Überlagerung von Schwingungen

Wir nehmen die Umwelt über unsere Sinnesorgane wahr. Sie empfangen Reize und setzen sie in Nervensignale um, die vom Gehirn verarbeitet werden. Das Ohr ist der Empfänger für akustische Reize, diese bewirken Schwingungen des Trommelfells. Das kann sich nur auf eine Weise bewegen.

Mit Mikrofon und Oszilloskop lassen sich akustische Signale sichtbar machen. Bei einer angeschlagenen Stimmgabel erscheint eine Sinuskurve, ein in gleicher Tonhöhe auf einer Klarinette gespieltes „A“ erzeugt eine recht komplexe Kurve, die aber eine zeitliche Periodizität aufweist.

Die unterschiedlichen Bilder führen dazu, dass die Signale unterschiedlich wahrgenommen werden.

Mit einem Versuch kann die Entstehung der Schwingungsbilder untersucht werden: Ein Pendelkörper, der an einer losen Rolle hängt, wird mit zwei Stativstangen, die als Pendel dienen, zum Schwingen gebracht.

Ein Ultraschallsensor unterhalb des Pendelkörpers zeichnet dessen Bewegung auf. Schwingen die Pendel mit gleicher Frequenz, ergeben sich folgende Diagramme bei gleichphasiger bzw. gegenphasiger Schwingung.

Wenn man davon ausgeht, dass die beiden Pendel im Versuch harmonisch schwingen, dann lassen sich ihre Bewegungen durch folgende Gleichungen beschreiben:

Für die Elongation des roten Pendelkörpers gilt zu jedem Zeitpunkt $s\left(t\right)=s_1\left(t\right)+s_2\left(t\right)$. Man spricht bei diesem Vorgang von der Überlagerung der Schwingungen der beiden Pendel. Das $t$-$s$-Diagramm erhält man durch eine Addition der Elongationen zu jedem Zeitpunkt.

Die folgenden Abbildungen zeigen das Ergebnis für $f_1=f_2$. Die Addition führt in allen Fällen zu einer Sinuskurve, deren Amplitude jeweils von der Phasenverschiebung $∆\phi$ abhängt.

Bei der Überlagerung harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz bzw. Periodendauer entsteht eine harmonische Schwingung mit der gleichen Frequenz.

Nun betrachtet man Schwingungen, deren Frequenzen $f_1$ und $f_2$ sich geringfügig unterscheiden. Bei ihrer Überlagerung entsteht ein Schwingungsbild wie in der folgenden Abbildung.

Die Amplitude schwankt mit einer Frequenz, die viel kleiner ist als die Frequenz der durch Überlagerung entstandenen Schwingung. Diesen Fall bezeichnet man als Schwebung. Die Frequenz, mit der die Amplitude schwankt, heißt Schwebungsfrequenz, sie beträgt $f_{\mathrm{S}}=\left|f_1-f_2\right|$. Bei akustischen Signalen äußert sich eine Schwebung durch eine periodisch schwankende Lautstärke des Tones. Sie tritt z.B. beim Stimmen eines Klaviers auf. Nimmt der Klavierstimmer die Schwebung nicht mehr wahr, schwingen Klaviersaite und Stimmgerät mit gleicher Frequenz.

Die Überlagerung von Schwingungen kann zu sehr komplexen Schwingungsbildern führen, die oft trotzdem zeitlich periodisch sind. Dabei spielt das Verhältnis der Frequenzen der beteiligten Schwingungen eine Rolle.

In einem geeigneten Programm kann man die Funktionsgleichungen $s_1\left(t\right)$ und $s_2\left(t\right)$ sowie $s\left(t\right)=s_1\left(t\right)+s_2\left(t\right)$ eingeben und untersuchen, wie das Ergebnis von den Parametern abhängt. Man kann so ein experimentell gefundenes Ergebnis nachbilden und auf diese Weise analysieren.

Grundsätzlich lässt sich eine harmonische Schwingung mit Amplitude $s_{\mathrm{M}}$ und Frequenz $f$ durch einen Zeiger mit der Länge $s_{\mathrm{M}}$ beschreiben, der mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =2\pi ·f$ rotiert. Zwei Schwingungen werden entsprechend durch zwei Zeiger dargestellt, die um einen gemeinsamen Punkt rotieren. Der Pfeil für das Überlagerungsergebnis ist die Vektorsumme der Ausgangspfeile.

Er ändert seine Länge, wenn die beiden Ausgangspfeile mit unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit rotieren. Die folgende Abbildung zeigt diese Situation zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.

Bei vielen praktischen Vorgängen entstehen neben der harmonischen Grundschwingung (Frequenz $f_0$) auch sogenannte Oberschwingungen (Frequenzen $f_{\mathrm{n}}=\left(n+1\right)·f_0$) mit unterschiedlichen Amplituden $s_{\mathrm{M},\mathrm{n}}$, die sich überlagern.

Von großer praktischer Bedeutung ist auch das umgekehrte Verfahren, bei dem eine gegebene komplexere Schwingung analysiert wird. Die Grundidee geht auf den französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier (1768 – 1830) zurück. Sie bringt die Bedeutung der harmonischen Schwingung als Baustein für beliebige Schwingungsformen zum Ausdruck.

Dabei wird für eine zu untersuchende Schwingung mit der Periode $T_0$ zunächst eine harmonische Grundschwingung ($f_0=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$T_0$}\right.$) bestimmt. Anschließend werden schrittweise die Amplituden der Oberschwingungen $f_{\mathrm{n}}$ angepasst.

Das Ergebnis dieser Fourier-Analyse stellt man in einem Frequenzspektrum dar, bei dem jeder beteiligten Frequenz die ermittelte Amplitude zugeordnet wird.