Das Gravitationsgesetz

„Wenn zwei Steine an irgendeiner Stelle der Welt platziert werden, nahe beieinander, aber außer- halb der Einflusssphäre eines dritten Bezugskörpers, so würden die beiden Steine wie zwei magnetische Körper an einer dazwischenliegenden Stelle zusammenkommen, wobei sich jeder dem anderen um eine Strecke nähert, die der Masse des anderen proportional ist.“ (Johannes Kepler)

Massenanziehung

Die Grundgleichung der Mechanik war Kepler nicht bekannt, sodass er die Bewegung der Planeten nicht mit Hilfe von Kräften erklären konnte. Er hatte zwar schon vermutet, dass zwischen Sonne und Planeten Kräfte wirken, doch erst Isaac Newton führte diesen Gedanken in einer Theorie aus. Newton hat in seinem Buch „Die mathematischen Prinzipien der Naturlehre“ den Fall eines Apfels und die elliptische Bahn der Erde um die Sonne untersucht und auf die gleiche Ursache zurückgeführt. Er nannte die verursachenden Kräfte Gravitationskräfte.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Berechnung der Gravitationskräfte

Zur Untersuchung dieser Kräfte nahm Newton vereinfachend an, dass sich die Planeten mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit auf Kreisbahnen um die Sonne bewegen. Diese Näherung erlaubt es, die Gesetze für die Kreisbewegung zu verwenden. Zudem setzte er voraus, dass man sich die Masse eines kugelförmigen Körpers in seinem Mittelpunkt vereinigt denken kann.

Damit ein Planet der Masse $m_{1}$ eine Kreisbahn mit dem Radius $r$ um die Sonne beschreibt, muss auf ihn ständig eine Zentripetalkraft

F = m_{1} \cdot ω^{2} \cdot r = m_{1} \cdot \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \cdot r

wirken. $T$ bezeichnet die Umlaufzeit des Planeten, $r$ ist der Abstand der Mittelpunkte beider Körper. Nach dem 3. Kepler’schen Gesetz ist der Quotient aus $T^{2}$ und $r^{3}$ konstant.

  $\frac{T^{2}}{r^{3}} = k$ bzw. $T^{2} = k \cdot r^{3}$

Damit ergibt sich für die Zentripetalkraft:

$F = m_{1} \cdot \frac{4 π^{2}}{k \cdot r^{3}} \cdot r = C \cdot \frac{m_{1}}{r^{2}}$   mit $C = \frac{4 π^{2}}{k} $

Wie $k$ hängt auch $C$ von dem Zentralkörper ab, um den die Planeten kreisen. Maßgebliche Größe für die Wechselwirkung zwischen Sonne und Planet ist neben dem Abstand $r$ der Körpermittelpunkte ihre Masse. Newton postulierte daher auch, dass die Zentripetalkraft eine Folge der Eigenschaft „Masse“ der Körper ist. Der Betrag der Zentripetalkraft wird von beiden Massen abhängen. Folglich ist es sinnvoll, neben der Masse $m_{1}$ des Planeten die Masse $m_{2}$ des Zentralkörpers Sonne in die Beziehung aufzunehmen, indem man für die Konstante $C = γ \cdot m_{2}$ setzt. $γ$ ist eine neue Konstante.

Newton nahm weiterhin an, dass sowohl die Gewichtskraft eines Körpers auf der Erde als auch die Zentripetalkraft der Sonne auf einen Planeten Gravitationskräfte sind. Diese Verallgemeinerungen Newtons führen zu folgender Gleichung für die Gravitationskraft, die zwei beliebige Körper mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ im Abstand $r$ aufeinander ausüben:

$F = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$   mit $γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$  

Man bezeichnet dieses Naturgesetz als Newton’sches Gravitationsgesetz. Die Gravitationskonstante $γ$ ist eine universelle Konstante; sie hängt nicht von den Massen der beiden Körper ab.

Für zwei Körper mit je $1 kg$ Masse errechnet sich beim Abstand $r = 1 m$ eine wechselseitige Anziehungskraft von $F = 6, 67 \cdot 10^{- 11} N$ . Diese Kraft ist so klein, dass Newton ihre Messung und damit die Bestimmung der Gravitationskonstanten $γ$ im Labor für unmöglich hielt. Erst 1798, also mehr als 100 Jahre nach der Entdeckung des Gravitationsgesetzes, gelang dies dem Engländer Henry Cavendish.

Henry Cavendish (1731 – 1810)

Thinkstock, München (iStock/denisk0)

Die Ursache für die Gewichtskraft

Gravitationskräfte halten Galaxien zusammen.

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Die Gewichtskraft, die an der Erdoberfläche auf einen Körper der Masse $m$ wirkt, ist die Folge der Gravitationskräfte zwischen Körper und Erde (Masse $m_{E}$ ):

$m \cdot g = γ \cdot \frac{m_{E} \cdot m}{r_{E}^{2}}$ , also: $g = \frac{γ \cdot m_{E}}{r_{E}^{2}}$

Der Wert von $g$ ist bekannt: $g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$

Damit lässt sich die Erdmasse $m_{E}$ bei bekanntem Erdradius $r_{E}$ und bekanntem $γ$ bestimmen.

Der Mond der Masse $m_{M}$ erfährt von der Erde im Abstand $r_{M} = 60 \cdot r_{E} $ zur Erde die Gravitationskraft:

$m_{M} \cdot a = γ \cdot \frac{m_{E} \cdot m_{M}}{(60 \cdot r_{E})^{2}}$ , d. h.: $a = \frac{γ \cdot m_{E}}{(60 \cdot r_{E})^{2}}$  

Das Verhältnis g:a ist demnach 3 600:1 .

Mit den bekannten Werten für den Radius der Mondbahn ( $r_{M} = 384000 km$ ) und der Umlaufzeit ( $T = 27, 3 Tage$ ) ergibt sich als Zentripetalbeschleunigung:

a_{Z} = ω^{2} \cdot r_{M} = {(\frac{2 π}{T})}^{2} \cdot r_{M} = 2, 72 \cdot 10^{- 3} \frac{m}{s^{2}}

Für diese Zentripetalbeschleunigung $a_{Z} = a$ gilt in der Tat $3600 \cdot a = g$ .

Die Hypothese, dass dieselbe Kraft sowohl in Erdnähe für die Gewichtskraft von Körpern als auch im Mondabstand für die Zentripetalkraft der Mondbahn gültig ist, hat schon Newton mit diesem Beispiel erläutert.

Zwei beliebige kugelförmige homogene Körper mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ im Abstand $r$ üben gleich große, entgegengesetzt gerichtete Gravitationskräfte aufeinander aus. Für deren Betrag gilt:

$F = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ mit $γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$

Das Gravitationsgesetz

Massenanziehung

Berechnung der Gravitationskräfte

Die Ursache für die Gewichtskraft

Bewegungen am Himmel

Bestimmung der Gravitationskonstante nach Cavendish