Bestimmung der Gravitationskonstante nach Cavendish

Gravitationsdrehwaage

In diesem Versuch wird die Gravitationskonstante γ mit Hilfe der Gravitationsdrehwaage bestimmt.

Material:

Gravitationsdrehwaage, Laser, Uhr, große Skala

Durchführung:

Aufbau der Gravitationsdrehwaage: Im Gehäuse der Drehwaage hängt an einem dünnen Draht ein leichter Stab, an dessen Enden sich zwei kleine Bleikugeln befinden. In der Mitte des Stabes, der die kleinen Kugeln trägt, ist ein Spiegel angebracht.

Prinzip der Drehwaage mit je zwei Kugeln mit kleiner bzw. großer Masse

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Außerhalb der Drehwaage stehen den beiden kleinen Kugeln auf gleicher Höhe große Bleikugeln gegenüber. Sie sind auf einem Drehgestell angebracht, das es ermöglicht, die Position der großen Kugeln in Bezug auf die kleinen Kugeln zu verändern.

Die großen Bleikugeln werden zunächst in Position A gebracht.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Hier hat jede der großen Kugeln genau denselben Abstand zu den beiden kleinen Kugeln. Der Laser wird auf den Spiegel gerichtet, der den Lichtstrahl auf eine $10 m$ entfernte Skala lenkt. Auf diese Weise werden auch sehr kleine Drehungen des Spiegels messbar. In Position A kann keine Drehbewegung registriert werden.

Die großen Kugeln werden nun vorsichtig in Position B geschwenkt. Der Lichtzeiger zeigt an, dass sich die kleinen Kugeln auf die großen zu bewegen.

Auswertung:

Gemessen wird der zurückgelegte Weg $x$ des Lichtzeigers auf der Skala in Abhängigkeit von der Zeit $t$ .

Bestimmung der Beschleunigung mit Hilfe der Bewegung des Lichtzeigers

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Die Tabelle enthält mögliche Messwerte:

$t$ in s	20	30	40	50	60
$x$ in $10^{- 3} m$	3	8	15	24	34

Mit den folgenden Näherungen lässt sich aus der Messreihe zunächst die Kraft zwischen den Kugeln bestimmen. Während der Messzeit bewegen sich die kleinen Kugeln nur um eine kleine Weglänge, sodass der Abstand zu den großen Kugeln als konstant angesehen werden kann. Daher kann von einer konstanten Kraft und einer konstanten Beschleunigung ausgegangen werden. Demnach gilt das Zeit-Ort-Gesetz der beschleunigten Bewegung $s = \frac{a}{2} \cdot t^{2}$ , wobei $s$ die Weglänge ist, die eine kleine Kugel in der Zeitdauer $t$ zurücklegt. Bei bekannter Weglänge $s$ lässt sich nach $a = \frac{2 s}{t^{2}}$ die Beschleunigung ermitteln.

Wenn die kleine Kugel die sehr kleine Weglänge $s$ zurücklegt, bewegt sich der Lichtzeiger auf der Skala um die messbare Weglänge $x$ . Aus der Geometrie der Versuchsanordnung ergibt sich folgender Zusammenhang:   

$\frac{\frac{1}{2} x}{l} = \frac{s}{d}$ , d. h., es ist: $s = \frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot d}{l} $

Für die Beschleunigung erhält man dann: $a = \frac{x \cdot d}{l \cdot t^{2}}$

Die Versuchsanordnung liefert folgende Werte:

Abstand Spiegel-Skala: $l = 10 m$
Länge des Querstange: $2 d = 10 cm$
Masse der großen Kugel: $m_{2} = 1, 5 kg$
Abstand der Mittelpunkte von großer und kleiner Kugel: $r = 4, 5 cm$

Setzt man nun die Messwerte für $x$ ein, ergeben sich folgende Beschleunigungswerte:

$t$ in s	20	30	40	50	60
$a$ in $10^{- 8} \frac{m}{s^{2}}$	3,8	4,4	4,7	4,8	4,7

Der Mittelwert für die Beschleunigung berechnet sich zu $a = 4, 5 \cdot 10^{- 8} \frac{m}{s^{2}} $ .

Die beschleunigende Kraft $F = m_{1} \cdot a$ stimmt mit der Gravitationskraft zwischen der großen und der kleinen Kugel überein. Aus

$m_{1} \cdot a = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ folgt: $γ = \frac{a \cdot r^{2}}{m^{2}}$

Der Abstand $r$ der Mittelpunkte von großer und kleiner Kugel hat sich während der Bewegung kaum verändert, denn die von den Kugeln zurückgelegte Weglänge $s$ ist sehr viel kleiner als $r$ . Man darf daher von einem konstanten Abstand $r = 4, 5 cm$ ausgehen.

Mit der Masse $m_{2} = 1, 5 kg$ der großen Kugel errechnet man schließlich für die Gravitationskonstante den Wert $γ = 6, 1 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$

Dieser experimentell bestimmte Wert ist zu klein. Ursache dafür sind die Kräfte, die die großen Kugeln auf die weiter entfernten kleinen Kugeln ausüben und die der Bewegung entgegenwirken. Genauer gilt für die Gravitationskonstante: $γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$

Bestimmung der Gravitationskonstante nach Cavendish

Gravitationsdrehwaage

Das Gravitationsgesetz

Das Entstehen der Gezeiten