Bewegungen am Himmel

„Was ich vor 22 Jahren geahnt habe…, das habe ich endlich ans Licht gebracht und über alle Erwartung für wahr befunden, dass all die Harmonie… unter den himmlischen Bewegungen vorhanden ist, obschon nicht ganz so, wie ich anfänglich dachte, sondern… etwas anders, aber zugleich schöner und vortrefflicher.“ (Johannes Kepler)

Keplers Planetenbahnen

Pythagoras glaubte, der Kosmos besäße eine Ordnung, die mathematischen Proportionen unterliegt. Kepler griff diese Vorstellung auf: Seiner Ansicht nach waren die Abstände der Planeten von der Sonne durch Kugeln innerhalb regulärer Polyeder gegeben. Dieses Modell erwies sich zwar als falsch, führte Kepler aber auf den richtigen Weg.

Johannes Kepler (1571 – 1630)

stock.adobe.com, Dublin (Georgios Kollidas)

Die genaue Entwicklung von Keplers Arbeiten nachzuzeichnen ist schwierig. Es genügt die Beschränkung auf das Verfahren, mit dem es ihm gelang, aus einem Beobachtungsmaterial, das vorher von den Astronomen im Laufe von Jahrhunderten angesammelt wurde, die Bewegung der Planeten neu zu verstehen.

Johannes Kepler begann seine Bahnkonstruktion mit dem Zeitpunkt, in dem Sonne, Erde und Mars auf einer Geraden zu liegen schienen.

Keplers Konstruktion von Erd- und Marsbahn um die Sonne

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Dabei befand sich die Erde $E_{1}$ zwischen Mars und Sonne. Die Position des Mars bezog sich auf einen bestimmten Fixstern. Nach genau einem Marsjahr musste der Mars also wieder in dieser Position zwischen Sonne und Fixstern sein. Die Erde war nun jedoch in einer anderen Position. Aus Tabellen konnte er hierfür den von der Erde aus beobachteten Stand des Mars und der Sonne entnehmen, in der Abbildung durch die farbigen Winkel angedeutet. So wurde durch Konstruktion der Ort $E_{2}$ gefunden. Dieses Verfahren hat Kepler für etwa 40 Bahnpunkte wiederholt. Es ergab sich mit großer Genauigkeit eine nahezu kreisförmige Bahn der Erde um die Sonne. Nachdem Kepler die Bahn der Erde um die Sonne mit Hilfe bereits vorliegender Daten gefunden hatte, drehte er die Konstruktion um, indem er nun die Bahn des Mars ableitete.

Die Kepler’schen Gesetze

Die Sterne am Himmel scheinen sich in regelmäßiger Weise um die Erde zu bewegen. Diese Regelmäßigkeit wurde zur Grundlage für die Zeitmessung. Die immer wiederkehrende Position von Sternen am Himmel diente Seefahrern zur Orientierung. Dies verlangte eine genaue Beobachtung des Himmels, um den Lauf der Sterne möglichst genau vorhersagen zu können. Der dänische Astronom Tycho Brahe (1546 – 1601) führte über zwanzig Jahre lang Messungen an Planeten mit bloßen Augen durch.

Auf diese Ergebnisse stützte sich Kepler bei seiner Suche nach einem für alle Planetenbewegungen gültigen Gesetz. Bei seiner Suche nach einer richtigen Wiedergabe der Position von Mars und Erde bezüglich der Sonne ging Kepler zunächst von Kreisbahnen aus. Er hielt sie für die vollkommenste Bahnform und daher den Himmelskörpern angemessen. Brahes Daten passten auch gut, nur eine kleine Abweichung von 8 Winkelminuten zur vollkommenen Kreisform störte Kepler. Sein Vertrauen in die Messdaten war so groß, dass er die Abweichung als Fehler seiner Theorie ansah und den Lösungsansatz mit der Kreisform verwarf.

Nach etwa 70 vergeblichen Versuchen fand er eine ihn zufriedenstellende Bahnform. Durch sie entdeckte er drei Gesetze, die nicht nur für den Mars, sondern auch für alle anderen Planeten Gültigkeit haben.

1. Kepler’sches Gesetz: Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen. Die Sonne steht in einem der zwei Brennpunkte.

Die Ellipsen für die einzelnen Planeten weichen von der Kreisbahn in unterschiedlichem Maße ab. Die Erdbahn ist fast ein Kreis, die Bahnen von Merkur und Pluto* weichen am stärksten ab.

Die Beobachtungen zeigten ferner, dass die Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahn nicht konstant ist. Auf den Ellipsen ist sie in Sonnennähe am größten. Kepler fand heraus, dass trotz veränderlicher Geschwindigkeit für die Verbindungslinie zwischen Planet und Sonne eine Gesetzmäßigkeit gilt, die auch als Flächensatz bezeichnet wird:

2. Kepler’sches Gesetz: Die Verbindungsstrecke von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeitdauern Flächen mit gleichem Flächeninhalt.

Das 2. Kepler’sche Gesetz

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Aus diesem Gesetz folgt, dass sich die Erde in Sonnennähe, wenn bei uns auf der Nordhalbkugel Winter ist, schneller als im Sommer, bei Sonnenferne, bewegt. Deshalb ist das Winterhalbjahr (23. 9. – 21. 3.) um rund eine Woche kürzer als das Sommerhalbjahr.

Zehn weitere Jahre benötigte Kepler, bis er aus den Beobachtungsdaten ein weiteres Gesetz über die Umlaufzeiten und Abstände der Planeten gewann. Es verknüpft verschiedene Planeten miteinander zu einem System der Sonne.

3. Kepler’sches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen der Planetenbahnen:  

$\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}$ oder $\frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}} = . . . = k$

$k$ ist eine Konstante des Sonnensystems. Mit den Daten für die Erde wird:

k = \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{(31, 5 \cdot 10^{6} s)^{2}}{(149, 6 \cdot 10^{9} m)^{3}} = 2, 96 \cdot 10^{- 19} \frac{s^{2}}{m^{3}} ​ ​

Die Kepler’schen Gesetze gelten in allen Fällen, in denen Himmelskörper sich um einen Zentralkörper bewegen, z. B. für Bewegungen von Mond und Satelliten um die Erde oder der Jupitermonde um den Jupiter. Dabei zeigt sich, dass die Konstante $k$ für verschiedene Zentralkörper verschieden ist.

Zum 3. Kepler’schen Gesetz (* Pluto zählt seit 2006 nicht mehr zu den Planeten.):

Name	Große Halbachse $a$ in m	Umlaufzeit $T$ in s	$k = \frac{T^{2}}{a^{3}}$ in $\frac{s^{2}}{m^{3}}$
Planeten der Sonne
Merkur	$57, 9 \cdot 10^{9}$	$7, 6 \cdot 10^{6}$	$2, 976 \cdot 10^{- 19}$
Venus	$108, 2 \cdot 10^{9}$	$19, 4 \cdot 10^{6}$	$2, 983 \cdot 10^{- 19}$
Erde	$149, 6 \cdot 10^{9}$	$31, 5 \cdot 10^{6}$	$2, 964 \cdot 10^{- 19}$
Mars	$227, 9 \cdot 10^{9}$	$59, 9 \cdot 10^{6}$	$3, 031 \cdot 10^{- 19}$
Jupiter	$778, 3 \cdot 10^{9}$	$3, 75 \cdot 10^{8}$	$2, 976 \cdot 10^{- 19}$
Saturn	$1427 \cdot 10^{9}$	$9, 3 \cdot 10^{8}$	$2, 983 \cdot 10^{- 19}$
Uranus	$2884 \cdot 10^{9}$	$26, 7 \cdot 10^{8}$	$2, 972 \cdot 10^{- 19}$
Neptun	$4496 \cdot 10^{9}$	$52, 0 \cdot 10^{8}$	$2, 971 \cdot 10^{- 19}$
Pluto*	$5900 \cdot 10^{9}$	$78, 2 \cdot 10^{8}$	$2, 978 \cdot 10^{- 19}$
Satelliten der Erde
Mond	$3, 850 \cdot 10^{8}$	$2, 361 \cdot 10^{6}$	$9, 768 \cdot 10^{- 14}$
Kiku-5	$4, 216 \cdot 10^{7}$	$8, 616 \cdot 10^{4}$	$9, 901 \cdot 10^{- 14}$
Kosmos-1876	$7, 791 \cdot 10^{6}$	$6, 848 \cdot 10^{3}$	$9, 911 \cdot 10^{- 14}$
Jupitermonde
Io	$4, 190 \cdot 10^{8}$	$1, 529 \cdot 10^{5}$	$3, 178 \cdot 10^{- 16}$
Europa	$6, 670 \cdot 10^{8}$	$3, 068 \cdot 10^{5}$	$3, 173 \cdot 10^{- 16}$
Ganymed	$1, 046 \cdot 10^{9}$	$6, 182 \cdot 10^{5}$	$3, 339 \cdot 10^{- 16}$
Callisto	$1, 872 \cdot 10^{9}$	$1, 4429 \cdot 10^{6}$	$3, 170 \cdot 10^{- 16}$

Die Kepler’schen Gesetze beschreiben die Ellipsenform der Planetenbahnen, die Bewegung der Planeten auf diesen Bahnen sowie den Zusammenhang zwischen den Umlaufzeiten und den Ellipsenachsen.

Bewegungen am Himmel

Keplers Planetenbahnen

Die Kepler’schen Gesetze

Weltmodelle

Das Gravitationsgesetz