Kapiteleinstieg: Gravitationsfeld

Picture Press, Hamburg (Detlev van Ravenswaay)

Auf Isaac Newton geht die Erkenntnis zurück, dass der Fall eines Apfels vom Baum auf den Erdboden und die Bewegung der Erde um die Sonne auf die gleiche Ursache, nämlich Gravitationskräfte, zurückgeführt werden kann.

In diesem Kapitel geht es ausgehend von Himmelsbeobachtungen über die historische Entwicklung der Weltbilder bis zur Beschreibung des Gravitationsfeldes und des Gravitationsgesetzes.

Die wichtigsten Inhalte und Gesetzmäßigkeiten sind:

Kepler’sche Gesetze

Diese beschreiben die Bewegungen von Planeten.

1. Kepler’sches Gesetz: Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen. Die Sonne steht in einem der zwei Brennpunkte.

2. Kepler’sches Gesetz: Die Verbindungsstrecke von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeitdauern Flächen mit gleichem Flächeninhalt.

Zum 2. Kepler‘schen Gesetz

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

3. Kepler’sches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a der Planetenbahnen: $\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}$  

Gravitationsgesetz

Zwei Körper mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ üben im Abstand $r$ dem Betrag nach gleich große anziehende Gravitationskräfte aufeinander aus: $F = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

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Satellitenbahnen

Die für die Kreisbahn eines Satelliten um die Erde notwendige Zentripetalkraft ist durch die Gravitationskraft gegeben:

F_{Z} = m_{Sat} \cdot ω^{2} \cdot r = γ \cdot m_{Sat} \cdot \frac{m_{Erde}}{r^{2}} = F_{Grav} \Leftrightarrow ω^{2} = γ \cdot \frac{m_{Erde}}{r^{3}} bzw. v^{2} = γ \cdot \frac{m_{Erde}}{r}

Das bedeutet, dass Winkel- und Bahngeschwindigkeit unabhängig von der Masse des Satelliten sind.

Gravitationsfeld

Im Raum um einen Körper besteht aufgrund seiner Masse ein Gravitationsfeld. Es ist durch die Kraft auf einen anderen Körper mit Masse nachweisbar. Die Kraft auf einen Körper ist im Gravitationsfeld proportional zu dessen Masse $m$ .

Der Quotient $\frac{\vec{F}}{m}$ heißt Gravitationsfeldstärke $\vec{G}$  . Sie beschreibt das Feld unabhängig vom Körper.

Das Gravitationsfeld eines Körpers der Masse

m

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

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Höhenenergie und Potenzial

Liegt der Bezugspunkt für die Höhenenergie im Unendlichen, so gilt für die Höhenenergie $E_{H}$ eines Körpers mit der Masse $m$ im Abstand $r$ vom Erdmittelpunkt: $E_{H} = - γ \cdot \frac{m_{Erde} \cdot m}{r}$

Der Quotient aus Höhenenergie $E_{H}$ mit dem Bezugspunkt $P = \infty$ und der Masse $m$ des Probekörpers heißt Potenzial $φ (P)$ des Feldes der Erde mit der Masse $m_{Erde}$ : $φ (P) = \frac{E_{H}}{m} = - γ \cdot \frac{m_{Erde}}{r}$

Höhenenergie für zwei verschiedene Bezugshöhen

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

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Hubarbeit

Die Hubarbeit ist das Produkt aus der Masse m eines Körpers und der Potenzialdifferenz $φ_{2} - φ_{1}$ bei End- und Anfangshöhe: $W = ∆ E_{H} = m \cdot (φ_{2} - φ_{1})$

Die Hubarbeit hängt nicht davon ab, auf welchem Weg der Körper die Endhöhe erreicht. Ausführliche Infos