Punktweise Berechnung von Planetenbahnen

Physiker versuchen, eine größere Zahl von Erscheinungen dadurch zu beschreiben, dass betrachtet wird, was allen gemeinsam ist. So kommt es zu einfachen Gesetzen, etwa $s (t) = \frac{a}{2} \cdot t^{2}$ . Soll aber beim freien Fall der Luftwiderstand berücksichtigt werden, so ist $a = g - k \cdot v^{2}$ . Hieraus ist nur schwer ein $s (t)$ -Gesetz zu gewinnen.

Kennt man nun zu einem Zeitpunkt die Größen $s$ , $v$ und $a$ , so können schrittweise weitere Werte berechnet werden. Als Beispiel soll die Bahn eines Planeten mit der Masse $m$ um einen ruhend gedachten Zentralkörper mit der Masse $M$ berechnet werden. Das an anderer Stelle beschriebene Euler-Verfahren soll hier verbessert werden. Zweckmäßigerweise legt man die (ruhende) Sonne in den Ursprung des Koordinatensystems.

Bewegung im Gravitationsfeld

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Die Abbildung lässt erkennen, dass eine höhere Genauigkeit der schrittweise berechneten Koordinaten dann zu erreichen ist, wenn nicht z. B. $x$ , $a$ und $v$ für den jeweils gleichen Zeitpunkt berechnet werden, sondern stattdessen die Geschwindigkeit jeweils zur Zeitmitte zwischen zwei Zeitpunkten ermittelt wird.

Die Durchführung der Rechnungen lässt sich mit einer Tabellenkalkulation organisieren. Aus dem Gravitationsgesetz folgt für die Kraft, die auf den Planeten wirkt:

F = m \cdot a = - γ \cdot \frac{m \cdot M}{r^{2}}

Daraus folgt:

$a = - γ \cdot \frac{M}{r^{2}} = - \frac{C}{r^{2}}$ mit $C = γ \cdot M$ und $a_{x} = a \cdot \frac{x}{r}$ und $a_{y} = a \cdot \frac{y}{r}$

Zum Zeitpunkt $t$ habe der Planet den Ort $P_{alt} (x_{alt} | y_{alt})$ , zum Zeitpunkt $t + ∆ t$ den Ort $P_{neu} (x_{neu} | y_{neu})$ . Mit den gewählten Bezeichnungen gilt

$x_{neu} = x_{alt} + v_{x(alt+∆t/2)} \cdot ∆ t$ und

$y_{neu} = y_{alt} + v_{y(alt+∆t/2)} \cdot ∆ t$ sowie

$r_{neu} = \sqrt{x_{neu}^{2} + y_{neu}^{2}}$  .

Daraus folgt:

$a_{x,neu} = - \frac{C \cdot x_{neu}}{r_{neu}^{3}}$ und $a_{y,neu} = - \frac{C \cdot y_{neu}}{r_{neu}^{3}}$

Die Geschwindigkeit in der Mitte des nächsten Zeitintervalles ist

v_{x(neu+∆t/2)} = v_{x(alt+∆t/2)} + a_{x,neu} \cdot ∆ t

v_{y(neu+∆t/2)} = v_{y(alt+∆t/2)} + a_{y,neu} \cdot ∆ t

Mit den Anfangswerten $v_{x(0)}$ und $v_{y(0)}$ der beiden Geschwindigkeitskomponenten gewinnt man die entsprechenden Werte für den Zeitpunkt $\frac{∆ t}{2}$ zu

v_{x(0+∆t/2)} = v_{x(0)} + a_{x(0)} \cdot \frac{∆ t}{2}

v_{y(0+∆t/2)} = v_{y(0)} + a_{y(0)} \cdot \frac{∆ t}{2}

Rechenblatt mit Halbschrittverfahren zur Gravitationsbewegung. Die Größen sind relativ, ohne Einheiten und der Einfachheit halber wurde $C = 1$ gesetzt:

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Bewegung im Gravitationsfeld
2	x(0) = 0,5		vx(0) = 0		vx( $∆ t / 2$ ) = -0,04		C = 1
3	y(0) = 0		vy(0) 0 1,63		vy( $∆ t / 2$ ) = 1,63		$∆ t$ =0,02
4
5	t	x(t)	y(t)	r(t)	ax(t)	ay(t)	vx(t + $∆ t / 2$ )	vy(t + $∆ t / 2$ )
6	0	0,5	0	0,5	-4	0	-0,04	1,63
7	0,02	0,4992	0,0326	0,50026	-3,9873	-0,26039	-0,11975	1,62479
8	0,04	0,49681	0,0651	0,50105	-3,94947	-0,51749	-0,19874	1,61444
9	0,06	0,49283	0,09738	0,50236	-3,88734	-0,76815	-0,27648	1,59908

Kepler’sche Ellipsenbahn nach der Tabellenkalkulation

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Tipp

Bevor Sie diese Lerneinheit durcharbeiten, sollten Sie sich ein handelsübliches Programm zur Tabellenkalkulation besorgen und die Bedienung mit Texteingabe und Formeln sowie die Wiedergabe der Berechnungen in Diagrammen beherrschen.

Punktweise Berechnung von Planetenbahnen

Das Entstehen der Gezeiten

Das Gravitationsfeld