Die Ableitung in der Physik

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Aus dem Mathematik-Unterricht sind der Begriff sowie die grundlegenden Rechenregeln der Ableitung bekannt. Betrachtet man eine ganzrationale Funktion 2. Grades erhält man mit Hilfe der Potenz- und Summenregel folgende Ableitungen:

f (x) = a x^{2} + bx + c f ’ (x) = 2 ax + b (oder \frac{df (x)}{dx} = 2 ax + b) f ’ ’ (x) = 2 a (oder \frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} = 2 a)

In der Physik werden Vorgänge bzw. Funktionen häufig nicht in Abhängigkeit von $x$ , sondern von der Zeit $t$ untersucht. Ein Beispiel ist die Zeit-Ort-Funktion $s (t)$ einer beliebigen Bewegung: $f (x) ≙ s (t)$

Auch in der Physik werden Funktionen abgeleitet, um z.B. die zeitliche Änderung einer Größe zu erfassen. Bei der Ableitung einer Funktion nach $t$ wird anstelle der „Strich-Schreibweise“ eine „Punkt-Schreibweise“ genutzt:

\begin{array}{lcl} f (x) & ≙ & s (t) \\ f' (x) = \frac{df (x)}{dx} & ≙ & \dot{s} (t) = \frac{ds (t)}{dt} \\ f'' (x) = \frac{d^{2} f (x)}{d^{2} x} & ≙ & \ddot{s} (t) = \frac{d^{2} s (t)}{d^{2} t} \end{array}

Beschleunigte Bewegung

Die Gleichung $s (t)$ für die geradlinige beschleunigte Bewegung mit konstanter Beschleunigung $a_{0}$ , der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ und einer zum Zeitpunkt $t = 0 s$ zurückgelegten Strecke $s_{0}$ lautet: $s (t) = \frac{1}{2} a_{0} \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}$

Leitet man diese Funktion zweimal nach $t$ ab, ergeben sich folgende Gleichungen:

\dot{s} (t) = a_{0} \cdot t + v_{0}

\ddot{s} (t) = a_{0}

Ein Vergleich der bisher bekannten Gleichungen für die Geschwindigkeit $v (t)$ und die Beschleunigung $a (t)$ der Bewegung zeigt, dass $\dot{s} (t) = v (t)$ und $\ddot{s} (t) = \dot{v} (t) = a (t)$ ist. Dieser Zusammenhang ist allgemein gültig.

Harmonischer Oszillator

Bei einer harmonischen Schwingung verursacht die Rückstellkraft $F = - D \cdot s$ die Beschleunigung des Oszillators. Nach dem Grundgesetz der Mechanik folgt $F = m \cdot a = - D \cdot s$ .

Auslenkung $s$ , Geschwindigkeit $v$ und Beschleunigung $a$ sind Funktionen der Zeit. Für sie gilt:

$v (t) = \dot{s} (t)$ und $a (t) = \dot{v} (t) = \ddot{s} (t)$

Damit erhält man die Differenzialgleichung:

m \cdot \ddot{s} (t) = - D \cdot s (t) \Leftrightarrow m \cdot \ddot{s} (t) + D \cdot s (t) = 0

Gesucht ist eine Funktion, die im Wesentlichen mit ihrer zweiten Ableitung übereinstimmt. Diese Eigenschaft haben die Sinus- bzw. Kosinusfunktionen. Der einfachste Lösungsansatz ist:

s (t) = s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)

Damit erhält man für $v (t)$ und $a (t)$ :

$v (t) = \dot{s} (t) = s_{M} \cdot ω \cdot \cos (ω \cdot t)$ und $a (t) = \dot{v} (t) = \ddot{s} (t) = - s_{M} \cdot ω^{2} \cdot \sin (ω \cdot t)$

Setzt man dies in die Differenzialgleichung ein, so ergibt sich:

(D - m \cdot ω^{2}) \cdot s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t) = 0

Damit die Gleichung für alle t erfüllt ist, muss die Differenz in der Klammer null sein. Dies liefert eine Aussage über die Periodendauer T einer harmonischen Schwingung:

(D = m \cdot ω^{2}) \Rightarrow ω = \sqrt{\frac{D}{m}} \Leftrightarrow T = 2 π \sqrt{\frac{m}{D}}

Sie kann experimentell überprüft werden.

Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus:

f (x) = \sin (x)

f' (x) = \cos (x)

f'' (x) = - \sin (x)

f''' (x) = - \cos (x)

f^{(4)} (x) = \sin (x)

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Ableitungsregel für verkettete Funktionen (Kettenregel):

f (x) = u (v (x))

f' (x) = v' (x) \cdot u' (v (x))

„innere Ableitung mal äußere Ableitung“

f (x) = {(5 x^{2})}^{4}

f' (x) = \underset{innere Ableitung}{\underset{⏟}{10 x}} \cdot \underset{äußere Ableitung}{\underset{⏟}{4 {(5 x^{2})}^{3}}}

Die Ableitung in der Physik

Beschleunigte Bewegung

Harmonischer Oszillator

Merkmale von Schwingungen

Schwingungen in der Zeigerdarstellung