Das Gravitationsfeld

Wenn sich die Körper berühren, so wirken Kräfte direkt von einem auf den anderen Körper. Berühren sie sich nicht, so müssten dazwischenliegende Körper die Kräfte weiterleiten. Was aber, wenn es wie z.B. im Weltraum keine dazwischenliegenden Körper gibt?

Der Feldbegriff

Gäbe es im Weltall nur einen einzigen Körper mit der Masse $m_{1}$ , so würde er seinen Bewegungszustand nicht ändern, weil es keine Kräfte gäbe. Erst ein zweiter Körper mit der Masse $m_{2}$ würde auf den ersten eine Gravitationskraft ausüben, die diesen in seine Richtung beschleunigte.

Jemand, der von der Existenz des zweiten Körpers nichts weiß, würde dennoch am Ort des ersten Körpers eine Kraft auf den Körper mit der Masse $m_{1}$ beobachten. Körper können aufgrund ihrer Masse über einen größeren Abstand $r$ hinweg Gravitationskräfte aufeinander ausüben.

Wechselseitig wirkende Gravitationskraft über beliebige Entfernungen hinweg

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Eine von Michael Faraday stammende Modellvorstellung gibt eine Erklärung: Mittler von Kräften, die ein erster Körper auf einen von ihm entfernten zweiten Körper ausübt, ist ein Feld, das der erste Körper im Raum um sich verursacht.

Das Feld um den Körper der Masse

m_{2}

übt die Kraft

F

auf den Körper der Masse

m_{1}

aus.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

In diesem Feld wird mit den Kräften auch Energie weitergegeben.

Feldbeschreibungen

Ein Körper erfährt im Gravitationsfeld in jedem Punkt des Raumes eine Beschleunigung, die unabhängig von seiner Masse ist. An jedem Ort im Feld sind also beschleunigende Kraft $F$ und Masse $m$ des Körpers proportional zueinander: $F ~ m$ oder anders ausgedrückt:  

\frac{F}{m} = G = konstant

Da die Kraft ein Vektor ist, ist auch $\frac{\vec{F}}{m} = \vec{G}$ ein Vektor. $\vec{G}$ ist nur vom Ort im Gravitationsfeld abhängig und eignet sich deshalb zu dessen Kennzeichnung, sie heißt daher auch Gravitationsfeldstärke.

Für die Gewichtskraft eines Körpers mit der Masse $m$ gilt auf der Erde $\vec{F_{G}} = m \cdot \vec{g}$ . Gravitationsfeldstärke und Fallbeschleunigung stimmen hier überein.

Felder werden mit Feldlinien veranschaulicht. Das sind Linien, deren Richtung in jedem Punkt mit der Richtung der Kraft auf einen Körper übereinstimmt. Würde man zu jedem Punkt des Raumes eine Feldlinie zeichnen, ergäbe sich eine einheitliche Schwärzung. Deshalb werden nur so viele Feldlinien gezeichnet, wie zum Andeuten der Struktur des Feldes nötig ist.

In der Nähe eines Körpers liegen die Linien seines Feldes dichter als in der Ferne. Werden Feldlinien dichter gezeichnet, so veranschaulicht dies einen größeren Betrag der Kraft. Nach dem Gravitationsgesetz nimmt die Kraft mit dem Quadrat der Entfernung ab.

Wenn man sich weiter vom Zentrum eines Radialfeldes entfernt, so werden auch die Raumbereiche größer, in denen die Feldlinien annähernd parallel verlaufen. Das bedeutet, dass die Feldstärke in allen Punkten des Raumbereichs gleich ist. Solche Felder werden als homogene Felder bezeichnet.

Radialsymmetrisches Feld

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Homogenes Feld

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Im Raum um einen Körper besteht aufgrund seiner Masse ein Gravitationsfeld.

Das Feld ist durch die Kraft auf einen anderen Körper mit Masse nachweisbar.

Die Kraft auf einen Körper ist im Gravitationsfeld proportional zu dessen Masse m.

Der Quotient $\vec{F} / m$ heißt Gravitationsfeldstärke $\vec{G}$ . Sie beschreibt das Feld unabhängig vom Körper.

Energie und Arbeit im Gravitationsfeld Arbeit im Gravitationsfeld bedeutet eine Übertragung von Höhenenergie: $W = ∆ E_{H}$ .

In der Nähe der Erdoberfläche ist das Gravitationsfeld als homogen anzusehen. Die Änderung der Höhenenergie eines Körpers mit der Masse $m$ lässt sich dann aus dem Unterschied $∆ h = h_{2} - h_{1}$ zwischen Ausgangshöhe $h_{1}$ und Endhöhe $h_{2}$ und der konstanten Gewichtskraft $F_{G} = m \cdot g$ berechnen. Unabhängig vom gewählten Weg ergibt sich

W = ∆ E_{H} = m \cdot g \cdot ∆ h = F_{G} \cdot ∆ h

Die Energieübertragung kann als Fläche in einem Arbeitsdiagramm dargestellt werden.

Arbeitsdiagramm bei konstanter Kraft

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Aus dem Gravitationsgesetz folgt, dass bei größeren Höhenunterschieden die Gewichtskraft $F_{G}$ nicht mehr als konstant betrachtet werden kann. Die im Weg-Kraft-Diagramm hervorgehobene Fläche ist auch hier ein Maß für die Energieübertragung, um den Körper vom Ort $P_{1}$ in der Entfernung $r_{1}$ vom Erdmittelpunkt bis zum Ort $P_{2}$ in der Entfernung $r_{2}$ vom Erdmittelpunkt zu heben.

Arbeitsdiagramm bei nicht konstanter Kraft

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Im Gravitationsfeld der Erde muss dafür die Arbeit $W$ verrichtet werden, für die gilt:

W = ∆ E_{H} = γ \cdot m_{E} \cdot m \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})

Die Höhenenergie ändert sich für einen Weg senkrecht zu den Feldlinien nicht, weil Kraft- und Wegrichtung einen Winkel von 90° bilden. Auf einem beliebigen Weg trägt nur der Anteil des Weges zur Arbeit bei, der längs der Feldlinien verläuft.

Der Höhenunterschied bestimmt die Arbeit im Feld.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Bezugshöhen für die Höhenenergie

Bei einem fallenden Körper wird Höhenenergie in Bewegungsenergie umgesetzt. Seine Höhenenergie ist nun gegenüber der Anfangshöhe negativ, bezüglich der Erdoberfläche aber weiterhin positiv. Die Höhenenergie ist also abhängig von der gewählten Bezugshöhe. Soll die Bezugshöhe die Erdoberfläche sein, so ist $r_{1}$ der Erdradius $r_{E} = 6, 37 \cdot 10^{6} m$ . Für jeden Körper auf der Erdoberfläche ist dann die Höhenenergie $E_{H} = 0$ .

Im Abstand $r_{2} = r$ vom Erdmittelpunkt beträgt nun die Höhenenergie für einen Körper der Masse $m$ :

E_{H} = γ \cdot m_{E} \cdot m \cdot (\frac{1}{6, 37 \cdot 10^{6} m} - \frac{1}{r})

Als Bezugshöhe für die Höhenenergie wird auch häufig ein Punkt im Unendlichen gewählt. Dann ist der Term 1/r 1 zu vernachlässigen und man erhält für $r_{2} = r$ :

E_{H} = - γ \cdot \frac{m_{E} \cdot m}{r}

Höhenenergie für zwei verschiedene Bezugshöhen

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Höhenenergie und Potenzial

Der Quotient aus der Höhenenergie $E_{H}$ und der Masse $m$ eines Körpers ist nur von dessen Ort im Gravitationsfeld abhängig. Er kennzeichnet das Feld und wird als Potenzial $φ$ bezeichnet. Mit einem Bezugspunkt im Unendlichen ergibt sich für einen Punkt $P$ im Abstand $r$ :

φ = \frac{E_{H}}{m} = - γ \cdot \frac{m_{E}}{r}

Um einen Körper der Masse m von einem Ort $P_{1}$ mit dem Potenzial $φ (P_{1})$ zu einem Ort $P_{2}$ mit dem Potenzial $φ (P_{2})$ zu bringen, ist die Energie

W = ∆ E_{H} = m \cdot (φ (P_{2}) - φ (P_{1})) ​ ​

zu übertragen.

Die übertragene Energie bzw. die Hubarbeit $W = ∆ E_{H}$ hängt im Gravitationsfeld nicht davon ab, auf welchem Weg der Körper von $P_{1}$ nach $P_{2}$ gelangt.

Liegt der Bezugspunkt für die Höhenenergie im Unendlichen, so gilt für die Höhenenergie $E_{H}$ eines Körpers mit der Masse $m$ im Abstand $r$ vom Erdmittelpunkt:

E_{H} = - γ \cdot \frac{m_{E} \cdot m}{r}