Kapiteleinstieg: Schwingungen

Dieses Kapitel befasst sich mit mechanischen Schwingungen. Akustische Beispiele werden nur zur Darstellung von Überlagerung (Schwebung, Klangbild) genutzt. Allgemeine Zielsetzung ist die Erklärung von Phänomenen und deren vergleichende Betrachtung.

Was zeichnet die Bewegung von Turnern an schwingenden Ringen aus?

Die Bewegung der Turner an den Ringen ist mit einem Fadenpendel vergleichbar. Eine solche Bewegung erscheint auf den ersten Blick als annähernd periodisch, ihre Amplitude nimmt wegen der Reibung allerdings ständig ab: Während der Bewegung wird Bewegungsenergie in Höhenenergie und thermische Energie der Umgebung umgewandelt. Die Bewegungsenergie ist im tiefsten Bahnpunkt maximal, in den Umkehrpunkten Null.

Wegen der Umwandlung eines Teils der Energie in thermische Energie der Umgebung handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung. Die Funktion, mit der die Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit abnimmt, ist dabei ziemlich kompliziert, da verschiedene Reibungseinflüsse eine Rolle spielen, z.B. Reibung an der Luft und Reibung in den Lagern der Aufhängung.

Zum Ausgleich dieses Verlustes an Energie führen die Turner der Schwingung durch Heben und Senken ihres Schwerpunktes Energie zu.

Schwingungen

Bei einer Schwingung bewegt sich ein Körper von einer Ruhelage ausgehend periodisch zwischen zwei Umkehrpunkten. Die Bewegung lässt sich durch folgende Größen beschreiben:

Auslenkung $s (t)$ : Abstand zur Ruhelage (auch Elongation)

Amplitude $s_{M}$ : maximale Auslenkung

Periodendauer $T$ : Zeitdauer für eine volle Schwingung

Frequenz $f$ : Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Es gilt $f = \frac{1}{T}$ , $ω = 2 π \cdot f$ heißt Kreisfrequenz.

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Auf den schwingenden Körper wirkt eine Kraft $F$ , die stets zur Ruhelage zeigt.

Vertikaler Federschwinger

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

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Bei einer Schwingung wechselt die Energie periodisch zwischen zwei Energieformen, im Fall einer ungedämpften Schwingung ist die Gesamtenergie konstant. Ausführliche Infos

Harmonische Schwingungen

Die harmonische Schwingung wird durch folgende Bewegungsgesetze beschrieben:

Zeit-Ort-Gesetz: $s (t) = s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)$ Diese Bewegung lässt sich durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ rotierenden Zeiger beschreiben.
Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: $v (t) = v_{M} \cdot \cos (ω \cdot t)$ mit $v_{M} = ω \cdot s_{M}$
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: $a (t) = - a_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)$ mit $a_{M} = ω \cdot v_{M} = ω^{2} \cdot s_{M}$

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Kräfte bei der Schwingung

Bei der harmonischen Schwingung gilt das lineare Kraftgesetz $F = - D \cdot s$ , d.h., die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung $s$ . Aus der Grundgleichung der Mechanik nach

F (t) = m \cdot a (t) = m \cdot a_{M} \cdot (- \sin (ω \cdot t))

ergibt sich die Periodendauer zu

$T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$ beim Federschwinger und $T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ beim Fadenpendel.

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Die Schwingung eines Fadenpendels ist nur bei kleinen Auslenkungen harmonisch. Andernfalls ist die Rückstellkraft nicht proportional zur Auslenkung und es liegt eine nicht-harmonische Schwingung vor. Ausführliche Infos

Energie beim harmonischen Oszillator

Bei jeder harmonischen Schwingung werden potenzielle Energie (sie umfasst beim vertikalen Federschwinger die Höhenenergie und die Spannenergie) und Bewegungsenergie des Oszillators periodisch ineinander umgewandelt. Die Gesamtenergie des Oszillators ändert sich nicht:

Vertikaler Federschwinger

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

E_{g e s} = E_{p o t} + E_{B}

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Energieentwertung durch Reibungseffekte führt mit der Zeit zu einer Abnahme der Amplitude, man spricht von einer gedämpften Schwingung. Ausführliche Infos

Überlagerung von Schwingungen

Die Überlagerung zweier Schwingungen wird mathematisch durch die Addition beschrieben:

\begin{array}{rcl} s (t) & = & s_{1} (t) + s_{2} (t) \\ = & s_{M 1} \cdot \sin (ω_{1} \cdot t) + s_{M 2} \cdot \sin (ω_{2} \cdot t) \end{array}

Nur die Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ergibt eine harmonische Schwingung. Diese hat dann dieselbe Frequenz.

Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen ergibt eine anharmonische Schwingung. Ausführliche Infos

Erzwungene Schwingung

Eine erzwungene Schwingung entsteht, wenn einem schwingungsfähigen System mit der Eigenfrequenz $f_{0}$ periodisch Energie mit der Frequenz $f_{E}$ zugeführt wird.

Wenn $f_{E} = f_{0}$ ist, liegt Resonanz vor. Die Energieübertragung ist dann maximal, die Amplitude kann sehr groß werden und zur Zerstörung führen.

Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

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