilung vor die wahrscheinlichkeit eines ereignisses erhält man dann durch abzählen von kombinationen kombinatorik dabei hilft oft ein baumdiagramm als modell für ein solches zufallsexperiment kann man das ziehen nummerierter kugeln aus einer urne betrachten aus einer urne mit fünf kugeln die die nummern bis tragen fig werden zwei kugeln gezogen beim abzählen der möglichen kombinationen müssen die folgenden fälle unterschieden werden ziehen mit zurücklegen die reihenfolge der kugeln wird berücksichtigt an dem diagramm in fig kann man die möglichen ergebnisse ablesen zu jeder der ersten fünf ziehungen sind fünf kugeln als zweite ziehung möglich im diagramm fig sind nur die möglichkeiten dargestellt bei denen die erste kugel ist für die ergebnismenge ergibt sich {11 55} es gibt also 5·5 ergebnisse allgemein gilt wenn man aus einer urne mit nummerierten kugeln k-mal mit zurücklegen zieht und die reihenfolge berücksichtigt dann gibt es mögliche ergebnisse ziehen ohne zurücklegen die reihenfolge der kugeln wird berücksichtigt an dem diagramm in fig kann man die möglichen ergebnisse ablesen zu jeder der ersten fünf ziehungen sind jetzt nur noch vier kugeln als zweite ziehung möglich da die erste kugel nicht zurückgelegt wird im diagramm fig sind nur die möglichkeiten dargestellt bei denen die erste kugel ist {12 54} es gibt also 5·4 ergebnisse allgemein gilt wenn man aus einer urne mit nummerierten kugeln k-mal ohne zurücklegen zieht und die reihenfolge berücksichtigt dann gibt es n·(n 1)·…·(n mögliche ergebnisse spielplan carl-benz-schule erhart-schott-schule carl-bosch-schule helene-lange-schule friedrich-list-schule carl-benz-schule fig fig wegen der gleichverteilung ist die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses fig auch hier ist die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses anzahl der möglichen ergebnisse gleichverteilung kombinatorik vi stochastik

beim ziehen von kugeln ohne zurücklegen kann man höchstens n-mal ziehen die zahl der ergebnisse bei n-maligem ziehen nennt man gelesen fakultät es gilt n·(n 1)·…·1 man kann also nummerierte kugeln auf arten anordnen wegen der umformung n·(n 1)·…·(n n·(n 1)·…·1 k)·(n 1)·…·1 gilt auch beim ziehen von kugeln aus einer urne mit nummerierten kugeln ohne zurücklegen gibt es mögliche ergebnisse ziehen ohne zurücklegen die reihenfolge der kugeln wird nicht berücksichtigt bei berücksichtigung der reihenfolge ergibt sich beim ziehen von zwei kugeln aus der urne in fig die ergebnismenge {12 54} da aber die reihenfolge nicht berücksichtigt werden soll fallen von diesen ergebnissen jeweils zwei zusammen und oder und die zahl der ergebnisse halbiert sich also da gibt es somit 3!·2 ergebnisse hätte man drei kugeln gezogen so würden jeweils sechs ziehungen dasselbe ergebnis liefern das sind gerade die anordnungen der kugeln allgemein liefern bei einer ergebnismenge ziehungen dasselbe ergebnis wenn man kugeln zieht da es mit berücksichtigung der reihenfolge ziehungen gibt erhält man ohne berücksichtigung der reihenfolge k!·(n ergebnisse dafür schreibt man kurz lies über wenn man aus einer urne mit nummerierten kugeln k-mal ohne zurücklegen zieht und die reihenfolge nicht berücksichtigt dann gibt es mögliche ergebnisse dabei ist k!·(n und nennt man binomialkoeffizient beispiel ziehen mit zurücklegen die reihenfolge wird berücksichtigt ein computerzeichen byte besteht aus bit jedes bit kann den wert oder haben wie viele verschiedene zeichen können in einem byte dargestellt werden lösung das zufallsexperiment bestimmen eines computerzeichens entspricht dem achtmaligen ziehen mit zurücklegen aus einer urne mit zwei kugeln nummeriert mit und die reihenfolge ist zu berücksichtigen es gibt also verschiedene zeichen beispiel ziehen ohne zurücklegen bei einem rennen mit acht pferden werden zwei wetten angeboten man wettet auf den einlauf der ersten drei pferde in der richtigen reihenfolge man wettet auf den einlauf der ersten drei pferde wobei die reihenfolge keine rolle spielt wie viele möglichkeiten gibt es bei den beiden wetten wie groß ist bei und die gewinnwahrscheinlichkeit wenn man annimmt dass alle pferde gleiche gewinnchancen haben lösung es gibt 8·7·6 wettmöglichkeiten es gibt 3!·5 wettmöglichkeiten bzw beispiel beachten sie dass man setzt auf dem taschenrechner npr der buchstabe steht für permutationen vertauschungen fig es gibt möglichkeiten zwei kugeln anzuordnen die zahlen nennt man binomialkoeffizienten siehe dazu aufgabe auf dem taschenrechner gibt es dazu die funktion ncr der buchstabe steht dabei für combination vi stochastik

beispiel sechs richtige beim lotto wie groß ist die wahrscheinlichkeit beim lotto sechs richtige zu erzielen lösung beim lotto werden sechs kugeln aus einer urne mit nummerierten kugeln ohne zurücklegen und ohne berücksichtigung der reihenfolge gezogen es gibt also 6!·43 ziehungsmöglichkeiten nur eine davon ergibt sechs richtige da alle ziehungsmöglichkeiten gleich wahrscheinlich sind ist die wahrscheinlichkeit beim lotto sechs richtige zu erzielen auf dasselbe ergebnis kommt man mithilfe eines baumdiagramms und der pfadregel aufgaben eine münze wird sechsmal geworfen wie viele ergebnisse sind möglich wie viele verschiedene zahlen kann man aus den ziffern und bilden wenn jede zahl genau einmal vorkommen darf wie viele fünfstellige zahlen kann man aus den ziffern und bilden wenn jede ziffer beliebig oft vorkommen darf in einem betrieb gibt es telefone jedes telefon kann mit jedem verbunden werden wie viele verbindungen sind möglich das glücksrad in fig wird viermal gedreht wie viele ergebnisse sind möglich wenn die reihenfolge der farben berücksichtigt wird wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass das ergebnis rot-gelb-orange-blau erscheint jede farbe genau einmal erscheint mindestens einmal rot erscheint bei der elferwette im fußballtoto kreuzt man als vorhersage bei elf fußballspielen an ob der gastgebende verein gewinnt ob der gast gewinnt oder ob das spiel unentschieden ausgeht ein möglicher tipp ist 12011021011 beim ersten spiel gewinnt der gastgeber beim zweiten der gast das dritte endet unentschieden usw wieso spielt bei einem toto-tipp die reihenfolge der ziffern und eine rolle wie groß ist die wahrscheinlichkeit bei einem tipp alle spiele richtig zu tippen welche annahme macht man dabei wie viele tipps sind möglich bei denen kein spiel richtig getippt wird fünf verschiedenfarbige würfel werden geworfen wie viele verschiedene ergebnisse sind möglich wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass mindestens eine sechs dabei ist wie viele ergebnisse sind möglich bei denen alle augenzahlen verschieden sind aus dem 12-köpfigen vorstand eines tennisclubs sollen ein präsident ein schriftführer und ein kassenwart gewählt werden wie viele wahlmöglichkeiten haben die mitglieder des clubs zeichnen sie den pfad am zugehörigen baumdiagramm der auf das ergebnis führt fig vi stochastik

zeit zu überprüfen wie viele vierstellige zahlen aus den ziffern und gibt es geben sie ein urnenexperiment an mit dem man die zahlen als ergebnisse ermitteln kann jede ziffer darf beliebig oft auftreten jede ziffer darf nur einmal auftreten bei der pferdewette renn-quinett wettet man auf den einlauf der ersten drei von insgesamt pferden man erreicht gewinnklasse wenn man die ersten drei pferde in der richtigen reihenfolge ihres einlaufs richtig vorhersagt und gewinnklasse ii wenn man die ersten drei pferde in beliebiger reihenfolge richtig vorhersagt bestimmen sie die wahrscheinlichkeiten für die beiden gewinnklassen gleiche gewinnchancen für alle pferde angenommen bei annas geburtstag sind barbara christian dennis elisa und felix eingeladen wie viele möglichkeiten der reihenfolge für das eintreffen der gäste gibt es wenn jeder alleine kommt mit welcher wahrscheinlichkeit kommt felix als letzter mit welcher wahrscheinlichkeit kommen barbara und elisa in dieser reihenfolge als erste und zweite in einem hotel sind noch vier zimmer frei aber am empfang stehen sechs gäste die alle ein eigenes zimmer haben wollen wie viele möglichkeiten hat der empfangschef die gäste auf die zimmer zu verteilen mit welcher wahrscheinlichkeit erhält einer der wartenden gäste ein zimmer das zimmermädchen tippt auf die vier denen der empfangschef wohl ein zimmer gibt mit welcher wahrscheinlichkeit rät sie richtig in österreich wird lotto aus gespielt wie groß ist die wahrscheinlichkeit bei einem tipp sechs richtige zu erzielen in einer feierlichen runde stößt jeder der fünf gäste mit jedem anderen einmal mit seinem sektglas an wie oft klingen die gläser in einer kleinstadt gibt es 1000 telefonanschlüsse wie viele verbindungen zwischen jeweils zwei anschlüssen sind möglich beim lotto aus gibt es neben den sechs gezogenen zahlen noch eine superzahl die bei oder richtigen eine rolle spielt als superzahl wird eine ziffer zwischen und gezogen überprüfen sie ob die von der lottogesellschaft angegebenen theoretischen chancen stimmen hinweis die ziehung besteht aus zwei teilen die nacheinander ausgeführt werden im zähler stehen daher vier aufteilungen gezogene zahlen nicht gezogene gezogene ziffer und nicht gezogene ziffern berechnen sie was fällt auf können sie unmittelbar angeben pascalsches dreieck im pascal’schen zahlendreieck werden binomialkoeffizienten aufgeschrieben der name geht auf blaise pascal 1623 1662 zurück es war jedoch schon früher bekannt pascal’sches zahlendreieck vi stochastik

in der deutschen sprache werden die wörter und und oder oft zweideutig gebraucht die mathematische sprache dagegen ist eindeutig es muss daher nun eine präzisierung erfolgen welche bedeutung die wörter und und oder im mathematischen sinne haben in einer urne liegen nummerierte kugeln fig es wird blind eine kugel gezogen und ihre zahl notiert ist das ereignis die zahl auf der kugel ist höchstens also {1 6} dann ist das gegenereignis {7 8} das ereignis in dem alle ergebnisse liegen die nicht in enthalten sind fig ein weiteres ereignis ist die kugel trägt eine gerade zahl dann nennt man die menge der ergebnisse die sowohl in als auch in liegen schnittmenge und sagt geschnitten fig man schreibt {2 6} in der vereinigungsmenge oder fig liegen alle ergebnisse die in oder in liegen man schreibt {1 8} oder bedeutet hier dass alle ergebnisse gemeint sind die nur in oder nur in oder in beiden mengen liegen zu jedem ereignis gibt es ein gegenereignis das alle ergebnisse enthält die nicht zu gehören es gilt alle ergebnisse die zugleich in und in liegen bilden die schnittmenge alle ergebnisse die in oder in liegen bilden die vereinigungsmenge fig fig fig ist die menge bei der die zahlen auf der kugel höchstens sind und die gerade sind fig verknüpfen von ereignissen wir machen alles entweder übermorgen oder später oder überhaupt nicht das kenne ich schon ärger gibt’s auch wenn ich meine hausaufgaben mache du machst jetzt deine hausaufgaben oder es gibt ärger essen und trinken verboten in der mathematik spricht man von einem nicht-ausschließenden oder welche vorstellung von oder bzw und liegt hier vor vi stochastik

beispiel der würfel in fig wird einmal geworfen dabei werden die ereignisse {1 5} {4 6} und {1 3} betrachtet geben sie die folgenden ereignisse in mengenschreibweise an lösung es sind alle ergebnisse gesucht die in oder in enthalten sind {1 6} es sind alle ergebnisse gesucht die in und in enthalten sind dies ist ausschließlich die {5} das gegenereignis von enthält alle ergebnisse die nicht in enthalten sind {2 6} zunächst bestimmt man {1 3} damit ergibt sich das gesuchte gegenereignis {2 6} aufgaben eine 10-cent-münze und eine 20-cent-münze werden geworfen es sei die 10-cent-münze zeigt zahl und die 20-cent-münze zeigt wappen drücken sie die folgenden ereignisse durch und aus die 10-cent-münze zeigt wappen beide münzen zeigen zahl mindestens eine münze zeigt zahl lukas hat vier pilze gefunden er hält sie für champignons lässt sie aber sicherheitshalber bei der pilzberatung überprüfen geben sie das gegenereignis in worten an kein pilz ist giftig höchstens ein pilz ist giftig nicht alle pilze sind giftig zeit zu überprüfen eine box enthält kugeln mit den zahlen bis es wird eine kugel blind gezogen es sei die zahl auf der kugel ist eine primzahl und die zahl auf der kugel ist durch teilbar geben sie die folgenden ereignisse in mengenschreibweise und in worten an von den schülerinnen und schülern des albert-einstein-gymnasiums haben französisch als fremdsprache und sind oberstufenschüler in der oberstufe haben 37,5 französisch als fremdsprache eine karteikarte wird zufällig aus der schülerkartei gezogen bezeichnet das ereignis der schüler auf der karteikarte ist in der oberstufe und bezeichnet das ereignis der schüler auf der karteikarte hat französisch als fremdsprache beschreiben sie das gegenereignis zu in worten bestimmen sie seine wahrscheinlichkeit wie viele schüler gehören zu beschreiben sie das ereignis in worten beschreiben sie das gegenereignis zu in worten mit welcher wahrscheinlichkeit gehört der schüler von der gezogenen karteikarte nicht zu der zeitungsartikel beschreibt die reaktionen in der ddr auf den kennedy-besuch im jahre 1962 als der kalte krieg seinen höhepunkt erreichte arbeiten sie heraus wie sich der gebrauch des begriffes gegenereignis von dem in der mathematik üblichen gebrauch unterscheidet fig während sich die aufregung in westberlin nach kennedys weiterflug gen irland et was legte war man im ost teil der stadt fie berhaft damit beschäftigt das große gegenereignis vorzubereiten am freitag dem 1963 sollte nikita chruschtschow der erste sekretär des zentralkomitees der kpdsu und damit sowjetischer staatschef nach berlin kommen vi stochastik

maren möchte gern sechsen würfeln sie überlegt wenn ich einen würfel nehme ist die wahrscheinlichkeit für eine sechs wenn ich zwei würfel nehme ist sie wenn ich drei würfel nehme ist sie usw das ist ja einfach was meinen sie dazu wie kann man aus den wahrscheinlichkeiten und die wahrscheinlichkeit für berechnen darf man dazu und einfach addieren wir untersuchen das an einer einfachen situation zufallsexperiment eine münze wird 2-mal geworfen ergebnismenge {zk zz kz kk} die münze zeigt beim ersten wurf zahl {zk zz} die münze zeigt beim zweiten wurf zahl {zz kz} die münze zeigt beim ersten oder zweiten wurf zahl da die münze auch zweimal kopf zeigen kann gilt man darf die wahrscheinlichkeiten und also nicht einfach addieren um zu bestimmen am mengenbild fig erkennt man woran das liegt da das ergebnis zz sowohl in als auch in liegt wird die wahrscheinlichkeit der schnittmenge beim addieren doppelt gezählt man muss daher die wahrscheinlichkeit der schnittmenge einmal von der summe abziehen damit erhält man für zwei ereignisse und ist additionssatz liegt der spezialfall vor dass zu keine ergebnisse gehören dann genügt es die wahrscheinlichkeiten zu addieren in fig bilden die ganzen zahlen von bis die ergebnismenge die ereignisse zahl durch teilbar und zahl durch teilbar haben keine gemeinsamen ergebnisse die schnittmenge ist damit leer und es gilt hier münze zeigt zahl münze zeigt kopf zk kz zz kk fig bei der summenregel im baumdiagramm darf man wahrscheinlichkeiten einfach addieren denn zwei ergebnisse können nicht zugleich auftreten fig additionssatz vi stochastik

beispiel glücksrad das glücksrad fig wird zweimal gedreht mit welcher wahrscheinlichkeit zeigt es beim ersten drehen höchstens an oder beträgt die summe der zahlen lösung beim ersten drehen zeigt das glücksrad höchstens an {1–1 1–2 1–3 1–4 2–1 2–2 2–3 2–4} die summe der zahlen beträgt {1–4 2–3 3–2 4–1} {1–4 2–3} also aufgaben mit welcher wahrscheinlichkeit wird beim würfeln eine gerade zahl oder eine sechs geworfen keine gerade zahl oder keine sechs geworfen beim skatspiel fig wird eine karte ausgespielt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass es eine rote bildkarte ist dass es eine kreuzkarte oder eine herzkarte ist dass es eine trumpfkarte ist wenn julius einen karo-solo spielt beim karo-solo sind alle buben sowie alle karokarten trumpf das glücksrad in fig wird zweimal gedreht mit welcher wahrscheinlichkeit zeigt es beim ersten drehen mindestens oder beim zweiten drehen höchstens an beim ersten drehen mindestens an oder beträgt die summe der zahlen beim ersten drehen blau oder beim zweiten drehen rot an zeit zu überprüfen aus der schale in fig ziehen sie ohne hinzusehen eine kugel legen sie zurück und ziehen noch eine kugel mit welcher wahrscheinlichkeit ist die erste kugel rot oder die summe der zahlen auf den kugeln ist die zahl auf der ersten kugel größer als die zahl auf der zweiten kugel oder die zweite kugel grün frau kuhl setzt beim roulette auf impair und douze milieu mit welcher wahrscheinlichkeit erzielt sie einen gewinn wie groß ist die wahrscheinlichkeit für einen gewinn sowohl bei impair als auch bei douze milieu in einem grünen strumpf befinden sich rote und blaue kugeln in einem blauen strumpf sind rote und grüne kugeln es wird aus jedem strumpf eine kugel ge zogen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass die kugel aus dem grünen strumpf rot oder die kugel aus dem blauen strumpf rot ist wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass die kugel aus dem grünen strumpf blau oder die kugel aus dem blauen strumpf grün ist lösen sie die aufgabe im beispiel oben mithilfe eines baumdiagramms fig hier kann man auch einfacher mit baumdiagramm und pfadregel berechnen aufgabe fig fig einige setzmöglichkeiten beim roulette pair alle geraden zah len impair alle ungeraden zahlen manque zahlen von bis passe zahlen von bis rouge alle roten felder noir alle schwarzen felder douze premier bis douze milieu bis douze dernier bis vi stochastik

vierfeldertafeln bedingte wahrscheinlichkeiten jugendliche wurden nach rauchverhalten und zufriedenheit mit dem körpergewicht befragt wie hoch ist die wahrscheinlichkeit dass der befragte mit seinem gewicht zufrieden ist wie ändert sich die wahrscheinlichkeit wenn man weiß dass man einen raucher befragt wenn man in statistischen erhebungen zwei merkmale wie geschlecht und körpergröße gleich zeitig untersucht kann das vorwissen über ein merkmal die wahrscheinlichkeiten des anderen beeinflussen man spricht von bedingten wahrscheinlichkeiten das lässt sich mithilfe einer urne verdeutlichen aus der urne fig wird eine kugel gezogen die wahrscheinlichkeit eine markierte ereignis zu erwischen ist denn von den kugeln sind markiert letzte zeile von fig wenn man aber schon weiß dass die gezogene kugel rot ist etwa weil die roten kugeln sich anders anfühlen ist in fig nur die erste zeile relevant die wahrscheinlichkeit für markierung erhöht sich auf denn es kommen nur noch kugeln infrage von denen markiert sind das vorwissen über die farbe ändert also die wahrscheinlichkeit für eine markierte kugel man bezeichnet die wahrscheinlichkeit für eine markierung unter der bedingung rot als bedingte wahrscheinlichkeit und schreibt man erhält sie indem man den inhalt der ersten zelle von fig durch die zugehörige zeilensumme teilt ebenso verändert das wissen über die markierung die wahrscheinlichkeit der farbe die wahrscheinlichkeit für rot ist wenn man weiß dass die kugel markiert ist wächst sie auf man teilt den inhalt der ersten zelle von fig durch die zugehörige spaltensumme je nachdem welches merkmal markierung oder farbe man zuerst betrachtet lässt sich die in der vierfeldertafel steckende information in unterschiedlichen baumdiagrammen darstellen fig erst farbe dann markierung fig erst markierung dann farbe vierfeldertafel mit wahrscheinlichkeiten mit gewicht zufrieden unzufrieden raucher nichtraucher fig vierfeldertafel mit punkt ohne punkt summe rot nicht rot summe fig es lassen sich einige wahrscheinlichkeiten direkt entnehmen rechte spalte letzte zeile erstes feld erste zeile in der vierfeldertafel trägt man wahrscheinlichkeiten oder absolute zahlen ein vi stochastik

man findet die bedingten wahrscheinlichkeiten an den pfaden der zweiten stufe wieder und erkennt dass sich die wahrscheinlichkeit für das ereignis wie folgt berechnen lässt bzw damit erhält man und ist die wahrscheinlichkeit für das ereignis unter der bedingung dass eingetreten ist man nennt bedingte wahrscheinlichkeit es gilt p(a p(a beispiel vierfeldertafel verwenden gegeben ist die nebenstehende vierfeldertafel bestimmen sie und stellen sie die informationen der vierfeldertafel in einem baumdiagramm dar lösung 0,05 0,15 damit folgt und entsprechend 0,15 variante variante aufgaben eine münze wird dreimal geworfen berechnen sie und beschreiben sie die gesuchten wahrscheinlichkeiten in worten beim zweiten wurf lag zahl oben es lag dreimal zahl oben beim ersten wurf lag zahl oben es lag genau einmal zahl oben gegeben ist die nebenstehende vierfelder tafel fig übertragen und vervollständigen sie berechnen sie die bedingten wahrscheinlichkeiten und zeichnen sie zwei zugehörige baumdiagramme und beschriften sie diese vollständig wo finden sie im baumdiagramm die in berechneten wahrscheinlichkeiten wieder fassen sie die informationen der tabelle in worte dabei sollen die ereignisse wie folgt interpretiert werden weiblich macht wöchentlich mehr als hausaufgaben in vierfeldertafeln sind bedingte wahrscheinlichkeiten anteile von zelleninhalten an zeilenbzw spaltensummen fig summe summe fig summe summe vi stochastik

in die klasse 7c gehen jungen und mädchen jeder vierte junge und drei von vier mädchen spielen ein instrument frau jäger hört jemanden musizieren mit welcher wahrscheinlichkeit handelt es sich um ein mädchen wie könnte sich eine klasse mit kindern zusammensetzen in der die meisten jungen fußball spielen aber die meisten fußballspieler mädchen sind bedeute junge fußballspieler berechnen sie für ihr beispiel in einer fabrik werden von montag bis freitag täglich autos produziert dabei werden montags die meisten mängel produziert ab dienstag sinkt die mängelrate auf täglich vervollständigen sie die vierfeldertafel und bestimmen sie die wahrscheinlichkeit ein auto mit mängeln zu erhalten die wahrscheinlichkeit ein auto mit mängeln zu erhalten das an einem montag produziert wurde die wahrscheinlichkeit dass das auto an einem montag produziert wurde wenn man weiß dass es mängel hat übersetzen sie das nebenstehende baumdiagramm in eine vierfeldertafel konstruieren sie ein zweites baumdiagramm das zur vierfeldertafel passt denken sie sich einen kontext aus zu dem die baumdiagramme passen könnten mithilfe von tests versuchen mediziner herauszufinden ob eine bestimmte erkrankung vorliegt in der sprache der mediziner spricht dabei ein positives testergebnis für das vorliegen der erkrankung lesen sie aus der vierfeldertafel ab wie groß die wahrscheinlichkeit ist dass ein patient mit positivem testergebnis tatsächlich krank ist der test bei einem kranken tatsächlich anschlägt positiv ist prüfen sie die gültigkeit der ungleichungen bzw und fassen sie die bedeutung dieser ungleichungen in worte zeit zu überprüfen eine der zahlen wird zufällig ausgewählt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass diese zahl ein vielfaches von ist wenn man weiß dass sie ein vielfaches von ist wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass diese zahl ein vielfaches von ist wenn man weiß dass sie ein vielfaches von und ein vielfaches von ist übertragen und ergänzen sie die unvollständige vierfeldertafel aus fig notieren sie zwei zugehörige baumdiagramme lesen sie möglichst viele bedingte wahrscheinlichkeiten ab mo di fr summe ohne mängel mit mängeln summe 1000 fig eine 8-feldertafel-aufgabe zum üben befindet sich auf seite aufgabe 0,24 0,16 0,12 0,48 krank gesund summe test 0,15 0,25 test 0,05 0,75 summe fig bedeutet der test schlägt an bedeutet negatives testergebnis auch das fühlen der stirntemperatur ist ein beliebter schnelltest erhöhte temperatur wird als indiz für eine infektion gedeutet fig summe summe lösungen zu zeit zu überprüfen seite vi stochastik

info aufgabe in einer studie aus dem jahr 2000 wurden grundschulkinder nach ihrer zufriedenheit mit dem eigenen körper befragt die vierfeldertafel gibt das ergebnis wieder berechnen sie und erläutern sie die bedeutung dieser wahrscheinlichkeiten im sachzusammenhang sie treffen ein kind aus der studie das mit seinem gewicht zufrieden ist mit welcher wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen jungen stellen sie die ergebnisse der studie in einem baumdiagramm dar das auf der ersten stufe das geschlecht j/m berücksichtigt stellen sie die ergebnisse in einem baumdiagramm dar das auf der ersten stufe den gewichtswunsch a/b/c berücksichtigt für die automodelle und stehen die farben blau und rot zur verfügung der gekauften fahrzeuge sind vom modell vom modell von weiß man dass es in der fälle mit blauer farbe gewählt wird von dass es in der fälle mit roter farbe genommen wird und bei dass es in der fälle mit blauer farbe gewählt wird erstellen sie die zugehörige sechsfeldertafel wie groß ist die wahrscheinlichkeit dafür dass ein fahrzeug blau ist ermitteln sie die wahrscheinlichkeit dafür dass ein fahrzeug modell und blau ist mit welcher wahrscheinlichkeit ist ein fahrzeug weder modell noch ein blaues modell mit welcher wahrscheinlichkeit ist ein rotes fahrzeug modell ein lehrer berichtet aus seiner klasse die meisten blonden kinder sind jungen ein kollege hat dagegen beobachtet dass die meisten mädchen in dieser klasse blond sind zeigen sie anhand einer geeignet gewählten vierfeldertafel dass sich die beobachtungen der beiden lehrer nicht widersprechen müssen notieren sie die aussagen der lehrer formal berechnen sie für die oben gewählten werte in ihrer vierfeldertafel die wahrscheinlichkeit dass ein zufällig ausgewähltes kind der klasse blond ist werbepsychologie und bedingte wahrscheinlichkeiten man kann beweisen aufgabe dass aus der beziehung auch folgt in worten wenn die beobachtung des ereignisses das ereignis wahrscheinlicher macht begünstigt dann gilt auch umgekehrt begünstigt von dieser tatsache machen die werbepsychologen intensiv gebrauch wenn das ereignis eine person ist erfolgreich das auftreten von die person benutzt ein teures parfüm oder trägt kleidung der marke xy begünstigt vertrauen wir intuitiv darauf dass uns die benutzung dieses parfüms bzw das tragen dieser marke xy erfolgreicher macht die werbung signalisiert marke und erfolg gehören zusammen konstruieren sie eine vierfeldertafel bei der und gilt beweisen sie durch eine termumformung dass aus tatsächlich immer folgt dass also aus begünstigt stets begünstigt folgt tipp rechnen sie mit den variablen und in der nebenstehenden tafel zunehmen bleiben abnehmen summe junge mädchen summe weitere vertiefende aufgaben befinden sich auf seite aufgaben und hierbei entsteht eine sechsfeldertafel es können auch noch größere tafeln erstellt werden weitere aufgabe zum erforschen befinden sich auf seite aufgaben und vi stochastik

führen sie in ihrer stufe eine umfrage zur beliebtheit von deutsch und englisch durch sind in ihrer stufe die vorlieben für diese fächer voneinander abhängig es gibt ereignisse bei denen das eine ergebnis das andere beeinflusst und solche bei denen das nicht der fall ist beide fälle können auftreten wenn man kugeln zufällig aus einer urne zieht die urne fig enthält sechs rote und vier blaue kugeln und es werden zufällig zwei davon gezogen die ereignisse im ersten zug rot und im zweiten zug rot werden untersucht es ist {rr rb} und {rr br} außerdem ist {rr} das ereignis in beiden zügen rot die wahrscheinlichkeiten beim zweiten zug sind bedingte wahrscheinlichkeiten weil sie von den ergebnissen beim ersten zug abhängen es gilt beim ziehen mit zurücklegen und beim ziehen ohne zurücklegen ziehen mit zurücklegen ziehen ohne zurücklegen der erste zug beeinflusst den zweiten nicht der erste zug beeinflusst den zweiten fig fig die bedingte wahrscheinlichkeit soll mit verglichen werden es ergibt sich nach der pfadregel und der summenregel für {rr br} also gilt hier also gilt hier zwei ereignisse und heißen unabhängig wenn dann gilt auch nach der pfadregel gilt e)·p daraus folgt zwei ereignisse und sind genau dann unabhängig wenn e)·p fig das ereignis {rr} für das die wahrscheinlichkeit längs des jeweils linken pfades berechnet wird ist üblicherweise verwendet man dies zum nachweis von unabhängigkeit unabhängigkeit von ereignissen gesamt gesamt mögen deutsch mögen deutsch nicht mögen englisch mögen englisch nicht vi stochastik

es gibt viele situationen bei denen man die unabhängigkeit als modellannahme voraussetzt wenn man für eine folge von basketballwürfen wahrscheinlichkeiten ausrechnen will nimmt man an dass die einzelnen würfe voneinander unabhängig erfolgen in der realität ist das möglicherweise nicht ganz richtig da der werfer mit der zeit eventuell ermüdet es kann auch sein dass der werfer sich erst einwerfen muss und mit der zeit besser trifft nicht immer ist es offensichtlich dass sich zwei ereignisse und nicht beeinflussen dann verwendet man die beziehung e)·p als test ob zwei ereignisse voneinander unabhängig sind beispiel unabhängigkeit voraussetzen eine pumpanlage ist aus zwei einzelnen pumpen zusammengesetzt jede pumpe arbeitet mit 95-prozentiger wahrscheinlichkeit einwandfrei der hersteller gibt an dass die anlage mit mehr als wahrscheinlichkeit funktioniert wie hat der hersteller diesen wert wohl berechnet lösung der hersteller geht davon aus dass die pumpen voneinander unabhängig arbeiten es sei pumpe funktioniert 0,95 und pumpe funktioniert 0,95 dann ist wegen der unabhängigkeit von und 0,95·0,95 0,9025 also funktioniert die anlage mit einer wahrscheinlichkeit von 90,25 beispiel unabhängigkeit nachweisen bedingte wahrscheinlichkeiten bestimmen zwei würfel werden geworfen untersuchen sie die ereignisse und auf unabhängigkeit und bestimmen sie dabei ist der erste würfel zeigt eine und die augensumme beträgt die augensumme beträgt lösung {6–1 6–2 6–3 6–4 6–5 6–6} {1–6 2–5 3–4 4–3 5–2 6–1} {6–1} also sind und unabhängig es gilt daher {2–6 3–5 4–4 5–3 6–2} {6–2} also sind und nicht unabhängig es gilt unabhängigkeit bei beispiel hätte man hier auch aus der situation erkennen können denn für jede zahl des ersten würfels gibt es genau eine zahl beim zweiten würfel sodass die augensumme ist also spielt eine sechs beim ersten würfel keine rolle dabei ob am ende die augensumme erzielt wird dies gilt aber nicht in beispiel weil bei einer eins beim ersten würfel die augensumme nicht mehr erzielt werden kann also hängt das ereignis augensumme davon ab welches ereignis beim ersten würfel erzielt wird bei vielen aufgaben die bisher bearbeitet wurden ist stillschweigend unabhängigkeit angenommen worden fig die anlage funktioniert wenn beide pumpen einwandfrei arbeiten vi stochastik

aufgaben in einer fabrik werden fahrzeuge produziert die erfahrungsgemäß mit einer wahrscheinlichkeit von im ersten jahr eine panne haben ein unternehmen kauft vier solche fahrzeuge man nimmt an dass die fahrzeuge unabhängig voneinander ausfallen wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass kein fahrzeug im ersten jahr eine panne hat diskutieren sie ob die annahme der unabhängigkeit gerechtfertigt ist aus der urne in fig werden nacheinander zwei kugeln entnommen es sei die erste kugel trägt den buchstaben und die zweite kugel trägt den buchstaben die erste kugel wird nach dem ziehen zurückgelegt weisen sie nach e)·p die erste kugel wird nach dem ziehen nicht zurückgelegt weisen sie nach e)·p berechnen sie aus der urne in fig werden mit zurücklegen zwei kugeln entnommen es sei die erste kugel trägt den buchstaben untersuchen sie ob und die zweite kugel trägt den buchstaben unabhängig sind untersuchen sie ob und kein buchstabe kommt zweimal vor unabhängig sind berechnen sie bei den teilaufgaben und jeweils und in einem schwarzen strumpf befinden sich vier rote und drei blaue kugeln in einem weißen strumpf befinden sich acht rote und sechs blaue kugeln es wird ein strumpf ausgewählt und eine kugel aus dem gewählten strumpf gezogen untersuchen sie ob die ereignisse der schwarze strumpf wird gewählt und man zieht eine blaue kugel unabhängig sind wie ist es mit und überlegen sie sich mit ihrem nachbarn eine änderung des zufallsversuchs durch die man ein anderes ergebnis erhält ein elektronisches bauteil wird aus drei komponenten zusammengebaut komponente wird mit 98-prozentiger wahrscheinlichkeit komponente wird mit 95-prozentiger wahrscheinlichkeit und komponente mit 90-prozentiger wahrscheinlichkeit fehlerfrei produziert der chefplaner berechnet dass das bauteil mit einer wahrscheinlichkeit von 83,8 fehlerfrei funktioniert wie kommt der chefplaner zu diesem ergebnis zeit zu überprüfen ein medikament wirkt bei der behandlung einer krankheit mit einer wahrscheinlichkeit von heilend drei an der krankheit leidende patienten werden damit behandelt ein arzt überlegt sich dass das medikament mit einer wahrscheinlichkeit von 72,9 alle drei patien ten heilt wie kommt er zu diesem ergebnis bevor der dritte patient das medikament erhält erfährt er wie es bei den anderen beiden wirkt wie könnte sich das auf die wahrscheinlichkeit in teilaufgabe auswirken das glücksrad in fig wird zweimal gedreht es sei beim ersten drehen erscheint rot untersuchen sie ob das ereignis und das ereignis beim zweiten drehen erscheint blau unabhängig sind berechnen sie und rot zählt punkt gelb zählt punkte und blau zählt punkte sind dann die ereignisse und man erzielt zusammen höchstens punkte unabhängig fig eine weitere übungsaufgabe befindet sich auf seite aufgabe fig vi stochastik

im beispiel auf seite sind die ereignisse und unabhängig ist das auch der fall wenn man statt der normalen würfel zwei lego-achter verwendet fig begründen sie mithilfe der wahrscheinlichkeitsverteilung für den lego-achter siehe fig beim werfen eines würfels sei die augenzahl ist eine primzahl und die augenzahl ist gerade beschreiben sie das ereignis in worten und bestimmen sie seine wahrscheinlichkeit untersuchen sie ob und unabhängig sind wie beeinflusst das ereignis die wahrscheinlichkeit von ereignis argumentieren sie so wenn man schon weiß dass eine primzahl gewürfelt wurde dann wie beeinflusst das ereignis die wahrscheinlichkeit von ereignis die vierfeldertafel in fig zeigt wie viele schülerinnen und schüler am theodor-heuss-gymnasium thg und am lise-meitner-gymnasium lmg einheimisch oder auswärtig sind untersuchen sie ob einheimisch sein und zum-thg-gehen unabhängig sind wie kann man das an den daten der tabelle fig erkennen ein schüler verlässt das thg diskutieren sie mit ihrer gruppe wie sich das auf die unabhängigkeit in teilaufgabe auswirkt eine gruppe präsentiert ihr ergebnis die anderen nehmen dazu stellung der engländer galton ein vetter von charles darwin ermittelte daten zu augenfarben von vätern und ihren söhnen untersuchen sie mithilfe der vierfeldertafel in fig ob helläugigkeit beim vater und hell äugigkeit beim sohn unabhängig sind ein multiple-choice-test enthält sechs fragen mit jeweils drei antworten von denen nur eine richtig ist je eine antwort ist anzukreuzen kandidat hat keine ahnung welches die richtigen antworten sind er setzt zufällig seine kreuzchen wie kann man die wahrscheinlichkeit berechnen dass er mindestens eine frage richtig beantwortet welche annahme wird dabei gemacht kandidat glaubt dass bei zwei fragen jeweils antwort bei zwei fragen jeweils antwort und bei zwei fragen jeweils antwort richtig ist diskutieren sie ob man so vorgehen darf wie in teilaufgabe die vierfeldertafel zeigt das auftreten des plötzlichen kindstodes sids sudden infant death syndrom bei familien mit zwei kindern sids kind sids kind gesamt sids kind sids kind gesamt untersuchen sie die ereignisse sids beim kind und sids beim kind auf unabhängigkeit in einem gerichtsprozess im jahr 1999 hat ein englischer kinderarzt behauptet die wahrscheinlichkeit für das zweimalige auftreten des plötzlichen kindstodes in einer familie läge bei 12,5 mio welcher stochastische denkfehler ist dem arzt unterlaufen fig ergebnis wahrscheinlichkeit å0 3å å0 fig fig thg lmg gesamt einheimisch auswärtig 2å0 gesamt å050 fig sohn helläugig sohn nicht helläugig gesamt vater helläugig 4åå å5å vater nicht helläugig å48 3å8 gesamt 6å9 38å å000 eine weitere aufgabe zur vertiefung befindet sich auf seite aufgabe die stochastische ahnungslosigkeit der prozessbeteiligten hat sally clark 1999 unschuldig wegen zweifachen kindsmordes ins gefängnis gebracht recherchieren sie den fall im internet vi stochastik

erwartungswert und standardabweichung bei zufallsgrößen für die glücksradlotterie eines schulfestes stehen zwei gewinnmodelle zur auswahl die schule möchte möglichst viel gewinn machen sollte sie sich für lotterie oder für lotterie entscheiden datenerhebungen bzw zufallsexperimente liefern relative häufigkeitsverteilungen die man durch die kenngrößen mittelwert und empirische standardabweichung kennzeichnet wenn man eine wahrscheinlichkeitsverteilung als modell angeben kann so werden entsprechende theoretische kenngrößen festgelegt die man erwartungswert und standardabweichung nennt sie ermöglichen eine prognose der empirischen kenngrößen bei einem spiel wird zunächst einsatz bezahlt dann wird das glücksrad aus fig.1 dreimal gedreht wenn einmal blau erscheint erhält man als auszahlung bei zweimal blau und bei dreimal blau” gewinnt man bei dem spiel auf lange sicht entscheidend dafür ist der gewinn in euro die zufallsgröße kann bei dem spiel die werte oder annehmen mit einem baumdiagramm fig kann man die zugehörigen wahrscheinlichkeiten bestimmen und damit die wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsgröße in einer tabelle darstellen die wahrscheinlichkeit dass den wert annimmt ist auf lange sicht erwartet man aufgrund der tabelle durchschnittlich den gewinn bei der spiele den gewinn auch bei der spiele den gewinn bei der spiele und den gewinn bei der spiele somit beträgt der zu erwartende durchschnittliche gewinn in euro 1)· 0· 2· 5· 0,06 bei dem spiel wird man also auf lange sicht pro spiel etwa cent verlieren man nennt diesen wert erwartungswert von er wird bezeichnet mit kurz lies mü der erwartungswert gibt an welcher wert durchschnittlich bei einer großen zahl von durchführungen des zufallsexperiments zu erwarten ist er ist also eine prognose für den mittelwert eine theoretische standardabweichung lies sigma wird festgelegt welche die streuung der wahrscheinlichkeitsverteilung um den erwartungswert beschreibt und eine prognose für darstellt analogie die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses ermöglicht eine prognose seiner relativen häufigkeit fig fig den ergebnissen rrb rbr und brr ist der gewinn zugeordnet rot gekennzeichnete pfade in fig gewinn auszahlung minus einsatz der erwartungswert wird wie der mittelwert bei daten berechnet die relativen häufigkeiten werden ersetzt durch entsprechende wahrscheinlichkeiten ein spiel mit erwartungswert für den gewinn nennt man fair vi stochastik

für eine zufallsgröße mit den werten definiert man folgende kenngrößen erwartungswert von ·p ·p ·p standardabweichung von 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ·p ·p bei dem glücksspiel von der vorangehenden seite ist die standardabweichung in euro 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1,17 beispiel gegeben sei die zufallsgröße augensumme beim würfeln mit zwei würfeln bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung den erwartungswert und die standardabweichung von lösung die zufallsgröße kann die werte annehmen die wahrscheinlichkeitsverteilung graph siehe fig erhält man aus einem baumdiagramm so gilt für zum ereignis gehören die vier ergebnisse 1–4 2–3 3–2 und 4–1 da alle ergebnisse gleich wahrscheinlich sind ist wahrscheinlichkeitsverteilung erwartungswert 2· 3· 12· standardabweichung 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 2,41 beispiel faires spiel man setzt zunächst einen euro dann werden aus einer urne mit zwei roten und drei blauen kugeln zwei kugeln ohne zurücklegen gezogen fig man erhält eine auszahlung von wenn zwei gleiche kugeln gezogen werden wie groß ist wenn das spiel fair ist lösung das spiel ist fair wenn der erwartungswert für den gewinn ist der gewinn ergibt sich indem man vom auszahlungsbetrag den einsatz von einem euro abzieht die zufallsgröße gewinn in kann also die werte es wurden zwei verschiedenartige kugeln gezogen und es wurden zwei gleichartige kugeln gezogen annehmen {br rb} es muss gelten also 1·0,6 1)·0,4 lösung der gleichung für ein faires spiel muss die auszahlung 2,50 betragen das quadrat von wird als varianz bezeichnet 0,05 0,10 0,15 0,20 fig fig vi stochastik

aufgaben berechnen sie den erwartungswert und die standardabweichung für die zufallsgröße mit der wahrscheinlichkeitsverteilung in der tabelle die wahrscheinlichkeit dass bei der geburt eines welpen ein rüde erwartet werden kann beträgt die hündin ria wird drei junge bekommen die zufallsgröße gibt an wie viele rüden ria gebärt bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung den erwartungswert und die standardabweichung von interpretieren sie den erwartungswert beim lotto aus ist für die zufallsgröße anzahl der richtigen pro tipp” die wahrscheinlichkeitsverteilung gerundet in der tabelle angegeben fig berechnen sie den erwartungswert und die standardabweichung für die anzahl der richtigen interpretieren sie den erwartungswert aus einem beutel mit zwölf 50-cent-münzen fünf 1-euro-münzen und acht 2-euro-münzen nimmt man zwei münzen ohne zurücklegen welchen geldbetrag wird man durchschnittlich herausziehen wie stark streuen die geldbeträge um die zufallsgröße gibt den gewinn in euro bei einem glücksspiel mit einem einsatz von an die tabelle gibt ihre wahrscheinlichkeitsverteilung an berechnen sie den erwartungswert und die standardabweichung von wie groß muss der einsatz sein damit das spiel fair ist ändern sie die maximale auszahlung so ab dass das spiel bei einem einsatz von fair ist gegeben sei die zufallsgröße zahl der wappen beim dreifachen münzwurf bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung den erwartungswert und die standardabweichung von zeichnen sie den zugehörigen graphen und markieren sie den erwartungswert und das intervall simulieren sie mit einer tabellenkalkulation oder einem gtr würfe mit drei münzen berechnen sie den mittelwert und die empirische standardabweichung ihrer urliste erstellen sie den graphen der häufigkeitsverteilung vergleichen sie mit den teilaufgaben und zeit zu überprüfen berechnen sie für die zufallsgröße mit der wahrscheinlichkeitsverteilung in der tabelle den erwartungswert und die standardabweichung bei einer lotterie zahlt man einen einsatz von cent und dreht das glücksrad in fig zwei mal bei zwei gleichen farben wird ein euro ausbezahlt sonst nichts geben sie die wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsgröße gewinn in euro an berechnen sie den erwartungswert und die standardabweichung für den gewinn kann man den einsatz so ändern dass die lotterie fair ist 0,436 0,413 0,132 0,0177 0,000969 1,85 ·10 –5 7,15 ·10 –8 fig gewinn auszahlung minus einsatz eine weitere übungsaufgabe befindet sich auf seite aufgabe fig vi stochastik

beim würfelspiel 12” werden zwei würfel gleichzeitig geworfen die bank zahlt dem spieler das zehnfache der augensumme in cent aus sofern diese oder ist bei der augensumme oder erhält er das fünffache in cent und bei der augensumme oder das doppelte in cent bei den augensummen bis wird so viel in cent ausbezahlt wie die augensumme angibt geben sie die wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsgröße auszahlung der bank” an welchen einsatz muss die bank mindestens verlangen damit sie längerfristig keinen verlust macht in einem werk sind bei einer qualitätskontrolle erfahrungsgemäß bei der lampen keine mängel feststellbar untersuchen sie den fall dass drei lampen kontrolliert werden berechnen sie den erwartungswert der zufallsgröße anzahl der funktionierenden lampen” hätte man das ergebnis einfacher erhalten können bei den eishockeyplayoffs playoffs sind ausscheidungsspiele spielen zwei mannschaften so oft gegeneinander bis eine der beiden drei spiele für sich entschieden hat unentschieden gibt es nicht mit wie vielen spielen ist im mittel zu rechnen wenn man davon ausgeht dass beide mannschaften gleich stark sind wie groß ist die zugehörige standardabweichung chuck-a-luck ist ein würfelspiel aus amerika mit folgenden regeln it is played with three dice and layout numbered from one to six upon which the players place their bets the banker then rolls the dice by turning over an hourglassshaped wire cage in which they are contained the payoffs are usually to on singles to on pairs and to on triples appearing on the dice for example if player places bet on six and two sixes appear on the dice the player is paid off at to the game can be found in some american and european casinos and gambling houses ein spieler setzt immer wieder einen dollar auf sechs er möchte wissen wie viel er auf lange sicht gewinnt oder verliert eine zeitschrift veröffentlicht wöchentlich ein kreuzworträtsel unter den einsendern des richtigen lösungswortes wird ein preis zu 1000 vier preise zu je und preise zu je verlost wie groß ist der erwartungswert für den gewinn in wenn man von richtig eingegangenen lösungen ausgeht wie groß ist die standardabweichung wie viele lösungen müssten eingehen damit der zu erwartende gewinn gerade dem porto der postkarte von 0,45 entspricht bei dem spiel wer war’s kommen verdächtige in frage einen ring gestohlen zu haben die spieler versuchen gemeinsam den täter zu finden sie tippen zufällig auf die verdächtigen bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsvariablen die die anzahl der benötigten tipps bis zur entlarvung des täters angibt die spieler haben nur vier tippmöglichkeiten um den täter zu finden die zufallsvariable zählt dabei mit dem wert wenn der täter nicht gefunden wurde und mit dem wert wenn der täter gefasst wurde bestimmen sie den erwartungswert und die standardabweichung für die anzahl der erfolgreichen täterergreifungen pro spiel weitere aufgaben zur anwendung befinden sich auf seite aufgabe und vi stochastik

info aufgaben kombinatorik mit tabellenkalkulation befehl beispiel ziehen mit zurücklegen die reihenfolge wird berücksichtigt befehl =n^k anzahl der verschiedenen vierstelligen pin aus buchstaben ziehen ohne zurücklegen die reihenfolge wird berücksichtigt befehl =variationen(n;k anzahl der möglichen besetzungen der ersten drei plätze bei teilnehmern einer wm ziehen ohne zurücklegen die reihenfolge wird nicht berücksichtigt befehl =kombinationen(n;k anzahl der verschiedenen kombinationen von gezogenen zahlen beim lotto aus erwartungswert und standardabweichung für eine wahrscheinlichkeitsverteilung lassen sich mithilfe einer tabellenkalulation auch der erwartungswert und die standardabweichung bestimmen die tabelle zeigt die wahrscheinlichkeitsverteilung für den gewinn bei einem glücksspiel die tabellenkalkulation hat keine funktion mit der die berechnung von erwartungswert und standardabweichung direkt möglich ist in der zelle d4 wird der erwartungswert berechnet mit =summenprodukt(b1:e1;b2:e2 die standardabweichung in zelle d5 ergibt sich mit =wurzel(summenprodukt((b1:e1-d4)^2;b2:e2 zusätzlich wurde hier noch auf zwei stellen gerundet =runden(...;2 beim fußballtoto kreuzt man als vorhersage bei elf fußballspielen an ob der gastgebende verein gewinnt ob der gast gewinnt oder ob das spiel unentschieden endet ein möglicher tipp ist dann beim ersten spiel gewinnt der gastgeber beim zweiten der gast das dritte endet unentschieden usw angenommen alle mannschaften sind gleich stark mit welcher wahrscheinlichkeit tippt man dann alle ergebnisse richtig wie viele tipp-möglichkeiten gibt es es ist möglich alle spiele falsch zu tippen auf wie viele arten geht das bei einem würfelspiel mit vier würfeln geben nur würfe punkte bei denen mindestens eine sechs vorkommt eine sechs zählt punkte zwei sechsen zählen punkte und drei sechsen zählen 1000 punkte und vier sechsen zählen punkte wie groß sind der erwartungswert und die standardabweichung der punktzahl wie groß sind der erwartungswert und standardabweichung für die zahl der wappen beim 4-maligen münzwurf wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass beim zehnmaligen münzwurf mindestens einmal zahl unten liegt wie viele verschiedene ergebnisse gibt es beim zwanzigmaligen münzwurf weitere aufgaben zur vernetzung befinden sich auf seite aufgabe und vi stochastik

wiederholen vertiefen vernetzen wiederholen und üben timo bietet an beim würfeln den dreifachen wert der augenzahl in auszuzahlen welchen einsatz müsste er verlangen um langfristig bei jedem spiel cent zu gewinnen ein lego-vierer laplace-würfel wird zweimal geworfen beschreiben sie folgende ereignisse durch angeben von mengen und bestimmen sie die zugehörigen wahrscheinlichkeiten mindestens ein würfel zeigt die beide augenzahlen sind gleich beide augenzahlen sind unterschiedlich die augensumme liegt über die augensumme liegt unter in einer schale liegen sechs kugeln siehe fig man entnimmt daraus ohne hinsehen nacheinander zwei kugeln mit zurücklegen vor jedem zug werden die kugeln gut gemischt die ergebnisse werden in der form notiert falls die erste kugel die nummer und die zweite kugel die nummer trägt betrachten sie die ereignisse die summe der zahlen auf den kugeln beträgt höchstens und {11 41} geben sie in mengenschreibweise an beschreiben sie und das gegenereignis von in worten bestimmen sie und untersuchen sie und auf unabhängigkeit die nebenstehende 8-feldertafel zeigt wie die schriftbilder einer klassenarbeit von einem großen gremium aus schülern und lehrern bewertet wurden bestimmen sie die bedingten wahrscheinlichkeiten dafür dass eine mit bzw bewertete arbeit von einem jungen stammt übersetzen sie das nebenstehende baumdiagramm in eine vierfeldertafel erstellen sie ein baumdiagramm in dem und auf der ersten stufe stehen bestimmen sie die bedingten wahrscheinlichkeiten und und formulieren sie eine aussage im kontext von haarfarben untersuchen sie und auf unabhängigkeit vertiefen und anwenden ein roter und ein schwarzer laplace-würfel werden gleichzeitig geworfen bestimmen sie die zugehörige wahrscheinlichkeitsverteilung und deren erwartungswert die augenzahl des roten wird von der augenzahl des schwarzen würfels subtrahiert ii die kleinere augenzahl wird von der größeren subtrahiert sandra wirft zwei würfel und addiert die augenzahlen heiko nimmt nur einen würfel und verdoppelt die augenzahl das kommt aufs gleiche hinaus meint er nehmen sie stellung ein tetraeder wird so lange geworfen bis eine seite zum zweiten mal unterliegt bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung für die anzahl der würfe sowie den erwartungswert würfel vierer fig note junge mädchen mutter ist blond tochter ist blond vi stochastik

wiederholen vertiefen vernetzen ein angestellter fährt an von arbeitstagen mit der bahn nach hause in zwei drittel dieser fälle kommt er pünktlich an durchschnittlich ist er an von arbeitstagen pünktlich eines abends kommt er pünktlich an mit welcher wahrscheinlichkeit hat er die bahn benutzt zur früherkennung einer stoffwechselkrankheit bei säuglingen wurde eine neue untersuchungsmethode entwickelt bei anwendung dieser methode wird in 0,01 aller fälle eine vorliegende stoffwechselkrankheit nicht entdeckt während sie in aller fälle irrtümlich eine krankheit anzeigt durchschnittlich haben bei millionen geburten säuglinge diese stoffwechselkrankheit wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass ein als krank diagnostizierter säugling wirklich diese stoffwechselkrankheit hat timo wirft sechsmal eine münze und zählt wie oft hierbei zahl erscheint jonas würfelt mit einem laplace-würfel jeder führt sein experiment dreimal durch und notiert seine ergebnisse auf einem zettel einer der zettel wird zufällig gewählt mit welcher wahrscheinlichkeit stammt der zettel von timo wenn auf dem zettel steht untersuchen sie allgemein oder an einem selbst gewählten beispiel die aussage immer dann wenn und stochastisch unabhängig sind sind auch und stochastisch unabhängig vernetzen und erforschen maike hat einen spickzettel geschrieben erläutern sie die tabelle in einem kleinen vortrag an einem selbst ausgewählten beispiel mithilfe geeigneter zahlen tina meint dass man in der vierten zeile wahrscheinlichkeiten auch erst nach einem experiment festlegen kann sie begründet das mit dem spruch aus erfahrung wird erwartung kommentieren sie erläutern sie die folgenden aussagen an je einem beispiel es gibt wahrscheinlichkeitsverteilungen die keinen erwartungswert besitzen bei symmetrischen wahrscheinlichkeitsverteilungen liegt der erwartungswert in der mitte begründen sie die aussage an ihrem beispiel nach einer meldung soll es facebook im mai 2013 gelungen sein aus der analyse gesendeter meldungen das geschlecht des mitglieds eindeutig zu identifizieren wie würden sie prinzipiell vorgehen um eine solche geschlechtserkennung zu realisieren im speicher eines gtr ist die trefferwahrscheinlichkeit abgespeichert es kommen nur oder infrage der taschenrechner lieferte tntt wie wahrscheinlich ist es dass im speicher und nicht steht erläutern sie an diesem beispiel wie man mit bedingten wahrscheinlichkeiten das lernen aus erfahrung modellieren kann datenerhebung/zufallsexperiment mit möglichen ergebnissen realität relative häufigkeiten modell wahrscheinlichkeiten summe summe nach experiment vor experiment schwanken festgelegt bei symmetrien ungefähr gleich genau gleich mittelwert erwartungswert vi stochastik

exkursion das ziegenproblem wechseln oder nicht immer wieder gibt es fragestellungen die von menschen kontrovers diskutiert werden oft liegt dies daran dass es keine eindeutige antwort gibt erstaunlicherweise gibt es auch in der mathematik solche fragestellungen erstaunlich deshalb weil man eigentlich annehmen könnte dass die mathematik immer klare und eindeutige antworten liefert mit dem ziegenproblem wird nun eine interessante fragestellung aufgezeigt bei der viele menschen durch das vertrauen auf ihre intuition zu einer falschen antwort gelangen fig am ende einer quizsendung darf der kandidat eine von drei türen wählen hinter einer der türen verbirgt sich der hauptgewinn ein auto hinter den beiden anderen türen befindet sich je eine ziege nachdem der kandidat eine tür ausgewählt hat öffnet der quizmaster eine der beiden anderen türen eine ziege meckert ihn an der quizmaster bietet dem kandidaten die möglichkeit seine ursprüngliche wahl zu ändern und die andere noch geschlossene tür zu nehmen was soll der kandidat tun wechseln die erstwahl beibehalten oder ist es sowieso egal die frage ob der kandidat die tür wechseln sollte wurde in den sitzungssälen des cia und den baracken der golfkriegspiloten diskutiert sie wurde von mathematikern am massachusetts insti tute of technology und von programmierern am los alamos national laboratory in new mexico untersucht und in über tausend schulklassen des landes analysiert aus der new york times vom 21.7.1991 vi stochastik

exkursion spielen sie das auto-ziege-spiel für zwei damit sie auf die frage des kandidaten vielleicht eine antwort finden erstellen sie dazu einen spielplan wie unten angegeben der quizmaster einer von ihnen schreibt auf ein blatt geheim die tür hinter der das auto steht der kandidat der andere kreuzt die tür seiner wahl an der quizmaster öffnet dem kandidaten eine tür mit kreis markieren der kandidat kann auf die verbleibende tür wechseln karo eintragen oder er bleibt bei seiner wahl der quizmaster löst das spiel auf und trägt bei wechsel ein kreuz ein wenn der kandidat gewechselt hat und bei einem gewinn noch ein kreuz in das entsprechende kästchen nach spielen werden die rollen gewechselt notieren sie am ende die zahl der spiele mit und ohne wechsel sowie die zahl der gewinne mit bzw ohne wechsel können sie einen trend entdecken spiel tür wechsel gewinn nun werden die ergebnisse aller gruppen gesammelt und ausgewertet gibt es nun einen trend wieso lässt sich der trend nicht bei jeder gruppe eindeutig erkennen man kann das spiel auch simulieren erstellen sie selbst eine simulation mit einer tabellenkalkulation oder laden sie die entsprechende datei über den code auf dem rand herunter simulieren sie durch führungen der quizsendung was stellen sie fest mithilfe einer großen anzahl von durchführungen soll nun das problem durch über legungen gelöst werden nehmen sie an die quizsendung findet 300-mal statt der quizmaster wählt jedesmal zufällig eine tür hinter der das auto versteckt wird wie oft wird er jede tür etwa wählen wie oft etwa werden die kandidaten gleich am anfang die richtige tür wählen der quizmaster öffnet eine der nicht gewählten türen hinter der sicher eine ziege steht wie oft etwa steht hinter der anderen tür das auto was ergibt sich aus den antworten zu und ziegenproblem xxxxx ziege ziege auto vi stochastik

exkursion das bei der vorigen aufgabe gewonnene ergebnis kann auch mithilfe von wahrscheinlichkeiten begründet werden der quizmaster wählt jedes mal zufällig eine tür hinter der das auto versteckt wird mit welcher wahrscheinlichkeit wählt er jede tür mit welcher wahrscheinlichkeit wählen die kandidaten sofort die richtige tür der quizmaster öffnet eine der nicht gewählten türen hinter der sicher eine ziege steht mit welcher wahrscheinlichkeit steht hinter der anderen tür das auto was ergibt sich aus den antworten zu und das ziegenproblem sorgte vor allem für großes aufsehen weil sich die frau mit dem angeblich höchsten intelligenzquotienten in den usa marilyn vos savant dazu äußerte sie gab in ihrer kolumne frag marilyn in der amerikanischen illustrierten parade den rat wechseln dies rief einen sturm der entrüstung quer durch die usa hervor es gab nicht viele leute die ihr zustimmten wohl aber genug die sich über ihre behauptung entsetzten darunter waren viele universitätsprofessoren der abgedruckte brief enthält eine kritik an marilyns beweisführung wie sie im wesent lichen in den aufgaben und wiedergegeben ist was würden sie anstelle von marilyn auf diesen brief antworten es gibt einige varianten zum ziegenproblem die in der diskussion auftauchten angenommen anna und boris sind kandidaten anna wählt tür boris wählt tür nun öffnet der quizmaster tür sollen jetzt anna und boris ihre türen tauschen um ihre chancen zu erhöhen überlegen sie wieso hier die argumentation aus den aufgaben und nicht anwendbar ist statt zwei ziegen und einem auto sind nun zwei autos und eine ziege hinter den türen versteckt die kandidatin wählt tür nun sagt der quizmaster soll ich ihnen mal zeigen hinter welcher tür ein auto steht dann macht er eine tür auf und ein auto ist zu sehen soll ich nun wechseln oder nicht überlegt die kandidatin überlegen sie mit ihrem partner welchen tipp man der kandidatin geben sollte sorry marilyn there’s nothing wrong with your math but if were the game show host and you were the contestant i’d offer you the option to switch only if you initi ally chose the correct door in this case the first door has chance of winning the second door has chance and switching would be sure loser unless you understand the motives and behavior of the game show host all the mathematics in the world won’t help you answer this question host quizmaster contestant kandidat switch wechseln initially anfangs behavior verhalten fig vi stochastik

rückblick ereignis gegenereignis vereinigungsmenge schnittmenge ein ereignis ist eine teilmenge der ergebnismenge die wahrscheinlichkeit eines ereignisses wird bestimmt indem man die wahrscheinlichkeiten der zugehörigen ergebnisse addiert zu jedem ereignis gibt es ein gegenereignis das alle ergebnisse enthält die nicht zu gehören man kann aus berechnen denn es gilt alle ergebnisse die zugleich in und in liegen bilden die schnittmenge alle ergebnisse die in oder in liegen bilden die vereinigungsmenge aus einer urne mit sechs roten und vier blauen kugeln wer den blind zwei kugeln mit zurücklegen gezogen ergebnismenge {rr rb bb br} es sei mindestens eine kugel ist rot die erste kugel ist blau {rr rb br} {bb br} gegenereignis von ist {bb} keine kugel ist rot {br} {rr rb bb br} pfadregel mehrstufige zufallsexperimente lassen sich durch baumdiagramme beschreiben jedem ergebnis des gesamtexperiments entspricht ein pfad im baum vom startpunkt zu einem endpunkt die wahrscheinlichkeit eines ergebnisses ist gleich dem produkt der wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen pfades summenregel die wahrscheinlichkeit für ein ereignis ist gleich der summe der wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen ergebnisse das ergebnis rr hat die wahrscheinlichkeit 0,6·0,6 0,36 für das ereignis mindestens eine kugel ist rot gilt rr rb br 0,36 0,24 0,24 0,84 additionssatz für zwei ereignisse und ist für die ereignisse und des obigen beispiels gilt 0,84 0,24 0,84 0,24 bedingte wahrscheinlichkeit unabhängigkeit von ereignissen zwei ereignisse und sind genau dann unabhängig wenn gilt e)·p die wahrscheinlichkeit dass unter der bedingung eintritt heißt bedingte wahrscheinlichkeit von unter der bedingung es gilt die ereignisse und des obigen beispiels sind nicht unabhängig denn 0,24 e)·p 0,84 0,336 die bedingte wahrscheinlichkeit von unter der bedingung beträgt 0,24 0,84 0,286 vierfeldertafel in einer vierfeldertafel werden die daten von zweistufigen zufallsexperimenten mit den ereignissen und und ihren jeweiligen gegenereignissen dargestellt die bedingten wahrscheinlichkeiten sind jeweils die anteile der zelleninhalte an den spaltenbzw zeilensummen unabhängig sind die ereignisse wenn gilt mutter blond nicht blond summe sohn blond sohn nicht blond summe 1000 mutter blond sohn blond sohn blond 1000 die ereignisse mutter blond und sohn blond sind nicht unabhängig zufallsgröße theoretische kenngrößen einer zufallsgröße sind erwartungswert ·p ·p ·p und standardabweichung 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ·p ·p wird als varianz bezeichnet aus einer urne mit vier roten und zwei blauen kugeln werden blind zwei kugeln ohne zurück legen gezogen anzahl roter kugeln wahrscheinlichkeitsverteilung siehe tabelle vi stochastik

testest nach einer statistik der deutschen bahn verkehren etwa prozent der fernzüge pünktlich mit maximal minuten verspätung tim fährt fünfmal mit einem fernzug er berechnet die wahrscheinlichkeit dass mindestens ein zug nicht pünktlich ist mit der formel 0,95 unter welcher voraussetzung kann er die formel anwenden wieso ist die annahme die in aufgabe gemacht wurde nicht unbedingt richtig eine münze wird so lange geworfen bis eine seite zum zweiten mal erscheint bestimmen sie die wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsgröße anzahl der würfe sowie den erwartungswert und die standardabweichung von constantin meint wenn ich zweimal würfle ist die wahrscheinlichkeit dafür dass eine sechs dabei ist denn bei einmal würfeln ist die wahrscheinlichkeit hat constantin recht wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass beim würfeln mit sechs würfeln mindestens eine sechs dabei ist wo verwenden sie bei der berechnung die unabhängigkeit von ereignissen das glücksrad fig wird zweimal gedreht geben sie das ereignis in mengenschreibweise an und berechnen sie seine wahrscheinlichkeit liegt ein laplace-versuch vor ergebnisse sind farben r–g wenn beim ersten drehen rot und beim zweiten drehen grün erscheint rot kommt mindestens einmal vor ergebnisse sind zahlen 2–6 wenn beim ersten drehen und beim zweiten drehen erscheint es kommt mindestens eine vor aus den buchstaben und sollen zufällig wörter mit drei buchstaben auch sinnlose gebildet werden dabei darf jeder buchstabe nur einmal verwendet werden betrachtet werden die ereignisse steht hinten und ein vokal steht in der mitte geben sie die ereignisse und als mengen an und bestimmen sie ihre wahrscheinlichkeit beschreiben sie die ereignisse und in worten und berechnen sie ihre wahrscheinlichkeit untersuchen sie ob und unabhängig sind berechnen sie für die zufallsgröße mit der wahrscheinlichkeitsverteilung in der tabelle rechts den erwartungswert von beschreiben sie die bedeutung des erwartungswertes von in einem land wurde eine statistische erhebung durchgeführt dabei wurden folgende anteile an der bevölkerung ermittelt der anteil der berufstätigen beträgt der anteil der politisch interessierten beträgt der anteil der politisch interessierten die nicht berufstätig sind beträgt berechnen sie die in der tabelle fehlenden anteile unter allen politisch interessierten wird zufällig eine person ausgewählt bestimmen sie die wahrscheinlichkeit dass sie berufstätig ist unter allen berufstätigen wird eine person zufällig ausgewählt wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass sie politisch interessiert ist fig anteile berufstätig nicht berufstätig gesamt politisch interessiert 0,14 nicht politisch interessiert gesamt 0,60 vi stochastik lösungen auf seite xxx xxx

lösungen pi el zei überprü en ei ​=​625​ b)​5·4·3·2​=​120 zugehöriges urnenexperiment man zieht aus einer urne mit fünf kugeln​mit​den​nummern​1​bis​5.​bei​teilaufgabe​a)​zieht​man​mit,​ bei​teilaufgabe​b)​ohne​zurücklegen 15·14·13 2730 ii 3​ 15·14·13 pi el zei überprü en ei e:​„die​zahl​ist​eine​primzahl.“,​​e​=​{2,​3,​5,​7,​11,​13,​17,​19} f:​„die​zahl​ist​durch​5​teilbar.“,​​f​=​{0,​5,​10,​15} ​f​=​{5} ​f​=​{0,​2,​3,​5,​7,​10,​11,​13,​15,​17,​19} c)​ e​​​=​{0,​1,​4,​6,​8,​9,​10,​12,​14,​15,​16,​18} ​f​​​=​{1,​4,​6,​8,​9,​12,​14,​16,​18} pi el zei überprü en ei wenn​man​die​nummern​auf​den​kugeln​notiert,​gibt​es​insge samt 25​gleich​wahrscheinliche​ergebnisse​1­1;​1­2;​1­3;​…​;​5­5 a)​ e:​„die​erste​kugel​ist​rot.“;​​p​(e)​=​​​ ​​.​ f:​„die​summe​beträgt​6.“;​​f​=​{1­5;​2­4;​3­3;​4­2;​5­1};​​ p​(f)​=​​​ ​​ ​f​=​{1­5;​3­3;​4­2};​​p​(e​ ​​ also​​p​(e​ ​f)​=​p​(e)​+​p​(f)​–​p​(e​ ​+​​​ ​–​​​ ​​ b)​e:​„die​zahl​auf​der​ersten​kugel​ist​größer​als​die​auf​der​zweiten​kugel.“;​​ e​=​{2­1;​3­1;​3­2;​4­1;​4­2;​4­3;​5­1,​5­2;​5­3;​5­4};​ p​(e)​=​​​ ​​ f:​„die​zweite​kugel​ist​grün.“;​​p​(f)​=​​​ ​​ ​f​=​{3­2;​4­2;​5­2};​​p​(e​ ​​,​ also​​p​(e​ ​f)​=​p​(e)​+​p​(f)​–​p​(e​ ​+​​​ ​–​​​ ​​ pi el zei überprü en ei a)​ 25​vielfache​von​4,​darunter​5​vielfache​von​5.​ die​gesuchte​wahrscheinlichkeit​beträgt​​​​ ​=​0,2 b)​8​vielfache​von​4​und​von​3,​darunter​eine​zahl,​die​auch​ vielfaches​von​5​ist​(60 die​gesuchte​wahrscheinlichkeit​beträgt​​​​ ​=​0,125 pi el zei überprü en ei a)​ s​=​{0,​1,​2,​3,​4,​5,​6,​7,​8​,9} ergebnis summe wahrscheinlichkeit b)​s​=​{hellblau,​dunkelblau} ergebnis hellblau dunkelblau summe wahrscheinlichkeit pi el zei überprü en ei mögliche​lösung:​für​jedes​ergebnis​wird​das​arithmetische​mittel​ der​relativen​häufigkeiten​gruppe​1​und​gruppe​2​als​wahrscheinlichkeit​genommen ergebnis summe wahrscheinlichkeit 9,4​% 6,8​% 33,1​% 32​% 7,4​% 11,3​% 100​% die​summe​der​wahrscheinlichkeiten​muss​100​%​ergeben pi el zei überprü en ei a)​ etwa​ 33,2​%​+​19,8​%​+​16,5​%​=​69,5​%​ der​98​anwesenden​ schülerinnen​und​schüler​der​eingangsklassen​sehen​mehr​als​2​ stunden​täglich​fern,​also​etwa​68​schülerinnen​und​schüler b)​in​teilaufgabe​a)​macht​man​die​annahme,​dass​sich​die​ prozentzahlen​der​umfrage​unmittelbar​auf​die​betrachteten​ schülerinnen​und​schüler​übertragen​lassen,​dass​diese​also​eine​ repräsentative​stichprobe​darstellen pi el zei überprü en ei a)​ s​=​{ttt,​ttn,​tnt,​ntt,​tnn,​ntn,​nnt,​nnn} ttt ttn tnt ntt tnn ntn nnt ttt p​(e 0,729 0,081 0,081 0,081 0,009 0,009 0,009 0,001 b)​e​=​{ttt,​ttn,​tnt,​ntt} p​(e)​=​0,9 ​+​0,9·0,9·0,1​+​0,9·0,1·0,9​+​0,1·0,9·0,9​=​0,972 e​​:​„der​spieler​trifft​höchstens​einmal ​=​1​–​0,972​=​0,028 c)​ p​(der​spieler​trifft​höchstens​zweimal.)​ =​1​–​p​(der​spieler​trifft​dreimal =​1​–​0,9 ​=​0,271 ösungen

lösungen a)​ x​sei​die​zufallsgröße;​​gewinn​=​auszahlung​–​einsatz wahrscheinlichkeitsverteilung​von​x –​0,5 p​(x​=​k 0,625 0,375 ​=​–​0,125;​​ ​≈​0,48 c)​ bei​einem​einsatz​von​e​€​müsste​die​gleichung​​ –​e·0,625​+​(1​–​e)·0,375​=​0​​gelten.​lösung​​e​=​0,375 da​es​keine​halben​cent​gibt,​ist​es​nicht​möglich,​den​einsatz​ entsprechend​abzuändern.​ summe 30​% 10​% 40​% 30​% 30​% 60​% summe 60​% 40​% 100​% ​(z)​=​​p​ ​​(​ %;​​​p​ r)​=​​​ %;​ ​(z)​=​​p​ ​​(​ ​(r)​=​​p​​​(​ 30​% 60​% ​=​50​% pi el zei überprü en ei a)​ der​arzt​nimmt​an,​dass​die​wirkung​des​medikaments​bei​ den​drei​patienten​unabhängig​erfolgt.​daher​ergibt​sich​die​ wahrscheinlichkeit,​dass​das​medikament​alle​drei​patienten​heilt,​ als​produkt​der​einzelnen​(hier​gleichen)​heilungswahrscheinlichkeiten,​also​​0,9·0,9·0,9​=​0,729 b)​die​unabhängigkeit​könnte​verloren​gehen:​wenn​das​ medikament​positiv​bzw.​negativ​wirkt,​ist​möglicherweise​die​ heilungswahrscheinlichkeit​für​den​dritten​patienten​größer​bzw.​ umgekehrt.​auch​aus​diesem​grunde​dürfen​bei​medizinischen​ testreihen​die​patienten​nicht​die​wirkung​bei​anderen​sehen.​ nicht​einmal​der​arzt​darf​dabei​wissen,​welches​medikament​er​ verabreicht,​um​jegliche​beeinflussung​auszuschließen e​=​{r­r,​r­b,​r­g};​​p​(e)​=​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ das​erhält​man​natürlich​auch​unmittelbar a)​ f​=​{r­b,​b­b,​g­b};​​p​(f)​=​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​​ das​erhält​man​natürlich​auch​unmittelbar ​f​=​{r­b};​​p​(e​ ·​​ ​=​p​(e)·p​(f).​​ also​sind​e​und​f​unabhängig ​(f)​=​​​ p​(e​ p​(e ​=​p​(f ​(e)​=​​​ p​(e​ p​(f ​=​p​(e b)​g​=​{r­r,​r­g,​g­r};​​p​(g)​=​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​g​=​{r­r,​r­g};​​p​(e​ ​g)​=​​​ ·​​ ​+​​​ ·​​ ​≠​p​(e)·p​(g also​sind​e​und​g​nicht​unabhängig pi el zei ie er olen ei ​=​(–​2)​·​0,05​+​1​·​0,2​+​4​·​0,4​+​7​·​0,35​ =​4,15 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 –​2​–​4,15 ​·​0,05​+​(1​–​4,15 ​·​0,2​+​(4​–​4,15 ​·​0,4​+​​ 7​–​4,15 ​·​0,35​​​ ≈​2,59

lösungen test {asu sau} {aus uas sau sua} steht hinten und ein vokal steht in der mitte steht hinten oder ein vokal steht in der mitte {sau} man kann hier auch zusammenfassen {asu aus sau sua uas} daran sieht man auch dass da e)·p und sind und nicht unabhängig ob der vokal hinten steht beeinflusst die wahrscheinlichkeit dass ein vokal in der mitte steht 10· 0· 1· 3· der erwartungswert beschreibt die zahl die die zufallsgröße im mittel annimmt berufstätig nicht berufstätig gesamt politisch interessiert 0,42 0,14 0,56 nicht politisch interessiert 0,18 0,26 0,44 gesamt 0,42 0,56 0,75 0,42 0,60 pi el es ei tim setzt voraus dass die pünktlichkeit der züge voneinander unabhängig ist dann kann er die wahrscheinlichkeit dafür dass alle züge pünktlich sind mit 0,95 berechnen das gegenereignis hierzu ist mindestens ein zug ist nicht pünktlich also ist die gesuchte wahrscheinlichkeit 0,95 die unabhängigkeit der pünktlichkeit verschiedener züge muss nicht unbedingt gelten wenn tim immer an tagen fährt bei denen das verkehrsaufkommen sehr groß ist beeinflussen sich verspätungen bei zügen vor allem wenn auf anschlusszüge gewartet wird {ww zz} {wzw wzz zww zwz} 2· 3· 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ·​​ ·​​ constantin hat nicht recht hätte er recht so wäre bei sechs würfen sicher eine sechs dabei man kann auch ausführlich mithilfe des additionssatzes bzw mithilfe eines baumdiagramms argumentieren nach dem additionssatz ist die gesuchte wahrscheinlichkeit denn ist das ereignis beim ersten wurf 6‘‘ und das ereignis beim zweiten wurf so ist die gesuchte wahrscheinlichkeit denn die wahrscheinlichkeit für bei beiden würfen ist auch mithilfe eines baumdiagramms ergibt sich das gleiche ergebnis über das gegenereignis keine sechs in zwei würfen da das gegenereignis die wahrscheinlichkeit hat fallen einer sechs ist bei den einzelnen würfen unabhängig daher kann man in den pfaden am baumdiagramm für nicht immer verwenden die gesuchte wahrscheinlichkeit beträgt ​≈​66,5​% es liegt ein laplace-experiment mit gleichwahrscheinlichen ergebnissen vor da alle farben einen viertelkreis belegen {r-r r-b r-l r-g b-r l-r g-r} es liegt kein laplace-experiment vor da die zahlen nicht gleich große kreisausschnitte belegen {6-1 6-2 6-6 1-6 2-6} ​·​​ ​·​​ ​·​​ ​·​​ alternative berechnung über das gegenereignis keine kommt vor mit ​·​​ also

lösungen auf seite check-in pi el ik checkliste aufgabe das kann ich gut ich bin noch unsicher das kann ich noch nicht bei spiele ich weiß wie man relative häufigkeiten berechnet ich kann mit prozenten und anteilen rechnen ich kann absolute und relative häufigkeiten in säulen und kreisdiagrammen darstellen ich kann den arithmetischen mittelwert einer zahlenreihe bestimmen ben jan hat 20-mal in eine lostrommel hineingegriffen und dabei nieten gezogen berechnen sie im kopf die relative häufigkeit für gewinn als bruch und in prozent jana erreichte bei ziehungen die gewinnquote wie hoch ist die relative häufigkeit der nieten wie viele nieten hat sie gezogen bei der bundestagswahl 2013 haben sich ca 71,5 der mio wahlberechtigten an der wahl beteiligt die stimmenverteilung für die einzelnen parteien ist in fig dargestellt geben sie die anteile der stimmenverteilung als bruch und als dezimalzahl an berechnen sie wie groß der stimmenanteil der einzelnen parteien bezogen auf alle mio wahlberechtigten ist die tabelle zeigt die verteilung von haarfarben in einer eingangsklasse des beruflichen gymnasiums haarfarbe blond braun schwarz rot häufigkeit geben sie die relativen häufigkeiten an erstellen sie für die absoluten häufigkeiten ein säulendiagramm und für die relativen häufigkeiten ein kreisdiagramm berechnen sie den arithmetischen mittelwert der folgenden zahlenreihe 10,0 opier orl ge checkliste xxxxxx cdu 34,1 csu spd fdp bündnis 90/ die grünen die linke sonstige 25,7 10,9 fig

lösungen zu den check-in-aufgaben pi el in ei die relative häufigkeit der nieten beträgt jana hat also 3·12 nieten gezogen cdu 1000 0,341 csu 1000 0,074 spd 1000 0,257 fdp 1000 0,048 die linke 1000 0,086 bündnis 90/die grünen 1000 0,084 sonstige 1000 0,109 b)​cdu:​0,341​·​0,715​≈​0,2438​=​24,38​%​ die weiteren berechnungen wie bei der cdu csu​≈​5,3​%;​​spd​≈​18,38​%;​​fdp​≈​3,43​%;​​die​linke​≈​6,15​%;​​ bündnis​90/die​grünen​≈​6,0​%;​​sonstige​≈​7,79​% blond braun schwarz rot blond braun schwarz rot rot 4% blond 36% braun 40% schwarz 20% die reihe besteht aus zahlen der arithmetische mittelwert ist daher ·(2,5 10,0 5,25 ösungen en in ben

mathematik ist mehr als rechnen mit mathematik kann man die welt um uns herum beschreiben und verstehen vermutungen aufstellen probleme lösen grundsätzlich notwendig sind dafür ein sicheres basiswissen routinierte basisfertigkeiten und die fähigkeit zu selbstständigem üben und überprüfen die oberstufe beruflicher gymnasien ist gekennzeichnet durch die gelenkfunktion der eingangsklasse beim übergang von werkrealschulen realschulen gymnasien und berufsfachschulen in die oberstufe für erfolgreiches lernen in der eingangsklasse bietet der lambacher schweizer einen klar strukturierten lehrgang basiswissen zum wiederholen wichtiger inhalte aus der sekundarstufe mit typischen übungsaufgaben die lösungen dazu befinden sich im buch check-in am beginn der kapitel zum überprüfen der eigenen lernvoraussetzungen aufgaben mit lösungen bieten die gelegenheit diese selbst zu überprüfen die aufgabenvielfalt ermöglicht einen kompetenzund praxisorientierten mathematikunterricht isbn 978-3-12732634 -5