Merkmale von Schwingungen

In unserer Umwelt beobachten wir häufig Vorgänge, die sich wiederholen, z.B. die Bewegung einer Schaukel oder eines Uhrpendels, eines Bungee-Springers, einer klingenden Gitarrensaite.

Beschreibung von Schwingungen

Gleichartige Bewegungsabläufe, bei denen sich die Richtung immer wieder umkehrt und die sich nach einer bestimmten Zeit wiederholen, heißen Schwingungen. Schwingungsfähige Systeme bezeichnet man als Oszillatoren.

Federschwingung

Manfred Grote

Die Schwingung erfolgt zwischen zwei Umkehrpunkten. Oft gibt es einen ausgezeichneten Punkt, der Gleichgewichts- oder Ruhelage heißt. Die momentane Entfernung von der Ruhelage heißt Auslenkung $s$ oder Elongation $s$ . Ihren Maximalwert bezeichnet man als Amplitude $s_{M}$ .

Merkmale einer Schwingung

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Periodische Bewegungen

Bei real ablaufenden Schwingungen nimmt die Amplitude in der Regel ab, die Bewegung hört nach einer gewissen Zeit auf. Es liegt eine gedämpfte Schwingung vor.

Verlauf einer gedämpften Schwingung

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Idealisiert man die Bewegung und nimmt eine konstante Amplitude an, so spricht man von einer ungedämpften Schwingung. Eine solche idealisierte Schwingung kann man sich als ständige Wiederholung eines Bewegungsabschnittes, einer Periode, vorstellen. Die dafür benötigte Zeitdauer bezeichnet man als Periodendauer $T$ .

Der Quotient $f = \frac{1}{T}$ heißt Frequenz und gibt die Anzahl der Perioden in einer Sekunde an.

Zu Ehren von Heinrich Hertz (1857 – 1894) heißt die Einheit der Frequenz 1 Hertz (Hz): $1 H z = \frac{1}{s}$ . Bewegungen die sich auf diese Weise beschreiben lassen, nennt man periodische Bewegungen.

Die harmonische Schwingung

Das $t$ - $s$ -Diagramm der idealisierten Schwingung eines Oszillators ist eine Sinuskurve, die bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems durch den Ursprung verläuft.

Zeit-Ort-Diagramm

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Solche Bewegungen heißen harmonische Schwingungen. Ihr Graph wird durch die Gleichung

s (t) = s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)

beschrieben. Dabei ist $s_{M}$ die konstante Amplitude, $ω$ ein Faktor mit der Einheit $\frac{1}{s}$ , sodass $ω \cdot t$ ein Zahlenwert ist, der als Winkel im Bogenmaß interpretiert werden kann. Dieser Winkel heißt Phase der Schwingung.

Zu Beginn, d.h. für $s (0) = 0$ , bewegt sich der Oszillator aufwärts. Nach einer Periode passiert er mit $s (T) = s_{M} \cdot \sin (ω \cdot T) = 0$ bei der Aufwärtsbewegung erneut die Ruhelage. Also muss $ω \cdot T = 2 π$ sein.

Die Steigung im $t$ - $s$ -Diagramm liefert zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit $v (t)$ :

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

v (t) = v_{M} \cdot \cos (ω \cdot t)

Aus der Steigung dieses $t$ - $v$ -Graphen ergibt sich die Beschleunigung $a (t)$ :

Zeit-Beschleunigung-Diagramm

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

a (t) = a_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)

Messungen zeigen, dass für die maximale Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung gilt:

$v_{M} = ω \cdot s_{M}$ und $a_{M} = ω \cdot v_{M} = ω^{2} \cdot s_{M}$

Schwingungen, deren $t$ - $s$ -Diagramm durch eine Sinuskurve beschrieben wird, heißen harmonische Schwingungen. Für sie gelten folgende Bewegungsgesetze:

$s (t) = s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)$ mit $ω = \frac{2 π}{T}$

$v (t) = v_{M} \cdot \cos (ω \cdot t)$ mit $v_{M} = ω \cdot s_{M}$

$α (t) = - α_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)$ mit $α_{M} = ω \cdot v_{M} = ω^{2} \cdot s_{M}$

Kräfte bei der harmonischen Schwingung

Die Beschleunigung ist bei einer Schwingung nicht konstant. Diese Änderung der Beschleunigung wird durch eine sich ändernde Kraft verursacht. Aus der Grundgleichung der Mechanik folgt für einen harmonischen Oszillator:

F (t) = m \cdot a (t) = m \cdot a_{M} \cdot (- \sin (ω \cdot t))

F (t) = - m \cdot ω^{2} \cdot s_{M} \cdot \sin (ω \cdot t)

Mit dem Zeit-Ort-Gesetz ergibt sich

$F (t) = - m \cdot ω^{2} \cdot s (t) = - D \cdot s (t)$ mit $D = m \cdot ω^{2}$

Dieser Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung heißt lineares Kraftgesetz. Das Minuszeichen drückt aus, dass die Auslenkung und die Kraft entgegengesetzt gerichtet sind. Da die Kraft den Oszillator stets zur Ruhelage hin beschleunigt, bezeichnet man sie als Rückstellkraft.

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass Rückstellkraft und Auslenkung proportional zueinander sind.

Aus $D = m \cdot ω^{2}$ und $ω = \frac{2 π}{T}$ ergibt sich für die Periodendauer:

T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}

Ein Federpendel wird ausgelenkt. In der Ruhelage hebt die Federkraft die Gewichtskraft des schwingenden Körpers auf. Wird die Feder weiter gedehnt, dann ändert sich nur die Federkraft nach dem Hooke’schen Gesetz $F (t) = - D \cdot s (t)$ .

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Bei einem an einer Feder schwingenden Körper entspricht der Proportionalitätsfaktor $D$ im linearen Kraftgesetz der Federkonstanten. Man kann umgekehrt zeigen, dass aus dem linearen Kraftgesetz das Zeit-Ort-Gesetz folgt.

Nicht-harmonische Schwingungen

Harmonische Schwingungen stellen einen Sonderfall dar, viele Schwingungsvorgänge im Alltag sind nicht harmonisch.

Schwingung eines Wagens in einer Mulde

Marzell, Alfred, Schwäbisch Gmünd

Der Wagen bewegt sich in der Mulde mit den geraden Wänden hin und her. Die Rückstellkraft, die auf ihn wirkt, ist die Komponente der Gewichtskraft parallel zur Bahn:

F_{H} = F_{G} \cdot \sin α = m \cdot g \cdot \sin α

Der Betrag der Rückstellkraft ist unabhängig von der Elongation $s$ , es liegt also keine harmonische Schwingung vor.

Weil die Kraft für alle Elongationen konstant ist, führt sie zu einer konstanten Beschleunigung des Wagens:

α = \frac{F}{m} = g \cdot \sin α

Bei einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung gilt:

s (t) = \frac{1}{2} α \cdot t^{2}

Bei einer Amplitude $s_{M}$ erhält man für die Periodendauer der Schwingung:

4 \cdot s_{M} = \frac{1}{2} α \cdot T^{2} \Leftrightarrow T = 2 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot s_{M}}{α}}

Im Gegensatz zur harmonischen Schwingung ist die Periodendauer einer nicht-harmonischen Schwingung von der Anfangsauslenkung abhängig.

Bei einer harmonischen Schwingung gilt das lineare Kraftgesetz: Rückstellkraft F und Auslenkung s sind proportional zueinander:

F = - D \cdot s

Gilt für einen Oszillator das lineare Kraftgesetz, so ergibt sich eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$ .

Merkmale von Schwingungen

Beschreibung von Schwingungen

Periodische Bewegungen

Die harmonische Schwingung

Kräfte bei der harmonischen Schwingung

Nicht-harmonische Schwingungen

Schwingung eines Federpendels

Die Ableitung in der Physik