Schwingungen in der Zeigerdarstellung

Schwingung und Kreisbewegung sind periodische Bewegungen mit der Periodendauer $T$. Um sie vergleichen zu können, werden ein Federschwinger und eine vertikal ausgerichtete Kreisscheibe nebeneinander angeordnet. Auf der Kreisscheibe, die mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =\raisebox{1ex}{$2\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$T$}\right.$ rotiert, ist im Abstand $r$ von der Achse ein Korken befestigt.

Nach einer Feinabstimmung beider Anordnungen beobachtet man in den Schattenwürfen des rotierenden Korkens und des Federschwingers eine Übereinstimmung der Bewegungen.

Der Schattenwurf eines gleichförmig auf einem Kreis umlaufenden Körpers führt also ebenfalls eine harmonische Schwingung aus. Dies führt zur Beschreibung der harmonischen Schwingung durch einen rotierenden Zeiger. Die Tabelle zeigt, welche Größen sich entsprechen.

Nach der Abbildung gilt für die Projektion der Kreisbewegung auf die $s$-Achse nach der Definition des Sinus $s\left(t\right)=r·\sin \left(\phi \right(t\left)\right)$

Bei einem vollen Umlauf hat die Zeit $t$ um die Umlaufdauer $T$ und der Winkel $\phi$ um $2\pi$ zugenommen.

Der Quotient $\raisebox{1ex}{$2\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$T$}\right.=\omega$ heißt Kreisfrequenz. Wegen der Gleichförmigkeit der Kreisbewegung kann $\phi$ durch $\left(\raisebox{1ex}{$2\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$T$}\right.\right)·t=\omega ·t$ ersetzt werden.

Ermittelt man zu verschiedenen Zeitpunkten die Projektion $s_{\mathrm{p}}$ bzw. berechnet sie mit $s_{\mathrm{p}}=r·\sin (\omega ·t)$ und trägt die Ergebnisse in das Koordinatensystem ein, so entsteht übereinstimmend das bekannte Schwingungsbild.

Mit der Auslenkung $s$ für $s_{\mathrm{p}}$, der Periodendauer $T$ für die Umlaufdauer $T$ und der Amplitude $s_{\mathrm{M}}$ für $r$ ergibt sich das Zeit-Ort-Gesetz der harmonischen Schwingung $s\left(t\right)=s_{\mathrm{M}}·\sin (\omega ·t)$. Die Komponenten der Bahngeschwindigkeit $v_{\mathrm{B}}=\omega ·r$ und der Zentripetalbeschleunigung $a_{\mathrm{z}}={\omega }^2·r$ senkrecht zur Projektionsrichtung liefern Geschwindigkeit $v$ und Beschleunigung $a$ des Schattens, d.h. der harmonischen Schwingung.

In der Abbildung beginnt der Zeiger ${\mathrm{Z}}_2$ nicht mit $\phi \left(0\right)=0$ zu rotieren, sondern mit $\phi \left(0\right)={\phi }_0$. Entsprechend beginnt die Schwingung 2 mit einer von null verschiedenen Elongation. ${\phi }_0$ ist die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen. Haben beide Schwingungen die gleiche Periodendauer, dann rotieren die Zeiger mit gleicher Winkelgeschwindigkeit und die Phasenverschiebung ändert sich nicht. Die unterschiedliche Zeigerlänge kennzeichnet verschiedene Amplituden.