so arbeiten sie mit schnittpunkt anwenden auftakt hier bekommen sie einen überblick über die lernziele ein beispiel stellt den bezug zum alltag her anwenden im beruf lernen sie ihre mathematischen kenntnisse in die praxis umzusetzen nachschlagen zusammenfassung hier finden sie die wichtigsten formeln und begriffe des kapitels basiswissen wiederholen sie diejenigen grundlagen die ihnen nicht mehr vertraut sind lösungen überprüfen sie selbst ihre ergebnisse zu standpunkt rückspiegel basiswissen und prüfungsvorbereitung testen standpunkt testen sie wie fit sie für die inhalte des kapitels sind die lerntipps ver weisen auf das basiswissen oder vorherige kapitel rückspiegel schätzen sie ihnen lernstand zunächst selbst ein und überprüfen sie ihn dann anhand von aufgaben prüfungsvorbereitung bereiten sie sich optimal auf die prüfung vor

symbole erklärfilme helfen komplexe sachverhalte zu verstehen die symbole vor den aufgabenziffern zeigen wie schwierig die aufgabe ist projekte fördern das eigenverantwortliche arbeiten lineare gleichungen einfache aufgabe mittlere aufgabe schwierige aufgabe um diese fähigkeiten geht es hier k1 mathematisch argumentieren k2 probleme mathematisch lösen k3 mathematisch modellieren k4 mathematische darstellungen verwenden k5 mit symbolischen formalen und technischen elementen der mathematik umgehen k6 kommunizieren tipps und hinweise verweis auf das arbeitsheft hier finden sie die erklärfilme passend zur lerneinheit an vielen stellen finden sie schnittpunkt-codes diese führen sie zu weiteren informationen materialien oder übungen im internet geben sie einfach den code auf www.klett.de ein erklärfilm 57t5rx online-material 53b2k3 lernen und üben die lerneinheiten sind wie folgt aufgebaut die offene und entdeckende einstiegsaufgabe gibt ihnen erste impulse lehrtext und merkkasten erklären die mathematischen inhalte die anhand eines beispiels gefestigt werden die differenzierenden aufgaben bieten ihnen zahlreiche möglichkeiten zum üben und sind den kompetenzen zugeordnet

inhaltsverzeichnis terme und gleichungen standpunkt auftakt potenzen als kurzschreibweise aufstellen von termen einsetzen von zahlen aufstellen von termen lesen und lösen vereinfachen von termen addition und subtraktion vereinfachen von termen multiplikation multiplizieren von summen binomische formeln ausmultiplizieren und faktorisieren potenzen potenzgesetze gleiche basis potenzgesetze gleiche exponenten potenzen mit negativen exponenten normdarstellung zehnerpotenzschreibweise zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel gleichungen standpunkt auftakt reelle zahlen quadratwurzeln bestimmen von quadratwurzeln erweiterung des wurzelbegriffs kreisumfang und kreiszahl lineare gleichungen gleichungen mit klammern lösungsvielfalt umstellen von formeln prozentrechnen prozente prozentuale veränderung zinsrechnen monatszinsen und tageszinsen zinseszins bruchterme und definitionsmenge quadratische gleichungen rechnerische lösung wurzelziehen lösungsformel abc-formel lösungsvielfalt diskrimininante umstellen von formeln 2f8mi9 seite 57t5rx

zusammenfassung prüfungsvorbereitung anwenden im beruf rückspiegel weitere kapitel im schülerbuch sind geometrie wahrscheinlichkeitsrechnung lineare gleichungssysteme geraden parabeln wahlthemen basiswissen b1 lösungen im buch l1 register symbole/größen/maßeinheiten die lerneinheiten in grauer schrift finden sie im schülerbuch unter dem online-code xy2696 finden sie das vollständige inhaltsverzeichnis des schülerbuches die lösungen zu den aufgaben des teildrucks die zum teildruck passenden seiten aus dem arbeitsheft g3iq2q v3r9n7 up3rv9 64j7mz pg9y4j ga42cb d29a72 seite 57t5rx

wo stehe ich standpunkt termumformungen standpunkt die lösungen zum standpunkt finden sie auf seite gut sehr gut etwas nicht gut testen 53b2k3 ich kann lerntipp mit natürlichen zahlen rechnen seite ganze zahlen dezimalzahlen und brüche ordnen seite zahlen am zahlenstrahl markieren seite zahlen am zahlenstrahl ablesen seite mit dezimalzahlen rechnen mit ganzen zahlen rechnen seite brüche multiplizieren und dividieren seite brüche addieren und subtrahieren seite überprüfen sie ihre einschätzung berechnen sie 16 ⋅ 12 ordnen sie die zahlen nach der größe beginnen sie mit der kleinsten zahl 2,46 105,8 24,6 1,784 zeichnen sie einen passenden zahlenstrahl und tragen sie die zahlen ein welche zahlen sind rot markiert berechnen sie 17,08 20,93 31,53 17,87 406,75 6,025 91,604 50,7 46,08 168,49 65,79 ⋅ 4,8 12,426 16,8 ⋅ 3 1250,5 83,2) ⋅ 6 berechnen sie  ⋅   ⋅ 2  ⋅ 4 berechnen sie

termumformungen auftakt termumformungen smartphones sind aus unserem alltag nicht mehr wegzudenken die durchschnittliche nutzung des smartphones liegt in deutschland bei stunden minuten wie lange nutzen sie ihr smartphone täglich in der altersgruppe der 14bis 49-jährigen haben fast alle personen ein smartphone neben dem telefonieren und nachrichten schreiben werden smartphones zum musik hören fotografieren als navigationsgerät oder zum lesen von nachrichten verwendet vergleichen sie ihre smartphone-tätigkeiten formulieren sie sätze wie ich höre etwa min am tag musik und schreibe min am tag nachrichten oder ich verbringe also 4-mal so viel zeit mit musik hören wie mit nachrichtenschreiben erzählen sie von ihrem smartphone beenden sie die folgenden satzanfänge in einer woche verbringe ich in einem monat in einem jahr potenzen als kurzschreibweisen kennen terme vereinfachen terme mit variablen berechnen potenzgesetze anzuwenden binomische formeln anwenden ich lerne im jahr 1983 wurden zum ersten mal handys verkauft gleich stück weltweit das erste handy wog und kostete 4000 us-dollar im jahr 2009 gab es allein in deutschland etwa millionen smartphones bis 2019 hat sich diese zahl fast verzehnfacht

termumformungen potenzen als kurzschreibweise ermumformungen pot enzen als kur zschr eibweise k1 k2 1–4 k3 k4 k5 k6 eine legende erzählt dass der indische erfinder des schachspiels dieses spiel einem maharadscha zum geschenk machte dieser gestattete dem erfinder einen wunsch der erfinder erbat sich für das erste feld des schachbretts ein reiskorn und für jedes weitere jeweils doppelt so viele körner wie auf dem vorherigen der maharadscha erfreut über solche bescheidenheit ließ ein feld nach dem anderen mit der gewünschten anzahl körner belegen bald war sein erstaunen groß wie groß ist die anzahl der körner auf dem und auf dem feld schätzen sie das gewicht der reiskörner auf dem feld nehmen sie an dass 40 reiskörner etwa wiegen vergleichen sie mit der weltjahresernte im jahr 2014 sie betrug 700 mio reis potenzen als kurzschreibweise ein produkt aus lauter gleichen faktoren lässt sich vereinfacht in der potenzschreibweise angeben 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− dabei benutzt man folgende bezeichnungen basis exponent 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 potenz potenzwert die potenz ist ein produkt aus gleichen faktoren a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a faktoren dabei ist eine rationale zahl und eine positive natürliche zahl ist die kurzschreibweise von a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 0,125  ⋅   ⋅  das produkt aus einer geraden anzahl negativer zahlen ist positiv 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− das produkt aus einer ungeraden anzahl negativer zahlen ist negativ 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− potenzen mit dem exponenten haben denselben wert wie ihre basis potenzen mit dem exponenten nennt man quadratzahlen potenzen mit dem exponenten nennt man kubikzahlen der exponent bezieht sich immer nur auf das letzte zeichen 2 ⋅ 2 aber 2) ⋅ (− merke beispiel bemerkung quadratzahlen die sie auswendig wissen sollten 1225 2025 rechnen sie im kopf schreiben sie in kurzschreibweise wofür steht schreiben sie ausführlich rechnen sie im kopf

termumformungen potenzen als kurzschreibweise k1 k2 5–9 k3 14–15 k4 k5 10–12 k6 schreiben sie ausführlich besondere potenzen mit basis schreiben sie die zehnerpotenzen ausführlich und benennen sie sie schreiben sie als zehnerpotenz 1 milliarde 10 millionen 10 billionen 100 milliarden 100 trillionen geben sie den potenzwert ohne taschenrechner an schreiben sie die potenz ausführlich 0,01 schreiben sie als potenz manchmal gibt es mehrere möglichkeiten vergleichen sie die potenzwerte und und und und bestimmen sie durch probieren mit dem taschenrechner den größtmöglichen ganzzahligen exponenten für 1000 0,0005 probieren sie die aufgaben mit dem taschenrechner zu lösen wie lautet die basis 0,25 potenzen die sie auswendig wissen sollten 1024 was muss eingesetzt werden potenzen von dezimalzahlen wie viele nachkommaziffern haben die folgenden potenzen 0,123 0,123 0,123 0,12 0,123 0,1234 wie heißt die letzte ziffer des genauen potenzwerts 1,23 2,34 3,45 1,23 1,23 1,23 überlegen sie wie viele urgroßeltern sie haben wie viele ur-ur-urgroßeltern sie haben wie viele vorfahren sie vor sechs generationen hatten wie viele vorfahren sie im jahre 1650 gehabt haben müssen wenn man für den abstand von zwei generationen 25 jahre annimmt untersuchungen haben ergeben dass sich die anzahl der keime in frisch gemolkener kuhmilch etwa jede halbe stunde verdoppelt zu beginn der untersuchung wurden 700 keime gezählt wie viele keime wurden nach min min min min stunden gezählt wie viele keime sind nach sechs stunden vorhanden wie lange dauert es bis sich eine mil liarde keime gebildet haben

termumformungen aufstellen von termen einsetzen von zahlen ermumformungen aufst ellen on ermen einsetzen on zahlen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 aufstellen von termen einsetzen von zahlen rechenvorgänge lassen sich oft mit einem term beschreiben dabei können variablen für zahlen oder größen verwendet werden jana hat sich für tarif entschieden und möchte nun ihre ersten rechnungen überprüfen smartphone-nutzung grundgebühr telefonkosten pro minute anzahl der minuten januar 14,80 0,09 februar 14,80 0,09 bezeichnet man die anzahl der minuten in denen jana telefoniert hat mit der variablen lautet der term für die monatlichen telefonkosten 14,80 0,09 € ⋅ x also setzt sich ihre rechnung so zusammen januar 14,80 0,09 € ⋅ 42 18,58 februar 14,80 0,09 € ⋅ 35 17,95 terme sind rechenausdrücke in denen zahlen variablen und rechenzeichen vorkommen können ersetzt man die variablen durch zahlen lässt sich der wert eines terms berechnen für und kann man den wert des terms 5 ⋅  4 ⋅  berechnen 5 ⋅  4 ⋅  für und kann man den wert des terms 3 ⋅  2 ⋅  berechnen 3 ⋅  2 ⋅  aufstellen eines terms die summe aller kantenlängen des dreieckprismas lässt sich beschreiben mit länge der grundkante länge der seitenkante gesamtkantenlänge 6 ⋅ a 3 ⋅ b zwei gleichwertige terme sind und für für für zwei terme heißen äquivalent gleichwertig wenn ihre werte nach jedem ersetzen der variablen durch zahlen übereinstimmen der malpunkt zwischen einer zahl und einer variablen wird oft weggelassen ist ein faktor die zahl wird dieser häufig nicht hingeschrieben erklärfilm 57t5rx merke beispiel bemerkung 2 ⋅ x 1 ⋅ a 1) ⋅ a jana hat von ihren großeltern ein smartphone bekommen früher hat sie durchschnittlich 45 minuten im monat telefoniert nun vergleicht sie zwei tarife mit internet-flatrate grundgebühr telefonkosten pro minute tarif 14,80 0,09 tarif 19,95 0,00 erstellen sie zum vergleich der tarife und eine kosten übersicht aus grundgebühr und telefonierten minuten zu welchem tarif würden sie jana raten

termumformungen aufstellen von termen einsetzen von zahlen k1 k2 1–3 k3 k4 k5 6–9 k6 erstellen sie eine wertetabelle setzen sie für die variable die ganzen zahlen von bis ein berechnen sie den wert des terms beispiel 2 ⋅ x setzen sie die zahl für und die zahl für ein berechnen sie den wert des terms x ⋅ 2 x ⋅ x ⋅ y sie planen den getränkeeinkauf für eine feier sie kaufen x flaschen apfelsaft zu je 1,45 y flaschen cola zu je 0,75 und z flaschen orangensaft zu je 1,98 ein und geben leere flaschen pfand 0,30 zurück stellen sie für die gesamtkosten ihres einkaufs einen term auf berechnen sie die gesamtkosten für 12 flaschen apfelsaft 15 flaschen cola und 6 flaschen orangensaft sie haben zur verfügung und geben 8 leere flaschen zurück welche einkaufsmöglichkeiten bieten sich ihnen nennen sie zwei möglichkeiten geben sie zu dem term eine mögliche sachsitua tion an x ⋅ 3,50 x ⋅ 2,75 0,89 ⋅ a 1,19 ⋅ b 1,39 ⋅ c x ⋅ 1,12 y ⋅ 0,75 z ⋅ 0,25 15,00 0,55 ⋅ x 0,45 ⋅ y 2,85 ⋅ x 2,20 ⋅ x 12 ⋅ 7,50 jeweils vier kärtchen gehören zusammen finden sie sie multiplikation division subtraktion addition der fünfte teil das fünffache vermindert um fünf vermehrt um fünf differenz quotient produkt summe seite erklärfilm 57t5rx umformen von termen aufstellen von termen ordnen sie jedem term einen satz zu das achtfache der differenz aus und die differenz aus der hälfte von und die hälfte der summe von und der quotient aus und die summe aus dem 8-fachen von und der quotient aus der zahl und der differenz von und die differenz von und übersetzen sie den term in worte 4 ⋅ x 3 ⋅ x z ⋅ (5 5) ⋅  5 ⋅ x b ⋅  welcher term gehört zu welchem kantenmodell wie kann der term mit der variablen heißen ergänzen sie den fehlenden wert

termumformungen aufstellen von termen lesen und lösen ermumformungen aufst ellen on ermen lesen und lösen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k4 k5 k6 k3 k2 k1 zum lösen von anwendungsaufgaben gibt es kein patentrezept aber gute hilfen viele sachaufgaben lassen sich mithilfe von gleichungen lösen lesen sie die aufgabe genau durch notieren sie gegebene und gesuchte größen manchmal helfen skizzen bestimmen sie wofür die variable steht übersetzen sie die angaben des textes in terme stellen sie eine gleichung auf lösen sie die gleichung und machen sie die probe überprüfen sie ihre lösung am text formulieren sie einen passenden antwortsatz drei geschwister sind zusammen 52 jahre alt bernd ist 4 jahre jünger als anna und kim ist doppelt so alt wie bernd wie alt sind die drei geschwister gegeben drei geschwister sind zusammen 52 jahre alt bernd ist 4 jahre jünger als anna und kim ist doppelt so alt wie bernd gesucht das alter von bernd anna kim alter von anna alter von bernd alter von kim 2 ⋅ (x 2 ⋅ (x anna 16 jahre bernd 12 jahre kim 2 ⋅ (16 24 jahre probe anna ist 16 jahre bernd ist 12 jahre und kim ist 24 jahre alt merke beispiel in einem jugendgästehaus auf föhr sind deutsche und dänische gäste untergebracht insgesamt sind es 72 personen die anzahl der deutschen gäste ist fünfmal so hoch wie die anzahl der dänischen gäste wie viele deutsche gäste sind im gästehaus untergebracht die fünf mitglieder einer band sind zusammen 102 jahre alt chrissy und tony sind beide ein jahr jünger als mike mike ist vier jahre jünger als azzy dj ist ein jahr älter als azzy wie alt ist jedes bandmitglied heute wie alt sind die bandmitglieder in jahren lucy narges tom und alex erhalten im monat zusammen 119,00 taschengeld narges erhält 7,00 mehr als lucy und tom erhält 4,00 mehr als lucy alex ist der älteste er erhält doppelt so viel wie tom finden sie heraus wie viel taschengeld die einzelnen jugendlichen bekommen aufstellen von termen lesen und lösen

termumformungen aufstellen von termen lesen und lösen k1 k2 3–9 k3 k4 k5 3–5 k6 der umfang eines dreiecks ist cm lang seite ist cm kürzer als seite seite c ist doppelt so lang wie seite ordnen sie den dreiecksseiten die richtigen kärtchen zu und berechnen sie ihre längen die winkel eines dreiecks zusammengerechnet ergeben 180° wie groß sind die einzelnen winkel im dreieck in einem dreieck ist der winkel doppelt so groß wie der winkel der winkel ist 3-mal so groß wie der winkel fertigen sie eine skizze an und stellen sie eine gleichung auf wie groß sind die drei winkel erna ist 50 jahre älter als lisa und doppelt so alt wie karin zusammen sind die drei frauen 100 jahre alt seite 30° 15° ein rechteck ist cm länger als breit sein umfang beträgt cm berechnen sie die seitenlängen des rechtecks stellen sie einen term auf und lösen sie ihn addiert man zum doppelten einer zahl die zahl so erhält man erhält man wenn man das drei fache einer zahl um vermehrt das fünffache einer zahl vermindert um ist genauso groß wie die summe aus dem dreifachen der zahl und alexander hat mit seiner freundin katharina bei einer 4-tägigen radtour insgesamt km zurückgelegt am zweiten tag fuhren die beiden km weniger als am ersten tag am dritten tag radelten sie km mehr als am zweiten tag am letzten tag legten sie die restlichen km zurück wie viel kilometer haben sie jeden tag zurückgelegt gleichungen lösen mit einer informativen figur eine zeichnung nennt man informative figur weil sie wichtige informationen einer aufgabe enthält in eine schulklasse gehen 31 jugendliche es sind sieben mädchen mehr als jungen gesucht anzahl der mädchen und der jungen informative figur 2 ⋅ anzahl der jungen anzahl der jungen anzahl der mädchen in der klasse sind 19 mädchen und 12 jungen jungen jungen mädchen lösen sie die folgenden aufgaben mit der informativen figur in einer schulklasse mit 28 jugendlichen sind sechs jungen mehr als mädchen eine erbschaft soll auf vier erben verteilt werden ein erbe erhält ein drittel des geldes und jeder der drei anderen erben erhält methode

termumformungen vereinfachen von termen addition und subtraktion ermumformungen er einfachen on ermen addition und subtr aktion k1 k2 k3 k4 k5 k6 terme lassen sich oft vereinfachen dabei gelten die bisher bekannten rechengesetze wie bei den rationalen zahlen kann eine summe mit gleichen summanden als produkt geschrieben werden in einem term wie oder nennt man bzw den koeffizienten unterscheiden sich terme wie oder nur in ihren koeffizienten und haben die gleiche variable nennt man sie gleichartig sie lassen sich dann mithilfe des verteilungsgesetzes zusammenfassen 3) ⋅ x diese terme sind nicht gleichartig und können deswegen nicht weiter zusammen gefasst werden sie sind verschiedenartig gleichartige terme lassen sich durch addieren und subtrahieren zusammen fassen verschiedenartige dagegen nicht beim zusammenfassen entstehen äquivalente gleichwertige terme verteilungsgesetz distributivgesetz merke bemerkung der term wird vereinfacht 3) ⋅ x 4) ⋅ y beispiel schreiben sie als produkt vereinfachen von termen addition und subtraktion für den bausatz der modellrennbahn gibt es eine grundausstattung an fahrbahn stücken drücken sie die länge jeder rennstrecke mithilfe eines terms aus der die variablen und enthält vergleichen sie ihre terme entwerfen sie eigene rennstrecken und beschreiben sie ihren aufbau mit einem term addieren sie

termumformungen vereinfachen von termen addition und subtraktion ermumformungen er einfachen on ermen addition und subtr aktion k1 k2 3–5 k3 k4 k5 8–10 k6 addieren und subtrahieren sie fassen sie zusammen achten sie auf gleichartige summanden sven hat terme zusammengefasst finden sie die fehler korrigieren sie sie im heft erklären sie ihrem nachbarn/ihrer nachbarin was falsch gemacht wurde rs füllen sie die leeren karten durch addieren bzw subtrahieren –6b 5b 2a 2a 3c 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y –6b 5b 2a 2a 3c 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y 5b 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y –6b 5b 2a 2a 3c 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y –6b 5b 2a 2a 3c 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y –6b 5b 2a 2a 3c 3c 2c 3c 4c 2b –x 2x –3y 2y 2z 5y 3z –3z –2y –4y seite sortieren sie die variablen nach dem alphabet ergänzen sie ergänzen sie geben sie mindestens zwei möglichkeiten für jede aufgabe an vervollständigen sie die steinmauern in ihrem heft indem sie nachbarsteine addieren 2x 2y 2x 5y 2n 4n 8n erkennen sie eine regel für die summe im oberen stein erkennen sie eine regel auch für vierstufige steinmauern zeichnen sie eine fünfstufige steinmauer in ihr heft tragen sie in einige steine variablen ein und vervollständigen sie die steinmauer

termumformungen vereinfachen von termen multiplikation ermumformungen er einfachen on ermen multiplikation k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 ein term aus einer variablen und einem koeffizienten wird mit einer zahl mulipliziert indem der koeffizient mit der zahl multipliziert wird x ⋅   ⋅ 2 ⋅ x  ⋅ 2) ⋅ x vertauschungsgesetz verbindungsgesetz produkte aus termen mit variablen und koeffizienten werden vereinfacht indem die koeffizienten und variablen jeweils miteinander multipliziert werden y ⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ y 10 ⋅ x ⋅ y vertauschungsgesetz verbindungsgesetz wird eine variable mit sich selbst multipliziert schreibt man sie als potenz ein produkt aus zahlen und variablen lässt sich vereinfachen indem man die koeffizienten und die variablen getrennt multipliziert beim dividieren eines terms durch eine zahl wird der koeffizient dividiert x ⋅ 5 3 ⋅ 5 x ⋅ y 7 ⋅ x ⋅ x ⋅ y 7 ⋅ (x ⋅ x) ⋅ y m ⋅ 6 n ⋅ m 3 ⋅ 6) ⋅ m ⋅ n 5 ⋅ m ⋅ n x ⋅ y ⋅ 5 y ⋅ w 2 ⋅ 5) ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ w 3) ⋅ x zur besseren übersicht werden in produkten mit mehreren faktoren die koeffizienten vorangestellt und nachfolgend die variablen alphabetisch angeordnet vertauschungsgesetz verbindungsgesetz merke beispiel z ⋅ y ⋅ x b ⋅ a verteilungsgesetz distributivgesetz bemerkung vereinfachen von termen multiplikation das flurbild in vielen regionen südwestdeutschlands zeigt dass es jahrhunderte lang üblich war die ackerflächen in gleichen teilen zu vererben auf dem bild sehen sie eine aufgeteilte ackerfläche die schmalen flächenstücke haben die länge und die breite geben sie die verschiedenen teilflächen in quadratmetern und ar an drücken sie die einzelnen flächen als terme mit den variablen und aus

termumformungen vereinfachen von termen multiplikation k1 k2 1–8 k3 k4 k5 k6 rechnen sie im kopf 3 ⋅ 2 1,5 ⋅ 4 6 ⋅ 4 4 ⋅ 2,5 7 ⋅ 2 10 ⋅ 3 c ⋅ 8 f ⋅ 9 t ⋅ 5 s ⋅ 7 fassen sie zusammen a ⋅ a b ⋅ b x ⋅ x z ⋅ z ⋅ z n ⋅ n ⋅ n ⋅ n t ⋅ t ⋅ t ⋅ t ⋅ t a ⋅ a ⋅ b m ⋅ n ⋅ n p ⋅ p ⋅ q ordnen sie vor dem multiplizieren y ⋅ 5 a ⋅ 3 r ⋅ 4 v ⋅ 6 x ⋅ 8 y ⋅ 5 r ⋅ 3 ⋅ 2 d ⋅ 5 e ⋅ 6 x ⋅ 7 x ⋅ 7 s ⋅ 8 ⋅ 8 c ⋅ 7 c ⋅ 8 vereinfachen und unterscheiden sie 5 ⋅ 5 y ⋅ y a ⋅ a ⋅ a  ⋅  n ⋅ 2 2 ⋅ 3 b ⋅ 3 x ⋅  vereinfachen sie so weit wie möglich 2 ⋅ x ⋅ 4 ⋅ y y ⋅ 3 y ⋅ 5  ⋅   ⋅ a  ⋅ d ⋅   ⋅ (− seite unterscheiden sie oder ergänzen sie die produktterme ergänzen sie den term so dass die rechnung stimmt  ⋅ 7 r ⋅  b ⋅   ⋅ (−  ⋅  z ⋅  v ⋅   ⋅  es gibt mehrere möglichkeiten geben sie jeweils mindestens drei davon an  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  summe aus produkten der term ist ein produkt dagegen eine summe wie vereinfacht man nun den term nach der rechenregel punkt vor strich müssen sie so vorgehen das produkt wird behandelt wie ein einzelner summand achten sie darauf dass auch hier nur gleichartige terme zusammengefasst werden können faktoren können auch vertauscht sein vereinfachen sie den term vereinfachen sie finden sie ähnliche beispiele fassen sie zusammen hier ist sorgfalt angesagt methode

termumformungen multiplizieren von summen ermumformungen multiplizier en on summen k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 bei der multiplikation von zwei summen wird das verteilungsgesetz zweimal ange wendet ) ⋅   ⋅   ⋅  summen werden miteinander multipliziert indem man jeden summanden der ersten summe mit jedem summanden der zweiten summe multipliziert die produkte werden anschließend addiert 7 ⋅ y 7 ⋅ 4 x ⋅ y x ⋅ 4 x ⋅ 2 x ⋅ y y ⋅ 2 y ⋅ y r ⋅ (− r ⋅ 2 t) ⋅ (− t) ⋅ 2 in den klammern können auch mehr als zwei summanden stehen b) ⋅ (a a ⋅ a a ⋅ b a ⋅ c b ⋅ a b ⋅ b b ⋅ c verteilungsgesetz merke beispiel bemerkung achten sie bei plusklammern und bei minusklammern auf die vorzeichen multiplizieren von summen aus quadraten und streifen sollen recht ecke gelegt werden sandra beschreibt die fläche des rechtecks mit dem term daniel meint dagegen dass der term richtig ist wer hat recht begründen sie

termumformungen multiplizieren von summen rechnen sie mit symbolen wie auf dem merke-zettel auf schülerbuchseite verwandeln sie in eine summe multiplizieren sie die klammern aus was hat ben falsch gemacht finden sie die fehler und schreiben sie die aufgaben richtig ins heft verwandeln sie die summe in ein produkt eine zeichnung mit quadraten und streifen hilft die lösung zu finden beispiel schneiden sie quadrate streifen und kleine quadrate wie im beispiel aus und legen sie rechtecke wie in den abbildungen drücken sie den flächeninhalt mit zwei verschiedenen termen aus beispiel beispiel 5n beispiel 5n schneiden sie quadrate streifen und kleine quadrate wie im beispiel aus legen sie eigene flächen und schreiben sie die terme dazu verwandeln sie das produkt in eine summe legen sie zur kontrolle die flächen nach n ⋅ (n n ⋅ (n 3) ⋅ (n 3) ⋅ (3 n ⋅ (2 1) ⋅ (2 produkte von summen lassen sich übersichtlich mithilfe einer multiplikationstabelle berechnen beispiel x ⋅ 3 2 ⋅ x 2 ⋅ 3 seite multiplikationstabelle für x ⋅ 3 2 ⋅ x 2 ⋅ 3 ergebnis k1 k2 2–6 k3 k4 k5 1–4 k6

termumformungen binomische formeln ermumformungen binomische formeln k3 k4 k6 k5 k1 k2 1–4 k4 k6 da die gesamtfläche des quadrats genauso groß ist wie die summe der teilflächen gilt die produkte und sind besondere produkte werden sie ausmultipliziert so ist der aufbau der summanden immer gleich durch das zusammenfassen ergeben sich nur drei im dritten fall sogar nur zwei summanden binomische formeln binomische formel binomische formel binomische formel 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 r ⋅ 3 2 ⋅ x ⋅ 3 2 ⋅ 7 a ⋅ 10 erklärfilm 57t5rx merke beispiel multiplizieren sie aus und fassen sie zusammen was haben alle aufgaben gemeinsam rechnen sie mit symbolen seite erklärfilm 57t5rx binomische formeln schreiben sie als summenterme rechnen sie mit symbolen binomische formeln falten sie ein quadratisches blatt papier so dass zwei unterschiedlich große quadrate und zwei gleichgroße rechtecke entstehen falten sie zuerst die diagonale falten sie eine parallele zu einer seite anschließend mit dem gleichen abstand eine parallele zur anderen seite die seiten des kleinen quadrats werden genannt die seiten des großen quadrats die gesamtfläche ist die entstandenen teilflächen bestehen aus zwei quadratischen flächen und sowie zwei rechteckigen flächen der größe a ⋅ b

termumformungen ausmultiplizieren und faktorisieren ermumformungen ausmultiplizier en und faktor isier en k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 terme wie a ⋅ (3 oder lassen sich mithilfe des verteilungsgesetzes distributivgesetzes umformen dabei unterscheidet man ausmultiplizieren und den umgekehrten weg faktorisieren ausklammern produkt  (3  ⋅ 3 a  ⋅ 4 summe summe x  ⋅ 3  ⋅ 4 produkt  (3 beim ausmultiplizieren wird jeder faktor außerhalb der klammer mit jedem summanden in der klammer multipliziert haben summanden gemeinsame faktoren so können diese faktorisiert ausgeklammert werden das verteilungsgesetz anschaulich darstellen a*b a*c a ⋅ (b a ⋅ b a ⋅ c das verteilungsgesetz gilt auch für differenzen a ⋅ (b a*b a*c r ⋅ s r ⋅ s r ⋅ t r ⋅ (s r ⋅ (2 durch ausmultiplizieren in eine summe verwandeln x ⋅ (5 x ⋅ 5 x ⋅ 7 b) ⋅ 2 a ⋅ 2 3b ⋅ 2 durch ausklammern in ein produkt verwandeln a ⋅ 4 a ⋅ 7 y ⋅ 4 y ⋅ 3 y ⋅ 1 auch für die division einer summe oder differenz gilt das verteilungsgesetz erklärfilm 57t5rx merke beispiel ausmultiplizieren und faktorisieren falten sie einen rechteckigen papierstreifen zweimal parallel zur kürzeren seite und beschriften sie die teilstücke der längeren seite mit und und die kürzere seite mit drücken sie den flächeninhalt des ganzen streifens durch die summe der einzelflächen und auch durch das produkt der seitenlängen aus

termumformungen ausmultiplizieren und faktorisieren k1 k2 1–4 7–11 k3 k4 k5 k6 kopfrechnen rechnen sie wie im beispiel 9 ⋅ 24 9 ⋅ 20 9 ⋅ 4 4 ⋅ 36 5 ⋅ 43 6 ⋅ 24 7 ⋅ 44 8 ⋅ 53 9 ⋅ 65 34 ⋅ 9 8 ⋅ 82 9 ⋅ 73 schreiben sie einen faktor als differenz beispiel 8 ⋅ 28 8 ⋅ (30 6 ⋅ 78 8 ⋅ 38 7 ⋅ 87 12 ⋅ 27 11 ⋅ 85 9 ⋅ 69 13 ⋅ 19 12 ⋅ 48 15 ⋅ 39 drücken sie die gesamtfläche als summe und als produkt aus multiplizieren sie aus f) ⋅ 2 b) ⋅ 12 s) ⋅ 1,5 setzen sie die angegebenen werte für die variablen in das produkt und in die summe ein wie rechnen sie lieber seite erklärfilm 57t5rx terme mit mehreren variablen 1) ⋅ (a welche terme passen zusammen rechnen sie in tabellen beispiel a) ⋅ (5 y) ⋅ (− verwandeln sie in ein produkt und machen sie die probe durch ausmultiplizieren faktorisieren sie klammern sie aus füllen sie die lücken aus x) ⋅ ( b) ⋅ (− s) ⋅ (− ) ⋅ (− dividieren sie zu aufgabe verwandeln in ein produkt probe durch ausmultiplizieren zu aufgabe

termumformungen potenzen potenzgesetze gleiche basis ermumformungen pot enzen pot enzgesetze gleiche basis k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 bei der multiplikation von potenzen mit gleicher basis lassen sich die einzelnen potenzen zunächst wieder als produkte darstellen bei der division von potenzen mit gleicher basis lassen sich die einzelnen potenzen zunächst wieder als produkte darstellen  ⋅  a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a  faktoren  ⋅  a ⋅ a ⋅ a ⋅ a  faktoren a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a 10 faktoren a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a a ⋅ a ⋅ a ⋅ a  ⋅   ⋅   ⋅  ⋅ a ⋅ a  ⋅   ⋅   ⋅  a ⋅ a für das multiplizieren ergibt sich der zusammenhang für das dividieren ergibt sich der zusammenhang  ⋅  ebenso gilt für beliebige exponenten ebenso gilt für beliebige exponenten  ⋅  das potenzieren von potenzen lässt sich als multiplikation von potenzen mit gleicher basis darstellen  ⋅  a ⋅ a ⋅ a  faktoren  ⋅  a ⋅ a ⋅ a  faktoren  faktoren 2 ⋅ 3  faktoren für beliebige exponenten gilt 6 faktoren m ⋅ n potenzgesetze für potenzen mit gleicher basis potenzen mit gleicher basis werden multipliziert indem man die basis beibehält und die exponenten addiert  ⋅  potenzen mit gleicher basis werden dividiert indem man die basis beibehält und die exponenten subtrahiert für gibt es keine division potenzen werden potenziert indem man ihre exponenten multipliziert m ⋅ n  ⋅   ⋅   ⋅  2 ⋅ 4 merke beispiel vincenzo hat die aufgabe in den taschenrechner eingegeben und wundert sich warum der taschenrechner ihm nicht das gewünschte ergebnis liefert haben sie eine idee überprüfen sie ihre vermutung mit zahlen die kleinere exponenten haben potenzen potenzgesetze gleiche basis

termumformungen potenzen potenzgesetze gleiche basis k1 k2 1–11 k3 k4 k5 k6 schreiben sie als produkt von potenzen es gibt mehrere möglichkeiten 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 achten sie auf den unterschied beispiel  ⋅  1024  ⋅   ⋅  ordnen sie die lösungskärtchen zu  ⋅  9 ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  schreiben sie mit einer potenz  ⋅   ⋅  5 ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  schreiben sie mit einer potenz 0,05 0,05 zerlegen sie die potenz auf verschiedene arten in ein produkt von potenzen bzw in einen quotienten von potenzen ihr taschenrechner kann nicht berechnen können sie ihm helfen überfordern sie ihren taschenrechner mit ähnlichen aufgaben und lösen sie sie berechnen sie im kopf vereinfachen sie  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ z a ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  was müssen sie einsetzen  ⋅   ⋅   ⋅  1024  ⋅ 243 stellen sie sich gegenseitig solche aufgaben und lösen sie sie die aufgabe in der multiplikationsmauer hat mehrere lösungen finden sie mindestens zwei verschiedene multiplikationsmauern welche fehler wurden gemacht begründen sie und lösen sie die aufgabe richtig  ⋅   ⋅  überprüfen sie ob die terme gleich sind setzen sie für das gleichheitszeichen oder das ungleichheitszeichen ein und begründen sie ihre entscheidung  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ 8  ⋅   ⋅   ⋅ 

termumformungen potenzgesetze gleiche exponenten ermumformungen pot enzgesetze gleiche exponent en k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 beim multiplizieren von potenzen mit gleichen exponenten lassen sich die einzelnen potenzen in produkte verwandeln und neu zusammenfassen beim dividieren von potenzen mit gleichen exponenten lassen sich die einzelnen potenzen in produkte verwandeln und neu zusammenfassen  ⋅  a ⋅ a ⋅ a) ⋅ (b ⋅ b ⋅ b jeweils  faktoren a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b gleiche produkte als faktoren a ⋅ b a ⋅ a ⋅ a ⋅ a b ⋅ b ⋅ b ⋅ b jeweils  faktoren  ⋅   ⋅   ⋅   quotienten als faktoren für das multiplizieren ergibt sich der zusammenhang für das dividieren ergibt sich der zusammenhang  ⋅  für beliebige exponenten gilt für beliebige exponenten gilt  ⋅  potenzgesetze für potenzen mit gleichen exponenten potenzen mit gleichen exponenten werden multipliziert indem man ihre basen multipliziert und den gemeinsamen exponenten beibehält  ⋅  a ⋅ b potenzen mit gleichen exponenten werden dividiert indem man ihre basen dividiert und den gemeinsamen exponenten beibehält  ⋅  2,5 ⋅ 4  ⋅   ⋅   ⋅  2 ⋅ 3 eine potenz lässt sich als produkt von potenzen schreiben 2 ⋅ 6  ⋅  3 ⋅ 4  ⋅  eine potenz lässt sich als quotient von potenzen schreiben merke beispiel quadrate über quadrate wie viele möglichkeiten finden sie die gesamtzahl der kleinen teilquadrate zu ermitteln drücken sie ihre lösungswege in potenzschreibweise aus potenzgesetze gleiche exponenten

termumformungen potenzgesetze gleiche exponenten k1 k2 1–10 k3 k4 k5 k6 rechnen sie im kopf  ⋅   ⋅   ⋅  1,25  ⋅   ⋅  der taschenrechner braucht ihre hilfe 8192 9524 unterscheiden sie beispiel  ⋅  2 ⋅ 5 1000  ⋅   ⋅   ⋅  für dieses produkt gilt kein potenz gesetz rechnen sie dennoch im kopf beispiel  ⋅   ⋅   ⋅  2 ⋅ 5  ⋅ 5  ⋅ 5 5000  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  berechnen sie im kopf  ⋅   ⋅  berechnen sie ohne taschenrechner 12,5  ⋅  0,25  ⋅   ⋅  0,75  ⋅   ⋅   ⋅  formen sie das produkt bzw den quotienten um  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  vereinfachen sie und lösen sie dann die klammern auf  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  vereinfachen sie  ⋅   ⋅   ⋅  formen sie um  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  überprüfen sie ob die terme gleich sind setzen sie das richtige zeichen oder für den platzhalter ein und begründen sie  ⋅   ⋅  zerlegen sie alle roten teilwürfel wie viele kleine würfel sind es dann insgesamt das produkt zweier kubikzahlen ist wieder eine kubikzahl stimmt das überprüfen sie an beispielen und weisen sie es allgemein nach zerlegen sie den quader in wie viele kleine würfel lässt sich der quader aufteilen schreiben sie in potenzschreibweise legen sie einen quader mit eigener würfelaufteilung fest lassen sie ihre partnerin oder ihren partner das ergebnis überprüfen

termumformungen potenzen mit negativen exponenten ermumformungen pot enzen mit negativen exponent en k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 der exponent der potenz zählt die anzahl der faktoren es ist zweckmäßig für brüche aus potenzen mit gleicher basis eine erweiterte zählregel einzuführen für schreibt man die zahl zählt die faktoren im zähler die zahl die faktoren im nenner dabei kann auch größer sein als das kürzen des bruchs entspricht dem ausrechnen des exponenten  ⋅   ⋅   ⋅ a ⋅ a  ⋅   ⋅  a ⋅ a  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ a ⋅ a a ⋅ a die zählregel erklärt auch was und bedeuten potenzen mit negativen ganzen zahlen im exponenten sind erklärt durch potenzen mit exponent sind erklärt durch in beiden fällen muss gelten die voraussetzung ist nötig weil der term nicht sinnvoll definiert werden kann die reihe müsste nämlich mit fortgesetzt werden die reihe aber mit diese beiden fortsetzungen von reihen passen nicht zusammen 0,0625 0,09  ⋅  merke bemerkung beispiel schreiben sie die potenz als bruch 0,05 schreiben sie den bruch als potenz mit negativem exponenten schreiben sie die potenz als bruch und berechnen sie −2 berechnen sie jeweils für 0,01 setzen sie die reihe der dreierpotenzen fort was bedeutet die zahl ergänzen sie die lücken bei den zweierpotenzen stellen sie sich die zweierreihe noch 20 schritte fortgesetzt vor wie lautet dann die letzte zeile bilden sie selbst solche reihen was könnte der seltsame ausdruck bedeuten potenzen mit negativen exponenten exponent

termumformungen potenzen mit negativen exponenten so ein durcheinander setzen sie die terme mithilfe von gleichheitszeichen richtig zusammen und ordnen sie nach der größe lesen sie genau 3) ⋅ (− aber 3 ⋅ 3 ordnen sie die potenzen nach der größe benutzen sie den taschenrechner  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  faktorisieren spart zeit runden sie falls nötig auf fünf nachkommastellen beispiel  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  potenzen mit variablen schreiben sie mit positivem exponenten schreiben sie mit negativem exponenten berechnen sie und erklären sie ihr ergebnis noch mehr potenzgesetze vergleichen sie und und und suchen sie weitere solche beispiele vergleichen sie und suchen sie weitere solche beispiele schreiben sie in worten eine regel auf wie man brüche mit negativen potenzen in brüche mit positiven potenzen umwandelt potenzieren von brüchen und dabei muss und gelten rechnen sie im kopf tanja berechnet mit dem taschenrechner und muss 10-mal tippen jana denkt erst nach und tippt dann nur halb so oft können sie  ⋅  und  ⋅  ausrechnen und dabei nur einmal auf die potenzier-taste des taschenrechners drücken rechnen sie weitere solcher beispiele was vermuten sie potenzen mit gleicher basis mit positiven oder negativen exponenten kann man multiplizieren indem man die gemeinsame basis beibehält und die exponenten addiert es gilt  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  m− begründen sie  ⋅  und  ⋅  setzen sie zum überprüfen die zahlen für ein fassen sie das produkt zu einer einzigen potenz zusammen und berechnen sie  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  −3  ⋅   ⋅   ⋅  −13 methode k1 k2 5–9 k3 k4 k5 k6

termumformungen normdarstellung zehnerpotenzschreibweise ermumformungen normdar st ellung zehnerpot enzschr eibweise k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6 um große zahlen und sehr kleine positive zahlen übersichtlich zu schreiben schreibt man sie als produkt aus einer dezimalzahl und einer zehnerpotenz dann steht vor dem komma der dezimalzahl nur eine ziffer ungleich null und nach der dezimalzahl steht die zehnerpotenz so erkennt man die größe der zahl besonders gut erhöht man den exponenten von um verschiebt man zum ausgleich das komma um stellen nach links vermindert man den exponenten von um verschiebt man zum ausgleich das komma nach rechts  ⋅  ⋅  ⋅  67,89 ⋅  6,789  ⋅  6,789 ⋅  also gilt 0,000 0,000 3 ⋅  0,000  ⋅  0,001 23  ⋅  0,0123  ⋅  0,123  ⋅  1,23  ⋅  1,23 ⋅  also gilt 0,000 natürliche zahlen und positive dezimalzahlen kann man unwandeln in ein produkt aus einer dezimalzahl mit genau einer ziffer vor dem komma die nicht null ist und einer zehnerpotenz diese normdarstellung heißt wissenschaftliche schreibweise sie ist besonders nützlich um sehr große und sehr kleine zahlen übersichtlich und vergleichbar zu machen auch die zahl lässt sich wissenschaftlich schreiben 1 ⋅  im englischen heißt die wissenschaftliche schreibweise scientific notation 765,4 9,876 54 ⋅   stellen nach links 0,000 1,23 ⋅   stellen nach rechts 6759,2 ⋅  6,7592 ⋅   ⋅   stellen nach links 6759,2 ⋅  6,7592 ⋅  6,7592 ⋅  0,000 158 ⋅  1,58 ⋅  ⋅   stellen nach rechts 0,000 158 ⋅ 1 1,58 ⋅  1,58 ⋅  merke bemerkung beispiel normdarstellung zehnerpotenzschreibweise berechnen sie die quadratzahlen wie viele schritte hält ihr taschenrechner durch nach wie vielen schritten überschreitet die zweierkette 1 million 1 milliarde 1 bil lion 1 billiarde suchen sie je eine startzahl mit der ihr taschen rechner nach genau zehn mal quadratnehmen das weiterrechnen verweigert

termumformungen normdarstellung zehnerpotenzschreibweise wandeln sie in die wissenschaftliche schreibweise um 789,461 236,124 6000,0234 0,000 0,000 0,010 berechnen sie die aufgabe mit dem taschenrechner und beobachten sie dabei wie ihr taschenrechner die wissenschaftliche schreibweise darstellt schreiben sie das ergebnis richtig auf 000 ⋅ 1 000 ⋅  0,000 1234 ⋅  schreiben sie ohne zehnerpotenz 9,8 ⋅  7,58 ⋅  19,67 ⋅  19,67 ⋅  6,75 ⋅  81,8181 ⋅  0,000 51 ⋅  0,000 51 ⋅  zahlen mit basis schreiben sie die zehnerpotenzen aus wandeln sie die ausgeschriebenen zahlen in zehnerpotenzen um 0,01 0,000 wandeln sie in die wissenschaftliche schreibweise um 76,09 ⋅  551,879 ⋅  345,6789 ⋅  0,068 78 ⋅  4456,98 ⋅  0,068 78 ⋅  345,6789 ⋅  0,068 78 ⋅  0,125 ⋅  56,04 ⋅  767,886 ⋅  0,000 1 ⋅  ordnen sie die sechs zahlen einer teilaufgabe nach größe 0,000 0,000 1,234 123,4 0,1234 0,000 1,234 vergleichen sie schreiben sie ausführlich und berechnen sie jeweils und 3 ⋅  und 2,5 ⋅  und 4 ⋅ 1 nachkommastellen der taschenrechner zeigt für das ergebnis 604,644 warum kann das nicht richtig sein wie viele stellen nach dem komma hat der taschenrechner gibt für das gerundete ergebnis 2,329 an man schreibt trotzdem das gleichheitszeichen 2,329 512 ⋅  berechnen sie ebenso 0,089 0,000 0,0157 0,0078 auch solche produkte können sie mit dem taschenrechner berechnen 0,000 75 ⋅ 0,000 000 ⋅ 987 0,000 724 ⋅ 169 0,000 765 ⋅ 995 0,000 welche der ergebnisse sind genau welche ergebnisse sind nur gerundet richtig berechnen sie mit dem taschenrechner bestätigen sie die ergebnisse indem sie den term umformen und dabei ein rechengesetz anwenden beispiel 0,52 4,28 3,5 ⋅  6,5 ⋅  8,7 ⋅  1,3 ⋅  0,45 ⋅  55 ⋅  2,7 ⋅  7,3 ⋅  6,9 ⋅  1,9 ⋅  5 ⋅  36 ⋅  0,64 ⋅  0,000 14 ⋅  8600 ⋅  k1 k2 3–7 k3 k4 k5 8–11 k6

termumformungen normdarstellung zehnerpotenzschreibweise k1 k2 k3 k4 k5 k6 maßeinheiten für riesen und zwerge präfixe nach dem besuch einer ausstellung zu riesig groß und winzig klein sammeln die schülerinnen und schüler alle maßeinheiten die ihnen begegnet sind große natürliche zahlen werden in tausenderschritten gestuft und benannt in zehnerpotenzen geschrieben haben sie vielfache von als exponenten nach diesem muster bildet man auch sehr große und sehr kleine maßeinheiten wie sie im internationalen einheitensystem si festgelegt sind dadurch erreicht man dass die maßzahlen nicht unnötig lang werden die stufen der maßeinheiten die sogenannten präfixe haben besondere namen die liste zeigt als beispiel die längeneinheiten grundeinheit große längeneinheiten kleine längeneinheiten 1 kilometer km 1 millimeter mm 1 megameter 1 mm 1 mikrometer μm 1 gigameter 1 gm 1 nanometer nm 1 terameter 1 tm 1 picometer pm 1 petameter 1 pm 1 femtometer fm 1 exameter 1 em 1 attometer am auch andere grundeinheiten werden auf diese art gestuft 1 megahertz 1 mhz  hz 1 terawatt 1 tw  w 1 nanosekunde ns 1 femtogramm fg schreiben sie mit einer günstigen einheit 0,001 mg 0,0538 ms 0,000 mm kw 0,000 das mobilfunknetz arbeitet mit der frequenz 000 hz wie viele mhz sind das violettes licht hat eine wellenlänge von etwa nm schreiben sie diese länge in rotes licht hat die wellenlänge nm welche wellenlängen haben die anderen farben ein haar ist etwa mm dick wie oft müsste man es der länge nach spalten um fasern von nm dicke zu bekommen die erde ist von der sonne etwa 150 millionen km entfernt rechnen sie diese gigantische entfernung in um schreiben sie sie in einer günstigen einheit wirklich große astro nomische entfernungen misst man aber in lichtjahren eine bohrplattform ist hoch und kt schwer ein eisenatom hat einen radius von pm und eine masse von 1,7 ⋅ 1 ag in welchem verhältnis stehen die längenmaße was bedeutet das verhältnis zwischen der riesigen und der winzigen masse projekt altgriechisch gigas riese nanos zwerg ist der griechische buchstabe für gelesen mü eisenatome im gitter

termumformungen zusammenfassung zusammenfassung terme berechnen zahlen einsetzen terme sind rechenausdrücke in ihnen kommen zahlen variablen und rechenzeichen vor ersetzt man die variablen durch zahlen lässt sich der wert eines terms berechnen das malzeichen zwischen variablen und zwischen einer zahl und einer variablen kann weggelassen werden wert des terms für und 2 ⋅  3 ⋅  vereinfachen durch addition und subtraktion äquivalente gleichartige terme lassen sich durch addition und subtraktion zusammenfassen verschiedenartige dagegen nicht multiplikation und division von termen mit variablen reihenfolge beim rechnen vorzeichen bestimmen koeffizienten zahlen vor den variablen multi plizieren bzw dividieren variablen multiplizieren bzw dividieren und alphabetisch ordnen y ⋅ 5 4 ⋅ 5 ⋅ y ⋅ x x ⋅ (− x) ⋅ 5 8 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ x ⋅ y 6 ⋅ (− m) ⋅ 2 k ⋅ n 6 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ m ⋅ k ⋅ n 3) ⋅ x ⋅ y 8 ⋅ x verteilungsgesetz distributivgesetz mit variablen beim ausmultiplizieren wird jeder faktor außerhalb der klammer mit jedem term in der klammer multipliziert dabei wird aus einem produkt eine summe wenn in der klammer eine summe steht steht in der klammer eine differenz so wird aus dem produkt eine differenz ausmultiplizieren a   (20 a ⋅ 20 a ⋅ 3 y)   7 x ⋅ (7 y ⋅ (7 wenn summanden gemeinsame faktoren haben können diese ausgeklammert man sagt faktorisiert werden aus einer summe wird dabei ein produkt ausklammern faktorisieren x ⋅ 2 x ⋅ 3 x   (2 a ⋅ 1 a ⋅ 2 a ⋅ 4 a   (1 multiplizieren von summen summen werden miteinander multipliziert indem man jeden summanden der ersten klammer mit jedem summanden der zweiten klammer multipliziert anschließend werden die neuen summanden zusammengefasst wenn es möglich ist b) ⋅ (a a ⋅ a a ⋅ 6 a ⋅ c b ⋅ a b ⋅ 6 b ⋅ c karteikarten 53b2k3

termumformungen zusammenfassung zusammenfassung potenz die potenz ist ein produkt aus gleichen faktoren a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a faktoren dabei ist eine rationale zahl und eine positive natürliche zahl 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 potenzgesetze für potenzen mit negativen exponenten potenzen mit einer negativen ganzen zahl im exponenten sind erklärt durch potenzen mit exponent sind erklärt durch 0,010 potenzgesetze für potenzen mit gleicher basis potenzen mit gleicher basis werden multipliziert bzw dividiert indem man die basis beibehält und ihre exponenten addiert bzw subtrahiert  ⋅  bzw  ⋅  potenzgesetze für potenzen mit gleichen exponenten potenzen mit gleichen exponenten werden multipliziert bzw dividiert indem man ihre basen multipliziert bzw dividiert und den gemeinsamen exponenten beibehält  ⋅  bzw  ⋅  4 ⋅ 5 8000 binomische formeln b) ⋅ (a binomische formel binomische formel binomische formel 2 ⋅ x ⋅ 4 2 ⋅ 2 y ⋅ 3 normdarstellung zahlen in wissenschaftlicher schreibweise natürliche zahlen und positive dezimalzahlen kann man in produkte der form a ⋅  oder a ⋅  umwandeln hierbei ist eine dezimalzahl mit genau einer ziffer vor dem komma die nicht die null ist 9,182 73 ⋅  nach links 3,4 ⋅  nach rechts 3 ⋅  9,182 73 ⋅  nach links 4 ⋅  3,4 ⋅  nach rechts

termumformungen prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite lösen sie die klammern auf und vereinfachen sie den term 3 ⋅ (‒  ⋅ (4  ⋅ (‒ x) ⋅  ‒2 vereinfachen sie x ⋅ 86 11 ⋅ 42 vereinfachen sie 7 ⋅ (11 3 ⋅ (5 +2  ⋅ (12 18) ⋅  n) ⋅ 22 b) ⋅  faktorisieren sie so weit wie möglich phil soll eine aufgabe in einen text übersetzen diesen text bekommt leana und übersetzt diesen wiederum in eine aufgabe juri löst die aufgabe durch ausmultiplizieren magdalena klammert aus warum stimmt das ergebnis nicht mit phils aufgabe überein suchen sie fehler begründen sie und geben sie den richtigen text und lösungsweg an aufgabe phil multipliziere mit der summe aus und leana juri magdalena seite ergänzen sie und schreiben sie auf wie sie bei der lösung vorgegangen sind 4 ⋅   ⋅  y ⋅ (x y ⋅ ( zeigen sie dass die terme und gleich sind multiplizieren sie aus und vereinfachen sie welche zahl muss für eingesetzt werden damit der term den wert annimmt für das abgebildete objekt in form eines quaders soll ein modell aus draht gebaut werden stellen sie eine formel für die länge des drahts auf wenn doppelt so lang ist wie und viermal so lang wie ist es stehen 4,20 draht zur verfügung wie lang kann die kantenlänge höchstens sein ben ist doppelt so alt wie seine beiden zwillingsbrüder phil und niko die mutter ist dreimal so alt wie ben und der vater ist zwei jahre älter als die mutter alle zusammen sind jahre alt wie alt sind die einzelnen familienmitglieder prüfungsvorbereitung

termumformungen prüfungsvorbereitung die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite die eltern zahlen ihren vier kindern monatlich taschengeld leonie bekommt doppelt so viel wie tim justin bekommt mehr als tim und miguel bekommt doppelt so viel wie justin wie viel euro taschengeld be kommen sie eine zahl ist gesucht multipliziert man diese zahl mit und subtrahiert so erhält man mehr als das dreifache der gesuchten zahl eine zahl ist gesucht multipliziert man die summe aus dem siebenfachen der zahl und mit so erhält man erstellen sie aus der folgenden gleichung eine textaufgabe vier winkel in einem viereck ergeben zusammen 360° der winkel ist zweimal so groß wie ist halb so groß wie und ist so groß wie wie groß sind die vier winkel vereinfachen sie  ⋅   ⋅  vereinfachen sie die folgenden terme  ⋅  16x 27y 4x klammern sie so weit wie möglich aus ‒36 überprüfen sie ob die beiden terme gleich sind setzen sie für das richtige zeichen = oder ein und begründen sie  ⋅ 5  ⋅  ‒3 ‒3  ⋅  wandeln sie um von der ausführlichen in die wissenschaftliche schreibweise oder umgekehrt vereinfachen sie falls möglich ausführliche schreibweise wissenschaftliche schreibweise 5,6 ⋅  2,8 ⋅  ‒5 34,9 ⋅ 0,000 846,9 ⋅ 0,000 0,001 mm 1,1 ⋅  ‒4 lösen sie die klammern auf und vereinfachen sie ergänzen sie b)( 2,25 überprüfen sie ob die angegebene lösung eine richtige lösung sein kann

termumformungen anwenden im beruf k1 k2 1–6 k3 k4 k5 k6 anwenden im beruf die energie die ihr körper mit dem essen aufnimmt wird in kilo joule kj angegeben im alltag ist auch noch die ältere einheit kalorie bzw kilo kalorie geläufig die beiden einheiten werden wie folgt umgerechnet kcal kj die angaben beziehen sich jeweils auf erstellen sie eine tabelle rechnen sie alle angaben in kj bzw kcal um und tragen sie die werte in die tabelle ein sarah isst zum frühstück cornflakes mit milch und eine banane rechnen sie aus wie viele kalorien sie zu sich nimmt tom isst in der schule chips und sein pausenbrot mit käse geben sie an wie viel kilojoule er zu sich nimmt was würden sie zum frühstück essen wenn sie nicht mehr als kcal zu sich nehmen möchten für ein klassenfest mischen die schülerinnen und schüler der klasse ein erfrischungsgetränk aus l orangensaft limonade und zwei flaschen grapefruitsaft zu je zusammen welche gesamtmenge an saft erhalten sie dabei die schülerinnen und schüler kaufen für das klassenfest ein flaschen orangensaft zu je 0,89 tüten chips zu 0,99 sowie girlanden und luftballons für insgesamt 4,98 der klassensprecher zahlt an der kasse des supermarkts mit einem 20-euro-schein menschen mit blonder haarfarbe haben im durchschnitt kopfhaare braun schwarz rot jeden tag wächst ein kopfhaar etwa mm wie viele meter kopfhaar produziert der menschliche körper an einem tag das herz des menschen schätzen sie wie oft das herz eines menschen in einem leben schlägt das herz pumpt pro schlag ca blut schätzen sie das blutvolumen das es in einem menschenleben pumpt die laufgruppe trainiert 3-mal pro woche natalia läuft jedesmal eine dreiviertelstunde berechnen sie ihre wöchentliche trainingsdauer julian muss in der woche km laufen er läuft jedes mal die gleiche strecke im wettkampf über km braucht julian stunden natalia braucht min länger geben sie beide laufzeiten in minuten an listeriose ist eine für ältere geschwächte und schwangere personen gefährliche bakterielle infektionskrankheit die bakterien listeria monocyto genes werden über ver unreinigte oder verdorbene lebensmittel übertragen in einem camembert wurden 1000 keime gezählt bei °c gelagert verdoppeln sich die keime etwa alle stunden wie viele keime sind nach tagen vorhanden wie lange dauert es bis sich eine million keime gebildet haben zu aufgabe min

termumformungen anwenden im beruf k1 k2 7–10 k3 7–10 k4 k5 k6 der mensch hat billionen rote blutkörperchen sie nehmen durch ihre oberfläche sauerstoff auf und transportieren ihn zu den organen welchen flächeninhalt haben sie insgesamt die dicke brauchen sie bei der rechnung nicht zu berücksichtigen 8⋅10 −6 8⋅10 −6 nano-teilchen wie viele nanoröhrchen von nm durchmesser passen nebeneinander um mm cm dm zu erhalten ein kugelförmiges nanoteilchen hat einen durchmesser von etwa nm ein rotes blutkörperchen μm μm welche vergrößerung muss ein mikroskop mindestens besitzen damit ein wasserstoffatom nm sichtbar wird schwebeteilchen mit einer korngröße bis zu μm nennt man feinstaub dieser ist gesundheitsschädlich durch filter und belastungsgrenzwerte versucht man die gefahr zu beschränken welche vergrößerung muss ein mikroskop haben damit man ein solches schwebeteilchen sehen kann stellen sie sich die schwebeteilchen als würfel vor wie viele schwebeteilchen müsste man zusammenpacken um einen würfel mit cm kantenlänge zu bekommen bei autoreifen entscheidet das material über die fahrsicherheit die füllstoffe enthalten nano-teilchen sie machen reifen haltbarer und senken den kraftstoffverbrauch reifen hat eine laufdauer von etwa km er wird für angeboten mit reifen beträgt der benzinverbrauch auf km reifen hat eine laufdauer von km er kostet mit reifen beträgt der benzinverbrauch auf km 1 liter benzin kostet 1,50 euro für welchen reifen würden sie sich entscheiden nanotechnologie bei der nanotechnologie werden materialien untersucht und verwendet deren größe im nanometerbereich liegt nm 1985 wurde entdeckt dass sich kohlenstoffatome kugelförmig verbinden können die entdecker nannten diese kugeln buckyballs oder fullerene der kleinste buckyball besteht aus 60 atomen und ist etwa nm dick man nennt solche moleküle deshalb nano-teilchen nanoröhrchen sind aus kohlenstoff sie sind etwa nm dick und nur wenige mm lang nanotechnologien gewinnen weltweit immer mehr an bedeutung viele produkte enthalten heute solche komponenten oder werden mithilfe von nanotechnologie hergestellt kugelförmige nanoteilchen nanoröhrchen es gibt beschichtungen aus nanoteilchen bei denen schmutz und wasser von der oberfläche abperlen mithilfe von nanoteilchen lassen sich sehr dünne aber feste drähte energiesparende leiter und winzige zahnräder oder motoren herstellen nanomaterialien findet man in autoreifen oder autolacken wasserund schmutzabweisende oberflächen auf autospiegeln oder scheiben information

termumformungen rückspiegel wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite rückspiegel terme und binomische formeln testen 53b2k3 ich kann lerntipp terme mit variablen addieren subtrahieren multiplizieren und dividieren seite plusklammern und minusklammern auflösen seite summen mit variablen miteinander multiplizieren seite die binomischen formeln anwenden seite terme mit einer summe multiplizieren seite faktorisieren faktoren ausklammern seite überprüfen sie ihre einschätzung vereinfachen sie x ⋅ 12 a ⋅ 5 a ⋅ 7 x) ⋅ (−  ⋅  lösen sie klammern auf fassen sie zusammen multiplizieren sie die summen und vereinfachen sie übertragen sie die aufgabe in ihr heft und füllen sie die platzhalter aus wenden sie die binomischen formeln an multiplizieren sie aus und vereinfachen sie falls dies möglich ist c) ⋅ 3 k) ⋅ 12 y) ⋅ 4 klammern sie gemeinsame faktoren aus übertragen sie die aufgabe in ihr heft und füllen sie die platzhalter aus  ⋅ (7

termumformungen rückspiegel wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite testen 53b2k3 rückspiegel potenzen und normdarstellung überprüfen sie ihre einschätzung lesen sie die sachaufgabe und lösen sie sie der umfang eines quadrats beträgt cm wie lang ist jede seite wenn man von einer rationalen zahl subtrahiert und diese differenz mit der summe aus und multipliziert erhält man die differenz aus dem 15-fachen der zahl und wie heißt die zahl berechnen sie ohne taschenrechner  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  bestimmen sie mit dem taschenrechner die größtmögliche zahl bzw kleinstmögliche zahl 0,0001 schreiben sie die zahl in wissenschaftlicher schreibweise 0,000 0,000 berechnen sie das produkt verwenden sie die wissenschaftliche schreibweise 6,89 ⋅ 0,075 ⋅  0,0087 ⋅   ⋅ 9,01 ⋅  schreiben sie die maßeinheiten um die milchstraße enthält mehr als sterne ein byte sind bit manche pcs haben tb ein wassermolekül hat einem durchmesser von 0,28 nm ein lichtjahr sind etwa billiarden km ich kann lerntipp sachaufgaben lösen seite mit potenzen rechnen und potenzgesetze anwenden seite mithilfe des taschenrechners mit potenzen rechnen seite die wissenschaftliche schreibweise mithilfe von zehnerpotenzen anwenden seite maßeinheiten richtig anwenden seite

wo stehe ich standpunkt gleichungen standpunkt gut sehr gut etwas nicht gut ich kann lerntipp dezimalzahlen ordnen seite dezimalzahlen schriftlich addieren und subtrahieren seite dezimalzahlen schriftlich multiplizieren und dividieren seite brüche ordnen seite brüche addieren und subtrahieren seite brüche multiplizieren und dividieren seite terme zusammenfassen seite testen 6a2h99 überprüfen sie ihre einschätzung ordnen sie die dezimalzahlen beginnen sie mit der kleinsten zahl 8,05 5,82 2,85 0,85 8,25 2,08 2,46 105,8 24,6 1,784 berechnen sie 17,08 20,93 31,53 17,87 406,75 6,025 91,604 50,7 46,08 168,49 berechnen sie 65,79 12,426∶1,9 4,4∶4 16,8 1250,5∶2 83,2 ordnen sie die brüche beginnen sie mit der kleinsten zahl 1000 berechnen sie berechnen sie ÷5 ÷3 fassen sie zusammen die lösungen zum standpunkt finden sie auf seite

gleichungen auftakt gleichungen in einem automobilwerk montieren industrie-roboter in 6 produktionslinien in 14 tagen 84 autos wenn sie täglich 10 stunden in betrieb sind kommt es zu einem engpass bei den zulieferfirmen können im gleichen zeitraum nur noch 56 autos gefertigt werden wie wirkt sich der engpass auf die produktion aus ein großer automobilhersteller ist mit seinen absatzzahlen sehr zufrieden er verkaufte im quartal des letzten jahres 000 autos wie viele autos hat dieser hersteller etwa im jahr insgesamt verkauft ein autokauf ist eine wichtige entscheidung es geht dabei um viel geld wie viel euro bezahlt man für einen neuwagen in der mittelklasse informieren sie sich über finanzierungsangebote vergleichen sie den gesamtpreis bei barzahlung und finanzierung welche kriterien sind für sie bei der auswahl und beim kauf eines autos wichtig gleichungen zu lösen mit wurzeln zu rechnen formeln umzustellen prozentrechnung und zinsrechnung anzuwenden ich lerne seit fast 60 jahren werden bei der automobilherstellung industrie-roboter eingesetzt und ständig weiter entwickelt heute sind diese roboter in der automobilindustrie nicht mehr wegzudenken sie werden in der gesamten produktionskette insbesondere im presswerk dem rohbau der lackiererei und in der endmontage eingesetzt

gleichungen reelle zahlen gleichungen reelle zahlen k1 k2 k3 k4 k5 k6 1,414213502 ina lamya khane und rebekka falten bei einem quadrat die diagonale die seitenlänge des quadrats beträgt dm die länge der diagonale soll bestimmt werden die ergebnisse sind sehr unterschiedlich ina bestimmt 1,41 dm khane misst dm lamya sagt die zahl kann man nicht genau angeben rebekka berechnet 1,414 dm wer hat recht begründen sie reelle zahlen zum lösen von gleichungen braucht man nicht nur natürliche zahlen ganze zahlen und rationale zahlen sondern auch irrationale zahlen natürliche zahlen ganze zahlen rationale zahlen irrationale zahlen °c °c °c 0,666… wurzel ziehen die lösung ist eine natürliche zahl die lösung ist eine negative ganze zahl die lösung ist ein bruch die lösung ist eine abbre chen de dezimalzahl die lösung ist ein bruch 0,666… ist eine periodische dezimalzahl die lösung ist eine nicht abbrechende und nicht periodische dezimalzahl zahlen die unendlich viele stellen nach dem komma haben und nicht periodisch sind können nicht als bruch geschrieben werden man nennt sie irrationale zahlen alle rationalen zahlen alle zahlen die man als bruch schreiben kann und alle irrationalen zahlen bilden zusammen die reellen zahlen und 0,75 sind abbrechende dezimalzahlen weil am ende höchstens nullen ergänzt werden könnten 0,30 0,300 usw die abbrechenden dezimalzahlen kann man als bruch darstellen und 0,75 diese zahlen sind rationale zahlen periodischen dezimalzahlen können ebenfalls als brüche geschrieben werden und auch diese zahlen sind rationale zahlen zahlen wie 1,732 8… oder 2,645 3… sind nicht abbrechende und nicht periodische dezimalzahlen diese zahlen können nicht als bruch geschrieben werden diese zahlen sind irrationale zahlen merke beispiel das lateinische ratio bedeutet verhältnis weil bruchzahlen und damit abbrechende und periodische dezimalzahlen als verhältnis zweier ganzer zahlen ausgedrückt werden können heißen sie rationale zahlen

gleichungen reelle zahlen k1 2–4 6–8 k2 k3 k4 k5 2–4 k6 schreiben sie die zahl als bruch und kürzen sie wenn es möglich ist 0,36 überprüfen sie ob die umformung stimmt 0,456 vorsicht nicht alle quadratwurzeln sind irrationale zahlen welche quadratwurzeln sind rational welche irrational 0,25 sortieren sie welche zahlen sind rationale zahlen welche sind irrationale zahlen 1,733 2,121 ergänzen sie bei der zahl 0,24 zehn ziffern so dass die zahl eine nicht abbrechende rationale zahl darstellt irrationale zahl darstellt stimmt das ich kann eine zahl angeben die sich nicht als bruch schreibe lässt also irrationale ist 0,101 0… ich auch 0,222 2… beide beispiele sind nach einem muster aufgebaut setzen sie die ziffernfolge nach dem muster fort sind beide zahlen irrationale zahlen begründen sie ihre entscheidung geben sie zahlen an die unendlich viele stellen haben aber nicht periodisch sind berechnen sie mithilfe eines tabellenkalkulationsprogramms auf dezimalstellen 1000 darstellung der zahlenmengen und im mengenbild werden die zahlenmengen in einem mengenbild dargestellt lässt sich gut erkennen jede natürliche zahl aus ist auch eine ganze zahl aus jede ganze zahl aus ist eine rationale zahl aus jede rationale zahl ist auch eine reelle zahl aus und aber und information reelle zahlen rationale zahlen ganze zahlen natürliche zahlen nennen sie je drei zahlen die rationale zahlen sind ganze zahlen aber nicht natürliche zahlen sind die reelle zahlen und natürliche zahlen sind nicht natürlich aber rational sind keine ganze zahlen aber rationale zahlen sind keine rationale aber reelle zahlen sind suchen sie zwei rationale und zwei irratio nale zahlen zwischen und und und 2,01 0,0001 und 0,001 im intervall im intervall

gleichungen quadratwurzeln gleichungen quadr atwur zeln k3 k4 k5 k6 k2 2–4 k1 wie kann man alle zahlen auf dem rechten und dem linken zettel einander zuordnen 0,02 2,25 0,04 0,25 berechnen sie 2,89 3,24 5,29 20,25 26,01 0,0144 0,0004 0,0784 4,4521 multipliziert man eine zahl mit sich selbst erhält man deren quadratzahl diesen vorgang nennt man quadrieren 15 ⋅ 15 225. allgemein schreibt man a ⋅ a umgekehrt lässt sich zu einer vorgegebenen quadratzahl diejenige zahl finden die mit sich selbst multipliziert diese quadratzahl ergibt man bestimmt die quadratwurzel diesen vorgang bezeichnet man als wurzelziehen radizieren für die zahl erhält man die zahl als quadratwurzel denn 7 ⋅ 7 oder die quadratwurzel einer positiven zahl ist diejenige positive zahl die mit sich selbst multipliziert die zahl ergibt man verwendet die schreibweise und sagt ist die quadratwurzel von die quadratwurzel einer negativen zahl gibt es nicht da keine zahl mit sich selbst multipliziert einen negativen wert ergibt bei positiven zahlen ist das wurzelziehen die umkehrung des quadrierens und das quadrieren die umkehrung des wurzelziehens allgemein gilt und  ⋅  da 0,25 da 0,25 da da 0,81 0,81 als radikand bezeichnet man die zahl unter dem wurzelzeichen der radikand ist hier merke bemerkung es gilt da da beispiel welche zahl passt nicht in die reihe 0,04 0,16 0,36 0,50 0,81 1,21 2,56 bestimmen sie die quadratwurzel im kopf 0,25 0,36 1,44 bei gilt wenn die zahl größer als ist dann ist die zahl größer als also wenn dann und wenn die zahl zwischen und liegt dann ist die zahl kleiner als also wenn dann seite quadratwurzeln die quadrate werden größer setzen sie die reihe fort notieren sie alle möglichkeiten bis 100 kästchen flächeninhalt kann man auch quadrate mit zwei oder drei kästchen flächeninhalt zeichnen ein quadrat hat einen flächeninhalt von 144 kästchen welche seitenlänge hat es welchen umfang hat ein quadrat mit einem flächeninhalt von 100 kästchen

gleichungen quadratwurzeln k3 k6 k5 k4 k2 5–7 k1 berechnen sie überprüfen sie ihr ergebnis mit dem taschenrechner füllen sie die lücken berechnen sie ohne taschenrechner 0,25 ⋅ 0,25  ⋅  was fällt ihnen auf die figuren bestehen aus aneinander gereihten quadraten der flächeninhalt der quadratreihe ist gegeben berechnen sie den umfang der quadratreihe die oberfläche ist gegeben berechnen sie die kantenlänge eines würfels sind zähler und nenner eines bruchs quadratzahlen so gilt ein rechteck hat die länge und die breite berechnen sie die seitenlänge eines quadrats das dazu flächengleich ist 2,88 berechnen sie das volumen der figur wenn die oberfläche vorgegeben ist welche ziffern muss man einsetzen beispiel für wird für wird eingesetzt natascha behauptet vier der sechs quadratwurzeln sind keine natürlichen zahlen dies kann ich ohne taschenrechner nachweisen wie könnte natascha vorgegangen sein welche der rechnungen sind falsch begründen sie ihre entscheidung 3600 0,005 0,000

gleichungen bestimmen von quadratwurzeln gleichungen bestimmen on quadr atwur zeln k2 k3 k4 k5 k6 k1 quadratwurzeln wie oder lassen sich zunächst nur abschätzen bei der quadratwurzel der zahl erkennt man dass sie zwischen und liegen muss da für die quadrate die eingrenzung gilt der bereich der eingrenzung heißt intervall liegt zwischen den natürlichen zahlen und das heißt liegt im intervall durch probieren lässt sich eine größere genauigkeit mit mehr nachkommaziffern erreichen um den rechenaufwand klein zu halten sollte man beim mittelwert des anfangsund endwerts des intervalls beginnen wegen 1,96 2,25 liegt zwischen und also im intervall wegen 1,9881 1,41 1,42 2,0164 liegt zwischen 1,41 und 1,42 also im intervall 1,41 1,42 auf diese weise gelangt man zu immer mehr nachkommaziffern beispielsweise lauten die ersten 10 ziffern von so 1,414 quadratwurzeln aus positiven zahlen die keine quadratzahlen sind haben beliebig viele nachkommaziffern systematische vorgehensweise zur näherungsweisen bestimmung von werte als natürliche zahlen grob schätzen da erste nachkommaziffer mithilfe des mittelwerts der zuvor grob geschätzten werte festlegen berechnen und vergleichen 6,25 die nachkommaziffer anpassen und schritt wiederholen und entscheiden 6,76 7,29 7,84 8,41 damit gilt nächste nachkommaziffer schätzen schritt wiederholen 2,81 7,8961 2,82 7,9524 2,83 8,0089 damit gilt 2,82 2,83 auf diese art und weise lassen sich immer mehr nachkommaziffern bestimmen den mittelwert auch durchschnittswert genannt von zwei zahlen erhält man indem man die beiden zahlen addiert und anschließend durch teilt erklärfilm 2f8mi9 merke beispiel cm cm bestimmen von quadratwurzeln durch zerschneiden und umlegen der beiden quadrate lässt sich ein neues größeres quadrat bilden wie groß ist der flächeninhalt des neuen quadrats warum ist der umfang der ursprünglichen quadrate viel leichter zu bestimmen als der des neuen bestimmen sie die seitenlänge des großen quadrats so genau wie möglich

gleichungen bestimmen von quadratwurzeln k3 k6 12–14 k5 k4 k2 1–7 k1 10–14 welche werte lassen sich ge nau welche nur näherungsweise bestimmen 6,25 10,24 0,09 0,081 zwischen welchen natürlichen zahlen liegt die quadratwurzel beispiel da füllen sie die lücken manchmal sind auch mehrere lösungen möglich welcher wurzelwert gehört zu welcher quadratzahl schätzen sie ab 21,7485… 217,9449… 23,7697… 20,1494… 27,3130… berechnen sie das produkt  ⋅   ⋅  1,25  ⋅  1,25 15,5  ⋅  15,5 3,25  ⋅  3,25 0,025  ⋅  0,025 11,75  ⋅  11,75 0,02  ⋅  0,02 berechnen sie die wurzel 3 ⋅ 3 17 ⋅ 17 51 ⋅ 51 62,25 ⋅ 62,25 3,05 ⋅ 3,05 1,75 ⋅ 1,75 0,11 ⋅ 0,11 0,02 ⋅ 0,02 berechnen sie die seitenlängen zahlen und ihre quadratzahlen a² es gilt erklärfilm 2f8mi9 rechnen mit quadratwurzel teilweises wurzelziehen welche der quadratwurzeln lassen sich exakt bestimmen 0,09 0,04 4000 0,0004 zeichnen sie ein quadrat mit dem jeweils angegebenen flächeninhalt cm cm cm cm cm cm cm cm berechnen sie jeweils die seitenlänge zwischen welchen natürlichen zahlen liegt die quadratwurzel des produkts beispiel 3 ⋅ 7 da 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 7 ⋅ 8 9 ⋅ 10 35 ⋅ 2 15 ⋅ 11 113 ⋅ 2 71 ⋅ 5 zwischen welchen natürlichen zahlen liegt die quadratwurzel des produkts beispiel  ⋅  da  ⋅  und  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  vergleichen sie die brüche mit der taschenrechner-anzeige von wie heißen die nächsten drei brüche berechnen sie für die brüche der form den term was bemerken sie corinna behauptet der bruch habe den wert christian sagt wenn ich den bruch quadriere und die endziffern des zählers und nenners betrachte kann das ergebnis nicht die zahl sein wer von beiden hat recht schätzen sie möglichst genau 38,1 37,9 38,5 150,4 150,9 151,3 was stellen sie fest

gleichungen erweiterung des wurzelbegriffs gleichungen erweit erung des wur zelbegr if fs k3 k4 k6 k5 k2 1–3 k1 zahlen der form wie 5 ⋅ 5 ⋅ 5 heißen kubikzahlen will man umgekehrt zu einer vorgegebenen kubikzahl die zahl bestimmen die dreimal mit sich selbst multipliziert wieder die kubikzahl ergibt sucht man die wurzel oder die kubikwurzel der zahl da 3 ⋅ 3 ⋅ 3 von zahlen die keine kubikzahlen sind lassen sich kubikwurzeln näherungsweise bestimmen durch probieren gelangt man beispielsweise so zur kubikwurzel der zahl wegen also liegt zwischen und also im intervall wegen liegt zwischen und also im intervall √öää √öää die kubikwurzel einer positiven zahl ist die positive zahl deren potenz gleich der zahl ist wenn und da 0,343 da 0,343 wurzelexponent 6859 radikand merke beispiel berechnen sie die kubikwurzeln der zahlen was fällt ihnen auf 8000 0,027 0,27 2700 vergleichen sie mit oder im heft ein mahnmal in mannheim ist ein hoher glaswürfel prüfen sie die aussagen die fläche einer würfelseite ist dm groß das volumen des würfels beträgt cm schreiben sie eine eigene stimmende aussage zwischen welchen natürlichen zah len liegt die kubikwurzel schätzen sie zuerst berechnen sie im kopf 1000 0,001 0,027 0,125 bestimmen sie kantenlänge und oberflächeninhalt für das volumen seite volumen eines würfels mit der kantenlänge ist a ⋅ a ⋅ a erweiterung des wurzelbegriffs aus kleinen würfeln soll ein großer würfel gebaut werden wie viele kleine würfel würden sie verwenden oder aus kleinen würfeln soll ein großer würfel gebildet werden geht das sie haben 1000 kleine würfel zur verfügung wie viele verschiedene aus kleinen würfeln zusammengesetzte große würfel lassen sich bauen

gleichungen erweiterung des wurzelbegriffs k4 k6 k1 k2 8–13 k3 k5 möchte man die basis einer potenz bestimmen kann man durch ausprobieren auf die lösung kommen der vorgang des potenzierens lässt sich aber auch umkehren indem man die vierte die fünfte die sechste die siebte oder die n-te wurzel zieht 1296 denn 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 1296 denn 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 es ist noch eine andere schreibweise möglich da die potenzgesetze auch für bruchzahlen gelten ist 1296 1296 1296 1296 also ist 1296 1296 also ist die n-te wurzel aus einer zahl schreibt man darunter versteht man die zahl die mit potenziert ergibt muss eine natürliche zahl größer als null sein und sind positive zahlen man erweitert die potenzgesetze und vereinbart denn denn denn denn 2,488 denn 2,488 0,001 denn 0,001 0,25 denn taschenrechnereingabe 81^(1/4 merke beispiel schreiben sie als potenz formen sie um und berechnen sie ohne taschenrechner 0,000 berechnen sie mit dem taschenrechner 5,9049 ⋅  0,004 6,978 ⋅  2,571 3,379 ⋅  eine biotechnische assistentin legt eine pilzkultur mit einem flächeninhalt von cm an und beobachtet deren vermehrung fünf tage später bedecken die pilze eine fläche von cm um welchen faktor hat sich der flächeninhalt täglich vergrößert berechnen sie die beispiele oben mit dem taschenrechner erklären sie warum müssen sie bei in den taschenrechner hoch klammer auf klammer zu eingeben bzw warum dürfen sie die klammern nicht weglassen schreiben sie als wurzel und berechnen sie ohne taschenrechner schreiben sie als wurzel und berechnen sie berechnen sie mit dem taschenrechner 1728 1024 1,5625 0,0081 0,04 1400 bei quadratwurzeln schreibt man den wurzelexponenten in der regel nicht

gleichungen kreisumfang und kreiszahl gleichungen kr eisumfang und kr eiszahl k4 k6 k5 k3 k2 k1 zum kreis mit dem doppelten dreifachen durchmesser gehört der doppelte drei fache umfang der umfang eines kreises ist also proportional zu seinem durchmesser dividiert man den umfang eines kreises durch seinen durchmesser so ist das ergebnis für alle kreise gleich dieses verhältnis wird kreiszahl genannt und mit dem griechischen buchstaben bezeichnet in einfachen experimenten kann man für gute näherungswerte wie oder 3,14 finden der taschenrechner gibt für einen sehr genauen wert an 3,141592654 für den umfang eines kreises mit dem durchmesser bzw dem radius gilt bzw mit die kreiszahl lässt sich nicht als bruch darstellen sie ist eine irrationale zahl aus dem durchmesser cm eines kreises wird der umfang berechnet π ⋅ 2,0 cm 6,28 cm aus dem umfang 8,50 eines kreises wird der radius berechnet 8,50 1,35 ist der buchstabe des griechischen alphabets und wird pi gesprochen merke bemerkung beispiel es ist nicht sinnvoll die gesamte anzeige des taschenrechners abzuschreiben berechnen sie den umfang des kreises cm cm 17,2 cm 31,8 cm 0,98 12,4 dm berechnen sie den radius cm 0,41 12,9 mm der umfang der erde beträgt etwa km wie groß ist der radius der erde kreisumfang und kreiszahl messen sie den durchmesser und den umfang von verschiedenen kreisförmigen gegenständen tragen sie die werte in eine tabelle ein und bilden sie das verhältnis gegenstand umfang durchmesser cd 37,6 cm cm dose was fällt ihnen auf

gleichungen kreisumfang und kreiszahl k6 k5 k4 k3 k2 3–6 k1 berechnen sie die fehlenden größen 24,4 cm 31,84 2,56 dm berechnen sie den umfang der figur ein metallband von länge wird zu einem ring gebogen wie groß ist der durchmesser rechnen sie auch für ein metallband von und eines von länge die naturschutzbehörde einer stadt schreibt vor dass das fällen von bäumen mit einem durchmesser von über cm in höhe genehmigungspflichtig ist messen sie die umfänge der bäume auf dem schulgelände prüfen sie welche bäume nicht ohne genehmigung gefällt werden dürfen das messrad dient zur bestimmung von entfernungen bei verkehrsunfällen und auf baustellen nach zwei umdrehungen wird eine strecke von angezeigt berechnen sie den umfang des messrads den durchmesser und den radius des messrads geben sie den umfang der figur unter verwendung der variable an vergleichen sie die umfänge der roten und der lila kreise mit dem des blauen kreises auf der baustelle das rad eines schweren muldenkippers in einem tagebau ist 1,95 hoch und dreht sich pro tag etwa 6000-mal das rad eines anderen kippers hat einen cm kleineren radius ein fahrrad fährt mit einer geschwindigkeit von km/h wie oft ungefähr dreht sich das rädchen des dynamos cm in einer sekunde einige mathematiker haben versucht die kreiszahl mit einem bruch möglichst genau darzu stellen 3,141 welcher bruch liegt am nächsten

gleichungen lineare gleichungen gleichungen linear gleichungen k1 k2 k3 k4 k5 k6 lineare gleichungen um eine lineare gleichung zu lösen wird sie umgeformt bis die variable auf einer seite allein steht dabei sind die vier grundrechenarten zur umformung zugelassen man wählt als rechenart die umkehrung der rechenart in der gleichung addiert man wenn subtrahiert wurde die umformung wird immer auf beiden seiten der gleichung durchgeführt addiere subtrahiere multipliziere mit 4)  ⋅ 4 3  ⋅ 4 6   x dividiere durch 6 ⋅ x die umformungen von linearer gleichung zu linearer gleichung lassen die lösung unverändert 4 ⋅ x 4 ⋅ x 4 ⋅ x 4 ⋅ x die gleichungen 4 ⋅ x 4 ⋅ x und nennt man daher äquivalent umformungen die die lösung unverändert lassen heißen äquivalenzumformungen zum lösen einer linearen gleichung wendet man äquivalenzumformungen an man darf auf beiden seiten der gleichung denselben term addieren oder subtrahieren beide seiten der gleichung mit derselben zahl außer null multiplizieren oder dividieren 6 ⋅ x 6 ⋅ x 4 ⋅ x 4 ⋅ x 6 ⋅ x 5 ⋅ x 5 ⋅ x zur kontrolle wird bei allen drei beispielen die probe durchgeführt linker term rechter term linker term rechter term linker term rechter term 6 ⋅  4 ⋅  6 ⋅  erklärfilm 2f8mi9 merke beispiel bemerkung die waagen sind im gleichgewicht wie viele kugeln wiegen genau so viel wie ein würfel formulieren sie ihre denkschritte beschreiben sie die gewichtsverteilung an der waage mit einer gleichung schreiben sie für das gewicht eines würfels und für das gewicht einer kugel

gleichungen lineare gleichungen k4 k5 k6 k3 k1 k2 2–5 drücken sie das gewicht eines würfels durch das gewicht von kugeln aus lösen sie und geben sie die äquivalenzumformungen wie im beispiel an beispiel 9 ⋅ x 12 ⋅ x x ⋅ 5 15 ⋅ x 15 ⋅ x 15 ⋅ x erklärfilm 2f8mi9 lösen von linearen gleichungen seite hier heißt die variable nicht die summe aller lösungen beträgt notieren sie die äquivalenzumformungen beispiel x  ⋅ 5 6  ⋅ 5 welche kärtchen gehören zusammen 2x 2x 3x 3x 3x 4x schritt für schritt lineare gleichungen löst man übersichtlich indem man zu jeder zeile die beabsichtigte umformung angibt dies geschieht in kurzer form mit einem kommandostrich kurz hinter dem der rechenschritt notiert wird für termumformungen schreibt man ein ich fasse auf beiden seiten so weit wie möglich zusammen ich addiere auf beiden seiten dann steht die variable nur noch links ich subtrahiere auf beiden seiten dann stehen einzelne zahlen nur noch rechts ich dividiere beide seiten durch um zu erhalten ich achte dabei darauf dass die gleichheitszeichen untereinander stehen ich mache die probe probe linker term rechter term 6 ⋅  2 ⋅  lösen sie die gleichungen schritt für schritt mit kommandostrich und probe 0,89 0,31 methode

gleichungen lineare gleichungen k1 k3 k4 k6 k5 k2 6–10 erfinden sie schwierige gleichungen die als lösung haben indem sie mehrere äquivalenzumformungen durchführen lösen sie die gleichung 83,7 36,77 73,8 lösen sie die gleichung ergänzen sie so dass für die gleichung die unterschiedlichen lösungen möglich werden  ⋅ x faktor vor der variablen kann ein bruch sein beispiel finden sie zur gleichung eine textaufgabe beispiel wenn ich vom achtfachen einer zahl die zahl 3 subtrahiere erhalte ich 16,5 nicht jede lösung zählt viele sachsituationen lassen sich durch gleichungen lösen die lösung muss aber überprüft werden denn nicht jede lösung ist brauchbar diana simon vera jan und patrick nehmen am mathematikwettbewerb teil gefragt ist nach einer aufgabe zu nicht jede lösung zählt diana sagt multipliziere ich die anzahl meiner 1-€-stücke mit so ist das ergebnis um größer als wenn ich die anzahl mit multipliziere jana rechnet nach und sagt du hast wohl den betrag in deinem geldbeutel gemeint die sachsituation bestimmt die so genannte grundmenge der gleichung ist die grundmenge beispielsweise die menge der natürlichen zahlen sind bruchzahlen als lösungen unbrauchbar stellen sie gleichungen zur vorgeschlagenen aufgabe auf und überprüfen sie die lösung am text simon behauptet das 3-fache der anzahl der münzen in meiner spardose ist um größer als die 5-fache anzahl vera merkt sich eine ungerade zahl multipliziert sie mit subtrahiert und bekommt jan denkt sich eine natürliche zahl und addiert er verdoppelt diese summe und erhält patrick behauptet hätte ich doppelt so viele münzen wie jetzt in der tasche und bekäme ich noch drei dazu hätte ich 12 münzen ein dreieck hat einen umfang von 2,03 eine seite ist cm die andere cm lang wie lang ist die dritte seite projekt

gleichungen gleichungen mit klammern gleichungen gleichungen mit klammer k1 k2 k3 k4 k5 k6 familie stamm hat beim grundstückskauf die auswahl zwischen dem quadratischen eckgrundstück 42.1 und dem flächengleichen flurstück 42.2 dieses ist länger dafür aber um schmaler als das quadratische grundstück finden sie heraus wie lang und wie breit die grundstücke 42.1 und 42.2 sind gleichungen mit klammern kommen in einer gleichung terme mit klammern vor werden zuerst die klammern auf gelöst klammern ausmultiplizieren zusammenfassen ordnen an einer gleichung der einfachsten form wie kann man die lösung leicht ablesen die lösung besteht aus der zahl lösungsverfahren für gleichungen mit klammern klammern auflösen auf beiden seiten terme zusammenfassen summanden mit variablen auf der einen seite und summanden ohne variablen auf der anderen seite zusammenfassen und ordnen durch den koeffizienten der variablen dividieren die lösung angeben 1) ⋅ 9 probe linker term rechter term 4 ⋅  2 ⋅  1) ⋅ 9 1) ⋅ 9 2 ⋅ (− 7 ⋅ 3 4 ⋅ 9 probe linker term rechter term 6 ⋅ (− merke beispiel

gleichungen gleichungen mit klammern k3 k4 k6 k5 4–6 k2 1–3 k1 lösen sie die gleichung lösen sie die klammern auf bevor sie die gleichung lösen 6 ⋅ (3 5 ⋅ (2 4 ⋅ (z 3 ⋅ (2 2 ⋅ (7 7 ⋅ (4 9 ⋅ (2 2 ⋅ (x geben sie die lösung an x) ⋅ 2 y) ⋅ 5 y) ⋅ (− bauen sie aus den termkarten gleichungen sie können die karten mehrfach verwenden beispiel stellen sie fünf gleichungen auf lösen sie sie schreiben sie eigene termkarten bauen sie damit gleichungen und lösen sie sie das rote und das schwarze rechteck sind flächengleich stellen sie jeweils eine gleichung für den flächeninhalt auf und bestimmen sie die fehlende seitenlänge seite lösen sie die gleichungen und machen sie die probe anna tim und ben hatten eine wirklich schwierige gleichung zu lösen sie stellen ihre lösungsansätze vor wer hat richtig gerechnet begründen sie lösen sie die gleichung wie tim anna und ben vorgeschlagen haben bis zum ergebnis machen sie die probe markieren sie in ihrem heft deutlich die fehler beachten sie die minusklammern und berechnen sie die lösungen die richtigen ergebnisse finden sie rechts 1) ⋅ 9 lösen sie die gleichungen und machen sie die probe 12,25

gleichungen lösungsvielfalt gleichungen lösungsvielfalt k1 k2 k3 k4 k5 k6 ali kenneth lucas und robin wollen in der gruppenarbeit die aufgabe rechts lösen sie beschließen die probe mit den zahlen und zu machen jeder nimmt sich eine zahl und rechnet ali hat die zahl eingesetzt und kommt jetzt ins grübeln ist richtig oder kenneth behauptet dass stimmt lucas behauptet sei richtig und robin meint müsste stimmen können sie der gruppe helfen lösungsvielfalt bei linearen gleichungen ist immer das ziel herauszubekommen welche zahl für eingesetzt werden kann damit die gleichung stimmt oft ist das eine einzige zahl manchmal gibt es unendlich viele lösungen oder es ist gar keine lösung vorhanden lösungsvielfalt bei linearen gleichungen unterscheidet man drei lösungsfälle kann man eine lineare gleichung so auflösen dass man auf der einen seite des gleichheitszeichen hat und eine zahl auf der anderen seite dann gibt es eine lösung erhält man beim lösen der linearen gleichung links und rechts vom gleichheitszeichen genau den gleichen term dann gibt es unendlich viele lösungen fällt beim lösen der linearen gleichung das weg und erhält links und rechts des gleichheitszeichens verschiedene zahlen dann gibt es keine lösung ausmultiplizieren zusammenfassen ∶10 es gibt eine lösung �￿klammern auflösen zusammenfassen links und rechts des gleichheitszeichens sind die terme jeweils gleich das bedeutet dass es unendlich viele lösungen gibt weil jede beliebige reelle zahl eingesetzt werden kann so dass die lineare gleichung stimmt �￿wir setzen ein linke seite der gleichung rechte seite der gleichung merke beispiel welche der lösungen und ist richtig linke seite der gleichung für rechte seite der gleichung für

gleichungen lösungsvielfalt k4 k6 k1 k2 k3 4–6 k5 lösen sie die lineare gleichung welche der aufgaben hat die lösungsmenge �￿welche aufgabe hat keine lösung �￿welche aufgabe hat unendlich viele lösungen �￿berechnen sie ergänzen sie die gleichung so dass es eine lösung gibt unendlich viele lösungen gibt keine lösung gibt wenn waagen alt werden rosten sie ein sehen sie sich die waagen genau an was kann sein was kann nicht sein wie viele kugeln wiegen genauso viel wie ein würfel stellen sie eine gleichung auf lösen sie sie und prüfen sie ob die lösung sinnvoll ist brötchen und sind genauso viel wert wie brötchen und äpfel und 0,50 sind genauso viel wert wie äpfel lutscher kosten doppelt so viel wie lutscher comic-hefte kosten euro weniger als comic-hefte kuchenstücke sind so teuer wie kuchenstücke plus kuchenstücke tim stellt seinen mitschülern eine aufgabe ich denke mir eine zahl ich multipliziere die gedachte zahl mit und subtrahiere davon dann multipliziere ich das ergebnis mit und anschließend addiere ich ich addiere jetzt das quadrat von das ergebnis ist das 15-fache meiner gedachten zahl welche zahl hat tim sich ausgedacht wenn man zum doppelten einer zahl 0,75 addiert und das dreifache der zahl subtrahiert erhält man das gleiche als wenn man diese zahl von subtrahiert auf welche zahl trifft das zu das ergebnis ist falsch weil nicht dasselbe wie ist es gibt keine lösung für diese lineare gleichung

gleichungen umstellen von formeln gleichungen umst ellen on formeln k1 k4 k6 k5 k3 k2 umstellen von formeln der erste marathonlauf wird überliefert aus dem jahr chr beim berlin-marathon lief ein läufer die km in 2,5 stunden berechnen sie die durchschnittlich gelaufene geschwindigkeit nach der formel geschwindigkeit weg zeit bzw eine teilnehmerin hatte eine durchschnittliche geschwindigkeit von km/h berechnen sie ihre laufzeit informieren sie sich warum die marathonstrecke km lang ist eine formel beschreibt einen zusammenhang zwischen variablen größen und zahlen zum lösen einer aufgabe empfielt sich folgendes vorgehen bestimmen sie die gegebenen und gesuchten größen notieren sie die passende formel stellen sie die formel nach der gesuchten größe um setzen sie die bekannten werte in die formel ein achten sie dabei auf die maßeinheiten berechnen sie das ergebnis überprüfen sie ob die lösung sinnvoll ist die summe der kantenlängen eines quaders ist aus und soll berechnet werden dazu wird die formel nach aufgelöst für cm und einige werte von und wird jetzt berechnet alle maße in cm 15,9 geschwindigkeit gleich weg durch zeit diese formel wird nach der zeit aufgelöst |⋅ v ⋅ t die nach der zeit aufgelöste formel heißt zeit gleich weg durch geschwindigkeit für km kann man die zeit zu einer gegebenen geschwindigkeit berechnen in km in merke beispiel mit formeln rechnen stellen sie die flächeninhaltsformel für rechtecke a ⋅ b nach um berechnen sie mithilfe einer umgestellten formel die fehlende seitenlänge des rechtecks in cm und in cm seite geschwindigkeitskontrolle km/h erlaubt welches auto fährt zu schnell strecke km zeit füllen sie die tabelle so aus dass kein auto zu schnell fährt strecke km zeit

gleichungen umstellen von formeln k4 k6 k5 k3 k2 3–5 k1 im straßenverkehr muss man schnell reagieren als reaktionszeit schätzt man der reaktionsweg ist die strecke die das auto in dieser zeit zurücklegt der tachometer zeigt die geschwindigkeit in km/h an dies ist die faustformel für den reaktionsweg reaktionsweg in geschwindigkeit in km/h  ⋅ 3 oder kurz rw  ⋅ 3 berechnen sie mithilfe einer tabellenkalkulation den reaktionsweg für km/h km/h und km/h tragen sie die geschwindigkeiten in die felder a2 bis a4 ein berechnen sie jeweils den reaktionsweg indem sie in die felder b2 bis b4 die formel eintragen schreiben sie statt jeweils feldbezeichnung a4 b4 fx =a4*3/10 geschwindigkeit in km/h reaktionsweg in verfahren sie genauso mit der formel für den bremsweg in bremsweg in geschwindigkeit in km\h oder kurz bw berechnen sie den bremsweg für eine geschwindigkeit von km/h km/h km/h und km/h in den usa werden temperaturen in grad fahrenheit gemessen der fahrenheit-wert der temperatur wird aus dem celsius-wert durch eine formel berechnet  ⋅ x nutzen sie eine tabellen kalkulation b10 fx =9/5*a8+32 temperatur in °c temperatur in°f 28,4 30,2 32,0 33,8 35,6 37,4 39,2 lösen sie die formel nach auf ordnen sie in einer tabelle einigen fahrenheit-werten y die celsius-werte x zu und setzen sie die werte 0° 100° und 100° ein das volumen eines quaders stellen sie die formel für das volumen eines quaders a ⋅ b ⋅ c nach nach und nach um berechnen sie die fehlenden seiten in cm in cm 17,1 in cm 14,1 in cm wer benutzt den taschenrechner richtig begründen sie eva tippt 16 ⋅ 2,5 gerd tippt 16 ⋅ 2,5 saskia tippt quader und ihre grundfläche berechnen sie den flächeninhalt der grundfläche a ⋅ b des quaders in dm 1000 in dm geben sie zu den ergebnissen aus teilaufgabe je einige mögliche kantenlängen und an auch brüche sind erlaubt ein quader hat die kantenlängen und die summe seiner kantenlängen ist stellen sie die formel nach und nach um berechnen sie mithilfe der passend um gestellten formel die fehlende kanten länge alle maße in cm 27,5

gleichungen prozentrechnen prozente gleichungen pr ozentr echnen pr ozent k1 k6 k5 2–4 k4 k3 k2 1–4 prozentrechnen prozente anteile oder verhältnisse können mit brüchen dargestellt werden zum vergleichen wird in vielen fällen der gemeinsame nenner verwendet von oder entsprechen von oder für hundertstelbrüche kann man auch die prozentschreibweise verwenden ist dasselbe wie 24 prozent man schreibt auch alle prozentangaben kann man auch als dezimalzahlen darstellen 0,24 oder 0,03 prozente sind anteile mit dem nenner prozent bedeutet prozent bedeutet wenn 36 schüler von einen handyvertrag haben so kann man auch sagen dass der schüler einen handyvertrag haben 0,72 vier fünftel der fläche sind rot gefärbt erklärfilm 2f8mi9 merke beispiel prägen sie sich diese prozentsätze als brüche und dezimalzahlen ein 0,01 0,05 0,25 0,75 wie viel prozent sind das von 100 schülerinnen fahren mit dem fahrrad von 50 lehrern trinken kaffee von 10 räumen haben einen beamer geben sie an wie viel prozent der fläche gefärbt sind seiten und übertragen sie die figur ins heft färben sie die angegebenen bruchteile der gesamtfläche prozente brüche und dezimalzahlen ergänzen sie prozent bruch dezimalzahl 0,39 0,41 0,04 überlegen sie sich für eines der beispiele aus teilaufgabe eine anwendungsaufgabe und formulieren sie aufgabe und lösung eine umfrage unter 80 personen nach dem beliebtesten radiosender ergab folgendes ergebnis alte welle 24 stimmen antennenfunk 16 stimmen just us 30 stimmen andere sender 10 stimmen ordnen sie die prozentangaben 12,5 und 37,5 den radiosendern richtig zu was wäre bei einer umfrage unter 1000 personen als ergebnis zu erwarten

gleichungen prozentrechnen prozente k4 k6 k5 k3 k2 5–10 k1 beim prozentrechnen werden größen oder zahlen miteinander verglichen der grundwert ist das ganze und entspricht der prozentwert ist der anteil des ganzen der prozentsatz gibt den anteil in prozent an die aufgaben der prozentrechnung lassen sich mit dem dreisatz oder der grundformel der prozentrechnung lösen g ⋅ p oder g ⋅  bei dem satz von sind ist der grundwert der prozentwert und der prozentsatz während einer grippewelle fehlten an der walter-rathenau-schule der 640 jugendlichen 640 jugendliche g ⋅ p 640 ⋅ 0,20 an der schule fehlten 128 jugendliche von 40 mitgliedern der feuerwehr nehmen an einem lehrgang teil g ⋅ p 40 ⋅  0,85 an dem lehrgang nehmen der feuerwehrleute teil am stadtlauf nehmen 51 schülerinnen und schüler der berufsfachschule teil das sind der gesamten schülerzahl g ⋅ p  ⋅ 12 die berufsfachschule hat insgesamt 425 schülerinnen und schüler rechnen mit dem dreisatz jugendliche 4,25 merke bemerkung beispiel berechnen sie die fehlende dritte größe grundwert prozentsatz grundwert km prozentwert km prozentwert kg prozentsatz lea kauft ein t-shirt für 15,00 der verkäufer gewährt ihr darauf einen rabatt von wie viel euro spart lea frau fischer kann beim kauf eines kleinwagens einen nachlass von 3500 aushandeln das auto sollte ursprünglich kosten wie hoch ist der nachlass in prozent wie viel euro bezahlt frau fischer für das auto beim kauf einer waschmaschine erhält herr wessels einen rabatt von dies sind wie viel euro sollte die maschine ursprünglich kosten bei einer anderen waschmaschine hätte herr wessels rabatt bekommen dies sind vergleichen sie erklärfilm 2f8mi9 der prozentsatz der prozentwert der grundwert die grafik zeigt die verteilung der umsätze eines supermarktes auf die einzelnen wochentage erklären sie die unterschiede für die einzelnen wochentage berechnen sie die prozentanteile beim schlussverkauf werden alle waren um reduziert der laptop kostete der rasierapparat und der drucker wie teuer sind die geräte paul sagt ich runde den preis und ziehe ein viertel davon ab vergleichen sie

gleichungen prozentuale veränderung gleichungen pr ozentuale er änderung k1 k2 k3 k4 k5 k6 sabrina und florian gehen in ein café eine große tasse schokolade kostet einschließlich bedienung 3,30 sabrina rechnet aus dass die kosten für die bedienung ct betragen florian behauptet es seien nur ct wer hat recht begründen sie in einem anderen café kostet die schokolade nur wie viel bedienungsgeld ist darin enthalten prozentuale veränderung der reine grundwert beträgt zum beispiel bei preiserhöhungen oder preissenkungen wird der grundwert verändert man spricht dann von vermehrtem oder vermindertem grundwert dieser wird bei berechnungen wie der prozentwert behandelt die prozentuale veränderung wird mit dem prozentfaktor bezeichnet bei einer erhöhung um werden aus dann dabei wird mit dem prozentfaktor 1,15 multipliziert bei einer senkung des ausgangswerts um werden die ursprünglichen zu also ist der prozentfaktor 0,93 prozentuale veränderungen lassen sich mit dem prozentfaktor ausdrücken und berechnen vermehrung verminderung prozentwert g ⋅ q ein snowboard kostet und wird in einer aktion um billiger angeboten bestimmen sie den neuen verkaufspreis rechnen mit der formel grundwert prozentsatz mit 0,35 0,65 und g ⋅ q kann man den neuen verkaufspreis berechnen € ⋅ 0,65 das snowboard kostet nur noch ein citybike kostet einschließlich mehrwertsteuer mwst das ist der bruttopreis wie hoch ist der nettopreis 1,19 es gilt g ⋅ q oder damit beträgt der nettopreis 1,19 503,36 das citybike kostet ohne mwst 503,36 rechnen mit dem dreisatz der preis des snowboards wird um gesenkt also beträgt der neue preis nur noch des alten preises ein notebook kostet komplett nach weihnachten wird der preis auf gesenkt wie hoch ist der rabatt in prozent es gilt g ⋅ q oder 0,80 der rabatt beträgt merke beispiel netto mwst brutto

gleichungen prozentuale veränderung k4 k6 k5 k3 k2 1–6 k1 berechnen sie jeweils aus dem gegebenen prozentsatz den veränderten prozentfaktor q geben sie in der prozentund in der dezimalzahlschreibweise an skonto preisnachlass um preiserhöhung um preisreduzierung um wertsteigerung um berechnen sie den vermehrten bzw den verminderten grundwert vermehrt um hl vermindert um kg vermehrt um in einem kaufhaus findet ein ausverkauf wegen geschäftsaufgabe statt wie viel prozent rabatt wurde bei den artikeln jeweils gegeben schätzen sie zuerst berechnen sie die herabgesetzten preise möglichst im kopf skonto italienisch abzug preisnachlass bei sofortiger oder kurzfristiger zahlung wird auch als barzahlungsrabatt bezeichnet nettopreis preis ohne mehrwertsteuer bruttopreis preis mit mehrwertsteuer seite berechnen sie frau hamann verdient monatlich 3215,62 sie erhält eine gehaltserhöhung von ein mitarbeiter von frau hamann verdient nach der erhöhung um jetzt 3056,26 wie viel euro verdient er also mehr bei frau kleiner machte die gehaltserhöhung von genau 66,61 aus drücken sie die gesamte veränderung mit einem prozentfaktor aus erhöhung um dann um zweimal erhöhung um je zuerst um erhöht dann um vermindert zuerst um vermindert dann um erhöht kathrin ist als fahranfängerin mit versicherungsprämie eingestuft dies sind jährlich 1438,25 nach 3 jahren unfallfreiem fahren beträgt die prämie noch wie viel euro spart kathrin im vergleich zum beginn auf diesem rechnungsentwurf hat sich ein fehler mit folgen eingeschlichen regalwand 1550,00 mwst 248,00 1798,00 abzüglich skonto 53,64 1744,36 bitte überweisen sie auf das konto 1111111111 firma mühlmann und söhne mühlheim rechnung nr 153607 rechnen sie nach und korrigieren sie die einzelnen beiträge um solche fehler zu vermeiden kann man sich mit einem tabellenkalkulationsprogramm ein entsprechendes rechenblatt herstellen überprüfen sie damit die rechnung der preis einer musikanlage wird von 1499 zuerst um gesenkt und anschließend wieder um erhöht der neue preis kann mit den prozentfaktoren und berechnet werden 0,15 0,85 0,20 1,20 neuer preis np 1499 € ⋅ 0,85 ⋅ 1,20 1528,98 die musikanlage kostet jetzt 1528,98 beispiel

gleichungen zinsrechnen gleichungen zinsr echnen k1 k2 k3 k4 k5 k6 zum 18. geburtstag hat bianca insgesamt geschenkt bekommen sie will das geld noch ein jahr lang sparen weil sie sich dann einen motorroller kaufen möchte haben sie eine idee was sie mit ihrem geld machen könnte wissen sie was man bekommt wenn man sein geld zu einer bank bringt kennen sie unterschiedliche möglich keiten geld anzulegen zinsrechnen bei banken und sparkassen kann man geld sparen und leihen geld sparen bei der bank heißt dass wir für einen bestimmten zeitraum der bank unser geld zur verfügung stellen dafür zahlt die bank zinsen den geldbetrag den man der bank überlässt nennt man kapital wenn man sich geld von der bank leiht muss man für dieses kapital zinsen bezahlen die bank legt fest wie viel prozent des kapitals als zinsen bezahlt werden müssen diese prozentangabe nennt man zinssatz der zinssatz bezieht sich auf einen zeitraum von einem jahr man nennt diese zinsen deshalb auch jahreszinsen die zinsrechnung ist eine anwendung der prozentrechnung prozentrechnung grundwert prozentwert g ⋅ p prozentsatz zinsrechnung kapital zinsen k ⋅ p zinssatz berechnen der zinsen sarina hat bei der bank ein jugendkonto zu beginn des jahres hat sie ein guthaben von der zinssatz für das konto beträgt am ende des jahres werden die zinsen berechnet gegeben kapital und zinssatz lösung die formel für den prozentwert kann für die berechnung der zinsen verwendet werden k ⋅  € ⋅  € ⋅  0,015 lösung anwenden des dreisatzes sind sind sind  ⋅ 1,5 sind sarina erhält für ein kapital von nach einem jahr zinsen merke beispiel

gleichungen zinsrechnen k4 k5 k6 k3 3–6 k2 k1 berechnen des kapitals herr maurer hat sich von der bank geld geliehen für ein jahr muss er zinsen bezahlen der zinssatz beträgt das geld das er sich geliehen hat ist das kapital die berechnung des kapitals entspricht der berechnung des grundwerts gegeben zinsen und zinssatz 0,045 lösung k ⋅ p tauschen 0,045 2000 lösung sind sind sind 2000 herr maurer hat sich für ein jahr 2000 geliehen berechnen des zinssatzes eleni hat nach einem jahr für guthaben zinsen in höhe von bekommen aus diesen beiden angaben kann man den zinssatz berechnen gegeben kapital und zinsen lösung k ⋅ p tauschen 0,02 lösung sind sind sind der zinssatz auf diesem konto beträgt beispiel zinsen erhalten zinsen bezahlen wie viel zinsen erhält man nach einem jahr bei einem zinssatz von für und für berechnen sie auch den neuen kontostand mit den gutgeschriebenen zinsen wie viel zinsen muss man in einem jahr bei einem zinssatz von 10,5 für 1345 und für 992,40 bezahlen welcher betrag wäre insgesamt zurückzuzahlen zinsvergleich sie wollen für 8000 für jahr zinsen bekommen recherchieren sie im internet mit welchen zinssätzen sie rechnen können wie viel geld haben sie am ende des jahres das konto ist überzogen berechnen sie die differenz der zinsen die man für 5000 in einem jahr bezahlt die zinssätze sind und vier personen haben am ende des jahres 2012 ihre zinseinnahmen verglichen alle hatten denselben zinssatz von dennoch bekam klaus miriam 4,50 heike 7,50 und thomas 11,38 zinsen seite herr paulsen kann bei drei verschiedenen banken jeweils 5000 leihen am ende des jahres müsste er bzw zinsen bezahlen am ende des jahres möchte frau nagel 2000 zur verfügung haben die bank bietet einen zinssatz von 2,75 an welchen betrag muss sie am anfang des jahres anlegen frau berger muss sich geld leihen sie möchte aber nicht mehr als zinsen im jahr bezahlen die eine bank hat einen zinssatz von die andere bank sogar 8,75 zinssätze sind verschieden herr beck bekommt in einem jahr für 2500 bei seiner bank 2,50 zinsen seine frau hat auf ihrer bank doppelt so viel geld angelegt bekommt aber dreimal so viel zinsen wie ihr mann erklären sie wie viel zinsen herr beck bei der bank seiner frau bekommen würde zinssätze ändern sich immer wieder stellen sie sich vor sie wollen für 8000 von einer bank für jahr zinsen bekommen recherchieren sie die aktuellen zinssätze im internet

gleichungen monatszinsen und tageszinsen gleichungen monatszinsen und ageszinsen k1 k2 k3 k4 k5 k6 natalie hat auf ihrem sparkonto die sparkasse verzinst das geld mit nach einem halben jahr möchte sie das konto wieder auflösen weil sie nur zinsen bekommt glaubt sie dass der zinssatz auf geändert wurde erklären sie natalie wie die bank ihre zinsen berechnet hat monatszinsen und tageszinsen 25.05.2016 25.11.2016 die höhe der zinsen die man erhält oder an die bank zahlen muss richtet sich auch nach der zeitdauer im allgemeinen wird der zinssatz für die zeitdauer von einem jahr angegeben ist der zeitraum nur ein teil des jahres so werden die zinsen nur für diesen bruchteil berechnet für die berechnung des zeitraumes gibt es mehrere methoden kaufmännische oder deutsche zinsmethode für jeden monat werden 30 tage gewährt und für das jahr werden 360 tage als grundlage für die berechnung gewählt taggenaue zinsmethode der zinszeitraum wird entsprechend dem aktuellen kalender berechnet das heißt die monate gehen unterschiedlich in die berechnung ein die monate januar märz mai juli august oktober und dezember haben 31 tage die monate april juni september und november haben 30 tage im schaltjahr hat der februar einen tag mehr es gibt einen februar in den anderen jahren hat der februar 28 tage für das jahr werden 365 tage oder in einem schaltjahr 366 tage zugrunde gelegt für die berechnung der zinsen werden die jahreszinsen mit einem zeitfaktor multipliziert dabei ist der quotient aus zeitraum in tagen und anzahl tage des zinsjahres beim zinsrechnen muss man auch die zeit berücksichtigen die jahreszinsen werden mit dem zeitfaktor multipliziert dabei ist der zeitraum in tagen zinsen jahreszinsen ⋅ zeitfaktor kurz k ⋅   ⋅ i deutsche zinsmethode volle monate werden mit 30 tagen gerechnet hat man nur volle monate zu berechnen so gilt taggenaue zinsmethode oder der zeitraum in tagen ist durch den kalender festgelegt diese formeln gelten nur für einen zeitraum der nicht länger als ein jahr ist bei rechnungen mit geldbeträgen wird in der regel auf zwei dezimalen gerundet beim berechnen der zinstage zählt der erste tag nicht mit berechnung der zinsen dora hat 135 tage lang 1300 auf ihrem sparkonto bei einem zinssatz von angelegt deutsche zinsmethode 1300 € ⋅   ⋅  7,31 dora erhält nach der deutschen zinsmethode 7,31 zinsen taggenaue zinsmethode kein schaltjahr 1300 € ⋅   ⋅  7,21 dora erhält nach der taggenauen zins methode 7,21 zinsen merke bemerkung beispiel

gleichungen monatszinsen und tageszinsen k1 k3 k4 k6 k5 k2 1–8 berechnung des kapitals für das überziehen eines kontos werden bei einem zinssatz von 10,5 nach fünf monaten 66,50 zinsen berechnet deutsche zinsmethode k ⋅   ⋅  | ⋅  | ⋅  z ⋅   ⋅  66,50 € ⋅  10,5  ⋅  1520 das kapital beträgt 1520 berechnung des zinssatzes mit 8200 kapital wurde in einem dreivierteljahr ein zinsertrag von 86,10 erzielt deutsche zinsmethode k ⋅   ⋅ i k ⋅ i 86,10 € ⋅  8200 € ⋅ 3 0,014 der zinssatz beträgt berechnung der zeit beim zinssatz von erhält man für das kapital 4000 nach einer bestimmten zeit zinsen deutsche zinsmethode k ⋅   ⋅  z ⋅  360 ⋅ 100 k ⋅ p € ⋅  4000 € ⋅ 1,5 in 288 tagen erbringt ein kapital von 4000 bei zinsen von taggenaue zinsmethode mit schaltjahr k ⋅   ⋅  z ⋅  366 ⋅ 100 k ⋅ p € ⋅  4000 € ⋅ 1,5 292,8 in fast 293 tagen erbringt ein kapital von 4000 bei zinsen von beispiel berechnen sie die zinsen nach der deutschen zinsmethode zu für 7 monate 2400 zu 6,25 für ein halbes jahr taggenau von 1325 zu für 295 tage das jahr ist kein schaltjahr welches kapital bringt nach der deutschen zinsmethode in 8 monaten zinsen bei 220 tagen zinsen bei taggenau kein schaltjahr berechnet in 210 tagen 23,92 zinsen bei bei welchem zinssatz ergäben nach der deutschen zinsmethode 4300 in 9 monaten 64,50 zinsen in jahr 279,90 zinsen taggenau kein schaltjahr berechnet 1975 in 80 tagen 15,15 zinsen in welchem zeitraum ergibt mit der deutschen zinsmethode berechnet das kapital von 6000 zinsen von 112,50 bei zinsen von 8,70 bei 2840 zinsen von 10,65 bei seite früher waren die zinssätze viel höher heutzutage bekommt man selten mehr als zinsen bei einer bank till legt am mai 2000 zu an wie viele zinsen bekommt er bei taggenauer berechnung für 225 zinstage gutgeschrieben an welchem kalenderdatum erfolgt die gutschrift eine bank verwendet die deutsche zinsmethode wie viele zinsen bekommt moritz für eine spareinlage von bei einem zinssatz von nach einer zeit von 6 monaten und 15 tagen zinsen sind stark zurückgegangen berechnen sie die fehlenden größen mit der deutschen zins methode kapital zinssatz zinsen zeit 1500 112 tage 1,00 5 monate 9,33 jahr 3780 0,45 43,47 die eltern von henriette und leonie haben bei ihrer bank für jede tochter zu gleichen bedingungen angelegt henriette bekommt für 7 monate 17,50 zinsen wie viel zinsen bekommt leonie nach 310 tagen deutsche zinsmethode

gleichungen zinseszins gleichungen zinseszins k1 k2 k3 k4 k5 k6 zinseszins kai legt 2000 bei seiner bank für einen zeitraum von 4 jahren an er erhält einen zinssatz von am ende der 4 jahre erwartet er zinsen und einen kontostand von 2240 zu seiner überraschung hat er aber 2251,02 auf seinem konto können sie das erklären legt man geldbeträge mehrere jahre lang an dann werden die jährlich anfallenden zinsen zum kapital addiert und anschließend mitverzinst die zusätzlichen zinsen bezeichnet man als zinseszinsen bei einem kapital von 5000 und einem zinssatz von ergibt sich für die ersten 4 jahre folgendes wachstum des anfangskapitals anfangskapital 5000,00 zinsen für das jahr 150,00 kapital nach 1 jahr 5150,00 zinsen für das jahr 154,50 kapital nach 2 jahren 5304,50 zinsen für das jahr 159,14 kapital nach 3 jahren 5463,64 zinsen für das jahr 163,91 kapital nach 4 jahren 5627,55 1,03 5000,00 1,03 5150,00 1,03 5304,50 1,03 5463,64 1,03 5627,55 aus der jährlichen zunahme des kapitals um ergeben sich jeweils 1,03 dies lässt sich mit dem faktor 1,03 ausdrücken man bezeichnet diesen faktor als zinsfaktor mit diesem faktor kann das vermehrte kapital direkt berechnet werden das kapital nach 4 jahren berechnet man dann so 5000 € ⋅  1,03 5627,55 so kann man für eine beliebige anzahl von ganzen jahren das kapital berechnen wird ein anfangskapital bei einem zinssatz von über jahre verzinst kann man das end kapital mit der zinseszinsformel berechnen  ⋅  mit die anzahl muss ganzzahlig sein die formel gilt nicht für teile von jahren berechnung des endkapitals für ein anfangskapital von 8000 und einen zinssatz von lässt sich das kapital nach 5 jahren berechnen 8000 1,015  ⋅  8000 € ⋅  1,015 8618,27 das endkapital beträgt 8618,27 berechnung des anfangskapitals welches kapital wächst bei in 7 jahren auf 6567,76 6567,76 1,013  ⋅  6567,76 1,013 6000,00 das endkapital beträgt 6000,00 auf der zinsleiter kann man immer größere schritte machen merke bemerkung beispiel

gleichungen zinseszins k1 k3 k4 k6 k5 k2 1–7 zinsen über mehrere jahre wie hoch ist das endkapital nach 4 jahren für 6000 bei einem zinssatz von berechnen sie auch für und 16 jahre berechnen sie das endkapital für nach 5 jahren für einen zinssatz von wie viel euro mehr gibt es bei einem zinssatz von oder berechnen sie die zinsen für in 10 jahren bei einem zinssatz von anfangskapital berechnen aus welchem anfangskapital werden bei einem zinssatz von nach 3 jahren berechnen sie auch das anfangskapital für 6 jahre vergleichen sie wie hoch war das anfangskapital vor 5 jahren das bei einem zinssatz von inzwischen auf einen betrag von 8000 angewachsen ist berechnen sie die fehlenden werte mithilfe der zinseszinsformel 1200,00 4 jahre 595,51 3 jahre 3800,00 5206,33 5 jahre 2500,00 4215,62 7 jahre ein kapital wächst in 6 jahren bei einem zinssatz von auf 3203,53 an wie hoch war der ursprünglich angelegte betrag um wie viel prozent ist das kapital insgesamt angewachsen wie hoch wäre das kapital nach weiteren 6 jahren berechnen sie den prozentualen gesamtgewinn nach 12 jahren und vergleichen sie mit dem zuwachs nach 6 jahren seite zinssätze bei welchem zinssatz wächst ein kapital von auf in 20 jahren an wie hoch müsste der zinssatz sein damit sich ein kapital einschließlich der zinseszinsen in 30 jahren verdreifacht steffi meint wenn ich 10 prozent zinsen bekommen würde würden sich meine 1000 in 10 jahren verdoppeln rechnen sie nach erstellen sie eine tabelle in die sie das endkapital für mehrere jahre eintragen jahre kapital wie viele jahre muss man bei einem zinssatz von mindestens anlegen um mehr als auf dem konto zu haben wie ändert sich die anzahl der jahre für ein endkapital von 6000 die zinseszinsformel gilt nur für volle jahre wird geld länger als ein jahr verzinst dann werden die zinsen getrennt berechnet die vollen jahre nach der zinseszinsformel die restliche zeit nach der tagesoder monatszinsformel verwenden sie für die folgenden aufgaben die deutsche zinsmethode ein kapital von 2800 wird über 2 jahre und 3 monate zu verzinst berechnen sie das endkapital auf welchen betrag wachsen 750,00 bei einem zinssatz von 1,75 in 3 jahren und 65 tagen wählen sie als betrag 3000 und einen aktuellen zinssatz aus berechnen sie wie hoch der betrag an ihrem geburtstag wäre berechnung des zinssatzes ein anfangskapital von 3000 wächst in 6 jahren auf 3232,15 an die zinseszinsformel wird nach auf gelöst  ⋅  3232,15 3000,00 1,0125 also 1,25 der zinssatz beträgt 1,25 beispiel

zusammenfassung karteikarten 6a2h99 zusammenfassung quadratwurzel die quadratwurzel einer positiven zahl ist die positive zahl die mit sich selbst multipliziert die zahl ergibt die schreibweise ist diese regel gilt auch für die zahl null da 8 ⋅ 8 1,21 da 1,1 ⋅ 1,1 1,21 da  ⋅  da 0 ⋅ 0 multiplikation und division von quadratwurzeln quadratwurzeln kann man multiplizieren bzw dividieren indem man die radikanden miteinander multipliziert bzw dividiert und dann die wurzel zieht  ⋅  a ⋅ b  ⋅  7 ⋅ 28 kubikwurzel und n-te wurzel die kubikwurzel einer positiven zahl ist die positive zahl deren dritte potenz gleich der zahl ist wenn da 0,001 die n-te wurzel aus einer zahl schreibt man darunter versteht man die zahl die mit potenziert ergibt muss eine natürliche zahl größer als null sein und sind positive zahlen man erweitert die potenzgesetze und vereinbart denn denn denn 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 gleichungen lösen zum lösen einer gleichung verwendet man äquivalenzumformungen alle rechenschritte werden auf beiden seiten der gleichung durchgeführt das vorgehen beim lösen von gleichungen gleichung vereinfachen durch ausmultiplizieren und zusammenfassen sortieren mithilfe von addition oder subtraktion alle terme mit der variablen kommen auf eine seite alle zahlen ohne die variable auf die andere seite durch den koeffizienten zahl vor der variablen von dividieren damit man ein erhält lösung angeben die probe kann man durchführen indem man den gefundenen wert für in die erste gleichung einsetzt und überprüft ob beide seiten gleich sind 3 ⋅ (x 4 ⋅ (x ausmultiplizieren zusammenfassen also probe linker term rechter term 3 ⋅ ( 4 ⋅ ( 3 ⋅ 10 4 ⋅ (−

zusammenfassung zusammenfassung zinseszins wird ein anfangskapital bei einem zinssatz von über jahre verzinst wird das endkapital mit der zinseszinsformel berechnet mit prozente prozente sind anteile mit dem nenner 1 prozent bedeutet prozent bedeutet am sporttag entscheiden sich von 25 schülerinnen und schülern einer klasse für basketball wie viel prozent sind das der schülerinnen und schüler spielen basketball grundwert prozentwert und prozentsatz beim prozentrechnen ist der grundwert das ganze und entspricht der prozentwert ist der anteil des ganzen der prozentsatz gibt den anteil in prozent an die aufgaben der prozentrechnung lassen sich mit dem dreisatz oder der grundformel der prozentrechnung lösen g ⋅ p oder g ⋅  wie viel euro sind von der prozentwert ist gesucht grundwert prozentsatz 75 ⋅ 10 7,50 der prozentwert beträgt 7,50 prozentuale veränderungen prozentuale veränderungen vermehrung und verminderung lassen sich mit dem prozentfaktor ausdrücken und berechnen vermehrung verminderung prozentwert g ⋅ q der preis eines mountainbikes von wurde um reduziert wie hoch ist der neue preis g ⋅ q € ⋅ 0,8 286,40 der neue preis des mountainbikes beträgt 286,40 zinsen spart man geld indem man es bei der bank anlegt bekommt man dafür zinsen leiht man von der bank kapital muss man zinsen bezahlen der zinssatz bezieht sich auf einen zeitraum von einem jahr man nennt diese zinsen deshalb auch jahreszinsen k ⋅ p k ⋅  monatszinsen und tageszinsen beim zinsrechnen muss man auch die zeitdauer berücksichtigen die jahreszinsen werden mit dem zeitfaktor multipliziert ist die anzahl der tage zinsen jahreszinsen ⋅ zeitfaktor k ⋅   ⋅ i deutsche zinsmethode volle monate werden mit 30 tagen gerechnet hat man nur volle monate zu berechnen gilt taggenaue zinsmethode oder der zeitraum in tagen ist kalendermäßig berechnet bruchterme terme die im nenner eine variable enthalten nennt man bruchterme setzt man für die variablen zahlen ein kann der wert eines terms berechnet werden außer dann wenn der nenner den wert null annimmt für darf nicht der wert eingesetzt werden weil der nenner dadurch den wert annehmen würde

prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite erweitern sie die brüche sodass sie einen gemeinsamen nenner haben und vereinfachen sie welchen wert darf nicht annehmen bestimmen sie jeweils die lösung berechnen sie die lösung machen sie die probe überprüfen sie ob die lösung der folgenden gleichung sein kann gegeben ist die gleichung ‒4 überprüfen sie durch einsetzen ob die lösung stimmt verändern sie die gleichung so dass die gleichung die lösung hat selime lena und marie-claire haben angefangen die gleichung zu lösen selime lena marie-claire wer hat bis jetzt richtig gerechnet erklären sie welche fehler die anderen gemacht haben lösen sie die gleichung welche zahl müssen sie ergänzen um bei der folgenden gleichung 20,5 die lösung keine lösung unendlich viele lösungen zu erhalten isabel prahlt ich kann dir mit richtigen äquivalenzumformungen beweisen dass 2 = 3 ist wo steckt der fehler ⋅ 8 8 ⋅ 3 3 ⋅ 8 ausmult auskl 2 ⋅ (17 3 ⋅ (17 sabrina findet ihren fehler nicht können sie helfen ausmult zsmf welcher rechenweg ist der einfachste kenneth sieht leonies rechnung und meint die aufgabe kann man viel einfacher berechnen können sie helfen 6x ausmult +12 ausmult zsmf 13,5 zu aufgabe abkürzungen anders darstellen ausmult ausmultiplizieren auskl ausklammern zsmf zusammenfassen zahl prüfungsvorbereitung

prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite stimmt die aussage zum thema gleichungen oder stimmt sie nicht überprüfen und begründen sie jil hat als lösung lotte meint also hat die gleichung keine lösung der nächste rechenschritt um die gleichung schnell zu lösen ist der nächste rechenschritt um die gleichung schnell zu lösen ist der nächste rechenschritt um die gleichung schnell zu lösen ist ausmultiplizieren bis hierhin hat manda eine gleichung umgeformt und vereinfacht florian behauptet da musst du falsch gerechnet haben am schluss einer gleichungsumformung steht es gibt keine lösung für die gleichung bei gleichungen mit brüchen ist es normalerweise am einfachsten zuerst mit dem hauptnenner zu multiplizieren bei linearen gleichungen gibt es nie mehrere lösungen eine fläche ist zusammengesetzt aus drei quadraten und einem rechteck wie in der skizze dargestellt quadrat hat die seitenlänge x cm quadrat ii die seitenlänge x + 2 cm und quadrat iii die seitenlänge x + 3 cm stellen sie eine formel für den umfang der gesamten fläche auf vereinfachen sie die formel so weit wie möglich stellen sie eine formel für den flächeninhalt der gesamten fläche auf vereinfachen sie die formel so weit wie möglich lösen sie die formel für das volumen eines quaders nach auf a ⋅ b ⋅ c den umfang eines rechtecks nach auf 2 ⋅ (a familie schillinger trinkt gerne apfelsaft für eine flasche ihrer lieblingsmarke muss sie 1,95 im heimatort ohne pkw-benutzung bezahlen bei einem sonderangebot im supermarkt in km entfernung kostet der gleiche apfelsaft 1,49 herr schillinger überlegt ob es sich lohnt dort apfelsaft einzukaufen sein auto verbraucht etwa l/100 km ein liter benzin kostet im moment 1,26 wie viele flaschen apfelsaft muss er im km entfernten supermarkt mindestens einkaufen damit sich die fahrt lohnt für das autofahren rechnet er nur den benzinpreis nicht die abnutzung des autos oder andere kosten welche werte kann man für einsetzen damit der bruch den wert null hat geben sie an welche zahl nicht für eingesetzt werden darf und berechnen sie die lösung 10,5 warum stimmen die umformungen begründen sie

prüfungsvorbereitung die lösungen zur prüfungsvorbereitung finden sie auf seite bestimmen sie den wert des terms für und vereinfachen sie den folgenden term so weit wie möglich 3 ⋅   ⋅  vereinfachen sie  ⋅   ⋅ 2 für welche werte von nimmt der term den wert an  ⋅  rezan und manda können sich nicht einigen wie die aufgabe richtig vereinfacht wird können sie helfen erklären sie rezan manda vereinfachen sie den term lösen sie die gleichungen für wand werden farbe benötigt wie viel farbe braucht man um wand zu streichen pumpen entleeren ein wasserbecken in 2 stunden leider fällt gleich zu beginn eine pumpe aus wie lange dauert es bis pumpen das becken leergepumpt haben niko hat ein rezept für schwäbischen kartoffelsalat für personen kg kartoffeln zwiebel ml gemüsebrühe el öl el weißweinessig tl senf tl zucker pfeffer salz bund schnittlauch da er für seinen geburtstag kartoffelsalat für personen braucht muss er die angaben des rezepts umrechnen können sie ihm helfen die richtigen mengen zu berechnen zwölf erntehelfer schneiden kohlrabis und verpacken sie in 1100 kisten mit je kohlrabis sie arbeiten an einem tag zehn stunden am nächsten tag sind erntehelfer zehn stunden im einsatz wie viele kohlrabis können an diesem tag geschnitten und verpackt werden wie viele kisten erhält man wie viele kohlrabis können am übernächsten tag geschnitten und verpackt werden wenn erntehelfer nur neun stunden arbeiten können phileas hat zum geburtstag für einen schreibtisch bekommen der schreibtisch den phileas ausgesucht hat kostet das möbelhaus gibt auf alle schreibtische rabatt reicht das geld das phileas bekommen hat theresa freut sich über ein besonderes schnäppchen es gab rabatt auf alles dieses t-shirt hat nur noch gekostet wie teuer war das t-shirt ursprünglich das gehalt von frau nguyen wird um erhöht wegen des guten umsatzes der firma bekommt sie wenig später noch einmal eine gehaltserhöhung um sie bekommt jetzt 3130,40 wie hoch war das ursprüngliche gehalt

anwenden im beruf k1 k4 k6 k3 k2 k5 anwenden im beruf das technische hilfswerk thw setzt gegen hochwasser pumpen ein beispiel ein kellerraum kann durch zwei pumpen in min vom hochwasser befreit werden eine der pumpen würde alleine sieben minuten länger als die andere brauchen pumpen gesamtzeit pumpleistung pro min min der wassermenge min der wassermenge min der wassermenge hieraus ergibt sich die gleichung mit der lösung zwei pumpen leeren einen kellerraum in sechs stunden eine pumpe hätte alleine fünf stunden länger gebraucht als die andere wie lange benötigt jede pumpe alleine stellen sie eine gleichung auf und prüfen sie welche der lösungen stimmt ein durch hochwasser überfluteter bereich wird durch drei gleichzeitig arbeitende pumpen in drei stunden leer gepumpt eine der pumpen braucht alleine sechs stunden die zweite pumpe braucht alleine zwei stunden länger die dritte pumpe braucht alleine viermal so lange wie die erste wie lange braucht jede pumpe einzeln die stärkste pumpe hat eine leistung von liter pro minute welche wassermenge wurde insgesamt abgepumpt welche leistung haben die beiden anderen pumpen hebelgesetz mit einem hebel kann man die größe und richtung einer kraft ändern das hebelgesetz findet bei scheren zangen schraubenschlüsseln oder brechstangen anwendung die kraft wird mit bezeichnet das kommt von dem englischen wort force und wird in der maßeinheit sprich newton angegeben man kann mit einem hebel kraft einsparen indem man einen längeren weg in kauf nimmt drehpunkt ein hebel ist im gleichgewicht wenn gilt  ⋅   ⋅  dabei ist die kraft die im abstand kraftarm vom drehpunkt auf den hebel wirkt ist die kraft im abstand lastarm vom drehpunkt auf den hebel wirkt es kann auch sein dass kraftarm und lastarm auf der gleichen seite des drehpunkts sind information peter drückt mit einer kraft von auf den abgebildeten nussknacker welche kraft wirkt dabei auf die nuss cm cm eine waschmaschine hat die masse kg dies entspricht der gewichtskraft von etwa 1000 sie soll mit einer cm langen brechstange angehoben werden diese wird so weit unter die maschine geschoben dass der lastarm cm lang ist zeichnen sie eine skizze welche kraft ist notwendig um die waschmaschine anzuheben die einheit ist nach dem englischen physiker newton 1643 bis 1727 benannt

anwenden im beruf k4 k5 k1 k2 4–6 k3 k6 chemische zusammensetzung des menschlichen körpers und der nahrungsmittel der menschliche körper besteht etwa aus wasser eiweiß fett und anderen stoffen kennt man das körpergewicht eines menschen so lässt sich auch die zusammensetzung in kilogramm berechnen nahrungsmittel setzen sich ebenfalls aus verschiedenen bestandteilen zusammen zum beispiel aus wasser kohlenhydrate eiweiß fett usw es gibt empfehlungen für die durchschnittliche aufnahme von nahrungsbestandteilen pro tag daran orientiert sich auch die angabe auf einer lebensmittelverpackung information der menschliche körper besteht aus wasser eiweiß fett andere stoffe geben sie die werte für einen erwachsenen mit einem körpergewicht von kg und für ein kind mit kg an bei jugendlichen ist der wasseranteil wie viel wasser steckt in ihrer gesamten familie bestandteile der nahrungsmittel in weißen bohnen sind fett eiweiß und kohlenhydrate enthalten berechnen sie den jeweiligen prozentsatz tiramisu enthalten eiweiß kohlenhydrate und fett geben sie die anteile in prozent an in der mittagspause kauft sich andré einen hamburger und eine portion pommes frites beides zusammen wiegt etwa gramm davon sind fett marina geht nach hause und macht sich eierpfannkuchen mit äpfeln ihre portion wiegt gramm bei einem fettgehalt von der durchschnittliche fettbedarf pro tag beträgt etwa 1 gramm pro kilogramm körpergewicht berechnen sie wie viel gramm fett andré und marina gegessen haben welches körpergewicht müssten die beiden haben wenn sie den fettbedarf gedeckt hätten mehrwertsteuer mwst bzw umsatzsteuer ust die mehrwertsteuer auch umsatzsteuer ust genannt wird nur vom endverbraucher getragen und mit dem kaufpreis bezahlt jeder unternehmer erhebt beim verkauf seiner waren vom kunden mehrwertsteuer später zieht der unternehmer die mehrwertsteuer ab die er selbst bezahlt hat die sogenannte vorsteuer und führt den differenzbetrag ans finanzamt ab seit 2007 beträgt der normalsatz der mehrwertsteuer für einige waren bücher lebensmittel wird ein ermäßigter steuersatz von erhoben information

anwenden im beruf k4 k5 k6 k1 k2 7–11 k3 7–11 in askims ausbildungsbetrieb gibt es heute eine aktion in der die kundinnen und kunden bei allen artikeln über die mehrwertsteuer geschenkt bekommen wie viel euro muss eine kundin bezahlen wenn die ausgesuchte hose ursprünglich und ein passendes sweatshirt kosten sollten lukas hat für einen bildband 39,90 kas siert wie viel euro würde das buch kosten wenn er nicht den ermäßigten sondern den normalen mehrwertsteuersatz berechnen müsste der mehrwertsteuersatz wird von jeder regierung festgelegt seit 2007 beträgt er in deutschland einige mehrwertsteuersätze aus anderen ländern stand 2019 schweden belgien frankreich luxemburg ein mountainbike wird in luxemburg mit mehrwertsteuer für 398,00 verkauft welchen preis muss ein unternehmen in deutschland fordern wenn derselbe nettopreis zu grunde gelegt wird wie hoch ist der mehrwertsteuersatz im jahr 2015 in italien wenn das mountainbike dort 10,20 weniger als in schweden kostet zahlungsarten rabatt skonto im zahlungsverkehr sind die häufigsten zahlungsarten barzahlung münzen und scheine und bargeldlose zahlung überweisung zahlung mit der ec-karte bei beiden zahlungsarten kann es preisnachlässe geben ein rabatt preisnachlass wird gewährt als mengenrabatt treuerabatt oder aktionsrabatt skonto wird bei vorzeitiger zahlung gewährt wenn der kunde innerhalb einer festgelegten frist innerhalb von 10 tagen die ware oder die dienstleistung bezahlt information preis rabatt und skonto frau ahlmann kassiert für neue vorhänge einschließlich mehrwertsteuer und nach abzug von barzahlungsrabatt 764,40 euro berechnen sie den nettopreis der vorhänge auf einer rechnung von herrn bahmüller sind 85,31 euro als mehrwertsteuer ausgewiesen er darf noch skonto abziehen beim kauf einer waschmaschine spart frau christiansen 104,85 euro durch sonderrabatt berechnen sie den bruttopreis und die darin enthaltene mehrwertsteuer im werbeprospekt wird der listenpreis eines autos angegeben für den endpreis müssen mehrwertsteuer und rabatt berücksichtigt werden entscheiden sie sich für das beste angebot und begründen sie listenpreis mehrwertsteuer rabatt listenpreis rabatt listenpreis rabatt mehrwertsteuer

anwenden im beruf k1 k2 k3 k4 k6 k5 kontokorrentkonto ein bankkonto das der abwicklung von zahlungsvorgängen dient nennt man kontokorrentkonto es wird auch als girokonto bezeichnet weist das konto ein guthaben aus hat die bank eine verbindlichkeit bei ihrem kunden deshalb wird der kontostand in diesem fall auch als haben-saldo bezeichnet weist das konto schulden aus hat die bank eine forderung an ihren kunden die als soll-saldo geführt wird ein kontoauszug enthält alle buchungen auf dem kontokorrentkonto die zahlungseingänge und zahlungsausgänge jeweils mit dem neuen kontostand ein guthaben auf dem kontokorrentkonto wird in der regel nicht verzinst die kreditlinie ist der betrag den die bank dem kunden als kredit zu einem festen sollzinssatz einräumt eine überschreitung dieser kreditlinie kann die bank dulden verlangt dann aber in der regel einen noch höheren zinssatz für den die kreditlinie überschreitenden betrag diesen zinssatz nennt man überziehungszinssatz information die immerfit gmbh hat mit ihrer hausbank einen kontokorrentkredit zu folgenden bedingungen vereinbart kreditlinie 000,00 sollzinssatz überziehungszinssatz habenzinssatz das konto wird monatlich nach der taggenauen zinsmethode abgerechnet es ist kein schaltjahr die immerfit gmbh hat am 31. märz 2500,00 auf ihrem konto sie überweist am 4. april 7500,00 an einen lieferanten und ist somit im soll am 29. april gehen 6000,00 ein wie hoch sind die kontostände und wie hoch sind die sollzinsen für april nach einer überweisung vom 3. mai ist die immerfit gmbh mit 8000 im soll am 13. mai werden 4000,00 abgebucht am 30. mai gehen 000,00 eines kunden ein wie hoch sind die sollzinsen für die zeiträume bis 13. mai bzw bis 30. mai wie hoch sind die sollzinsen die die bank der immerfit gmbh für juli abbucht

die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite rückspiegel wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut überprüfen sie ihre einschätzung berechnen sie 0,04 1,44 berechnen sie  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  fassen sie zusammen berechnen sie 1728 1024 lösen sie die gleichung vereinfachen sie zuerst und lösen sie dann die gleichung lösen sie mithilfe von gleichungen der umfang eines quadrats beträgt cm wie lang ist jede seite wenn man von einer rationalen zahl subtrahiert und diese differenz mit der summe aus und multipliziert erhält man die differenz aus dem 15-fachen der zahl und wie heißt die zahl bestimmen sie die definitionsmenge und die lösungsmenge formeln umstellen lösen sie die formel für den umfang eines rechtecks nach auf berechnen sie dann die seitenlänge für cm und cm rückspiegel wurzeln gleichungen und formeln testen 6a2h99 ich kann lerntipp wurzeln berechnen seite wurzeln multiplizieren und dividieren seite wurzeln mit gleichen radikanden addieren und subtrahieren seite wurzeln mit verschiedenen wurzelexponenten ziehen seite einfache lineare gleichungen lösen seite lineare gleichungen mit klammern lösen seite sachaufgaben mithilfe von gleichungen lösen seite bruchgleichungen lösen seite mit formeln rechnen seite

rückspiegel wo stehe ich gut sehr gut etwas nicht gut die lösungen zum rückspiegel finden sie auf seite überprüfen sie ihre einschätzung nutzen sie die prozentrechnung zum lösen der aufgabe berechnen sie die fehlenden werte grundwert prozentwert prozentsatz 48,5 17,5 kg preisnachlass beim räumungsverkauf wurde ein mantel um ermäßigt ursprünglich kostete der mantel berechnen sie den neuen preis nach abzug eines rabatts von musste herr kleinschmidt noch für sein trekking rad bezahlen wie hoch war der preis ohne rabatt beim kauf eines kleinen zelts sparte marina durch einen nachlass von genau 12,50 wie viel euro musste sie für das zelt bezahlen deutsche zinsmethode berechnen sie die zinsen für einen anlagefond über 5750 das vom november bis 31. dezember zu angelegt ist zu welchem zinssatz sind 9000 vom 7.  februar bis august angelegt wenn 93,45 zinsen gutgeschrieben werden an welchem kalenderdatum wurden 3650,00 eingezahlt wenn am dezember 3663,71 einschließlich zinsen ausbezahlt werden taggenaue zinsen ohne schaltjahr welcher betrag einschließlich zinsen wird am oktober ausbezahlt wenn am märz 3000 zu angelegt wurden wie viele tage werden 4100 zu verzinst wenn die zinsen 9,20 betragen berechnen sie das endkapital für 1500,00 in 12 jahren bei das anfangskapital wenn das endkapital bei 0,81 nach 8 jahren 3200,00 beträgt den zinssatz wenn 5000,00 nach 5 jahren auf 5413,00 gewachsen sind testen 6a2h99 ich kann lerntipp prozentsatz prozentwert und grundwert berechnen seite prozentuale änderungen berechnen seite zinsen nach der deutschen zinsmethode berechnen seite zinsen nach der taggenauen zinsmethode berechnen seite die zinseszinsformel nutzen seite rückspiegel prozente und zinsen

die lösungen finden sie auf seite basiswissen basiswissen die länge einer strecke wird angegeben in kilometer km km 1000 meter dm dezimeter dm dm cm zentimeter cm cm mm millimeter mm cm cm km km cm mm dm dm dm ar hektar 1000 km km cm km km moers münster düsseldorf duisburg runden cm die größe einer fläche wird angegeben in quadratkilometer km km ha hektar ha ha ar quadratmeter dm quadratdezimeter dm dm cm quadratzentimeter cm cm mm quadratmillimeter mm das volumen eines körpers wird angegeben in kubikmeter 1000 dm kubikdezimeter dm dm 1000 cm kubikzentimeter cm cm 1000 mm kubikmillimeter mm bei flüssigkeiten verwendet man statt dm und cm die einheiten liter und milliliter (ml dm ml cm dm mm cm dm zum vergleichen von und rechnen mit längen flächen oder volumina wandeln sie wenn nötig in dieselbe einheit um km denn km 5400 cm mm mm mm mm 4,88 cm cm denn dm cm länge fläche volumen wandeln sie in die nächstgrößere einheit um mm cm 7500 3000 mm 4000 ml cm wandeln sie in die nächstkleinere einheit um cm dm km cm ha cm dm wandeln sie um cm mm dm dm ha dm cm cm ml dm ml ordnen sie die einheiten richtig zu km mm dm länge fläche volumen in welcher einheit würden sie messen entfernung zwischen schule und schwimmbad inhalt einer mülltonne fläche des schulhofs flüssigkeit in einem trinkglas dicke des schulbuchs paul meint mein schulmäppchen fasst dm was meinen sie dazu karteikarten 4gy7ym

die lösungen finden sie auf seite basiswissen die natürlichen zahlen werden auf dem zahlenstrahl aufgereiht die kleinere liegt weiter links gelesen ist kleiner als natürliche zahlen zeichnen sie einen geeigneten zahlenstrahl und markieren sie die punkte setzen sie eines der zeichen oder ein ordnen sie die zahlen der größe nach beginnen sie mit der kleinsten wie heißen die auf dem zahlenstrahl markierten zahlen um dezimalzahlen zu vergleichen und zu ordnen muss man die stellenwerte von links nach rechts untersuchen entscheidend ist die erste stelle an der verschiedene ziffern stehen also 0,324 0,343 1,24 1,24 also 1,245 1,246 also 0,009 0,01 4,62 2,46 2,64 also 2,46 2,64 4,62 dezimalzahlen ordnen ordnen sie die dezimalzahlen 7,84 4,87 8,74 4,78 8,47 7,48 459,8 45,98 49,58 458,9 495,8 8,0981 8,0109 8,0819 8,0918 ordnen sie 81,57 8,175 81,75 8,71 2,22 kg kg 2,202 kg 2,02 kg 333,3 kg 0,000 0,33 kg wie heißen die markierten zahlen

die lösungen finden sie auf seite basiswissen beim addieren und subtrahieren von dezimalzahlen werden die zahlen stellengerecht untereinander geschrieben komma steht unter komma die einer stehen untereinander die zehner stehen untereinander usw manchmal muss man nullen ergänzen addieren und subtrahieren von dezimalzahlen übertragen sie ins heft und addieren sie ergänzen sie fehlende nullen 4,723 9,43 7,64 3,578 schreiben sie stellengerecht untereinander in ihr heft und berechnen sie 73,84 25,67 426,7 68,58 4,846 79,86 24,63 45,9 dezimalzahlen werden zunächst ohne berücksichtigung des kommas multipliziert das ergebnis hat gleich viele nachkommastellen wie die beiden faktoren zusammen  ⋅ 7 4368  ⋅ 0 multiplizieren von dezimalzahlen wenn beim dividieren einer dezimalzahl durch eine natürliche zahl das komma überschritten wird muss man auch im ergebnis das komma setzen beim dividieren von zwei dezimalzahlen muss man bei dividend und divisor das komma so weit nach rechts verschieben bis der divisor eine natürliche zahl ist 51,2 2,46 24,6 dividieren von dezimalzahlen übertragen sie ins heft setzen sie das komma beim ergebnis 4,82 ⋅ 2,7 13014 7 ⋅ ,123 0,27 ⋅ 0,54 1458 2,7 ⋅ 0,54 1458 multiplizieren sie schriftlich in ihrem heft 52,7 ⋅ 5 6,67 ⋅ 9 3,47 ⋅ 6,4 5,4 ⋅ 6,42 0,37 ⋅ 2,4 0,18 ⋅ 0,045 dividieren sie im kopf 12,8 0,54 0,02 dividieren sie in ihrem heft 14,04 7,56 17,78 1,77 1,3084 0,5384 0,08

die lösungen finden sie auf seite basiswissen runden sie auf eine nachkommastelle 5,723 0,8384 21,191 0,356 0,09 auf drei nachkommastellen 9,1234 0,00 2,21 0,00 runden sie sinnvoll jeder bezahlt 14,2795 die radtour ist 21,1726 km lang benzinverbrauch 7,382 auf km berechnen sie den wert des terms 4 ⋅ x für für 2 ⋅ y für 2 ⋅ y 6 ⋅ x für 2 ⋅ (a 0,5 ⋅ b für 4,5 ⋅ (1 für notieren sie den term und berechnen sie ihn das produkt aus und der quotient aus und addieren sie zur differenz der zahlen und ordnen sie den richtigen term zu berechnen sie den wert des terms für der quotient aus der zahl und das vierfache der differenz aus einer zahl und die hälfte des produkts aus und addieren sie zur summe von und der quotient aus und der summe von und für das runden von zahlen gelten die folgenden regeln abrunden die ziffer an der rundungsstelle bleibt gleich wenn eine der ziffern oder folgt auf eine nachkommastelle auf zwei nachkommastellen 3,64 aufrunden die ziffer an der rundungsstelle wird um erhöht wenn eine der ziffern oder folgt 3,66 runden terme sind rechenausdrücke aus zahlen variablen und rechenzeichen ersetzt man die variablen durch zahlen kann man den wert eines terms berechnen den term nennt man summe die zahl ist der summand die zahl ist der 2. summand den term nennt man differenz die zahl ist der minuend die zahl der subtrahend den term 6 ⋅ 7 nennt man produkt die zahl ist der faktor die zahl ist der faktor den term nennt man quotient die zahl ist der dividend die zahl der divisor für und kann man den wert des terms 3 ⋅  berechnen 3 ⋅  summe wert der summe differenz wert der differenz 6 ⋅ 7 produkt wert des produkts quotient wert des quotienten terme

die lösungen finden sie auf seite basiswissen eine potenz besteht aus basis und exponent der exponent gibt an wie oft die basis im produkt als faktor vorkommt  ⋅   ⋅   ⋅  gleiche faktoren hoch  ⋅   ⋅  gleiche faktoren hoch eine potenz mit dem exponenten heißt quadratzahl und mit dem exponenten kubikzahl 12 ⋅ 12 5 ⋅ 5 ⋅ 5 potenzen exponent basis exponent basis berechnen sie im kopf berechnen sie potenzen mit gleicher basis können multipliziert werden indem man die exponenten addiert und die basis beibehält  ⋅  potenzen mit gleicher basis können dividiert werden indem man die exponenten subtrahiert und die basis beibehält für gibt es keine division potenzen können potenziert werden indem man ihre exponenten multipliziert m ⋅ n potenzgesetze für potenzen mit gleicher basis wenden sie die potenzgesetze an  ⋅   ⋅   ⋅  schreiben sie mit einer potenz  ⋅   ⋅  5 ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  schreiben sie mit einer potenz 0,05 0,05 berechnen sie im kopf vereinfachen sie den term so weit wie möglich  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ z a ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  potenzen mit gleichen exponenten können multipliziert werden indem man ihre basen multipliziert und den exponenten beibehält potenzen mit gleichen exponenten können dividiert werden indem man ihre basen dividiert und den exponenten beibehält  ⋅  a ⋅ b potenzgesetze für potenzen mit gleichen exponenten

die lösungen finden sie auf seite basiswissen rechnen sie im kopf  ⋅   ⋅   ⋅  1,25  ⋅   ⋅  berechnen sie im kopf  ⋅   ⋅  berechnen sie ohne taschenrechner 12,5  ⋅  0,25  ⋅   ⋅  0,75  ⋅   ⋅   ⋅  formen sie um  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  potenzen mit negativen ganzen zahlen im exponenten sind erklärt durch potenzen mit exponent sind erklärt durch in beiden fällen muss gelten potenzen mit negativen ganzen zahlen im exponenten schreiben sie die potenz als bruch 0,05 schreiben sie den bruch als potenz mit negativem exponenten berechnen sie berechnen sie jeweils für 0,01 teile eines ganzen werden in brüchen angegeben der nenner gibt an in wie viele gleich große teile ein ganzes zerlegt wird der zähler gibt an wie viele dieser teile jeweils ausgewählt werden zähler der zähler zählt die bruchteile bruchstrich nenner der nenner nennt die lies zwei fünftel will man brüche vergleichen bringt man sie auf den gleichen nenner und vergleicht die zähler denn und brüche

die lösungen finden sie auf seite basiswissen schreiben sie als dezimalzahl und in prozent 1000 1000 1000 1000 1200 schreiben sie als dezimalzahl und als bruch schreiben sie in prozent und als bruch 0,09 0,19 0,019 welcher bruchteil ist gefärbt kürzen sie wenn möglich welche brüche sind dargestellt zeichnen sie eine zahlengerade einheit cm auf ein blatt tragen sie folgende brüche ein vergleichen sie und und und und setzen sie oder ein brüche mit dem nenner 1000 kann man als dezimalzahl darstellen manche brüche kann man so erweitern oder kürzen dass sie den nenner haben 0,15 prozente sind brüche mit dem nenner sie lassen sich auch als dezimalzahlen schreiben 0,02 0,14 brüche dezimalzahlen und prozente addition zwei brüche werden addiert indem man beide brüche gleichnamig macht und dann die zähler addiert subtraktion zwei brüche werden subtrahiert indem man beide brüche gleichnamig macht und dann die zähler subtrahiert multiplikation zwei brüche werden multipliziert indem man zähler mit zähler und nenner mit nenner multipliziert kürzen sie falls möglich vor dem ausrechnen  ⋅  4 ⋅ 2 5 ⋅ 3  ⋅  division zwei brüche werden dividiert indem man den ersten bruch mit dem kehrbruch des zweiten bruches multi pliziert der kehrbruch zu ist 4 ⋅ 7 5 ⋅ 3  ⋅  bruchrechnung

die lösungen finden sie auf seite basiswissen gegeben sind die brüche und addieren sie die beiden brüche multiplizieren sie die beiden brüche welcher der beiden brüche liegt näher an der begründen sie die schulstunde dauert 45 minuten leider sind des unterrichts schon vorbei wie viele minuten verbleiben noch wie viel sind von 560,00 von 560,00 von 560,00 berechnen sie  ⋅   ⋅   ⋅   ⋅  verbinden sie alle punkte und bezeichnen sie die strecken wie viele geraden und wie viele strecken finden sie die geradlinige verbindung zwischen den zwei punkten und ist die strecke sie wird mit ab bezeichnet eine gerade ist eine in beide richtungen beliebig weit verlängerte strecke geraden werden mit bezeichnet strecke und gerade zwei geraden oder strecken sind zueinander senkrecht wenn sie so zueinander liegen wie die lange seite und die mittellinie des geodreiecks zwei geraden die zur selben geraden senkrecht stehen sind parallel strecken heißen parallel wenn sie auf parallelen geraden liegen die länge der strecke zwischen zwei punkten und heißt entfernung von und die kürzeste entfernung zwischen einem punkt und einer geraden ist der abstand von und er ist die länge der strecke die von senkrecht zu verläuft der abstand zweier geraden und kann auf der strecke gemessen werden die und senkrecht verbindet senkrechte und parallele geraden entfernung und abstand

lösungen der kapitel lösungen termumformungen standpunkt seite 8 1,784 2,46 24,6 105,8 0,67 1,25 der größere strich in der mitte zwischen den zahlen hilft ihnen die einteilung zu finden 38,01 13,66 412,775 40,904 73,92 171,51 315,792 6,54 17,6 50,4 625,25 499,2 machen sie die brüche zuerst gleichnamig termumformungen prüfungsvorbereitung seite 5 ⋅ 36 ⋅ 11 8 ⋅ 10 klammern von innen nach außen auflösen minusklammern beachten und punkt­vor­strich­rechnung anwenden x ⋅ 86 11 ⋅ 42 minuszeichen vor den klammern beachten 5 ⋅ 12 5 ⋅ 36 x ⋅ 3 18 ⋅ 3 mn mn mn mit dem kehrwert multiplizieren 3 ⋅ 8 8 ⋅ 7 7 ⋅ 8 56 ⋅ 7 klammern ausmultiplizieren punkt­vor­strichrechnung beachten bei brüchen immer so früh wie möglich kürzen aufgabe phil es muss heißen multipliziere mit der differenz aus und leana leana hat richtig übersetzt juri juri hat richtig ausmultipliziert magdalena magdalena hat richtig ausgeklammert

lösungen der richtige lösungsweg leana juri magdalena 4 ⋅ (a man multipliziert mit und überprüft mit was multipliziert werden muss damit man erhält b ⋅  man überlegt mit was ab multipliziert werden muss um auf zu kommen das ist wird vor die klammer geschrieben und dann wird der zweite summand aus der klammer mit multipliziert y ⋅ (x man berechnet y ⋅ x und schreibt das ergebnis auf die rechte seite dann überprüft man mit was multipliziert werden muss um auf zu kommen das ist y ⋅ (3 man überprüft mit was multipliziert werden muss um auf zu kommen das ist dann überprüft man mit was multipliziert werden muss um auf zu kommen das ist klammern ausmultiplizieren und minuszeichen beachten t1 t2 t1 t2 t1 t2 klammern ausmultiplizieren dabei minuszeichen vor einem produkt von klammern beachten für muss eingesetzt werden +x für muss eingesetzt werden für muss eingesetzt werden für muss eingesetzt werden 4 ⋅ 2 4 ⋅ 4 4,20 0,15 die kantenlänge kann höchstens cm lang sein alter von phil alter von niko alter von ben alter von mutter 3 ⋅ 2 alter von vater 3 ⋅ 2 gleichung 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 phil jahre niko jahre ben jahre mutter jahre vater jahre termumformungen prüfungsvorbereitung seite taschengeld für tim taschengeld für leonie taschengeld für justin taschengeld für miguel tim erhält leonie erhält justin erhält und miguel erhält taschengeld gesuchte zahl ist die gesuchte zahl gesuchte zahl ist die gesuchte zahl

lösungen wenn man das doppelte der zahl und das vierfache der zahl zur gesuchten zahl addiert und vom ergebnis subtrahiert erhält man zweiter winkel 360° 360° 80° die winkel haben eine größe von 160° 80° 40° und 80° potenzgesetze beachten  ⋅   ⋅   :   ⋅   ⋅   :   ⋅   ⋅   ⋅   :   ⋅  denn 20 ⋅ 5) ⋅  denn  ⋅  3 ⋅  denn  ⋅   ⋅  5 ⋅ 2  ⋅   ⋅  3 ⋅ 2 9 ⋅   ⋅ 4 ⋅  10− denn für die exponenten gilt 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 denn für die exponenten gilt 4 ⋅ m ausführliche schreibweise wissenschaftliche schreibweise 7,3 ⋅  5,6 ⋅  0,000 2,8 ⋅  34,9 ⋅ 0,000 6,98 ⋅  846,9 ⋅ 0,000 1,38 ⋅  000 : 0,001 9,8 ⋅  0,000 0,11 mm 1,1 ⋅  2,25 die probe durch einsetzen von für liefert das ergebnis ist falsch die probe durch einsetzen von für liefert das ergebnis ist falsch termumfromungen rückspiegel seite

lösungen km termumformungen rückspiegel seite länge einer seite des quadrats in cm cm die seitenlänge beträgt cm gesuchte zahl die gesuchte zahl ist definieren sie zuerst was die variable ist stellen sie dann die gleichung auf 0,000 1,987 87 ⋅  1,000 1 ⋅  6,7 ⋅  1,000 02 ⋅  5,167 5 ⋅  7,838 7 ⋅  milliarden sterne tb byte 1,024 24,576 bit 0,28 km pm gleichungen standpunkt seite 0,85 2,08 2,85 5,82 8,05 8,25 1,784 2,46 24,6 105,8 38,01 13,66 412,775 40,904 166,08 171,51 315,792 6,54 50,4 625,25 499,2 1000 gleichungen prüfungsvorbereitung seite sortieren durch addieren bzw subtrahieren alles mit auf die eine seite alles ohne auf die andere seite dann die gleichung durch die zahl die vor dem steht dividieren und damit die gleichung auf ein bringen klammern ausmultiplizieren zusammenfassen sortieren durch addieren bzw subtrahieren gleichung auf bringen klammern ausmultiplizieren zusammenfassen sortieren durch addieren bzw subtrahieren gleichung auf bringen klammern ausmultiplizieren zusammenfassen sortieren gleichung auf bringen klammern ausmultiplizieren zusammenfassen sortieren gleichung auf bringen 0,42 klammern zuerst ausmultiplizieren ergibt achtung minuszeichen vor zwei klammern am besten erst die beiden klammern ausmultiplizieren dann zusammenfassen und schließlich die minusklammer schritt für schritt auflösen

lösungen gleichung zuerst mit dem hauptnenner multiplizieren und dann kürzen die brüche kürzen sich die brüche weg die ganze gleichung mit dem hauptnenner multiplizieren auch die zahl dadurch kürzen sich die brüche weg ausmultiplizieren und weiterrechnen wie üblich die gleichung zuerst mit dem hauptnenner multiplizieren hauptnenner lösung durch einsetzen von für 3 ⋅ 1 17) ⋅ 2 ⋅ 1 6 ⋅  also ist eine lösung für die gleichung die lösung stimmt 4 ⋅ 5 5 ⋅ (− für einsetzen 4 ⋅ 33 5 ⋅ 43 die beiden seiten der gleichung unterscheiden sich um veränderte gleichung selime lena und marie­claire haben angefangen die gleichung zu lösen selime lena marie­claire marie­claire selime hat die klammern nicht beachtet lena hat nicht multipliziert sondern addiert 20,5 6 ⋅  6 ⋅  |÷6 �￿{4} 20,5 |– �￿|– durch darf nicht dividiert werden siehe zweitletzte zeile sabrina hat richtig gerechnet es gibt keine lösung zuerst ausmultiplizieren anschließend zusammenfassen und dann erst sortieren erspart einige rechenschritte ausmultiplizieren zusammenfassen 13,5 gleichungen prüfungsvorbereitung seite nein lotte hat nicht recht ist eine zahl nein man muss die klammern beachten und ausmultiplizieren nein besser ist erst klammern aufzulösen ja nein die gleichung ist allgemeingültig jede zahl kann für eingesetzt werden ja es gibt keine zahl die für eingesetzt werden kann sodass die gleichung stimmt ja nein es kann eine keine oder unendlich viele lösungen geben a ⋅ c