Gedämpfte Schwingungen

Bei realen Schwingungen wird die Energie durch Reibung entwertet. Langfristig kommt so jeder Schwingungsvorgang zum Stillstand, man spricht von gedämpften Schwingungen.

Eine idealisierte harmonische Schwingung kommt niemals zum Erliegen. In Alltag und Technik ist dies jedoch oft unerwünscht. Die Federung eines Autos sollte, einmal angestoßen, möglichst bald aufhören zu schwingen. Dafür muss dem System Energie entzogen werden. In Stoßdämpfern erfolgt dies ähnlich wie die Abbildung zeigt: Taucht ein schwingender Oszillator in eine Flüssigkeit ein, wird dem System Energie entzogen und in thermische Energie überführt.

Michael Rode, Lüneburg

Innere Reibung

Bei Flüssigkeits- oder Luftreibung spricht man von „innerer Reibung“. Die Reibungskraft ist hier geschwindigkeitsabhängig. Das lineare Kraftgesetz wird um die Reibungskraft $F_{R} (v)$ erweitert. Da diese entgegen der Bewegungsrichtung wirkt, wird sie mit negativem Vorzeichen addiert.

Im einfachsten Fall ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit:

F_{R} (v) = - δ \cdot v

Je größer die Dämpfungskonstante $δ$ ist, desto stärker ist die Reibung.

Die Differenzialgleichung der gedämpften Schwingung lautet wegen $v (t) = \dot{s} (t)$ :

m \cdot \ddot{s} (t) = - D \cdot s (t) - δ \cdot \dot{s} (t)

mit der mathematischen Lösung:

s (t) = s_{0} \cdot e^{- β \cdot t} \cdot \cos (ω_{d} \cdot t)

Dabei ist $β = \frac{δ}{2 m}$ der Dämpfungskoeffizient mit der Einheit $s^{- 1}$ .

Im Vergleich zum Zeit-Ort-Gesetz der harmonischen Schwingung ergeben sich zwei Unterschiede:

Die Amplitude nimmt mit der Zeit gemäß $s_{M} = s_{0} \cdot e^{- β \cdot t}$ ab, die Schwingungskurve wird von den sogenannten Einhüllenden $s_{0} \cdot e^{- β \cdot t}$ und $- s_{0} \cdot e^{- β \cdot t}$ umschlossen.
Gedämpfte Schwingung (innere Reibung)
imprint, Zusmarshausen
Der exponentielle Abfall der Amplitude folgt den gleichen Gesetzmäßigkeiten wie die Kondensatorentladung oder der radioaktive Zerfall. Der Quotient aufeinanderfolgender Amplituden hat einen konstanten Wert:
$\frac{s_{M, n + 1}}{s_{M, n}} = konstant$
Starke Reibung bedeutet wegen des größeren $β$ -Werts einen stärkeren Abfall der Amplitude. Ferner gilt wegen $β = \frac{δ}{2 m}$ , dass die Kurven umso schneller fallen, je kleiner die Oszillatormasse ist. Grund dafür ist die Trägheit der schwingenden Masse.
Die Frequenz $ω_{d}$ der gedämpften Schwingung bleibt konstant, nimmt aber mit zunehmender Reibung kleinere Werte an. Dies fällt bei kleineren Massen stärker ins Gewicht. Wie bei der harmonischen Schwingung findet ein ständiger Austausch von potenzieller und Bewegungsenergie statt. Wegen der abnehmenden Amplitude fällt die Einhüllende der potenziellen Energie exponentiell ab, ebenso wie die der Bewegungsenergie. Da die Energie proportional zum Amplitudenquadrat ist, gilt für die Summe beider Energieformen:
$E (t) = E_{0} \cdot e^{- 2 β \cdot t}$
Energie bei der gedämpften Schwingung
imprint, Zusmarshausen

Für die Zeitspanne $t_{H}$ , in der sich die Amplitude jeweils halbiert, gilt:

\begin{array}{rcl} s_{M} (t_{H}) & = & \frac{1}{2} s_{M} (0) \end{array}

\begin{array}{rcl} \Leftrightarrow & s_{0} \cdot e^{- β \cdot t_{H}} = \frac{1}{2} s_{0} \end{array}

\begin{array}{rcl} \Leftrightarrow & e^{- β \cdot t_{H}} = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{rcl} \Leftrightarrow & - β \cdot t_{H} = \ln (\frac{1}{2}) \end{array}

\Leftrightarrow t_{H} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- β} = \frac{\ln (2)}{β}

Da die Energie mit dem Faktor $2 β$ abnimmt, ist ihre Halbwertszeit halb so groß.

Bei innerer Reibung nehmen Amplitude und Energie einer Schwingung exponentiell ab.

Trockene Reibung Reibung tritt nicht nur in viskosen Medien (Flüssigkeiten und Gasen), sondern auch zwischen festen Stoffen auf. Verlieren undichte Stoßdämpfer Öl, so können schließlich Metallteile aneinander reiben, man spricht von trockener Reibung. Sie ist in der Regel unerwünscht, weil sie mit starkem Verschleiß der reibenden Bauteile einhergeht. Die materialabhängige Gleitreibung hängt nur von der konstanten Normalkraft $F_{N}$ ab, die zwei Körper aufeinander ausüben. Die Differenzialgleichung der Schwingung lautet dann:

m \cdot \ddot{s} (t) = - D \cdot s (t) - F_{N}

Sie wird von Umkehrpunkt zu Umkehrpunkt, also für jeweils eine halbe Periode, separat gelöst. Als Lösung für die erste halbe Periode ergibt sich:

s (t) = (s_{Gl} - s_{0}) \cdot \cos (ω \cdot t) - s_{Gl}

wobei $ω$ die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung und $s_{Gl} = \frac{F_{N}}{D}$ die Gleichgewichtslage ist. Diese ist nicht null und ändert sich jede Halbperiode, wird aber null, wenn die Schwingung zur Ruhe kommt. Die Amplitude nimmt dabei linear ab.

Gedämpfte Schwingung (trockene Reibung)

imprint, Zusmarshausen

In der Praxis wird bei einem Stoßdämpfer-Test anhand eines $t$ - $s$ -Diagramms geprüft, nach welchem Gesetz die Amplitude abnimmt. Stellt man wie in der Abbildung eine lineare Amplitudenabnahme fest, liegt also trockene, mit Verschleiß verbundene Reibung vor.

Gedämpfte Schwingungen

Innere Reibung

Energie von Schwingungen

Das Fadenpendel