Energie von Schwingungen

Harmonische Schwingungen lassen sich mathematisch einfach beschreiben. Viele Schwingungsvorgänge in unserer Umwelt sind aber nicht-harmonisch.

Ungedämpfte Schwingungen

Um eine Schwingung anzuregen, muss dem Oszillator Energie zugeführt werden, z.B. durch die Auslenkung des Oszillators aus seiner Ruhelage. Die zugeführte Energie bleibt bei Vernachlässigung der Reibung erhalten.

Energieüberführung beim harmonischen Oszillator

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Bei dem in der Abbildung dargestellten System werden die Spannenergie und die Bewegungsenergie des Oszillators periodisch ineinander überführt. Die Gesamtenergie ändert sich nicht, ihr Graph ist eine Parallele zur $s$ -Achse.

Der Graph für die Spannenergie ist wegen $E_{S} (s) = \frac{1}{2} D \cdot s^{2}$ eine Parabel. Dieser Verlauf ergibt sich aus dem linearen Kraftgesetz und ist ein Kennzeichen für eine harmonische Schwingung. Der Graph für die Bewegungsenergie $E_{B} (s) = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} (s)$ ergibt sich aus der Differenz $E_{B} = E_{ges} - E_{S}$ .

In den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit und damit die Bewegungsenergie null. Die Gesamtenergie ist dann gegeben durch die maximale Spannenergie:

E_{ges} = E_{S, \max} = \frac{1}{2} D \cdot s_{M}^{2}

Die Gesamtenergie ist demnach vom Quadrat der Schwingungsamplitude abhängig. In der Ruhelage ist die Spannenergie null, die Bewegungsenergie dagegen maximal und entspricht damit der Gesamtenergie:

E_{ges} = E_{B, \max} = \frac{1}{2} m \cdot v_{M}^{2}

Bei vernachlässigbarer Reibung wechselt die Energie auch bei dem Wagen in der Mulde ständig zwischen Höhenenergie $E_{H}$ und Bewegungsenergie $E_{B}$ .

Anharmonische Schwingung eines Wagens

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Für die Höhenenergie gilt:

E_{H} = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot s \cdot \sin α

Da $m$ , $g$ und $a$ konstant sind, hängt $E_{H}$ linear von der Elongation $s$ ab. Für die rücktreibende Kraft $F_{H}$ ergibt sich $F_{H} = F_{G} \cdot \sin α$ . Sie hängt nicht von der Elongation $s$ ab, sondern ist konstant. Energiebetrachtung und Kraftbetrachtung zeigen, dass der Wagen keine harmonische Schwingung ausführt.

Bei konstanter Beschleunigung lautet das Zeit-Ort-Gesetz $s (t) = \frac{1}{2} a \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}$ , der zugehörige Graph ist eine Parabel.

t

s

-Diagramme einer harmonischen (rot) und einer nicht harmonischen Schwingung (blau)

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Das Diagramm zeigt den Parabelbogen im Vergleich zur Sinuskurve einer harmonischen Schwingung: Fast gleiche $t$ - $s$ -Graphen beschreiben ganz unterschiedliche Bewegungen.

Kraft und Energie

Die Energiezufuhr $∆ E$ zu Beginn der Schwingung erfolgt sowohl beim Federschwinger als auch beim Wagen durch die Wirkung einer Kraft $F$ längs eines Weges $∆ s$ . Es gilt $∆ E = F \cdot ∆ s$ . Dies kann als Fläche unter dem $s$ - $F$ -Graphen interpretiert werden und führt beim linearen Kraftgesetz auf $∆ E = \frac{1}{2} D \cdot s^{2}$ .

Aus $∆ E = F \cdot ∆ s$ folgt $F = \frac{∆ E}{∆ s}$ . Der Quotient beschreibt die Steigung im $s$ - $E$ -Diagramm. Für den linearen Verlauf im Beispiel des pendelnden Wagens ergibt sich so die konstante Kraft. Bei der Parabel im Beispiel des Federschwingers ermittelt man die Steigung über die erste Ableitung und erhält das lineare Kraftgesetz. Das lineare Kraftgesetz und der quadratische Zusammenhang zwischen potenzieller Energie und Elongation sind also gleichwertige Kennzeichen einer harmonischen Schwingung.

Bei Schwingungen kommt es zu periodischen Energieüberführungen. Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist konstant und hängt quadratisch von der Amplitude ab.

Bemerkung:

Die Spannenergie hängt nur vom Ort des Oszillators ab, deshalb bezeichnet man sie auch als potenzielle Energie.

Energie von Schwingungen

Ungedämpfte Schwingungen

Kraft und Energie

Bemerkung:

Ermittlung von Periodendauern

Gedämpfte Schwingungen