Ermittlung von Periodendauern

Federpendel

Die Periodendauer ist ein wichtiges Merkmal einer Schwingung. Am Beispiel des Federpendels soll untersucht werden, wie sie mit anderen Parametern zusammenhängt.

Durchführung:

Die Periodendauer ergibt sich aus dem Zusammenspiel von antreibender Kraft (z.B. bestimmt durch die Federkonstante $D$ ) und Trägheit (bestimmt durch die Masse $m$ des schwingenden Körpers). Die Messung von $T$ erfolgt in zwei Schritten.

Schritt: $D = konstant$ , $m$ wird variiert:
$D = 7, 7 \frac{N}{m}$
$m$ in kg
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
$10 T$ in s
5,2
7,3
8,8
10,1
11,2
12,2
$\frac{T}{\sqrt{m}}$
2,31
2,31
2,27
2,25
2,24
2,23
Die Messpunkte werden in ein $m$ - $T$ -Diagramm eingetragen.
$m$ - $T$ -Diagramm
Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd
Unter der Annahme, dass auch ein Messpunkt im Ursprung liegt, ähnelt eine geeignete Ausgleichskurve dem Graphen einer Wurzelfunktion mit der Gleichung
$T = k \cdot \sqrt{m}$
Eine Kurvenanpassung ergibt $k = 2, 25$ , die Messwerte liefern einen Mittelwert $k = 2, 27$ .
Schritt: $m = konstant$ , $D$ wird variiert
$m = 0, 20 kg$
$D$ in $\frac{N}{m}$
7,7
3,9
2,6
1,9
$10 T$ in s
10,1
14,7
16,9
20,1
$T \cdot \sqrt{D}$
2,8
2,9
2,8
2,7
Mit abnehmender Federkonstante $D$ nimmt $T$ zu. Im einfachsten Fall bestünde ein antiproportionaler Zusammenhang, dann müsste $T$ für $D = 1, 9 \frac{N}{m}$ etwa doppelt so groß sein wie für $D = 3, 9 \frac{N}{m}$ . Dies trifft aber nicht zu.
Hier hilft eine Einheitenbetrachtung weiter:
$\frac{Einheit m}{Einheit D} = \frac{kg}{\frac{kg·m}{{m·s}^{2}}} = s^{2}$
Demnach müsste die Wurzel aus $\frac{m}{D}$ die richtige Einheit Sekunde ergeben, $T \cdot \sqrt{D}$ müsste konstant sein. Da sich beides bestätigt, ist also
$T = c \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$
Eine Berechnung der Konstanten aus jeweils drei zusammengehörenden Messwerten z.B. $T = 1, 01 s$ , $m = 0, 20 kg$ und $D = 7, 7 \frac{N}{m}$ ergibt $c = 6, 27$ . Dieser Wert liegt nahe bei $2 π$ , also dem Wert, der sich aus der Theorie ergibt.

Tipp

Um genauere Ergebnisse zu erhalten, erfolgt die Messung der Schwingungsdauern jeweils über 10 Perioden.

Wassersäule im U-Rohr

Eine Wassersäule in einem U-Rohr kann eine Schwingung ausführen. Wenn man zeigen kann, dass ein lineares Kraftgesetz gilt, ist $T$ aus der Formel für harmonische Schwingungen zu berechnen. Die Periodendauer dieser Schwingung soll bestimmt werden.

Durchführung:

In der Ruhelage stehen die Wassersäulen in den beiden Schenkeln gleich hoch. Die Elongation wird gemäß der Abbildung gemessen. Es schwingt die gesamte Wassersäule mit der Länge $l$ und der Masse $m$ . Die rücktreibende Kraft entspricht der Gewichtskraft der in der Abbildung markierten Wassersäule der Länge $2 s$ .

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Bei konstantem Rohrquerschnitt ist

$m_{S} = \frac{m}{l} \cdot 2 s$ und $F_{R} (s) = m_{S} \cdot g = 2 \frac{m}{l} \cdot g \cdot s$ .

Der Ausdruck $D = 2 \frac{m \cdot g}{l}$ ist konstant, daher gilt für die Schwingung der Wassersäule ein lineares Kraftgesetz. Die Schwingungsdauer berechnet sich entsprechend nach

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m \cdot l}{2 m \cdot g}} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{l}{2 g}}

Ermittlung von Periodendauern

Federpendel

Wassersäule im U-Rohr

Schwingungen in der Zeigerdarstellung

Energie von Schwingungen

$D = 7, 7 \frac{N}{m}$
$m$ in kg	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30
$10 T$ in s	5,2	7,3	8,8	10,1	11,2	12,2
$\frac{T}{\sqrt{m}}$	2,31	2,31	2,27	2,25	2,24	2,23

$m = 0, 20 kg$
$D$ in $\frac{N}{m}$	7,7	3,9	2,6	1,9
$10 T$ in s	10,1	14,7	16,9	20,1
$T \cdot \sqrt{D}$	2,8	2,9	2,8	2,7